1992年考研數(shù)學三真題及答案

1、1992年考研數(shù)學三真題及答案一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分,把答案填在題中橫線上.)(1) 設商品的需求函數(shù)為,其中分別表示為需求量和價格,如果商品需求彈性的絕對值大于1,則商品價格的取值范圍是_.(2) 級數(shù)的收斂域為_.(3) 交換積分次序_.(4) 設為階方陣,為階方陣,且,則_.(5) 將等七個字母隨機地排成一行,那么,恰好排成英文單詞SCIENCE的概率為_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的,把所選項前的字母填在題后的括號內.)(1) 設,其中為連續(xù)函數(shù),則等于 ( )(A) (B) (C) 0

2、(D) 不存在(2) 當時,下面四個無窮小量中,哪一個是比其他三個更高階的無窮小量? ( )(A) (B) (C) (D) (3) 設為矩陣,齊次線性方程組僅有零解的充分條件是 ( )(A) 的列向量線性無關 (B) 的列向量線性相關(C) 的行向量線性無關 (D) 的行向量線性相關(4) 設當事件與同時發(fā)生時,事件必發(fā)生,則 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 設個隨機變量獨立同分布,則 ( )(A) 是的無偏估計量 (B) 是的最大似然估計量(C) 是的相合估計量(即一致估計量) (D) 與相互獨立三、(本題滿分5分)設函數(shù)問函數(shù)在處是否連續(xù)?若不連續(xù),修改函數(shù)在處的定義使之連續(xù)

3、.四、(本題滿分5分)計算五、(本題滿分5分)設,求,其中有二階偏導數(shù).六、(本題滿分5分)求連續(xù)函數(shù),使它滿足.七、(本題滿分6分)求證:當時,.八、(本題滿分9分)設曲線方程.(1) 把曲線,軸,軸和直線所圍成平面圖形繞軸旋轉一周,得一旋轉體,求此旋轉體體積;求滿足的.(2) 在此曲線上找一點,使過該點的切線與兩個坐標軸所夾平面圖形的面積最大,并求出該面積.九、(本題滿分7分)設矩陣與相似,其中.(1) 求和的值.(2) 求可逆矩陣,使得.十、(本題滿分6分)已知三階矩陣,且的每一個列向量都是以下方程組的解:(1) 求的值; (2) 證明.十一、(本題滿分6分)設分別為階正定矩陣,試判定分

4、塊矩陣是否是正定矩陣.十二、(本題滿分7分)假設測量的隨機誤差,試求100次獨立重復測量中,至少有三次測量誤差的絕對值大于19.6的概率,并利用泊松分布求出的近似值(要求小數(shù)點后取兩位有效數(shù)字).附表1 2 3 4 5 6 7 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 十三、(本題滿分5分)一臺設備由三大部分構成,在設備運轉中各部件需要調整的概率相應為0.10,0.20和0.30.假設各部件的狀態(tài)相互獨立,以表示同時需要調整的部件數(shù),試求的數(shù)學期望和方差.十四、(本題滿分4分)設二維隨機變量的概率密度為(1) 求隨機變量的密度; (2) 求概率.答案一

5、、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】根據(jù),得價格,又由得,按照經(jīng)濟學需求彈性的定義,有,令,解得.所以商品價格的取值范圍是.(2)【答案】因題設的冪級數(shù)是缺項冪級數(shù),故可直接用比值判別法討論其收斂性.首先當即時級數(shù)收斂.當時,后項比前項取絕對值求極限有當,即當或時級數(shù)絕對收斂.又當和時得正項級數(shù),由級數(shù)：當時收斂；當時發(fā)散.所以正項級數(shù)是發(fā)散的.綜合可得級數(shù)的收斂域是.注：本題也可作換元后,按如下通常求收斂半徑的辦法討論冪級數(shù)的收斂性. (3)【答案】這是一個二重積分的累次積分,改換積分次序時,先表成：原式由累次積分的內外層積分限確定積分區(qū)域：, 即中最低點的縱坐標

6、,最高點的縱坐標,的左邊界的方程是,即的右支,的右邊界的方程是即的右半圓,從而畫出的圖形如圖中的陰影部分,從圖形可見,且所以(4)【答案】由拉普拉斯展開式, .(5)【答案】按古典概型求出基本事件總數(shù)和有利的基本事件即可. 設所求概率為,易見,這是一個古典型概率的計算問題,將給出的七個字母任意排成一行,其全部的等可能排法為7!種,即基本事件總數(shù)為,而有利于事件的樣本點數(shù)為,即有利事件的基本事件數(shù)為4,根據(jù)古典概型公式.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】(B)(2)【答案】(D)(3)【答案】(A)(4)【答案】(B)(5)【答案】(C)三、(本題滿分5分)函數(shù)在

7、處連續(xù),則要求.方法1:利用洛必達法則求極限,因為為“”型的極限未定式,又分子分母在點處導數(shù)都存在,所以連續(xù)應用兩次洛必達法則,有 .而,故,所以在處不連續(xù).若令,則函數(shù)在處連續(xù).方法2:利用變量代換與等價無窮小代換,時,；.求極限,令,則有 .以下同方法1.四、(本題滿分5分)用分部積分法:, 其中為任意常數(shù).注：分部積分法的關鍵是要選好誰先進入積分號的問題,如果選擇不當可能引起更繁雜的計算,最后甚至算不出結果來.在做題的時候應該好好總結,積累經(jīng)驗.五、(本題滿分5分)這是帶抽象函數(shù)記號的復合函數(shù)的二階混合偏導數(shù),重要的是要分清函數(shù)是如何復合的.由于混合偏導數(shù)在連續(xù)條件下與求導次序無關,所以

8、本題可以先求,再求.由復合函數(shù)求導法,首先求,由題設 ,再對求偏導數(shù),即得 .六、(本題滿分5分)兩端對求導,得.記,有通解,其中為任意常數(shù).由原方程易見,代入求得參數(shù).從而所求函數(shù).七、(本題滿分6分)方法1：令,則.因為在連續(xù),所以在上為常數(shù),因為常數(shù)的導數(shù)恒為0.故,即. 方法2：令,則在上連續(xù),在內可導,由拉格朗日中值定理知,至少存在一點,使得由復合函數(shù)求導法則,得 ,所以.由可得,當時,.八、(本題滿分9分)對于問題(1),先利用定積分求旋轉體的公式求,并求出極限.問題(2)是導數(shù)在求最值中的應用,首先建立目標函數(shù),即面積函數(shù),然后求最大值.(1)將曲線表成是的函數(shù),套用旋轉體體積公

9、式.由題設知,得.(2) 過曲線上已知點的切線方程為,其中當存在時, .設切點為,則切線方程為.令,得,令,得.由三角形面積計算公式,有切線與兩個坐標軸夾的面積為.因令得(舍去).由于當時,；當時,.故當時,面積有極大值,此問題中即為最大值.故所求切點是,最大面積為 .九、(本題滿分7分)因為,故可用相似矩陣的性質建立方程組來求解參數(shù)和的值.若,則是的特征向量.求可逆矩陣就是求的特征向量.(1) 因為,故其特征多項式相同,即即.由于是的多項式,由的任意性,令,得. 令,得.由上兩式解出與.(2) 由(1)知.因為恰好是對角陣,所以馬上可得出矩陣的特征值,矩陣的特征值是.當時,由,得到屬于特征值

10、的特征向量. 當時,由,得到屬于特征值的特征向量.當時,由,.得到屬于特征值的特征向量.那么令,有.十、(本題滿分6分)對于條件應當有兩個思路：一是的列向量是齊次方程組的解；另一個是秩的信息即.要有這兩種思考問題的意識.(1) 方法1：令,對3階矩陣,由,知必有,否則可逆,從而,這與矛盾. 故,用行列式的等價變換,將第三列加到第二列上,再按第二列展開,有.解出.方法2：因為,故中至少有一個非零列向量.依題意,所給齊次方程組有非零解,得系數(shù)矩陣的列向量組線性相關,于是,以下同方法一.(2) 反證法：對于,若,則可逆,那么.與已知條件矛盾.故假設不成立,.十一、(本題滿分6分)在證明一個矩陣是正定

11、矩陣時,不要忘記驗證該矩陣是對稱的.方法1：定義法.因為均為正定矩陣,由正定矩陣的性質,故,那么,即是對稱矩陣.設維列向量,其中,若,則不同時為0,不妨設,因為是正定矩陣,所以.又因為是正定矩陣,故對任意的維向量,恒有.于是,即是正定二次型,因此是正定矩陣.方法2：用正定的充分必要條件是特征值大于0,這是證明正定時很常用的一種方法.因為均為正定矩陣,由正定矩陣的性質,故,那么,即是對稱矩陣.設的特征值是的特征值是由均正定,知.因為于是,矩陣的特征值為因為的特征值全大于0,所以矩陣正定.十二、(本題滿分7分)設事件“每次測量中測量誤差的絕對值大于19.6”,因為 ,即.根據(jù)正態(tài)分布的性質則有：.

12、設為100次獨立重復測量中事件出現(xiàn)的次數(shù),則服從參數(shù)為的二項分布.根據(jù)二項分布的定義,則至少有三次測量誤差的絕對值大于19.6的概率為：.根據(jù)泊松定理,對于成功率為的重伯努利試驗,只要獨立重復試驗的次數(shù)充分大,而相當小(一般要求),則其成功次數(shù)可以認為近似服從參數(shù)為的泊松分布,具體應用模式為若,則當充分大,相當小時當近似服從參數(shù)為的泊松分布,即 .設為100次獨立重復測量中事件出現(xiàn)的次數(shù),則服從參數(shù)為的二項分布.故.十三、(本題滿分5分)令隨機變量.依題意相互獨立,且分別服從參數(shù)為0.1,0.2,0.3的分布,即01 0.90.1 010.80.2010.70.3由題意知,顯然的所有可能取值為0,1,2,3,又相互獨立, 所以(1) , .由得出 因此的概率分布為01230.5040.39