數(shù)列經(jīng)典例題裂項(xiàng)相消法

1、數(shù)列裂項(xiàng)相消求和的典型題型1已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為則數(shù)列的前100項(xiàng)和為()a b c d2數(shù)列其前項(xiàng)之和為則在平面直角坐標(biāo)系中，直線在y軸上的截距為()a10 b9 c10 d93等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且()求數(shù)列的通項(xiàng)公式；()設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和4正項(xiàng)數(shù)列滿足()求數(shù)列的通項(xiàng)公式；()令求數(shù)列的前項(xiàng)和5設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且()求數(shù)列的通項(xiàng)公式；()設(shè)數(shù)列滿足求的前項(xiàng)和6已知等差數(shù)列滿足：的前項(xiàng)和為()求及；()令求數(shù)列的前項(xiàng)和7在數(shù)列中()求的通項(xiàng)公式；()令求數(shù)列的前項(xiàng)和；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和8已知等差數(shù)列的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為4()求數(shù)列的通項(xiàng)公式；()設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和9已知數(shù)

2、列滿足且對都有()求；()設(shè)證明：是等差數(shù)列；（）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和10已知數(shù)列是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足()求數(shù)列的通項(xiàng)公式；()數(shù)列和數(shù)列滿足等式求數(shù)列的前項(xiàng)和11已知等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令求數(shù)列的前項(xiàng)和.12正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足：.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：對于都有.答案：1a；2b3解：()設(shè)數(shù)列an的公比為q，由a32=9a2a6有a32=9a42，q2=由條件可知各項(xiàng)均為正數(shù)，故q=由2a1+3a2=1有2a1+3a1q=1，a1=故數(shù)列an的通項(xiàng)式為an=（）bn=+=（1+2+n）=，故=

3、2（）則+=2（1）+（）+（）=，數(shù)列的前n項(xiàng)和為4解：()由正項(xiàng)數(shù)列an滿足：（2n1）an2n=0，可有（an2n）（an+1）=0an=2n()an=2n，bn=，bn=，tn=數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn為5解：()設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，由s4=4s2，a2n=2an+1有：，解有a1=1，d=2an=2n1，nn*()由已知+=1，nn*，有：當(dāng)n=1時(shí)，=，當(dāng)n2時(shí)，=（1）（1）=，n=1時(shí)符合=，nn*由（）知，an=2n1，nn*bn=，nn*又tn=+，tn=+，兩式相減有：tn=+（+）=tn=36解：()設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，a3=7，a5+a7=26，

4、有，解有a1=3，d=2，an=3+2（n1）=2n+1；sn=n2+2n；()由()知an=2n+1，bn=，tn=，即數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn=7解：()由條件有，又n=1時(shí)，故數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為1，公式為的等比數(shù)列，即()由有，兩式相減，有：，（）由有tn=2sn+2a12an+1=8解：()設(shè)an的公差為d，由已知有解有a1=3，d=1故an=3+（n1）（1）=4n；()由()的解答有，bn=nqn1，于是sn=1q0+2q1+3q2+nqn1若q1，將上式兩邊同乘以q，有qsn=1q1+2q2+3q3+nqn上面兩式相減，有（q1）sn=nqn（1+q+q2+qn1）=nqn于是sn=若

5、q=1，則sn=1+2+3+n=，sn=9解：()由題意，令m=2，n=1，可有a3=2a2a1+2=6再令m=3，n=1，可有a5=2a3a1+8=20()當(dāng)nn*時(shí)，由已知（以n+2代替m）可有a2n+3+a2n1=2a2n+1+8于是a2（n+1）+1a2（n+1）1（a2n+1a2n1）=8即bn+1bn=8bn是公差為8的等差數(shù)列（）由() ()解答可知bn是首項(xiàng)為b1=a3a1=6，公差為8的等差數(shù)列則bn=8n2，即a2n+1a2n1=8n2另由已知（令m=1）可有an=（n1）2an+1an=2n+1=2n+1=2n于是cn=2nqn1當(dāng)q=1時(shí)，sn=2+4+6+2n=n（n

6、+1）當(dāng)q1時(shí)，sn=2q0+4q1+6q2+2nqn1兩邊同乘以q，可有qsn=2q1+4q2+6q3+2nqn上述兩式相減，有（1q）sn=2（1+q+q2+qn1）2nqn=22nqn=2sn=2綜上所述，sn=10解：()設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則依題意可知d0由a2+a7=16，有，2a1+7d=16由a3a6=55，有（a1+2d）（a1+5d）=55由聯(lián)立方程求，有d=2，a1=1/d=2，a1=（排除）an=1+（n1）2=2n1()令cn=，則有an=c1+c2+cnan+1=c1+c2+cn+1兩式相減，有an+1an=cn+1，由（1）有a1=1，an+1an=2cn+1=2，即cn=2（n2），即當(dāng)n2時(shí)，bn=2n+1，又當(dāng)n=1時(shí)，b1=2a1=2bn=于是sn=b1+b2+b3+bn=2+23+24+2n+1=2n+26，n2，11解(1)因?yàn)閟1a1，s22a122a12，s44a124a112，由題意得(2a12)2a1(4a112)，解得a11，所以an2n1.(2)bn(1)n1(1)n1(1)n1()當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，tn(1)()()()1.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，tn(1)()()()1.所以tn(或tn)12(1)解由s(n2n1)sn(n2n)0，得sn(n2n)(sn1