電磁場與電磁波第四章

1、第四章第四章 恒定電流的磁場恒定電流的磁場靜磁場的基本方程安培環(huán)路定律的應用導體的自感和互感恒定磁場的邊界條件靜磁場的能量本章提要本章提要4.1 靜磁場的基本方程由畢奧薩伐定律，可知磁場強度為0r2( )d4vvrj reb（4. 1）第四章第四章 恒定電流的磁場恒定電流的磁場21rrre01( )d4vvr bj r由旋度運算規(guī)則( )11( )( )rrrj rj rj r第四章第四章 恒定電流的磁場恒定電流的磁場4.1 靜磁場的基本方程由0)(rj可得0( )d4vvr j rb（4. 3）假設0( )( )d4vvrj ra r（4. 4）)(rab則（4. 5）)(ra稱為矢量磁位稱

2、為矢量磁位，單位wb/m= 00 ab（4. 7）結結論論磁磁場場是是無無散散場場2 baaa（4. 8）第四章第四章 恒定電流的磁場恒定電流的磁場4.1 靜磁場的基本方程（4. 11）（4. 12）（4. 13）（4. 14）0a2222xxyyzzaaaaeee根據函數(shù)的性質，可得矢量磁位所滿足的方程為20( ) aj r將上式代入式（4. 8），得磁感應強度的旋度為20 baj由此可見，恒定磁場是無散有旋場，磁場的旋度源為電流密度。恒定磁場是無散有旋場，磁場的旋度源為電流密度。利用斯托克斯定理，得安培環(huán)路定律安培環(huán)路定律lid0lb泊松方程第四章第四章 恒定電流的磁場恒定電流的磁場4.1

3、 靜磁場的基本方程（4. 15）式 兩邊同時對任意體積進行體積分，并利用高斯定律得0bsd0sb磁通連續(xù)性原理磁通連續(xù)性原理由于在媒質中有hb根據安培環(huán)路定律，有l(wèi)idlh（4. 16）上式也稱為媒質中的安培環(huán)路定律媒質中的安培環(huán)路定律第四章第四章 恒定電流的磁場恒定電流的磁場4.2 安培環(huán)路定律的應用安培環(huán)路定律闡明了沿一閉合路徑的磁場強度的線積分等于它所包圍的電流，即lidlh此處i為閉合路徑所包圍面積內的凈電流。這個電流可以是任意形狀導體所載的電流，或者是電荷的流動（真空管中的電子束）。靜電學靜磁學高斯定律安培環(huán)路定律安培環(huán)路定律用安培環(huán)路定律求磁場第四章第四章 恒定電流的磁場恒定電流的

4、磁場4.2 安培環(huán)路定律的應用例4.1 一根細而長的導線沿z軸放置，載有電流i。求出自由空間任一點的磁場強度。解解 由于對稱，磁力線必然是同心圓。沿每個圓的磁場強度是恒定值，因此對于任意半徑 ,有202hdhdclh根據安培定律，則有eh2i通過安培定律驗證了畢奧薩伐定律通過安培定律驗證了畢奧薩伐定律xz0i第四章第四章 恒定電流的磁場恒定電流的磁場4.2 安培環(huán)路定律的應用例4.2 一根極長的沿z軸放置的空心導體，其外徑為b，內徑為a，載有沿z軸方向的電流i。若電流是均勻分布的，試求在空間任一點的磁場強度。解解 由于電流為均勻分布，因而任意一點可用體電流密度表示為22()vzibaje（1）

5、 ，h0 a222sa0ddd()viiba js（2） ，半徑為 的閉合圓環(huán)所包圍的凈電流為ba2222)(abai第四章第四章 恒定電流的磁場恒定電流的磁場4.2 安培環(huán)路定律的應用hdc2lh因此由安培環(huán)路定律可得baabaieh22222（3） ， 在此區(qū)域的磁場強度為beh2i第四章第四章 恒定電流的磁場恒定電流的磁場4.3 導體的自感和互感 由法拉第電磁感應定律可知，一載有時變電流的導線回路產生的變化磁場，可在該導線回路和附近的另一導線回路中產生感應電壓。我們稱前 一種現(xiàn)象為自感應，后一種為互感應。假設由細導線分別密繞n1、n2圈形成的兩個導線線圈回路，兩個導線線圈回路中分別載有時

6、變電流i1和i2第四章第四章 恒定電流的磁場恒定電流的磁場4.3 導體的自感和互感對于導線線圈回路l1根據法拉第電磁感應定律得到1slddtddsble s1是以導線線圈回路路徑為邊界的曲面其中右端的積分表示和線圈電流回路相鉸鏈的磁通，稱為磁通鏈，用 表示m111smdsb設通過該線圈截面的磁通為 ，則m1mmn111與導線線圈回路l1中電流鉸鏈是由兩個電流回路的磁場貢獻的，則mmm21111其中 為第一電流回路的作用， 為第二電流回路的作用。1121如果空間的媒質是線性的，則磁鏈 分別與電流i1、i2成正比，即m1221111imilm（4.22）（4.21）（4.19）第四章第四章 恒定電

7、流的磁場恒定電流的磁場4.3 導體的自感和互感定義定義 lk、m jk 分別被稱為導線回路的自感和互感，單位為h（亨利，簡稱亨）kmkkkiljmjkjkim當系統(tǒng)僅有一個導線回路時，只有自感，也稱為電感電感。在線性媒質中，導線回路系統(tǒng)自感和互感的大小取決于導線回路的形狀、匝數(shù)、媒質等，而與導線回路中的電流無關；自感始終是正值；互感可正可負，取決于電流的取向。當在回路曲面上互磁場與原磁場方向一致時，互感為正，否則互感為負。自感和互感特性自感和互感特性第四章第四章 恒定電流的磁場恒定電流的磁場4.3 導體的自感和互感在工程技術和日常生活中，自感現(xiàn)象有廣泛的應用。無線電技術和電工中常用的扼流圈，日

8、光燈上用的鎮(zhèn)流器等，都是利用自感原理控制回路中電流變化的。在許多情況下，自感現(xiàn)象也會帶來危害，在實際應用中應采取措施予以防止。互感在電工和電子技術中應用很廣泛。通過互感線圈可以使能量或信號由一個線圈方便地傳遞到另一個線圈；利用互感現(xiàn)象的原理可制成變壓器、感應圈等。但在有些情況中，互感也有害處。自感和互感的應用自感和互感的應用有線電話串音無軌電車第四章第四章 恒定電流的磁場恒定電流的磁場4.3 導體的自感和互感例例4.3 4.3 計算位于真空中的一無限長直導線與位于同一平面，邊長為 、相距為d的矩形導線回路之間的互感。badi2ab解解 長直導線在矩形回路中產生的磁場為1lidlhzxieh21

9、zxieb210此磁場在矩形回路中的磁鏈為dadbidsmln21012sb互感為11212immdadbln20例題例題1：設雙線傳輸線間的距離為d，兩導線的半徑均為r（dr），求每單位長度的外自感。解：設a和b兩導線中的電流分別為i 和-i,由安培環(huán)路定律lh dli0lb dli011()2ribxdx第四章第四章 恒定電流的磁場恒定電流的磁場與單位長度傳輸線相交鏈的磁通為011()2d rriddxxdxbs0lnidrr0lnidr單位長度的電感0lndlir第四章第四章 恒定電流的磁場恒定電流的磁場例題例題2：求內外半徑分別為a和b的空氣同軸線的單位長度上的自感。 i解：同軸線內部

10、距軸線ra處的磁通密度為：22112rairhdlh2012 airbar birhdl222hrib202總磁鏈為：ablilildrbldrbarbaaln28)(00212021因此，單位長度上的自感為：ablln2800第四章第四章 恒定電流的磁場恒定電流的磁場4.4 恒定磁場的邊界條件假設磁導率分別為 和 的兩種媒質分界面如右圖。為了得到磁場強度的邊界條件，取小閉合回路 ，使分別位于兩媒質中長為 的兩對邊與邊界面平行，且無限靠近，應用安培環(huán)路定律得12lljlhlhstt21得磁場強度的邊界條件sttjhh21（4.28）式中 為分界面上的傳導電流面密度。sj一般情況下，兩種媒質分界

11、面上的傳導電流面密度為零，因此，在兩種媒質分界面上，磁場強度的切向分量連續(xù)。在兩種媒質分界面上，磁場強度的切向分量連續(xù)。tthh21（4.30）第四章第四章 恒定電流的磁場恒定電流的磁場4.4 恒定磁場的邊界條件應用磁通量連續(xù)性原理，可得磁感應強度得邊界條件nnbb21（4.31）即在兩種媒質分界面上，磁感應強度的法向分量連續(xù)。在兩種媒質分界面上，磁感應強度的法向分量連續(xù)。理想導磁體理想導磁體：磁導率為無限大的媒質。在中，磁場與理想導磁體表面垂直。理想導磁體是一種理想的媒質模型，實際中不存在磁導率為無限大的媒質，但是，在一些場合，將磁導率很高的鐵磁物質近似為理想導磁體可以使復雜的問題得以簡化。

12、第四章第四章 恒定電流的磁場恒定電流的磁場例例4.4 已知磁導率為 、帶氣隙的環(huán)形磁芯的氣隙寬度為d，比圓形磁芯材料截面半徑小得多，磁芯上密繞了n匝線圈，如圖所示。當線圈中的電流為i時，求氣隙中的磁感應強度。 解解 忽略磁芯外的漏磁通，磁芯中的磁力線也是與磁芯表面同軸的圓環(huán)。在磁芯的氣隙表面，磁場近似為界面的法向，根據邊界條件，氣隙中的磁感應強度與磁芯中的磁感應強度相等。對磁芯中半徑為r的磁力線圓環(huán)，磁場強度滿足nidllh第四章第四章 恒定電流的磁場恒定電流的磁場在圓環(huán)的磁芯部分，可認為磁場強度相同，為 ；在氣隙部分磁場強度為 ，代入上式得 b0bnidbdrb0)2(由上式得)2(00dr

13、dnib如果將磁芯截面上的磁場近似看成是均勻的，圓環(huán)半徑用平均半徑r0代替，則 )2(000drdnib第四章第四章 恒定電流的磁場恒定電流的磁場如果將磁芯看成理想導磁體，則dnib0例例4.5 一根無限長線電流為 i的導線，平行放于磁導率分別為 和 的兩種媒質的平面邊界附近，如圖所示，求兩種媒質中的磁場。 12（a）（b） （c）第四章第四章 恒定電流的磁場恒定電流的磁場解 空間各點的磁場由線電流和邊界面上的磁化電流產生。采用鏡像法求解，計算的磁場應滿足邊界條件，即，。將線電流在邊界上任一點產生的磁場的關系代入邊界條件，得到線電流與等效鏡像電流和的關系為12tthh1122/ttbb11(

14、sinsin )2nbiir22sin2nbir12()iii11( coscos )2tbiir22cos2tbir第四章第四章 恒定電流的磁場恒定電流的磁場iii12()iiiiii解此方程組得2121ii 1212ii 媒質 和 中的磁感應強度分別為 12121112()2rriiirreebe12212riirebe第四章第四章 恒定電流的磁場恒定電流的磁場122121112112()()2 ()rriirr eebe1212211()riir ebe當媒質 為理想導磁體時，其中得磁感應強度為 21121riirebe第四章第四章 恒定電流的磁場恒定電流的磁場4.5 靜磁場的能量假設在

15、電感為l的導線回路電流增加過程中的某時刻t，導線回路的電流為i。如果在從t到t+dt時間內使電流增加到di，導線回路的磁鏈就增加ldidm回路產生磁感應電動勢mddildtdt 在dt時間內外源就要對導線回路做功()didwuidtidilidtlididt 那么外源對電路做功為2012iwdwlidili第四章第四章 恒定電流的磁場恒定電流的磁場4.5 靜磁場的能量設回路l2的電流i2從0增加到i2，如果在從t到tdt時間內使電流增加di2，兩導線回路中產生感應電動勢為121mddimdtdt 2222mddildtdt 在dt時間內，回路l2的電流增加di2過程中外源所作的功為21 12

16、21122122 22()()dwu i dtu i dti dti dtmi dil i di 兩個載流回路的磁場能量為22221211212121ilimiilwwwm2121kkmki對于n個電流回路的情況，則磁場能量應為nkkmkmiw121（4.34）第四章第四章 恒定電流的磁場恒定電流的磁場4.5 靜磁場的能量體積v中的磁場能量為mmvww dv（4.36）定義定義 221hwm（4.39）例例4.6 計算內外導體半徑分別為a，b的同軸電纜單位長度的電感。解解 假設同軸電纜中的電流為i，如果電流在導線截面上均勻分布，則利用安培環(huán)路定律可以計算出同軸電纜中的磁場分布為2,2,2iaaiaehe第四章第四章 恒定電流的磁場恒定電