工程電磁場(chǎng)-第1章 靜電場(chǎng)

1、電場(chǎng)電場(chǎng)：電荷的周?chē)嬖谡咭环N特殊的物質(zhì)，它對(duì)引入其中的電荷的周?chē)嬖谡咭环N特殊的物質(zhì)，它對(duì)引入其中的電荷有一種力的作用，這種物質(zhì)稱(chēng)做電場(chǎng)。電荷有一種力的作用，這種物質(zhì)稱(chēng)做電場(chǎng)。靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)：相對(duì)與觀(guān)察者為靜止的、且電荷不隨時(shí)間的變化而相對(duì)與觀(guān)察者為靜止的、且電荷不隨時(shí)間的變化而變化。變化。研究的意義研究的意義：實(shí)際許多問(wèn)題可以歸結(jié)為靜電場(chǎng)問(wèn)題，如電力實(shí)際許多問(wèn)題可以歸結(jié)為靜電場(chǎng)問(wèn)題，如電力設(shè)備的絕緣、電容的計(jì)算、防雷設(shè)計(jì)。設(shè)備的絕緣、電容的計(jì)算、防雷設(shè)計(jì)。基本物理量基本物理量：電場(chǎng)強(qiáng)度、電位。：電場(chǎng)強(qiáng)度、電位。1 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)1.2 1.2 高斯定理高斯定理1.3 1.3 靜電場(chǎng)基本方程，分

2、界面上銜接的條件靜電場(chǎng)基本方程，分界面上銜接的條件1.4 1.4 靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題 ， 唯一性定理唯一性定理1.1 1.1 電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度 、電位、電位1.5 1.5 鏡像法和電軸法鏡像法和電軸法間接解電磁場(chǎng)問(wèn)題方法間接解電磁場(chǎng)問(wèn)題方法1.8 1.8 導(dǎo)引，數(shù)值計(jì)算方法，有限差分法導(dǎo)引，數(shù)值計(jì)算方法，有限差分法1.6 1.6 電容和部分電容電容和部分電容1.7 1.7 靜電能量與力靜電能量與力總結(jié)總結(jié)1 1 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)1.1 電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度 、電位、電位1.1.1 庫(kù)侖庫(kù)侖(Coulomb)定律定律1.1.2 靜電場(chǎng)基本物理量靜電場(chǎng)基本物理量電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度1.1.3 靜電場(chǎng)

3、環(huán)路定律靜電場(chǎng)環(huán)路定律1.1.4 電位電位(Potential)1.1.5 電力線(xiàn)與等位線(xiàn)（面）電力線(xiàn)與等位線(xiàn)（面） 靜電現(xiàn)象的基本實(shí)驗(yàn)定律。靜電現(xiàn)象的基本實(shí)驗(yàn)定律。1785年，法國(guó)科學(xué)家?guī)靵霭l(fā)現(xiàn)。描述的是無(wú)年，法國(guó)科學(xué)家?guī)靵霭l(fā)現(xiàn)。描述的是無(wú)限大真空中兩個(gè)點(diǎn)電荷相互作用力的一個(gè)定律。限大真空中兩個(gè)點(diǎn)電荷相互作用力的一個(gè)定律。 定律指出：兩個(gè)無(wú)限大真空中點(diǎn)電荷定律指出：兩個(gè)無(wú)限大真空中點(diǎn)電荷“同性相排斥，異性相吸同性相排斥，異性相吸”，作用，作用力的大小與兩個(gè)點(diǎn)電荷的乘積成正比，與二者之間距離的平方成反比。力的大小與兩個(gè)點(diǎn)電荷的乘積成正比，與二者之間距離的平方成反比。212021214RqqeF

4、221021124RqqeF1221FF，真空介電常數(shù))F/m(1085. 81201.1.1 庫(kù)侖庫(kù)侖(Coulomb)定律定律 ),(),(lim0tqqzyxzyxtF FE電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度 : 單位正電荷在電場(chǎng)中所受到的電場(chǎng)力力單位正電荷在電場(chǎng)中所受到的電場(chǎng)力力(F )。(1) 點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度r20tpr4qq)(eFrE44)(2020rrrrrrrqRqRpeE E304)(qrrrr1.1.2 靜電場(chǎng)基本物理量靜電場(chǎng)基本物理量電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度(Electric Field Intensity)(3) 連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度)

5、(dq41)(30rrrrrrdEkN1k2kk0kkN1k2kk0Rq41q41)(errrrrrrE體電荷分布體電荷分布dV)(dqrdq41)(V30rrrrrERvRdVe20) (41r面電荷分布面電荷分布R s20Rds)(41)(errE) (dsdqr線(xiàn)電荷分布線(xiàn)電荷分布Rl20Rdl)(41)(errE) (dldqr(2) n個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度例例 真空中有長(zhǎng)為真空中有長(zhǎng)為L(zhǎng) L的均勻帶電直導(dǎo)線(xiàn)的均勻帶電直導(dǎo)線(xiàn) , , 電荷線(xiàn)密度為電荷線(xiàn)密度為,試求試求P 點(diǎn)的電場(chǎng)。點(diǎn)的電場(chǎng)。解解: : 令令y軸經(jīng)過(guò)場(chǎng)點(diǎn)軸經(jīng)過(guò)場(chǎng)點(diǎn)p, ,導(dǎo)線(xiàn)與導(dǎo)線(xiàn)與x軸重合。軸重

6、合。)yx(4dx)y,x(dE22odEyxxdE22xdEyxydE22y)11(4)(4222221222221yLyLdxyxxyxEoLLox)(4)(422112222222221yLLyLLydxyxyyxEoLLoy,21時(shí)當(dāng)LLxxyypEE)y(eeE( (直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)) )yye02zzEEE)z ,(eeeE( ( 圓柱坐標(biāo)圓柱坐標(biāo)) )e02點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷304q)(rrrrrE304q)(rrrrrE矢量恒等式矢量恒等式FFFCCC)(1)(1333rrrrrrrrrrrr直接微分直接微分:0)(rr0) (3) (153rrrrrrrrrr0)r(E電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)

7、強(qiáng)度E 的旋度等于零。的旋度等于零。1.1.3 靜電場(chǎng)環(huán)路定律靜電場(chǎng)環(huán)路定律提示：提示：叉乘叉乘結(jié)論適用于點(diǎn)電荷群和連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)，即任一分結(jié)論適用于點(diǎn)電荷群和連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)，即任一分布形式的靜電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)的旋度恒等于零布形式的靜電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)的旋度恒等于零靜電場(chǎng)是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)靜電場(chǎng)是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)。0E 靜電場(chǎng)的環(huán)路定律靜電場(chǎng)的環(huán)路定律 在靜電場(chǎng)中在靜電場(chǎng)中, ,電場(chǎng)強(qiáng)度沿著閉合回路的環(huán)量恒等于電場(chǎng)強(qiáng)度沿著閉合回路的環(huán)量恒等于零。零。 電場(chǎng)力作功與路徑無(wú)關(guān)電場(chǎng)力作功與路徑無(wú)關(guān), ,靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)。靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)。sldd0ElES)( ld0lE0E 二者等價(jià)。二者等價(jià)。E304

8、q)(rrrrrE(2) 電位的求解電位的求解31rrrrrr)r(4q)(0rrrEC4q)r(0rr0E 0在靜電場(chǎng)中，任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度在靜電場(chǎng)中，任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的方向總是沿著電位減小最快方向，的方向總是沿著電位減小最快方向，其大小等于電位的最大變化率。其大小等于電位的最大變化率。(1) 電位的引入電位的引入1.1.4 電位電位(Potential)作業(yè)：作業(yè)：P13,113Cq41)r(N1iii0rr點(diǎn)電荷群點(diǎn)電荷群,41)(0Cdqrvrr連續(xù)分布電荷連續(xù)分布電荷dldSdVdq , ,00E ？ ( )( )0E 0 ？ ( )( ) 根據(jù)根據(jù) E 與與 的微分關(guān)系，試問(wèn)靜

9、電場(chǎng)中的某一點(diǎn)的微分關(guān)系，試問(wèn)靜電場(chǎng)中的某一點(diǎn)E E 與與 的積分關(guān)系的積分關(guān)系llEdd00)()(0PPPPdPPdlEddzzdyydxx設(shè)設(shè)P0為參考點(diǎn)為參考點(diǎn)參考點(diǎn)PdPlE)(例如：點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)：例如：點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)：Cr4q000rC0rr4q00C表達(dá)式無(wú)意義表達(dá)式無(wú)意義0RrR4qr4q00R4qC0 電荷分布在有限區(qū)域時(shí)，選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)；電荷分布在有限區(qū)域時(shí)，選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)； 電荷分布在無(wú)窮遠(yuǎn)區(qū)時(shí)，選擇有限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)。電荷分布在無(wú)窮遠(yuǎn)區(qū)時(shí)，選擇有限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)。 場(chǎng)中任意兩點(diǎn)的電位差與參考點(diǎn)無(wú)關(guān)。場(chǎng)中任意兩點(diǎn)的電位差與參考點(diǎn)無(wú)關(guān)。 同一個(gè)物理問(wèn)題，只能選

10、取一個(gè)參考點(diǎn)。同一個(gè)物理問(wèn)題，只能選取一個(gè)參考點(diǎn)。 選擇參考點(diǎn)盡可能使電位表達(dá)式比較簡(jiǎn)單，且要有意義。選擇參考點(diǎn)盡可能使電位表達(dá)式比較簡(jiǎn)單，且要有意義。電位參考點(diǎn)的選擇原則電位參考點(diǎn)的選擇原則E 線(xiàn)：曲線(xiàn)上每一點(diǎn)切線(xiàn)方向應(yīng)與該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度線(xiàn)：曲線(xiàn)上每一點(diǎn)切線(xiàn)方向應(yīng)與該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度E的方向一致。若的方向一致。若dl是電力線(xiàn)的是電力線(xiàn)的長(zhǎng)度元，長(zhǎng)度元，E 矢量將與矢量將與dl方向一致，方向一致，0dlEzyxEdzEdyEdx當(dāng)取不同的當(dāng)取不同的 C 值時(shí)，可得到不同的等位線(xiàn)（面）。等位線(xiàn)（面）與值時(shí)，可得到不同的等位線(xiàn)（面）。等位線(xiàn)（面）與E線(xiàn)正交。線(xiàn)正交。在靜電場(chǎng)中電位相等的點(diǎn)的曲面稱(chēng)為等位面在靜

11、電場(chǎng)中電位相等的點(diǎn)的曲面稱(chēng)為等位面C)z ,y,x(1) 電力線(xiàn)電力線(xiàn)(2) 等位面等位面(線(xiàn)線(xiàn)) 相鄰兩等位面之間的電位差應(yīng)相等，這樣才能表示出電場(chǎng)的強(qiáng)弱。等位面愈相鄰兩等位面之間的電位差應(yīng)相等，這樣才能表示出電場(chǎng)的強(qiáng)弱。等位面愈密處，場(chǎng)強(qiáng)愈大。密處，場(chǎng)強(qiáng)愈大。1.1.5 電力線(xiàn)與等位線(xiàn)（面）電力線(xiàn)與等位線(xiàn)（面） E線(xiàn)不能相交線(xiàn)不能相交; ; E線(xiàn)愈密處，場(chǎng)強(qiáng)愈大線(xiàn)愈密處，場(chǎng)強(qiáng)愈大; ; E線(xiàn)起始于正電荷，終止于負(fù)電荷。線(xiàn)起始于正電荷，終止于負(fù)電荷。電偶極子的等位線(xiàn)和電力線(xiàn)電偶極子的等位線(xiàn)和電力線(xiàn) 點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體的電場(chǎng)點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體的電場(chǎng) 點(diǎn)電荷與不接地導(dǎo)體的電場(chǎng)點(diǎn)電荷與不接地導(dǎo)體的電場(chǎng)

12、 均勻場(chǎng)中放進(jìn)了導(dǎo)體球的電場(chǎng)均勻場(chǎng)中放進(jìn)了導(dǎo)體球的電場(chǎng) 點(diǎn)電荷位于一塊導(dǎo)平面上方的電場(chǎng)點(diǎn)電荷位于一塊導(dǎo)平面上方的電場(chǎng)1.2.2 靜電場(chǎng)中的電介質(zhì)靜電場(chǎng)中的電介質(zhì)1.2.3 真空中的高斯定律真空中的高斯定律1.2.4 電介質(zhì)存在時(shí)的高斯定律電介質(zhì)存在時(shí)的高斯定律1.2.1 靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體1.2.5 高斯定律的應(yīng)用高斯定律的應(yīng)用作業(yè)：作業(yè)： P19:1-2-3; P67:1-3,1-71. 2 高斯定理高斯定理1.2.1 靜電場(chǎng)中的靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體導(dǎo)體電場(chǎng)強(qiáng)度垂直于導(dǎo)體表面；電場(chǎng)強(qiáng)度垂直于導(dǎo)體表面； 導(dǎo)體是等位體，導(dǎo)體表面為等位面；導(dǎo)體是等位體，導(dǎo)體表面為等位面； 導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度導(dǎo)體內(nèi)

13、電場(chǎng)強(qiáng)度E為零；為零； 電荷分布在導(dǎo)體表面，且電荷分布在導(dǎo)體表面，且。0E 任何導(dǎo)體，只要它們帶電量不變，則其電位是不變的。任何導(dǎo)體，只要它們帶電量不變，則其電位是不變的。 （ ） 一導(dǎo)體的電位為零，則該導(dǎo)體不帶電。一導(dǎo)體的電位為零，則該導(dǎo)體不帶電。 （ ） 接地導(dǎo)體都不帶電。（接地導(dǎo)體都不帶電。（ ） 其中含有大量的自由電子，在電其中含有大量的自由電子，在電場(chǎng)作用下，可以自由移動(dòng)。場(chǎng)作用下，可以自由移動(dòng)。電介質(zhì)電介質(zhì)：廣義指所有電工材料，但一般指：廣義指所有電工材料，但一般指絕緣體絕緣體(Insulated)(Insulated)。絕緣體絕緣體：其中的自由電子被束縛：其中的自由電子被束縛(

14、(束縛電荷束縛電荷) )，電場(chǎng)作用下帶電粒，電場(chǎng)作用下帶電粒作微小移動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)，但不能離開(kāi)分子。作微小移動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)，但不能離開(kāi)分子。1) 1) 均勻：媒質(zhì)特性不隨空間坐標(biāo)均勻：媒質(zhì)特性不隨空間坐標(biāo)（x,y,z）而變化；而變化；2) 2) 線(xiàn)性：媒質(zhì)的特性不隨電場(chǎng)量值而變化；線(xiàn)性：媒質(zhì)的特性不隨電場(chǎng)量值而變化；3) 3) 各向同性：媒質(zhì)的特性不隨電場(chǎng)的方向而改變各向同性：媒質(zhì)的特性不隨電場(chǎng)的方向而改變, ,反之稱(chēng)為各向異性。反之稱(chēng)為各向異性。1.2.2 靜電場(chǎng)中的靜電場(chǎng)中的電介質(zhì)電介質(zhì) (Dielectric)無(wú)極性分子極性分子 電介質(zhì)在外電場(chǎng)E作用下發(fā)生極化，形成有向排列的電偶極矩。表示電介質(zhì)的極

15、化程度,極化強(qiáng)度P P ：V0VpPlimzqd ep 電偶極子電偶極矩 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在各向同性、線(xiàn)性、均勻介質(zhì)中在各向同性、線(xiàn)性、均勻介質(zhì)中EP0ePp極化電荷體密度極化電荷體密度npeP 極化電荷面密度極化電荷面密度(1) (1) 二者共同作用在真空中產(chǎn)生的電位二者共同作用在真空中產(chǎn)生的電位: :) (41) (41)(00dSRdVRrSpVprr(2) (2) 兩部分極化電荷的總和兩部分極化電荷的總和0dSdVVSnePP電介質(zhì)的極化電介質(zhì)的極化率率,無(wú)量綱量。無(wú)量綱量。0202044qdSrqdSrqdrreeSE多個(gè)點(diǎn)電荷、分布電荷存在時(shí)：多個(gè)點(diǎn)電荷、分布電荷存在時(shí)

16、：0dqqdkSESEdE稱(chēng)作稱(chēng)作E通量通量1.2.3 真空中的高斯定律真空中的高斯定律0PqqdSE極化電荷極化電荷:SPPddVdVqPP0SPSEddVd自由電荷）()(0qdSPE1.2.4 有電介質(zhì)存在時(shí)的高斯定律有電介質(zhì)存在時(shí)的高斯定律定義定義電位移矢量電位移矢量（ DisplacementDisplacement）PED0EEEEEPED00000)1 (rqddSSD高斯通量定理高斯通量定理D1.2.5 高斯定律的應(yīng)用高斯定律的應(yīng)用（1） 比較真空和介質(zhì)存在時(shí)：比較真空和介質(zhì)存在時(shí)：0qdSSE0rSqdSE結(jié)論：對(duì)無(wú)限大介質(zhì)均勻和真空比較，結(jié)論：對(duì)無(wú)限大介質(zhì)均勻和真空比較，E

17、小了小了 r倍；或真空中倍；或真空中所有公式的所有公式的 0 0 換為換為即可。即可。(2) 求解具有對(duì)稱(chēng)場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度求解具有對(duì)稱(chēng)場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度1 1）選擇適當(dāng)?shù)拈]合面作為高斯面，使）選擇適當(dāng)?shù)拈]合面作為高斯面，使 容易積分。容易積分。 SD d2) 在高斯面上在高斯面上D的數(shù)值為常數(shù)，可以提在積分號(hào)外。的數(shù)值為常數(shù)，可以提在積分號(hào)外。3) 一般對(duì)稱(chēng)面：球面、無(wú)限大平面、無(wú)限長(zhǎng)線(xiàn)、無(wú)限長(zhǎng)一般對(duì)稱(chēng)面：球面、無(wú)限大平面、無(wú)限長(zhǎng)線(xiàn)、無(wú)限長(zhǎng) 圓柱分布的電場(chǎng)。圓柱分布的電場(chǎng)。 球?qū)ΨQ(chēng)分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等。 軸對(duì)稱(chēng)分布：包括無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電的直線(xiàn)，圓柱面，圓柱殼等。試問(wèn)： 能否選取正

18、方形的高斯面求解球?qū)ΨQ(chēng)場(chǎng)( (a a) )( (b b) )( (c c) )例例 求電荷線(xiàn)密度為求電荷線(xiàn)密度為 的無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電體的電場(chǎng)。的無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電體的電場(chǎng)。解：電場(chǎng)分布特點(diǎn)：解：電場(chǎng)分布特點(diǎn)： D 線(xiàn)皆垂直于導(dǎo)線(xiàn)，呈輻射狀態(tài)；線(xiàn)皆垂直于導(dǎo)線(xiàn)，呈輻射狀態(tài)； 等等 r 處處D 值相等；值相等；取取長(zhǎng)為長(zhǎng)為L(zhǎng) L，半徑為，半徑為 r r 的封閉圓柱面為高斯面。的封閉圓柱面為高斯面。,qdSSD由由 得得LrL2D1rr2eD1r0eDEr2011122SS33S2211SddddSDSDSDSDL1.3 靜電場(chǎng)的基本方程靜電場(chǎng)的基本方程 分界面上的銜接條件分界面上的銜接條件1.3.1 靜電

19、場(chǎng)的基本方程靜電場(chǎng)的基本方程1.3.2 分界面上的銜接條件分界面上的銜接條件作業(yè)：作業(yè)： P24: 1-3-3zyxzyxAAAzyxeeeAzxyyzxxyzyAxAxAzAzAyAeee)()()(0 例例 已知已知 它能否表示個(gè)靜電場(chǎng)？它能否表示個(gè)靜電場(chǎng)？，zyxz5y4x3eeeA對(duì)應(yīng)靜電場(chǎng)的基本方程對(duì)應(yīng)靜電場(chǎng)的基本方程 ，矢量，矢量 A 可以表示一個(gè)靜電場(chǎng)?？梢员硎疽粋€(gè)靜電場(chǎng)。0E 能否根據(jù)矢量場(chǎng)的散度來(lái)判斷該矢量場(chǎng)是否是靜電場(chǎng)能否根據(jù)矢量場(chǎng)的散度來(lái)判斷該矢量場(chǎng)是否是靜電場(chǎng)? ?E ED D0 ED D0dllEqdSSD1.3.1 靜電場(chǎng)的基本方程靜電場(chǎng)的基本方程微分：微分：積分：

20、積分：輔助方程：輔助方程：1.3.2 分界面上的銜接條件分界面上的銜接條件(1) (1) 電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度E的銜接條件的銜接條件 在電介質(zhì)分界面上應(yīng)用環(huán)路定律在電介質(zhì)分界面上應(yīng)用環(huán)路定律 以點(diǎn)以點(diǎn)P P 作為觀(guān)察點(diǎn)，作一小矩形作為觀(guān)察點(diǎn)，作一小矩形回路（回路（ ）。）。 很小12,0ll0lElE1t21t1t 1t2EE結(jié)論：分界面兩側(cè)結(jié)論：分界面兩側(cè) E 的切向分量連續(xù)。的切向分量連續(xù)。0dllE根據(jù)根據(jù) 則有則有 以分界面上點(diǎn)P作為觀(guān)察點(diǎn)，作一小扁圓柱高斯面（ ）。 0L n1n2DD結(jié)論：分界面兩側(cè)的 D 的法向分量不連續(xù)。 當(dāng) 時(shí)，D 的法向分量連續(xù)。0SSDSDn2n1則有qdSD

21、 根據(jù) 在電介質(zhì)分界面上應(yīng)用高斯定律(2) 位移D D的銜接條件（1）導(dǎo)體表面是一等位面，電力線(xiàn)與導(dǎo)體表面垂直，電場(chǎng)僅有法向分量；（2）導(dǎo)體表面上任一點(diǎn)的D 就等于該點(diǎn)的自由電荷密度 。當(dāng)分界面為導(dǎo)體與電介質(zhì)的交界面時(shí)，分界面上的銜接條件為： 0EDt2n2t2t 1n1n2EEDD導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面在交界面上不存在 時(shí)，E、D滿(mǎn)足折射定律。222111n2n1cosEcosEDD2211t2t 1sinEsinEEE2121tantan折射定律分界面上E線(xiàn)的折射0)2dE2dE(limdlimn2n10d212121lE21因此因此表明表明: : 在介質(zhì)分界面上，電位是連續(xù)的。在介質(zhì)分界面上

22、，電位是連續(xù)的。(3) (3) 用電位函數(shù)用電位函數(shù) 表示分界面上的銜接條件表示分界面上的銜接條件 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)1 1與點(diǎn)與點(diǎn)2 2分別位于分界面的兩側(cè)，其間分別位于分界面的兩側(cè)，其間距為距為d d， , ,則則0d nED,nED22n22n211n11n1nn2211表明表明: : 一般情況下一般情況下 , ,電位的導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的。電位的導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的。)0(電位的銜接條件電位的銜接條件對(duì)于導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面，用電位對(duì)于導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面，用電位 表示的銜接條件應(yīng)是如何呢？表示的銜接條件應(yīng)是如何呢？解：忽略邊緣效應(yīng)xeE1221021ddUxeE1221012ddUx1121e EExe2

23、2110SSq2211EE02211UdEdE圖（a）02211qSS2211圖（b）例 如圖(a)與圖(b)所示平行板電容器,已知 和 ,圖(a)已知極板間 電壓U0 , 圖(b)已知極板上總電荷 ,試分別求其中的電場(chǎng)強(qiáng)度。12121,S,S,d,d20q（a）（b）1.4.1 泊松(Poisson)方程與拉普拉斯(Laplace)方程1.4.2 靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題1.4.3 靜電場(chǎng)的唯一性定理作業(yè)：P29: 1-4-21.4 靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題 唯一性定理唯一性定理基本出發(fā)點(diǎn): 靜電場(chǎng)的基本方程2泊松方程E0EED常數(shù) DEEE特別注意：泊松方程與拉普拉斯方程只適用于各向同性、線(xiàn)性

24、的均勻媒質(zhì)。:002拉普拉斯方程1.4.1 泊松泊松(Poisson)方程與拉普拉斯方程與拉普拉斯(Laplace)方程方程三個(gè)不同媒質(zhì)區(qū)域的靜電場(chǎng)0022123332例 列出求解區(qū)域的微分方程 參考點(diǎn)電位 有限值rrlim一、二類(lèi)邊界條件的線(xiàn)性組合，即)()(sfn3S已知場(chǎng)域邊界上各點(diǎn)電位的法向?qū)?shù))( sfn2S已知場(chǎng)域邊界上各點(diǎn)電位值)(sf1S第一類(lèi)第一類(lèi)邊界條件邊界條件第二類(lèi)第二類(lèi)邊界條件邊界條件第三類(lèi)第三類(lèi)邊界條件邊界條件022自然自然邊界條件邊界條件場(chǎng)域場(chǎng)域邊界條件邊界條件分界面分界面銜接條件銜接條件nn221121邊值問(wèn)題微分方程邊界條件1.4.2 靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題例例 長(zhǎng)直

25、同軸電纜橫截面。纜芯截面是一邊長(zhǎng)為長(zhǎng)直同軸電纜橫截面。纜芯截面是一邊長(zhǎng)為2b的正方形，鉛的正方形，鉛皮半徑為皮半徑為a，內(nèi)外導(dǎo)體之間電介質(zhì)的介電常數(shù)為，內(nèi)外導(dǎo)體之間電介質(zhì)的介電常數(shù)為，在兩導(dǎo)體之，在兩導(dǎo)體之間接有電源間接有電源 U U0 0，寫(xiě)出該電纜中靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題。，寫(xiě)出該電纜中靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題。 解：根據(jù)場(chǎng)分布對(duì)稱(chēng)性，確定場(chǎng)域。解：根據(jù)場(chǎng)分布對(duì)稱(chēng)性，確定場(chǎng)域。0yx22222（陰影區(qū)域）（陰影區(qū)域）0bx0byby0bxU),(及00y0 xayx222),(0 xayb0 x),(0yaxb0y),(同軸電纜同軸電纜( (有示意圖有示意圖) )012212drdrdrdr1)()0

26、(ar0drdrdrdr122222)()(ra邊界條件:43221021CrC)r(Cr1C6r)r( 例 設(shè)有電荷均勻分布在半徑為a的介質(zhì)球型區(qū)域中，電荷體密度為 ，試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位及電場(chǎng)。解: 采用球坐標(biāo)系,分區(qū)域建立方程ar2ar1ar20ar10rr有限值0r1參考點(diǎn)電位0r2體電荷分布的球形域電場(chǎng) 解得 032023413aC2aC0C0C,電場(chǎng)強(qiáng)度（球坐標(biāo)梯度公式）：ar03rrr0r111eerE)(rar3arr202r22eerE)(2電位：rar3arar0ra36r0322201)()()(2) 唯一性定理的重要意義 可判斷靜電場(chǎng)問(wèn)題的解的正確性：

27、 唯一性定理為靜電場(chǎng)問(wèn)題的多種解法(試探解、數(shù)值解、解析解等）提供了思 路及理論根據(jù)。)(,)(,TheoremUniquness定理稱(chēng)之為靜電場(chǎng)的唯一性的解是唯一的拉斯方程泊松方程或拉普位微分方程滿(mǎn)足給定邊界條件的電在靜電場(chǎng)中(1) 證明方法：反證法(課外閱讀)例 利用唯一性定理判定點(diǎn)電荷偏心位于金屬球殼內(nèi)，場(chǎng)分布 特點(diǎn)？1.4.3 唯一性定理唯一性定理(再做一遍作業(yè))1.5.1 鏡像法邊值問(wèn)題（上）：(1)點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大平面導(dǎo)體的鏡像上半場(chǎng)域邊值問(wèn)題：（導(dǎo)板及無(wú)窮遠(yuǎn)處）（除 q 所在點(diǎn)外的區(qū)域）（S 為包圍 q 的閉合面）s2qd00SD0r4qr4q0002（除 q 所在點(diǎn)外的區(qū)域）(導(dǎo)

28、板及無(wú)窮遠(yuǎn)處） （S 為包圍q 的閉合面）sqdSD 鏡像法: 用虛設(shè)的電荷(鏡像電荷，虛擬電荷)分布等效替代 媒質(zhì)分界面上復(fù)雜電荷分布,虛設(shè)電荷的個(gè)數(shù)、大 小與位置使場(chǎng)的解答滿(mǎn)足唯一性定理。特別警示：有效區(qū)域的問(wèn)題。虛擬電荷(鏡像電荷)是唯一嗎？課外閱讀及作業(yè)： 一種數(shù)值計(jì)算方法 模擬電荷法（Charge Simulation Method）介紹 (10%，四周后交)參考： 盛劍霓. 電磁場(chǎng)數(shù)值分析M. 北京：科學(xué)出版社，1984.（方向指向地面）整個(gè)地面上感應(yīng)電荷的總量為EEEpcos20pr4q2E 23220 xh2qh/)(2322p0pxh2qhE/)(xdxxhqhdSSp2)(

29、202/32202122xh1qh/)(q例 求空氣中一個(gè)點(diǎn)電荷+q在地面引起的感應(yīng)電荷分布情況。解: 設(shè)點(diǎn)電荷 離地面高度為h，則q點(diǎn)電荷在地面引起的感應(yīng)電荷的分布(2)點(diǎn)電荷對(duì)導(dǎo)體球面鏡像設(shè)在點(diǎn)電荷附近有一接地導(dǎo)體球，求導(dǎo)體球外空間的電位及電場(chǎng)分布。1) 邊值問(wèn)題：（除q點(diǎn)外的導(dǎo)體球外空間)000r2導(dǎo)球面0r4qr4q2010pcoscosRb2RbrRd2Rdr2222210bqdqR2RdqRbq22222222cos)()()(0bqdq0RdqRbq22222222)()(qdRqdbqdRb2球面上任一點(diǎn)電位為位于球內(nèi)設(shè)鏡像電荷,q2)由疊加原理，接地導(dǎo)體球外任一點(diǎn)P的電位與電

30、場(chǎng)分別為2010pr4qr4q)(210r1dRr14q21r220r210Pdr4qRr4qeeE點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球附近的場(chǎng)圖 鏡像電荷不能放在當(dāng)前求解的場(chǎng)域內(nèi)。鏡像電荷等于負(fù)的感應(yīng)電荷接地導(dǎo)體球外的電場(chǎng)計(jì)算 在接地球的基礎(chǔ)上判斷鏡像電荷的個(gè)數(shù)、大小與位置解: 邊值問(wèn)題：( 除 q 點(diǎn)外的導(dǎo)體球外空間）0d000Ssr2SD常數(shù)球面 ( S 為球面面積 )例 試計(jì)算不接地金屬球附近放置一點(diǎn)電荷q時(shí)的電場(chǎng)分布。 任一點(diǎn)電位及電場(chǎng)強(qiáng)度為：)()(210210drRdrRr14qrqrqrq41)(21r22r21r20drRdrRr14qeeeEq qd dp pr rr r1 1r r2 2

31、+ + q q - - q q R Ro ob b感應(yīng)電荷分布及球?qū)ΨQ(chēng)性，在球內(nèi)有兩個(gè)等效電荷。S,0dSD正負(fù)鏡像電荷絕對(duì)值相等。0,constS正鏡像電荷只能位于球心。點(diǎn)電荷位于不接地導(dǎo)體球附近的場(chǎng)圖試確定用鏡像法求解下列問(wèn)題時(shí)，其鏡像電荷的個(gè)數(shù)，大小與位置?點(diǎn)電荷對(duì)導(dǎo)體球面的鏡像（3）點(diǎn)電荷對(duì)不同介質(zhì)分界面的鏡像ttEE21nnDD21邊值問(wèn)題：012022(下半空間)(除 q點(diǎn)外的上半空間) qqqqqq211sin sinsincos coscos2r24q2r14q2r14q2r24q2r14q2r14qq q2121q2 q212和 中的電場(chǎng)是由 決定，其有效區(qū)在下半空間， 是等

32、效替代自由電荷與極化電荷的作用。 2 q qq2qqqqq1221221 即點(diǎn)電荷位于不同介質(zhì)平面上方的場(chǎng)圖 中的電場(chǎng)是由 與 共同產(chǎn)生，其有效區(qū)在上半空間， 是等效替代極化電荷的影響。 q qq1 為求解圖示 與 區(qū)域的電場(chǎng)，試確定鏡像電荷的個(gè)數(shù)、大小與位置。12作業(yè)：P46, 1-7-1,1-7-3,1-7-41.5.2 電軸法邊值問(wèn)題： （導(dǎo)線(xiàn)以外的空間）02Sd電荷分布不均勻常數(shù)導(dǎo)體,ASDSd電荷分布不均勻常數(shù)導(dǎo)體,BSD長(zhǎng)直平行圓柱導(dǎo)體傳輸線(xiàn)能否用高斯定理求解？(1) 待解決問(wèn)題 (2) 兩根細(xì)導(dǎo)線(xiàn)產(chǎn)生的電場(chǎng)Cln2Cln2Cln2d212021P2202110Q011以y軸為參考

33、點(diǎn), C=0, 則 22220120Pybxybx22)()(lnln當(dāng)K取不同數(shù)值時(shí),就得到一族偏心圓。常數(shù)令：P22222Kybxybx)()(hh兩根細(xì)導(dǎo)線(xiàn)的電場(chǎng)計(jì)算pbbyxo2a、h、b三者之間的關(guān)系滿(mǎn)足 222222222hb1K1Kb1KbK2ba)()(2222221KbK2yb1K1Kx)()(等位線(xiàn)方程為：1KbK2a,0, )b1K1K( h222 圓心坐標(biāo)圓半徑(3) 電軸法實(shí)施例 試求圖示兩帶電長(zhǎng)直平行圓柱導(dǎo)體傳輸線(xiàn)的電場(chǎng)及電位分布。22ahb:,)a確定電軸位置建立坐標(biāo)系120p210Pln2)11(2)b21eeE:位圓柱導(dǎo)線(xiàn)間的電場(chǎng)與電( 以 軸為電位為參考點(diǎn)

34、)y 用置于電軸上的等效線(xiàn)電荷,來(lái)代替圓柱導(dǎo)體面上分布電荷,從而求得電場(chǎng)的方法,稱(chēng)為電軸法。解： 平行圓柱導(dǎo)體傳輸線(xiàn)電場(chǎng)的計(jì)算根據(jù) 及E線(xiàn)的微分方程 ， 得E線(xiàn)方程為 xyEEdxdy4Kb2Kyx212212)(E兩細(xì)導(dǎo)線(xiàn)的場(chǎng)圖 例 已知兩根不同半徑,相互平行,軸線(xiàn)距離為d 的帶電長(zhǎng)直圓柱導(dǎo)體。試決定電軸位置。21212222221212hhdh ,h , bahbahb確定解:注意：1）參考電位的位置；2）適用區(qū)域。例 試確定圖示偏心電纜的電軸位置。21122222222121h ,h ,bdhhbahbah 解：確定不同半徑傳輸線(xiàn)的電軸位置偏心電纜電軸位置 例 已知一對(duì)半徑為a,相距為d

35、的長(zhǎng)直圓柱導(dǎo)體傳輸線(xiàn)之間電壓為 ，試求圓柱導(dǎo)體間電位的分布。 0U)()(ln)()(lnahbahb2ahbahb2U000)()(lnahbahb2U200:UBA0解出由22a2db)(解得hhdahb222:解a) 確定電軸的位置120ln2120ln)()(ln2ahbahbUPc) 任一點(diǎn)電位b) 計(jì)算線(xiàn)電荷密度作業(yè)：P68,1-14, 1-16 (1) 鏡像法（電軸法）的理論基礎(chǔ)是靜電場(chǎng)唯一性定理；(2) 鏡像法（電軸法）的實(shí)質(zhì)是用虛設(shè)的鏡像電荷（電軸）替代未知電荷的分布，使計(jì)算場(chǎng)域?yàn)闊o(wú)限大均勻介質(zhì)；(3) 鏡像法（電軸法）的關(guān)鍵是確定鏡像電荷（電軸）的個(gè)數(shù)（根數(shù)），大小及位置

36、(4) 應(yīng)用鏡像法（電軸法）解題時(shí)，注意：鏡像電荷（電軸）只能放在待求場(chǎng)域以外的區(qū)域。疊加時(shí)，要注意場(chǎng)的適用區(qū)域。鏡像法（電軸法）小結(jié)鏡像法（電軸法）小結(jié)1.6.1 1.6.1 單、雙電極系統(tǒng)的電容單、雙電極系統(tǒng)的電容(Capacitance)(Capacitance)計(jì)算方法：計(jì)算方法：;) 1 (UQCdUQlEEUQC 電容：意義意義: (1) 架起電路、電磁場(chǎng)兩個(gè)學(xué)科的橋梁架起電路、電磁場(chǎng)兩個(gè)學(xué)科的橋梁; (2) 電路可以用電路可以用R、L、C網(wǎng)絡(luò)來(lái)描述。網(wǎng)絡(luò)來(lái)描述。;)2(UQCdQUSDDE與兩導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置、與兩導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置、導(dǎo)體間的介質(zhì)有關(guān)，與帶電情況

37、無(wú)關(guān)。導(dǎo)體間的介質(zhì)有關(guān)，與帶電情況無(wú)關(guān)。(3) (3) 解解Poisson,Laplace方程。方程。球形電容器rrqeE204ababqbaqEdrUba004)11(4abab4UqC0aC04,b(孤立導(dǎo)體球的電容)1.6.21.6.2 多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容 0iq(2) 靜電獨(dú)立系統(tǒng)E線(xiàn)從這個(gè)系統(tǒng)中的帶電體發(fā)出，并 終止于該系統(tǒng)中的其余帶電體，與外界無(wú)任何聯(lián)系，即(1) 線(xiàn)性、多導(dǎo)體(三個(gè)以上導(dǎo)體)組成的系統(tǒng)；前提：三導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)（n+1) )個(gè)多導(dǎo)體系統(tǒng)只有個(gè)多導(dǎo)體系統(tǒng)只有n n個(gè)電位線(xiàn)性獨(dú)立方程個(gè)電位線(xiàn)性獨(dú)立方程nnnknknnnnknkkkkkknnkkq

38、qqqqqqqqqqq22112211112121111q 矩陣： 自有電位系數(shù) 互有電位系數(shù)q1電位系數(shù)矩陣靜電感應(yīng)系數(shù)矩陣nnnknknnnnknkkkkkknnkkqqq22112211112121111)()(2211kkkkkqkknkkkk)(21)(nkknknknkkkkkkUCUCUCUC002211knkkCCC,21, 互有部分電容；0kC，自有部分電容）。，部分電容矩陣nnnknkCCCCC11靜電場(chǎng)的應(yīng)用靜電場(chǎng)的應(yīng)用 絕緣子電場(chǎng)分布； 避雷器電位分布； 分壓器電位分布； 變壓器線(xiàn)圈沖擊電壓分布。(1) 絕緣子電場(chǎng)分布絕緣子電場(chǎng)分布傘裙金具金具芯棒圖1 絕緣子外形示意圖

39、2 絕緣子ANSYS模型剖面圖絕緣子本體(圖1)有限空氣區(qū)域無(wú)限空氣區(qū)域無(wú)限空氣區(qū)域200, 35kV低壓端及 遠(yuǎn)處，高壓端邊值問(wèn)題：(V)電位分布電場(chǎng)強(qiáng)度分布01002003004005006000510152025303540 12沿軸線(xiàn)高度/mm具有故障時(shí)沿軸線(xiàn)電位分布1-沿中軸線(xiàn)；2-沿外護(hù)套表面電場(chǎng)強(qiáng)度/kVmm-1(V)短路金屬棒(絲)短路金屬棒(絲)(a) 電位(b) 電場(chǎng)強(qiáng)度接地端附近的絕緣子表面具有短路金屬棒(V/m)(a) 上部(b) 下部(c) 中部(d) 全部(V)不同部位傘裙脫落后的電位分布(2) 避雷器電位分布避雷器電位分布高壓端均壓環(huán)1均壓環(huán)2均壓環(huán)3均壓環(huán)4均壓

40、環(huán)5均壓環(huán)6低壓端(地面)置于地面的避雷器模型等效金屬塔母線(xiàn)避雷器(a) 3D靜電場(chǎng)模型(b) 3D靜電場(chǎng)有限元模型空氣前后對(duì)稱(chēng)(V)置于地面時(shí)整個(gè)場(chǎng)域的電位分布均壓環(huán)4均壓環(huán)5均壓環(huán)6低壓端加均壓環(huán)時(shí)等位面分布50100150200-60-40-200204060閥片電壓偏差10線(xiàn)10線(xiàn)閥片序號(hào)低部(高壓端)高部(低壓端)電壓偏差(%)500kV電阻分壓器無(wú)損傳輸線(xiàn)RdLd來(lái)波nn-1m0Cn0Cm0CmnCn -1,nCsCsCsRsRsRsLsLsLs等效電路C0n1(3) 分壓器分壓器 計(jì)算的階躍波響應(yīng)實(shí)測(cè)的階躍波響應(yīng)(3) 電纜繞組變壓器電纜繞組變壓器1.7 靜電能量與力靜電能量與力

41、1.7.1 1.7.1 帶電體系統(tǒng)中的靜電能量帶電體系統(tǒng)中的靜電能量1.7.2 1.7.2 靜電能量的分布及能量密度靜電能量的分布及能量密度1.7.3 1.7.3 靜電力靜電力作業(yè)：作業(yè)：1-9-51.7.1 1.7.1 帶電體系統(tǒng)中的靜電能量帶電體系統(tǒng)中的靜電能量靜電能量是在電場(chǎng)的建立過(guò)程中，由外力作功轉(zhuǎn)化而來(lái)的。靜電能量是在電場(chǎng)的建立過(guò)程中，由外力作功轉(zhuǎn)化而來(lái)的。假設(shè)假設(shè): (1): (1) 電荷系統(tǒng)中的介質(zhì)是線(xiàn)性的電荷系統(tǒng)中的介質(zhì)是線(xiàn)性的；(3) (3) 電場(chǎng)的建立與充電過(guò)程無(wú)關(guān)電場(chǎng)的建立與充電過(guò)程無(wú)關(guān), ,導(dǎo)體上電荷與電位的最終值為導(dǎo)體上電荷與電位的最終值為q q, , 在充電過(guò)程中，

42、在充電過(guò)程中，q q與與 的增長(zhǎng)比例為的增長(zhǎng)比例為 m m, , 。10m(2) (2) 建立電場(chǎng)過(guò)程緩慢（忽略動(dòng)能與能量輻射）。建立電場(chǎng)過(guò)程緩慢（忽略動(dòng)能與能量輻射）。(1) (1) 體電荷體電荷: :VedV21WVVedVdVzyxzyxmdmdVdmmdqW21),(),( )(10SedSW21LedlW21n1KKKeq21W (2) (2) 面電荷面電荷: :(3) (3) 線(xiàn)電荷線(xiàn)電荷: :(4) (4) 帶電導(dǎo)體帶電導(dǎo)體: :任何時(shí)刻帶電體任何時(shí)刻帶電體電荷增加的比例電荷增加的比例1.7.2 1.7.2 靜電能量的分布及能量密度靜電能量的分布及能量密度VSedSdVW2121

43、VSddVSDD2121VVeedVwdVWED21靜電能量靜電能量推導(dǎo)能量密度用圖推導(dǎo)能量密度用圖ED21we能量密度能量密度結(jié)論：結(jié)論：凡是凡是E E不為零的空間都儲(chǔ)存著靜電能量不為零的空間都儲(chǔ)存著靜電能量。DDD)(例例 試求真空中體電荷密度為試求真空中體電荷密度為 ，半徑為，半徑為a的介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電能量。的介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電能量。dVE21EdVD21WV20Ve)drr4r9adrr49r(212a420622a020220arr3aar3r2030Ear)3ra(2arr3a22003drr43ra221dV21W2a022V02e)(520154a520a154)(122rrrr

44、0ar ar 021rr21ar 0r0r有限有限，應(yīng)用高斯定理，得應(yīng)用高斯定理，得 解法一解法一由微分方程法得電位函數(shù)為由微分方程法得電位函數(shù)為解法二解法二1.7.3 1.7.3 靜電力靜電力 虛位移法虛位移法(2) (2) 虛位移法虛位移法 ( Virtual Displacement ( Virtual Displacement Method )Method )虛位移法是基于虛功原理計(jì)算靜電力的方法。虛位移法是基于虛功原理計(jì)算靜電力的方法。廣義坐標(biāo)：距離、面積、體積、角度。廣義坐標(biāo)：距離、面積、體積、角度。廣義力：企圖改變廣義坐標(biāo)的力。廣義力的正方向?yàn)閺V義坐標(biāo)增加的方向。廣義力：企圖改變

45、廣義坐標(biāo)的力。廣義力的正方向?yàn)閺V義坐標(biāo)增加的方向。 廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo) 距距 離離 面面 積積 體體 積積 角角 度度 廣義力廣義力 機(jī)械力機(jī)械力 表面張力表面張力 壓強(qiáng)壓強(qiáng) 轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)矩 （單位）（單位） （N N） （N/mN/m） （N/mN/m2 2） NmNm廣義力廣義力廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)= =功功(1) (1) 電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度E E的定義求靜電力的定義求靜電力EfqdqdEf dqEf常電荷系統(tǒng)（常電荷系統(tǒng)（K K打開(kāi)）：打開(kāi)）：fdgdW0eedWfdg 結(jié)論：結(jié)論： 它表示取消外源后，電場(chǎng)力做功必須靠減少電場(chǎng)中靜電它表示取消外源后，電場(chǎng)力做功必須靠減少電場(chǎng)中靜電能量來(lái)實(shí)現(xiàn)。能量來(lái)實(shí)現(xiàn)

46、。.constqekgWf 設(shè)設(shè)( (n+1) )個(gè)導(dǎo)體組成的系統(tǒng)個(gè)導(dǎo)體組成的系統(tǒng), ,只有只有P P號(hào)導(dǎo)體發(fā)號(hào)導(dǎo)體發(fā)生位移生位移 ，此時(shí)系統(tǒng)中帶電體的電壓或電荷將，此時(shí)系統(tǒng)中帶電體的電壓或電荷將發(fā)生變化，其功能關(guān)系為發(fā)生變化，其功能關(guān)系為dgkkedqfdgdWdW外源提供能量外源提供能量靜電能量增量靜電能量增量= =+ + 電場(chǎng)力所作功電場(chǎng)力所作功)( ),(表示與電位無(wú)關(guān)qWWee常電位系統(tǒng)（常電位系統(tǒng)（K K合上）：合上）：kkdqdW,21fdgdqdqkkkk外源提供能量的增量外源提供能量的增量靜電能量的增量靜電能量的增量kkegdq21Wd結(jié)論：外源提供的能量有一半用于靜電能量的

47、增量，另一半用結(jié)論：外源提供的能量有一半用于靜電能量的增量，另一半用于電場(chǎng)力做功。于電場(chǎng)力做功。.constekgWfedWfdg )( ),(表示與電荷無(wú)關(guān)qqWWee 上述兩個(gè)公式所得結(jié)果是相等的上述兩個(gè)公式所得結(jié)果是相等的consteconstqekkgWgWf例例 試求圖示平行板電容器的各極板電場(chǎng)總力。試求圖示平行板電容器的各極板電場(chǎng)總力。22221)()(2121UdSSddUdVEWe 兩個(gè)公式所求得的廣義力是代數(shù)量?jī)蓚€(gè)公式所求得的廣義力是代數(shù)量 。還需根據(jù)。還需根據(jù)“”號(hào)判斷其方向。號(hào)判斷其方向。平行板電容器平行板電容器dSUESSDSq)(2)(2121222qfqSdSqdd

48、SUdSWe221)(UdSUfWe解法解法1 1：常電荷系統(tǒng)常電荷系統(tǒng)兩種方法計(jì)算結(jié)果相同，兩種方法計(jì)算結(jié)果相同，電場(chǎng)力有使電場(chǎng)力有使d d減小的趨勢(shì)，極板相互吸引。減小的趨勢(shì)，極板相互吸引。SqdWfCqe2|2解法解法2 2：常電位系統(tǒng)常電位系統(tǒng)222|UdSdWfCe22)(21)(21dUSdSUS2)(21dUS單位面積的受力單位面積的受力：DE 2121)(2122EdUSff22)(qSdqfWe221)(UdSUfWe(3) (3) 法拉第電位移管法拉第電位移管判斷帶電體受力情況判斷帶電體受力情況法拉第認(rèn)為，沿通量線(xiàn)作一通量管，沿其軸向受到法拉第認(rèn)為，沿通量線(xiàn)作一通量管，沿其

49、軸向受到縱張力，垂直于軸向方向受到側(cè)壓力，其大小為縱張力，垂直于軸向方向受到側(cè)壓力，其大小為ED21f)(2mN電位移管受力情況電位移管受力情況電位移管好像被拉電位移管好像被拉緊的橡皮筋緊的橡皮筋)11(221221Dfffa)(212234Efffb例例 求平行板電容器兩種介質(zhì)分界面上每單位面積所受到的力。求平行板電容器兩種介質(zhì)分界面上每單位面積所受到的力。媒質(zhì)分界面受力的方向總是由媒質(zhì)分界面受力的方向總是由較大的媒質(zhì)指向較大的媒質(zhì)指向較較小的媒質(zhì)。小的媒質(zhì)。結(jié)論結(jié)論氣泡向哪個(gè)方向移動(dòng)氣泡向哪個(gè)方向移動(dòng)？答：氣泡向答：氣泡向E E小的方向移動(dòng)小的方向移動(dòng)。靜電力的應(yīng)用靜電力的應(yīng)用靜電分離靜電

50、分離靜電噴涂靜電噴涂 一個(gè)算例一個(gè)算例鋁電解槽鋁電解槽絕緣絕緣絕緣絕緣100V000?),( ?),(zyxEzyx求解思路求解思路選擇合適坐標(biāo)系，使得選擇合適坐標(biāo)系，使得 (x,y)，平行平面場(chǎng)；，平行平面場(chǎng)；絕緣絕緣絕緣絕緣U1=100VU2=0U3=0U4=0 xzy求解方法的選擇求解方法的選擇4dS1. 直接法直接法2. 高斯法高斯法3. Poison法法U1=100VU2=0U4=04. 電軸法電軸法5. 鏡像法鏡像法直直觀(guān)觀(guān)近近似似解解AU3=0qdSD?)(41?)(21?)(2143213241UUUUUUUUAAA近似解的理論基礎(chǔ)？近似解的理論基礎(chǔ)？唯一性定理：只要泛定方程和

51、邊界條件相同，解即相同，與唯一性定理：只要泛定方程和邊界條件相同，解即相同，與所采用的方法無(wú)關(guān)。所采用的方法無(wú)關(guān)。所以需要其它方法，這就是所以需要其它方法，這就是 計(jì)算機(jī)數(shù)值解法計(jì)算機(jī)數(shù)值解法(Numerical Method)數(shù)值計(jì)算方法數(shù)值計(jì)算方法結(jié)合計(jì)算機(jī)技術(shù)，近似求解場(chǎng)的一種方法。結(jié)合計(jì)算機(jī)技術(shù)，近似求解場(chǎng)的一種方法。有限元有限元(Finite Element Method,FEM); 有限差分法有限差分法(Finite Differntial Method, FEM) ; 模擬電荷法模擬電荷法 (Charge Simulation Method, CSM); 邊界單元法邊界單元法 (

52、Boudary Element Method, BEM); 矩量法矩量法(Moment Method,MM)。 1.8.1 二維泊松方程的差分格式二維泊松方程的差分格式 有限差分法有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理是基于差分原理的一種數(shù)值計(jì)算法。其基本思想：將場(chǎng)域離散為許多小網(wǎng)格，的一種數(shù)值計(jì)算法。其基本思想：將場(chǎng)域離散為許多小網(wǎng)格，應(yīng)用差分原理，將求解連續(xù)函數(shù)的泊松方程問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求解網(wǎng)應(yīng)用差分原理，將求解連續(xù)函數(shù)的泊松方程問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求解網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上電位的差分方程組問(wèn)題。格節(jié)點(diǎn)上電位的差分方程組問(wèn)題。)(2222sfFyxL二維平行平面靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題

53、二維平行平面靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題: :有限差分的網(wǎng)格分割有限差分的網(wǎng)格分割1.8 有限差分法有限差分法 0333022200303330222001)(! 31)(! 21)()(! 31)(! 21)(xhxhxhxhxhxhhxxx2)(3102301yy22h2y0)(2301xx22h2x0)(h2y31yy0)(204321Fh4)(41243210Fh時(shí)：0)(41432101.8.2 差分方程組的求解方法差分方程組的求解方法412)(1,)(, 1)1(1,)1(, 1)1(,Fhkjikjikjikjikji), 2, 1, 0, 2, 1,( kji， 迭代順序可按先行后列，或先列

54、后行進(jìn)行。迭代順序可按先行后列，或先列后行進(jìn)行。 迭代過(guò)程遇到邊界節(jié)點(diǎn)時(shí)，代入邊界值或邊界差分格式，直到所有節(jié)迭代過(guò)程遇到邊界節(jié)點(diǎn)時(shí)，代入邊界值或邊界差分格式，直到所有節(jié)點(diǎn)電位滿(mǎn)足點(diǎn)電位滿(mǎn)足 為止。為止。)(,)(,kji1kji超松弛迭代法超松弛迭代法)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,kji2k1jikj1i1k1ji1kj1ikji1kji4Fh4加速收斂因子加速收斂因子)(21高斯高斯賽德?tīng)柕ㄙ惖聽(tīng)柕‵DMFDM求解鋁電解槽的電位分布求解鋁電解槽的電位分布(1) (1) 劃分網(wǎng)格：節(jié)點(diǎn)編號(hào)、坐標(biāo)的形成。劃分網(wǎng)格：節(jié)點(diǎn)編號(hào)、坐標(biāo)的形成。(2) (2) 賦初值：隨意，盡可能靠

55、近真實(shí)解。比如本題賦初值：隨意，盡可能靠近真實(shí)解。比如本題u7=2.0, u7=2.0, u8=7.5, u9=10 u8=7.5, u9=10。(3)(3) 邊界條件：給電位值，找規(guī)律。邊界條件：給電位值，找規(guī)律。u1,u2,u3,u4,u6,u11,u12,u13,u14=0;u1,u2,u3,u4,u6,u11,u12,u13,u14=0;u5,u10,u15=100u5,u10,u15=100u11 u12 u13 u14u11 u12 u13 u14 u15u15u1 u2 u3 u4u1 u2 u3 u4 u5u5u6u6 u7 u8 u9u7 u8 u9 u10u10？（4 4）

56、 迭代迭代u11 u12 u13 u14u11 u12 u13 u14 u15u15u1 u2 u3 u4u1 u2 u3 u4 u5u5u6u6 u7 u8 u9u7 u8 u9 u10u10？u7=(u2+u6+u8+u12)/4u7=(u2+u6+u8+u12)/4u8=(u3+u7+u9+u13)/4u8=(u3+u7+u9+u13)/4u9=(u4+u8+u10+u14)/4u9=(u4+u8+u10+u14)/4(5) (5) 反復(fù)迭代，給定某一誤差反復(fù)迭代，給定某一誤差)(|)1()(給定WuuMaxkikiu11 u12 u13 u14u11 u12 u13 u14 u15u1

57、5u1 u2 u3 u4u1 u2 u3 u4 u5u5u6u6 u7 u8 u9u7 u8 u9 u10u10？K（迭代次數(shù)）（迭代次數(shù)）u7u8u9027.53011.8757.96926.99221.9927.24626.81231.8127.15626.78941.7897.14526.78651.7867.14326.78661.7867.14326.786對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)W=5E-05W=5E-05的迭代結(jié)果的迭代結(jié)果Matlab對(duì)應(yīng)程序%Part 1: Initializing data; Nx=4; Ny=2; Lx=4; Ly=2; Hx=Lx/Nx; Hy=Ly/Ny; alpha

58、=1.17; Nmax=160; u=zeros(Nx+1,Ny+1);u11 u12 u13 u14u11 u12 u13 u14 u15u15u1 u2 u3 u4u1 u2 u3 u4 u5u5u6u6 u7 u8 u9u7 u8 u9 u10u10？初始化初始化%Part 2: Calculating coordinates for each point and applying loads at boundary; x0=0; y0=0; for j=1:(Ny+1) for i=1:(Nx+1) k=(j-1)*(Ny+1)+i; x(k)=x0+Hx*(i-1); y(k)=y0

59、+Hy*(j-1); if abs(y(k)-y0)1e-05 u(j,i)=0; end; if abs(x(k)-x0)1e-05 u(j,i)=0; end; if abs(x(k)-x0-Lx)1e-05 u(j,i)=0; end; if abs(y(k)-y0-Ly)Error_max Error_max=abs(u2-u1); end; end end if Error_maxPrecision break; end;end;電位迭代，程電位迭代，程序關(guān)鍵序關(guān)鍵找最大誤差找最大誤差u11 u12 u13 u14u11 u12 u13 u14 u15u15u1 u2 u3 u4u1

60、 u2 u3 u4 u5u5u6u6 u7 u8 u9u7 u8 u9 u10u10？if Error_maxPrecision disp(Iteration successful, and the number of iteration is:) disp(k) disp(Max error is:); disp(Error_max);else disp(Iteration not successful) end;輸出結(jié)果輸出結(jié)果下一步？下一步？1.8.3 后處理后處理(1) 電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度hhyyEhhxxEyxyxyx2222)(24421331eeE當(dāng)待求點(diǎn)位于邊界上時(shí)，如當(dāng)待求點(diǎn)位