協(xié)方差分析PPT演示文稿

1、1analysis of covariance 2 方差分析中，所接觸到的各種處理多數(shù)都方差分析中，所接觸到的各種處理多數(shù)都是人為控制的。有時一些變量很難或者不可能是人為控制的。有時一些變量很難或者不可能人為控制，對于這種情況則不能用第三章所述人為控制，對于這種情況則不能用第三章所述的方差分析方法，推斷處理之間的差異而應(yīng)用的方差分析方法，推斷處理之間的差異而應(yīng)用協(xié)方差分析的方法做推斷。協(xié)方差分析的方法做推斷。 例如，在研究不同飼養(yǎng)條件下，動物的增例如，在研究不同飼養(yǎng)條件下，動物的增重情況時，由于動物的原體重不同，如果只考重情況時，由于動物的原體重不同，如果只考慮飼料對增重的作用而不考慮原體重時

2、增重的慮飼料對增重的作用而不考慮原體重時增重的影響，顯然是不全面的。動物的增重不僅與飼影響，顯然是不全面的。動物的增重不僅與飼料有關(guān)，而且還與原體重有關(guān)。一般來講，原料有關(guān)，而且還與原體重有關(guān)。一般來講，原體重高的增童較多，原體重低的增重較少，增體重高的增童較多，原體重低的增重較少，增重與原體重之間有回歸關(guān)系，為了得到正確的重與原體重之間有回歸關(guān)系，為了得到正確的結(jié)論，就要在排除原體重對增重的影響之后，結(jié)論，就要在排除原體重對增重的影響之后，推斷處理的效應(yīng)。這就是本章所要討論的協(xié)方推斷處理的效應(yīng)。這就是本章所要討論的協(xié)方差分析。差分析。3 在協(xié)方差分析中，通常將動物增重稱為反應(yīng)變在協(xié)方差分析中

3、，通常將動物增重稱為反應(yīng)變量量(response variable) y，而與而與y 有線性回歸關(guān)系有線性回歸關(guān)系的另一變量的另一變量(原始體重原始體重)稱為稱為伴隨變量伴隨變量(concomitant variable)或或協(xié)變量協(xié)變量(covariate) x 。協(xié)方差分析就是協(xié)方差分析就是通過反應(yīng)變量與協(xié)變量之間的線性關(guān)系，調(diào)整觀察通過反應(yīng)變量與協(xié)變量之間的線性關(guān)系，調(diào)整觀察的反應(yīng)變量。假若不做這種調(diào)整，由于協(xié)變量的存的反應(yīng)變量。假若不做這種調(diào)整，由于協(xié)變量的存在會使誤差平方和加大，其結(jié)果有可能檢驗不出反在會使誤差平方和加大，其結(jié)果有可能檢驗不出反應(yīng)變量在不同處理之間所存在的真正差異。因

4、此，應(yīng)變量在不同處理之間所存在的真正差異。因此，協(xié)方差分析協(xié)方差分析是一種調(diào)整無法控制又影響效應(yīng)的變量是一種調(diào)整無法控制又影響效應(yīng)的變量的方差分析方法，是方差分析與回歸分析的結(jié)合。的方差分析方法，是方差分析與回歸分析的結(jié)合。在上述動物重實驗中，很難將全部實驗動物都選為在上述動物重實驗中，很難將全部實驗動物都選為具有相同體重的個體，動物的原體重是無法控制的具有相同體重的個體，動物的原體重是無法控制的變量，而原體重對增重又有明顯的影響，使用協(xié)方變量，而原體重對增重又有明顯的影響，使用協(xié)方差分析，便可排除原體重差分析，便可排除原體重x對增重對增重y 的影響，使結(jié)果的影響，使結(jié)果更為可靠更為可靠 。

5、4第一節(jié)第一節(jié) 具一個協(xié)變量的一種方式分組的具一個協(xié)變量的一種方式分組的協(xié)方差分析（協(xié)方差分析（one-way classification with a single covariate） 本節(jié)討論協(xié)方差分析中最簡單的一種情況，本節(jié)討論協(xié)方差分析中最簡單的一種情況，即以只有一個協(xié)變量的單因素實驗設(shè)計的協(xié)方即以只有一個協(xié)變量的單因素實驗設(shè)計的協(xié)方差分析為例，說明協(xié)方差分析的基本原理和計差分析為例，說明協(xié)方差分析的基本原理和計算方法。算方法。單因素協(xié)方差分析的統(tǒng)計模型單因素協(xié)方差分析的統(tǒng)計模型是：是：) 14(, 2 , 1, 2 , 1)(njaixxyijijiij5 其中其中yij是第是第

6、 i 次處理所得到的反應(yīng)變量的第次處理所得到的反應(yīng)變量的第 j 次次觀察值。觀察值。c cij是相當(dāng)于是相當(dāng)于yij的協(xié)變量值。的協(xié)變量值。c c是是c cij的平的平均數(shù)，均數(shù)， 是總平均數(shù)，是總平均數(shù)， i是第是第i次處理效應(yīng)，次處理效應(yīng)， 是是yij在在c cij上的線性回歸系數(shù)，上的線性回歸系數(shù)， ij是隨機誤差成份。是隨機誤差成份。做做協(xié)方差分析，需要滿足以下幾個條件協(xié)方差分析，需要滿足以下幾個條件： ij是是服從正態(tài)分布的獨立隨機變量；服從正態(tài)分布的獨立隨機變量； 0，即即yij與與c cij之間存在線性關(guān)系；各處理的回歸系數(shù)都相同；之間存在線性關(guān)系；各處理的回歸系數(shù)都相同；處理效

7、應(yīng)之和等于零處理效應(yīng)之和等于零（ i0）以及協(xié)變量不以及協(xié)變量不受處理效應(yīng)的影響等。受處理效應(yīng)的影響等。 6 從（從（41）式中可以看出：協(xié)方差分析的模）式中可以看出：協(xié)方差分析的模型是方差分析和回歸分析線性模型的結(jié)合。型是方差分析和回歸分析線性模型的結(jié)合。 i是單因素方差分析中的處理效應(yīng)，是單因素方差分析中的處理效應(yīng)， 是回歸分析是回歸分析中的回歸系數(shù)。在（中的回歸系數(shù)。在（41）式中的協(xié)變量是以）式中的協(xié)變量是以（c cijc c）的形式而不是以的形式而不是以 c cij 的形式表示的，的形式表示的，因此參量因此參量 是總的平均值。統(tǒng)計模型的另一種形是總的平均值。統(tǒng)計模型的另一種形式是：式

8、是： )24(, 2 , 1, 2 , 1njaixyijijiij其中其中 并不等于總平均值。在這個模型中，總并不等于總平均值。在這個模型中，總平均值為平均值為 c c 。經(jīng)常使用的模型是（經(jīng)常使用的模型是（41）式。式。 7 協(xié)方差分析需要計算以下一些量：協(xié)方差分析需要計算以下一些量： )34(1122112ainjijainjijyyanyyyys)74()64()54()()44(11122212211211111122112ainjaiiixxaiiainjiyyainjainjijijijijxyainjijainjijxxanxnxxxtanynyyytanyxyxyyxxsan

9、xxxxs8)114()104()94()84(11112112111ainjxyxyiijiijxyxxxxainjiijxxyyyyainjiijyyainjaiiiiixytsyyxxetsxxetsyyeanyxnyxyyxxt以上各式的符號：以上各式的符號：s 、t 和和 e 分別表示總的、處理的分別表示總的、處理的誤差的平方和及交叉乘積和。它們之間的關(guān)系可用通誤差的平方和及交叉乘積和。它們之間的關(guān)系可用通式式ste表示。仔細(xì)閱讀并分析以上各式，弄清楚表示。仔細(xì)閱讀并分析以上各式，弄清楚各式的意義，對下面的學(xué)習(xí)是有益的。各式的意義，對下面的學(xué)習(xí)是有益的。 9 協(xié)方差分析的核心協(xié)方差分

10、析的核心，就是通過協(xié)變量調(diào)整反，就是通過協(xié)變量調(diào)整反應(yīng)變量。下面討論如何做這種調(diào)整。在統(tǒng)計模型應(yīng)變量。下面討論如何做這種調(diào)整。在統(tǒng)計模型（41）中，）中， 的估計值為的估計值為c c， 的估計值為的估計值為b *，處理效應(yīng)處理效應(yīng) i 的估計值為的估計值為c cic cb*（c cic c）。）。其中，其中， )124(*xxxyeeb在這個模型中，誤差平方和在這個模型中，誤差平方和sse為：為： )134(2*xxxyyyxyyyeeeeebess具具a(n1)1自由度。自由度。 10實驗誤差均方由下式估計，實驗誤差均方由下式估計， 1) 1(nassmsee若實驗不存在處理效應(yīng)，模型（若實

11、驗不存在處理效應(yīng)，模型（41）將變?yōu)椋海⒆優(yōu)椋?)154(2xxxyyyesssss具具an2自由度，其中自由度，其中s2xysxx是由于是由于y和和x的的回歸所產(chǎn)生的平方和?；貧w所產(chǎn)生的平方和。 11 如果實驗本身存在處理效應(yīng)，但卻按不存如果實驗本身存在處理效應(yīng)，但卻按不存在處理效應(yīng)對待，這時所計算出來的誤差平方在處理效應(yīng)對待，這時所計算出來的誤差平方和和sse要大于按存在處理效應(yīng)計算所得到的誤要大于按存在處理效應(yīng)計算所得到的誤差平方和差平方和sse。兩者的差（兩者的差（ssesse）是由于處是由于處理效應(yīng)理效應(yīng) i 所產(chǎn)生的平方回歸系數(shù)，具所產(chǎn)生的平方回歸系數(shù)，具a1自由自由度?？捎枚取?/p>

12、可用f 檢驗不存在處理效應(yīng)的假設(shè)。檢驗不存在處理效應(yīng)的假設(shè)。)164(1) 1(1nassassssfeee 若若ffa1,a(n1), ，則接受則接受h0： i0；若若ff a1,a(n1), ，則拒絕則拒絕h0： i0。 12將以上結(jié)果列在表將以上結(jié)果列在表41中。中。 表表 41 協(xié)方差分析調(diào)整的方差分析協(xié)方差分析調(diào)整的方差分析 變差來源變差來源 平方平方 和和自自 由由 度度均均 方方f 回歸回歸 處理處理 誤差誤差 s2xysxxssesse(syys2xysxx) (eyye2xyexx)sseeyye2xyexx 1a a(n1)1 (ssesse)(a1) msessea(n1

13、)1 (ssesse)(a-1)mse 總和總和 syyan113 表表41與方差分析表基本上是一致的。所與方差分析表基本上是一致的。所不同的是沒一項平方和都是經(jīng)過調(diào)整的。因此，不同的是沒一項平方和都是經(jīng)過調(diào)整的。因此，協(xié)方差分析又稱為調(diào)整的方差分析協(xié)方差分析又稱為調(diào)整的方差分析。在變差來。在變差來源一列中，總的變差是由具源一列中，總的變差是由具an1自由度的自由度的syy度量的；回歸的變差由具度量的；回歸的變差由具1自由度的平方和自由度的平方和s2xysxx度量。假若不存在協(xié)變量，則度量。假若不存在協(xié)變量，則sxysxxexyexx0。誤差平方和將簡化為誤差平方和將簡化為eyy，處理處理平方

14、和為平方和為syyeyytyy，成為一種方式分組的成為一種方式分組的方差分析。然而由于存在協(xié)變量，我們必須通方差分析。然而由于存在協(xié)變量，我們必須通過過y在在x上的回歸，調(diào)整上的回歸，調(diào)整syy和和eyy（見表見表41）。）。因為在調(diào)整平方和時，用了另一個參量因為在調(diào)整平方和時，用了另一個參量b，所以所以調(diào)整的誤差平方和具調(diào)整的誤差平方和具a(n1)1自由度，而不自由度，而不是是a(n1)自由度。自由度。 14 通常將協(xié)方差分析結(jié)果納成協(xié)方差分析表。通常將協(xié)方差分析結(jié)果納成協(xié)方差分析表。 表表42 具一個協(xié)變量的一種方式分組實驗的協(xié)方差分析表具一個協(xié)變量的一種方式分組實驗的協(xié)方差分析表 變差變

15、差來源來源自由度自由度平方和與平方和與交叉乘積和交叉乘積和因因 回回 歸歸 所所 做做 的的 調(diào)調(diào) 整整xxyyy自由度自由度均均 方方處理處理誤差誤差總和總和a1a(n1)an1txxexxsxxtxyexysxytyyeyysyysseeyye2xyexxssesyys2xysxx a(n1)1an2 msessea(n1)1 調(diào)整調(diào)整的處的處理響理響sse sse a1 (sse sse)(a1) 15 在協(xié)方差分析表中，除列入檢驗假設(shè)所需在協(xié)方差分析表中，除列入檢驗假設(shè)所需要的處理效應(yīng)平方和之外，還列入了全部平方要的處理效應(yīng)平方和之外，還列入了全部平方和及交叉乘積和。協(xié)方差分析的結(jié)果，

16、不論零和及交叉乘積和。協(xié)方差分析的結(jié)果，不論零假設(shè)是否可以接受，都需對處理平方數(shù)假設(shè)是否可以接受，都需對處理平方數(shù)c ci 給予給予解釋。由于解釋。由于c ci 包括處理效應(yīng)和在協(xié)變量上的回包括處理效應(yīng)和在協(xié)變量上的回歸效應(yīng)，因此對平方數(shù)也要做相應(yīng)的調(diào)整。調(diào)歸效應(yīng)，因此對平方數(shù)也要做相應(yīng)的調(diào)整。調(diào)整的方法如下：整的方法如下： )174(, 2 , 1),(*aixxbyyiii調(diào)整的16根據(jù)模型（根據(jù)模型（42），協(xié)方差分析需滿足以下要求：），協(xié)方差分析需滿足以下要求：)184(1:, 2 , 1,)24(*2xxieyixxxyexxnmssaieebi調(diào)整的準(zhǔn)誤差為調(diào)整處理平均水平的標(biāo)值的

17、最小二乘估計中型調(diào)整的處理平均數(shù)是模其中即：各處理的方差應(yīng)具備齊性，它們都是從具有即：各處理的方差應(yīng)具備齊性，它們都是從具有同一方差的正態(tài)總體中的來的；個處理的回歸系同一方差的正態(tài)總體中的來的；個處理的回歸系數(shù)數(shù) i均等于均等于 以及反應(yīng)變量與協(xié)變量之間的回歸以及反應(yīng)變量與協(xié)變量之間的回歸系數(shù)系數(shù) 0。因此，在對一組數(shù)據(jù)做協(xié)方差分析時，因此，在對一組數(shù)據(jù)做協(xié)方差分析時，首先要對以上各個條件做檢驗。只有以上條件得首先要對以上各個條件做檢驗。只有以上條件得到滿足時，才能做協(xié)方差分析。到滿足時，才能做協(xié)方差分析。 17第二節(jié)第二節(jié) 協(xié)方差分析的計算方法協(xié)方差分析的計算方法 例例41 比較三種豬飼料比

18、較三種豬飼料a1，a2，a3對豬增重的對豬增重的影響，測得每頭豬的增重（影響，測得每頭豬的增重（y）和出生重（和出生重（x），），數(shù)據(jù)列在表數(shù)據(jù)列在表43中。問三種飼料對豬增重是否中。問三種飼料對豬增重是否有顯著不同的效果？有顯著不同的效果？ 表表43 不同飼料對豬增重的影響不同飼料對豬增重的影響 a1xy16851383 11 651276 12 80 16 91 14 84 17 90x113.750y181.750a2xy17971690181001895211032210619 9918 94x218.625y298.000a3xy2289249120 8323952510027102

19、3010532110x325.375y396.87518 在這個問題中，若不考慮出生重，則是一在這個問題中，若不考慮出生重，則是一個單因素方差分析的問題；若不同飼料的增重個單因素方差分析的問題；若不同飼料的增重效果沒有顯著差異，則成為增重對出生重的一效果沒有顯著差異，則成為增重對出生重的一元回歸問題。實際上，在研究動物增重問題時，元回歸問題。實際上，在研究動物增重問題時，不同飼料和出生重對增重的影響都要考慮。因不同飼料和出生重對增重的影響都要考慮。因此，在推斷不同飼料的增重效應(yīng)時，為了排除此，在推斷不同飼料的增重效應(yīng)時，為了排除出生重的影響，應(yīng)使用方差分析與回歸分析相出生重的影響，應(yīng)使用方差分

20、析與回歸分析相結(jié)合的方法，即以協(xié)方差分析的方法做推斷。結(jié)合的方法，即以協(xié)方差分析的方法做推斷。 首先檢驗首先檢驗 ij：nid(0,s s2)， i 及及 0是否可是否可以得到滿足。檢驗的方法如下：以得到滿足。檢驗的方法如下： 分別計算三種飼料飼養(yǎng)豬的出生重與增分別計算三種飼料飼養(yǎng)豬的出生重與增重間的回歸系數(shù)重間的回歸系數(shù)bi，并列出回歸方程并列出回歸方程 19332211118. 2141.143232. 2570.54508. 333516xyxyxy 將三組數(shù)據(jù)合并（只需將三組數(shù)據(jù)的平方和將三組數(shù)據(jù)合并（只需將三組數(shù)據(jù)的平方和與交叉乘積合并即可），計算公共的回歸系數(shù)與交叉乘積合并即可），

21、計算公共的回歸系數(shù)b*。 400. 2* b用公共的回歸系數(shù)代替用公共的回歸系數(shù)代替bi，可以得到三條平行的可以得到三條平行的回歸線：回歸線： 332211400. 2975.35400. 2300.53400. 2750.48xyxyxy 20 用每一處理的各自回歸系數(shù)用每一處理的各自回歸系數(shù)bi，計算剩余平方和：計算剩余平方和：471713324202998661321321gggssssss剩余平方和處理剩余平方和處理剩余平方和處理將三組剩余平方和相加，得到組內(nèi)剩余平方和。將三組剩余平方和相加，得到組內(nèi)剩余平方和。 179457471713242099866gess相應(yīng)的自由度為相應(yīng)的自

22、由度為a(n2)18。用公共回歸系數(shù)用公共回歸系數(shù)b*計算三條平行回歸線的剩余平方計算三條平行回歸線的剩余平方和，它們的和就是誤差平方和和，它們的和就是誤差平方和見公式見公式(49)(413)，相應(yīng)的自由度為相應(yīng)的自由度為a(n1)120。615.2272xxxyyyeeeess21 檢驗方差齊性：中已計算出各處理的剩余平檢驗方差齊性：中已計算出各處理的剩余平方和，各具方和，各具8116自由度。各處理的均方自由度。各處理的均方分別為：分別為： 862. 76171.47403. 56420.32644.166866.99321gegegemsmsms檢驗方差齊性的一個簡便方法是用兩個差異最大檢

23、驗方差齊性的一個簡便方法是用兩個差異最大的均方做的均方做f 檢驗。檢驗。 08. 3403. 5644.1621gegemsmsff6,6,0.054.82，ff0.05，可以認(rèn)為各組方差具備可以認(rèn)為各組方差具備齊性。齊性。22 檢驗回歸線是否平行檢驗回歸線是否平行( i )：在中已經(jīng)計算在中已經(jīng)計算出組內(nèi)剩余平方和出組內(nèi)剩余平方和sseg和用公共回歸系數(shù)和用公共回歸系數(shù)b*計算計算得到的誤差平方和得到的誤差平方和sse。sseg完全是由隨機因素完全是由隨機因素造成的：三條回歸線用同一造成的：三條回歸線用同一b*計算出的誤差平計算出的誤差平方和方和sse，包括由于隨機誤差及回歸系數(shù)兩種變包括由

24、于隨機誤差及回歸系數(shù)兩種變差所產(chǎn)生的平方和，因而回歸系數(shù)平方和，差所產(chǎn)生的平方和，因而回歸系數(shù)平方和，)194( geessssss回歸系數(shù)回歸系數(shù)自由度為誤差自由度與組內(nèi)誤差自由度回歸系數(shù)自由度為誤差自由度與組內(nèi)誤差自由度之差，之差， 回歸系數(shù)回歸系數(shù)回歸系數(shù)回歸系數(shù)dfssmsdfdfdfgee)204(23 然后用然后用mseg對對ms回歸系數(shù)回歸系數(shù)最檢驗。若兩者差最檢驗。若兩者差異不顯著，說明由回歸系數(shù)所產(chǎn)生的方差與由異不顯著，說明由回歸系數(shù)所產(chǎn)生的方差與由于隨機因素所引起的方差差別不大，即可證明于隨機因素所引起的方差差別不大，即可證明原來的三條回歸線是平行的。用原來的三條回歸線是平

25、行的。用 f 檢驗，檢驗，)214( gemsmsf回歸系數(shù)代入數(shù)值，代入數(shù)值， 53. 2469. 9079.24079.242158.4821820158. 4459.179615.227fmsdfssssssgee回歸系數(shù)回歸系數(shù)回歸系數(shù)f2,18,0.053.55，ff0.05，因此三條回歸線是平行的。因此三條回歸線是平行的。24 也可以將三條回歸線做圖。從圖上觀察它也可以將三條回歸線做圖。從圖上觀察它們是否近于平行。若接近平行的話，也可以不們是否近于平行。若接近平行的話，也可以不做以上的檢驗。做以上的檢驗。 檢驗回歸是否顯著：利用方差分析做檢驗。方檢驗回歸是否顯著：利用方差分析做檢驗

26、。方差分析表如下：差分析表如下： 表表44 檢驗回歸顯著性的方差分析表檢驗回歸顯著性的方差分析表 變差變差 來源來源 平平 方方 和和 自自 由由 度度均均 方方f 回歸回歸 剩余剩余ssr=e2xy/exx=1010.76sse=eyye2xy/exx=227.615 1a(n1)1=20 msr=ssr=1010.76mse=sse/a(n-1)-1=11.38 f=msr/mse=88.8 總和總和eyy=1238.375a(n-1)=21f1,20,0.01=8.1，ff0.01，回歸是極顯著的。這一步檢驗回歸是極顯著的。這一步檢驗的許多計算，是在協(xié)方差分析過程中得出來的。所以這的許多

27、計算，是在協(xié)方差分析過程中得出來的。所以這一步檢驗也可放在協(xié)方差分析的最后進行。一步檢驗也可放在協(xié)方差分析的最后進行。 25 在大多數(shù)生物學(xué)問題中，以上幾點要求基在大多數(shù)生物學(xué)問題中，以上幾點要求基本上都可以滿足。在實際應(yīng)用時，只要根據(jù)本上都可以滿足。在實際應(yīng)用時，只要根據(jù)bi所所做出的回歸線是否平行。若近于平行，則可不做出的回歸線是否平行。若近于平行，則可不必做繁瑣的檢驗，直接進行以下的分析。必做繁瑣的檢驗，直接進行以下的分析。 將表將表43中的數(shù)據(jù)編碼，每一個中的數(shù)據(jù)編碼，每一個y 都減去都減去90，每一個，每一個x 都減去都減去20，列成表，列成表45 。26表表45 協(xié)方差分析計算表協(xié)

28、方差分析計算表 x1x2x3y1y2y3x1y1x2y2x3y3 -5 -7 -9 -8 -8 -4 -6 -3 -3 -4 -2 -2 1 2 -1 -2 2 4 0 3 5 7 10 12 -5 -7-25-14-10 1 -6 0 7 0 10 5 13 16 9 4 -1 1 -7 5 10 12 15 20 25 49 225 112 80 -4 36 0 -210 -20 -10 13 32 -9 -8 -240 15 50 84 150 240 和和和和和和和和和的平方和的平方xij平方的和平方的和 -502500 344 -11121 43 431849 347 -184470

29、 734 和和和的平方和的平方y(tǒng)ij平方的和平方的和 -6643561032 644096 696 553025 945 5311477 2673 和和523-235411041 27計算下列各值：計算下列各值： 375.1238583.1317958.2555875.659)8)(3()53)(18(8)55)(43()64)(11()66)(50(250.545)8)(3()18(818491212500583.1317)8)(3(538302540964356750.1080)8)(3()53)(18(1041)(500.720)8)(3()18(734958.2555)8)(3(532

30、673312231222312318122318122231812yyyyyyiiixyiixxiiyyijijijxyijijxxijijyytseanyxnyxtanxnxtanynytanyxyxsanxxsanyys28875.420875.659750.1080250.175250.545500.720xyxyxyxxxxxxtsetse由公式（由公式（415）求出：）求出： 833.934500.720750.1080958.255522xxxyyyesssss具具an2(3)(8)222自由度。并由自由度。并由(413)式計式計算出算出615.227250.175875.420375.12382xxxyyyeeeess具具a(n1)13(81)120自由度。自由度。 29 將上述結(jié)果列成協(xié)方差分析表將上述結(jié)果列成協(xié)方差分析表(表表46)。表。表的最后一行，是為了檢驗假設(shè)的最后一行，是為了檢驗假設(shè)h0： i0所計算所計算的平方和，的平方和， 218.707615.227833.934eessss具具a1312自由度。自由度。表表46 協(xié)協(xié) 方方 差差 分分 析析 表表變差來源變差來源