1996年考研數(shù)學三真題及答案

1、1996年考研數(shù)學三真題及答案一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)(1) 設(shè)方程確定是的函數(shù),則_. (2) 設(shè),則_.(3) 設(shè)是拋物線上的一點,若在該點的切線過原點,則系數(shù)應(yīng)滿足的關(guān)系是_. (4) 設(shè),其中.則線性方程組的解是_.(5) 設(shè)由來自正態(tài)總體容量為9的簡單隨機樣本,得樣本均值,則未知參數(shù)的置信度為0.95的置信區(qū)間為_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1) 累次積分可以寫成 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 下述各選項正確的是

2、 ( )(A) 若和都收斂,則收斂(B) 收斂,則與都收斂(C) 若正項級數(shù)發(fā)散,則(D) 若級數(shù)收斂,且,則級數(shù)也收斂(3) 設(shè)階矩陣非奇異(),是矩陣的伴隨矩陣,則 ( )(A) (B) (C) (D) (4) 設(shè)有任意兩個維向量組和,若存在兩組不全為零的數(shù) 和,使,則( )(A) 和都線性相關(guān)(B) 和都線性無關(guān)(C) 線性無關(guān)(D) 線性相關(guān)(5) 已知且,則下列選項成立的是( )(A) (B) (C) (D) 三、(本題滿分6分)設(shè)其中有二階連續(xù)導數(shù),且.(1)求；(2)討論在上的連續(xù)性.四、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù),方程確定是的函數(shù),其中可微；,連續(xù),且.求.五、(本題滿分6分)計算

3、.六、(本題滿分5分)設(shè)在區(qū)間上可微,且滿足條件.試證:存在使七、(本題滿分6分)設(shè)某種商品的單價為時,售出的商品數(shù)量可以表示成,其中均為正數(shù),且.(1) 求在何范圍變化時,使相應(yīng)銷售額增加或減少.(2) 要使銷售額最大,商品單價應(yīng)取何值?最大銷售額是多少?八、(本題滿分6分)求微分方程的通解.九、(本題滿分8分)設(shè)矩陣.(1) 已知的一個特征值為3,試求；(2) 求矩陣,使為對角矩陣.十、(本題滿分8分)設(shè)向量是齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系,向量不是方程組的解,即.試證明:向量組線性無關(guān).十一、(本題滿分7分)假設(shè)一部機器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2,機器發(fā)生故障時全天停止工作,若一周5個

4、工作日里無故障,可獲利潤10萬元；發(fā)生一次故障仍可獲得利潤5萬元；發(fā)生兩次故障所獲利潤0元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元.求一周內(nèi)期望利潤是多少?十二、(本題滿分6分)考慮一元二次方程,其中分別是將一枚色子(骰子)接連擲兩次先后出現(xiàn)的點數(shù).求該方程有實根的概率和有重根的概率.十三、(本題滿分6分)假設(shè)是來自總體X的簡單隨機樣本；已知.證明：當充分大時,隨機變量近似服從正態(tài)分布,并指出其分布參數(shù).答案一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分,把答案填在題中橫線上.)(1)【答案】(2)【答案】(3)【答案】(或),任意(4)【答案】(5)【答案】二、選擇題(本題共5小題,每小題3

5、分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)【答案】(D)(2)【答案】(A)(5)【答案】(B)三、(本題滿分6分)【解析】(1) 由于有二階連續(xù)導數(shù),故當時,也具有二階連續(xù)導數(shù),此時,可直接計算,且連續(xù)；當時,需用導數(shù)的定義求.當時, 當時,由導數(shù)定義及洛必達法則,有.所以 (2) 在點的連續(xù)性要用定義來判定.因為在處,有.而在處是連續(xù)函數(shù),所以在上為連續(xù)函數(shù).四、(本題滿分6分)【解析】由可得.在方程兩邊分別對求偏導數(shù),得所以 .于是 .五、(本題滿分6分)【分析】題的被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)兩類不同的函數(shù)相乘,應(yīng)該用分部積分

6、法.【解析】方法1:因為 所以 而 ,故原式.方法2: 六、(本題滿分5分)【分析】由結(jié)論可知,若令,則.因此,只需證明在內(nèi)某一區(qū)間上滿足羅爾定理的條件.【解析】令,由積分中值定理可知,存在,使,由已知條件,有于是且在上可導,故由羅爾定理可知,存在使得即七、(本題滿分6分)【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性的判定,如果在的某個區(qū)間上導函數(shù),則函數(shù)單調(diào)遞增,反之遞減.【解析】(1)設(shè)售出商品的銷售額為,則令得 .當時,所以隨單價的增加,相應(yīng)銷售額也將增加.當時,有,所以隨單價的增加,相應(yīng)銷售額將減少.(2)由(1)可知,當時,銷售額取得最大值,最大銷售額為.八、(本題滿分6分)【解析】令,則.當時,原方程

7、化為,即,其通解為 或 .代回原變量,得通解.當時,原方程的解與時相同,理由如下:令,于是,而且.從而有通解,即.綜合得,方程的通解為.注：由于未給定自變量的取值范圍,因而在本題求解過程中,引入新未知函數(shù)后得,從而,應(yīng)當分別對和求解,在類似的問題中,這一點應(yīng)當牢記.九、(本題滿分8分)【分析】本題的(1)是考查特征值的基本概念,而(2)是把實對稱矩陣合同于對角矩陣的問題轉(zhuǎn)化成二次型求標準形的問題,用二次型的理論與方法來處理矩陣中的問題.【解析】(1)因為是的特征值,故所以.(2)由于,要,而是對稱矩陣,故可構(gòu)造二次型,將其化為標準形.即有與合同.亦即.方法一：配方法.由于 那么,令即經(jīng)坐標變換

8、有 .所以,取 ,有 .方法二：正交變換法.二次型對應(yīng)的矩陣為,其特征多項式.的特征值.由,即,和,即,分別求得對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量,和的特征向量.對用施密特正交化方法得,再將單位化為,其中：.取正交矩陣,則 ,即 .十、(本題滿分8分)【解析】證法1： (定義法)若有一組數(shù)使得 (1)則因是的解,知,用左乘上式的兩邊,有. (2)由于,故. 對(1)重新分組為. (3) 把(2)代入(3)得 .由于是基礎(chǔ)解系,它們線性無關(guān),故必有.代入(2)式得:.因此向量組線性無關(guān).證法2： (用秩)經(jīng)初等變換向量組的秩不變.把第一列的-1倍分別加至其余各列,有因此 由于是基礎(chǔ)解系,它們是線性無關(guān)的,秩

9、,又必不能由線性表出(否則),故.所以 即向量組線性無關(guān).十一、(本題滿分7分)【解析】設(shè)一周5個工作日內(nèi)發(fā)生故障的天數(shù)為,則服從二項分布即.由二項分布的概率計算公式,有設(shè)一周內(nèi)所獲利潤(萬元),則是的函數(shù),且由離散型隨機變量數(shù)學期望計算公式,.而在處是連續(xù)函數(shù),所以在上為連續(xù)函數(shù).四、(本題滿分6分)【解析】由可得.在方程兩邊分別對求偏導數(shù),得所以 .于是 .五、(本題滿分6分)【分析】題的被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)兩類不同的函數(shù)相乘,應(yīng)該用分部積分法.【解析】方法1:因為 所以 而 ,故原式.方法2: 六、(本題滿分5分)【分析】由結(jié)論可知,若令,則.因此,只需證明在內(nèi)某一區(qū)間上滿足羅爾定

10、理的條件.【解析】令,由積分中值定理可知,存在,使,由已知條件,有于是且在上可導,故由羅爾定理可知,存在使得即七、(本題滿分6分)【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性的判定,如果在的某個區(qū)間上導函數(shù),則函數(shù)單調(diào)遞增,反之遞減.【解析】(1)設(shè)售出商品的銷售額為,則令得 .當時,所以隨單價的增加,相應(yīng)銷售額也將增加.當時,有,所以隨單價的增加,相應(yīng)銷售額將減少.(2)由(1)可知,當時,銷售額取得最大值,最大銷售額為.八、(本題滿分6分)【解析】令,則.當時,原方程化為,即,其通解為 或 .代回原變量,得通解.當時,原方程的解與時相同,理由如下:令,于是,而且.從而有通解,即.綜合得,方程的通解為.注：由于

11、未給定自變量的取值范圍,因而在本題求解過程中,引入新未知函數(shù)后得,從而,應(yīng)當分別對和求解,在類似的問題中,這一點應(yīng)當牢記.九、(本題滿分8分)【分析】本題的(1)是考查特征值的基本概念,而(2)是把實對稱矩陣合同于對角矩陣的問題轉(zhuǎn)化成二次型求標準形的問題,用二次型的理論與方法來處理矩陣中的問題.【解析】(1)因為是的特征值,故所以.(2)由于,要,而是對稱矩陣,故可構(gòu)造二次型,將其化為標準形.即有與合同.亦即.方法一：配方法.由于 那么,令即經(jīng)坐標變換有 .所以,取 ,有 .方法二：正交變換法.二次型對應(yīng)的矩陣為,其特征多項式.的特征值.由,即,和,即,分別求得對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量,和的特征

12、向量.對用施密特正交化方法得,再將單位化為,其中：.取正交矩陣,則 ,即 .十、(本題滿分8分)【解析】證法1： (定義法)若有一組數(shù)使得 (1)則因是的解,知,用左乘上式的兩邊,有. (2)由于,故. 對(1)重新分組為. (3) 把(2)代入(3)得 .由于是基礎(chǔ)解系,它們線性無關(guān),故必有.代入(2)式得:.因此向量組線性無關(guān).證法2： (用秩)經(jīng)初等變換向量組的秩不變.把第一列的-1倍分別加至其余各列,有因此 由于是基礎(chǔ)解系,它們是線性無關(guān)的,秩,又必不能由線性表出(否則),故.所以 即向量組線性無關(guān).十一、(本題滿分7分)【解析】設(shè)一周5個工作日內(nèi)發(fā)生故障的天數(shù)為,則服從二項分布即.由二項分布的概率計算公式,有設(shè)一周內(nèi)所獲利潤(萬元),則是的函數(shù),且由離散型隨機變量數(shù)學期望計算公式,(萬元).十二、(本題滿分6分)【解析】一枚色子(骰子)接連擲兩次,其樣本空間中樣本點總數(shù)為36.設(shè)事件“方程有實根”,“方程有重根”,則.用列舉法求有利于的樣本點個數(shù)(),具體做法見下表:有利于的意思就是使不等式盡可能