行列式計算方法

1、 行列式的計算是高等代數(shù)中的難點(diǎn)、重點(diǎn)，特別是高階行列式的計算，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，普遍存在很多困難，難于掌握 計算高階行列式的方法很多，但具體到一個題，要針對其特征，選取適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼狻７椒ǚ椒? 1 定義法定義法00020000001999002000000001利用利用n n階行列式的定義計算行列式階行列式的定義計算行列式, ,此法適用于此法適用于0 0比較多的行列式。比較多的行列式。例例1 1 求下列行列式的值求下列行列式的值解解 利用利用n n階行列式的定義階行列式的定義, ,可直接計算其值可直接計算其值！ 方法方法2 2化三角形法化三角形法 化三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行

2、列式或化三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺接嬎愕囊环N方法。這是計算行列式的基本方法對角形行列式計算的一種方法。這是計算行列式的基本方法之一。之一。例例2 2 計算行列式計算行列式42031285251873121d 解解 首先給第首先給第1 1行分別乘行分別乘-7,-5,-3,-7,-5,-3,分別加到第分別加到第2,3,42,3,4行上行上, ,再交換第再交換第2,32,3兩行的位置兩行的位置; ;給第二行分別乘以給第二行分別乘以2,-32,-3后后, ,分別分別加到第加到第3,43,4行上行上; ;最后給第最后給第3 3行乘行乘1 1加到第加到第4 4行即可。行即可

3、。121304219023140615d1213023140421906115 12130231400847008371601000047800143203121 方法方法3 3拆行（列）法拆行（列）法 由行列式拆項性質(zhì)，將已知行列式拆成若干個行列式之和，計算其值，由行列式拆項性質(zhì)，將已知行列式拆成若干個行列式之和，計算其值，再得原行列式值，此法稱為再得原行列式值，此法稱為拆行（列）法拆行（列）法。例例3 3 求解行列式求解行列式解解 按第一列拆開按第一列拆開, ,再提公因子得再提公因子得 33()xyzabyzxzxyd= 再把第個行列式按第列展開，第個行列式按第列展開最終得再把第個行列式按

4、第列展開，第個行列式按第列展開最終得 bzaybyaxbxazbyaxbxazbzaybxazbzaybyaxdbzaybyaxxbyaxbxazzbxazbzayybbzaybyaxzbyaxbxazybxazbzayxad方法方法4 4 降階法降階法 利用行列式按行按列展開定理將高階行列式轉(zhuǎn)化為較低階行列式求解的方法叫做降階法降階法.它可以分為直接降階法和遞推降階法 直接降階法直接降階法用于只需經(jīng)少量幾次降階就可求得行列式值的情況。 遞推降階法遞推降階法用于需經(jīng)多次降階才能求解，并且較低階行列式與原行列式有相同結(jié)構(gòu)的情況。例例4 4 求解下列行列式：求解下列行列式：（1）解解 利用按行按列

5、展開定理把原行列式按第利用按行按列展開定理把原行列式按第1 1列展開列展開降階后的兩個低階行列式都是三角形行列式降階后的兩個低階行列式都是三角形行列式, ,故原行列式的值為故原行列式的值為1( 1)nnnndxy xyyxyxyxdn000000000000yxyxyyxyxyxxdnn0000000) 1(0000000112211000010000000001nnnnxxxdxaaaaax（2）解 把原行列式按第1列展開得112211001000000100( 1)000001001nnnnnxxxdxaxxaaaaxx 降階后的行列式,第1個行列式與原行列式的結(jié)構(gòu)相同,此行列式用n-1表

6、示,而后一個行列式是三角形行列式,則上式可表示為 1nnndaxd 將 代入 中得112nnndaxd111nnnnndaaxa xx2121221xxaaxaaxd把 dn-1 按同樣的方法展開得依次下去，得把 代入 中得221nnnndxxaad22221dxdxxaadnnnnn而 方法方法5 5 升階法（加邊法）升階法（加邊法） 有時為了計算行列式，特意把原行列式加上一行一列再進(jìn)行計算，這有時為了計算行列式，特意把原行列式加上一行一列再進(jìn)行計算，這種計算行列式的方法稱為種計算行列式的方法稱為加邊法加邊法或或升階法升階法。 加邊法加邊法最大的特點(diǎn)最大的特點(diǎn)就是要找每行或每列相同的因子就是

7、要找每行或每列相同的因子, ,那么升階之后那么升階之后, ,就可利用行列式的性質(zhì)把絕大多數(shù)元素化為就可利用行列式的性質(zhì)把絕大多數(shù)元素化為0, 0, 這樣就達(dá)到簡化計算的這樣就達(dá)到簡化計算的效果效果例例 求行列式的值求行列式的值 211 2122 122212111nnnnnnxxxxxx xxx xdx xx xx解 行列式第行列式第1 1列有共同元素列有共同元素1x, ,第第2 2列有共同元素列有共同元素 ,第第 n 列有列有2x共同元素共同元素nx. .根據(jù)這些特點(diǎn)給原行列式加邊得根據(jù)這些特點(diǎn)給原行列式加邊得 1221121221222121010101nnnnnnnxxxxx xx xdxxxxxxxxxx給加邊后的行列式的第給加邊后的行列式的第1 1行乘行乘ix加到第加到第i i行上行上(i=1,2,(i=1,2,n),n)得得2221212121211100010001000100010001nnnnnxxxxxxxxxxdxx = =222121nxxx= =niix121 今天給同學(xué)們介紹