立體幾何復習

1、1立體幾何復習課件立體幾何復習課件 2平行問題垂直問題垂直問題角度問題角度問題距離問題距離問題柱錐問題柱錐問題體積面積問題體積面積問題多面體與球的問題多面體與球的問題生活問題和翻折問題生活問題和翻折問題綜合問題綜合問題立幾概念和方法立幾概念和方法動態(tài)的立體幾何動態(tài)的立體幾何正方體的截面問題正方體的截面問題三棱柱的體積分割三棱柱的體積分割3平行問題返回4直線和平面的位置關系直線和平面的位置關系直線和平面的平行關系直線和平面的平行關系平面和平面的平行關系平面和平面的平行關系返回5直線在平面內直線在平面內直線和平面相交直線和平面相交直線和平面平行直線和平面平行線面位置關系線面位置關系有無數(shù)個公共點有

2、無數(shù)個公共點有且僅有一個公有且僅有一個公共點共點沒有公共點沒有公共點返回6平行于同一平面的二直線的位平行于同一平面的二直線的位置關系是置關系是 ( ( ）（A A） 一定平行一定平行（B B） 平行或相交平行或相交（C C） 相交相交（D D） 平行，相交，異面平行，相交，異面D返回7（1 1）點）點A A是平面是平面 外的一點，過外的一點，過A A和和平面平面 平行的直線有平行的直線有 條。條。A無數(shù)無數(shù)返回8（2 2）點）點A A是直線是直線l l 外的一點，過外的一點，過A A和直線和直線l l 平行的平面有平行的平面有 個。個。A無數(shù)無數(shù)返回9（3 3）過兩條平行線中的一條和另）過兩條

3、平行線中的一條和另一條平行的平面有一條平行的平面有 個。個。無數(shù)無數(shù)返回10（4 4）過兩條異面直線中的一條和另）過兩條異面直線中的一條和另一條平行的平面有一條平行的平面有 個。個。且僅有一且僅有一返回11（5 5）如果）如果l l1 1 / / l l2 2 , , l l1 1 平行于平行于平面平面 , ,則則l l2 2 平面平面 l1 l2l2 或或 /返回12（6 6）如果兩直線）如果兩直線a a，b b相交相交,a,a平行于平行于平面平面 ，則，則b b與平面與平面 的位置關系的位置關系是是 。a bb相交或平行相交或平行返回13過直線過直線L L外兩點外兩點, ,作與直線作與直線

4、L L平行平行的的平面平面, ,這樣的平面這樣的平面( )( )（A A） 有無數(shù)個有無數(shù)個（C C） 只能作出一個只能作出一個（B B） 不能作出不能作出（D D） 以上都有可能以上都有可能ABl情況一情況一返回14（A） 有無數(shù)個有無數(shù)個（C） 只能作出一個只能作出一個（B） 不能作出不能作出（D） 以上都有可能以上都有可能ABl過直線過直線L L外兩點外兩點, ,作與直線作與直線L L平行平行的的平面平面, ,這樣的平面這樣的平面( )( )情況二情況二返回15過直線過直線L L外兩點外兩點, ,作與直線作與直線L L平行平行的的平面平面, ,這樣的平面這樣的平面( )( )（A） 有無

5、數(shù)個有無數(shù)個（C） 只能作出一個只能作出一個（B） 不能作出不能作出（D） 以上都有可能以上都有可能ABlD情況三情況三返回16例：例： 有以下四個命題：有以下四個命題： 若一條直線與另一條直線平行，則它就若一條直線與另一條直線平行，則它就與經過另一條直線的平面平行；與經過另一條直線的平面平行； 若一條直線垂直于一個平面的一條垂線，若一條直線垂直于一個平面的一條垂線，則此直線平行于這個平面；則此直線平行于這個平面； 若一條直線和一個平面內的兩條直線都若一條直線和一個平面內的兩條直線都垂直，則此直線必垂直于這個平面；垂直，則此直線必垂直于這個平面； 平面內兩條平行直線，若其中一條直線平面內兩條平

6、行直線，若其中一條直線與一個平面平行，則另一條直線也與這個平面與一個平面平行，則另一條直線也與這個平面平行平行 其中正確命題的個數(shù)是（其中正確命題的個數(shù)是（ ） A0 B1 C2 D3返回17解：解： 不正確，若一條直線與另一條直線平不正確，若一條直線與另一條直線平行，則這條直線可能與經過另一條直線的平行，則這條直線可能與經過另一條直線的平面面平行平行，也可能在平面內也可能在平面內； 不正確，與不正確，與相仿，若一條直線垂直相仿，若一條直線垂直于一個平面的一條垂線，則此直線于一個平面的一條垂線，則此直線可能平行可能平行于這個平面，于這個平面，也可能在平面內也可能在平面內；返回18 不正確，若一

7、條直線和一個平面內的不正確，若一條直線和一個平面內的兩條直線都垂直，如果在平面內的兩條直線平兩條直線都垂直，如果在平面內的兩條直線平行，則無法判斷直線是否垂直于這個平面；行，則無法判斷直線是否垂直于這個平面； 不正確，與不正確，與相仿，該直線仍有可相仿，該直線仍有可能在平面內。能在平面內。 所以四個命題都是錯誤的，選所以四個命題都是錯誤的，選A。返回19(1)(1)定義定義直線與平面沒有公共點直線與平面沒有公共點(2)(2)定理定理如果平面外一條直線和如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。條直線和這個平面平行。返回20線面平行

8、判定定理線面平行判定定理如果平面外一條直如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。條直線和這個平面平行。已知：已知：a b a/b 求證：求證：a/ abP (1) a,b確定平面確定平面 ，=b(2) 假設假設a與與 不平行不平行則則a與與 有公共點有公共點P則則P =b(3) 這與已知這與已知a/b矛盾矛盾(4) a / 返回21 如圖如圖, ,空間四面體空間四面體P-ABC,M,NP-ABC,M,N分別是分別是面面PCAPCA和面和面PBCPBC的重心的重心, ,求證求證:MN/:MN/面面BCABCAEFPMN/ EF

9、 MN /面面BCA線線平行線線平行線面平行線面平行返回22如圖如圖, ,兩個全等的正方形兩個全等的正方形ABCDABCD和和ABEFABEF所所在平面交于在平面交于AB,M.NAB,M.N分別是對角線上的點，分別是對角線上的點，AM=FNAM=FN。求證。求證:MN/:MN/面面BCEBCE。ABCDEFMNGHMN / GH MN /面面BCE線線平行線線平行線面平行線面平行返回23ABCDEFMNHAFN BNH AN/NH=FN/BN AN/NH=AM/MC MN/CH MN /面面BCE如圖如圖, ,兩個全等的正方形兩個全等的正方形ABCDABCD和和ABEFABEF所所在平面交于在

10、平面交于AB, M.NAB, M.N分別是對角線上的分別是對角線上的點，點，AM=FNAM=FN，求證，求證:MN/:MN/面面BCEBCE。返回24ABDCA1B1D1C1 在正方體在正方體ACAC1 1中，中，E E為為DDDD1 1的中的中點，求證：點，求證：DBDB1 1/面面A A1 1C C1 1E EEFDB1 / EF DB1 /面面A1C1E線線平行線線平行線面平行線面平行返回25在正方體在正方體ACAC1 1中，中，O O為平面為平面ADDADD1 1A A1 1的的中心，求證：中心，求證：CO / CO / 面面A A1 1C C1 1B BABDCA1B1D1C1B1O

11、F返回26線面平行的性質線面平行的性質線面平行的性質線面平行的性質(1)1)如果一條直線與一個平面平行，如果一條直線與一個平面平行，則這條直線與這個平面則這條直線與這個平面無公共點無公共點(2)(2)如果一條直線與一個平面平行，如果一條直線與一個平面平行，則這條直線與這個平面內的直線則這條直線與這個平面內的直線成成異面直線或平行直線異面直線或平行直線(3)(3)如果一條直線與一個平面平行，如果一條直線與一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相經過這條直線的平面和這個平面相交，則這條交，則這條直線與交線平行直線與交線平行。返回27如果一條直線與一個平面平行，如果一條直線與一個平面平行，經過這

12、條直線的平面和這個平面經過這條直線的平面和這個平面相交，則這條相交，則這條直線與交線平行直線與交線平行如果一條直線與一個平面平行，如果一條直線與一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面經過這條直線的平面和這個平面相交，則這條相交，則這條直線與交線平行直線與交線平行已知：已知：a/ ,a, =b 求證：求證：a/b ab =bb a / a b= a/b返回28如果平面外的兩條平行線中的一條如果平面外的兩條平行線中的一條與這個平面平行，則另一條直線與與這個平面平行，則另一條直線與這個平面也平行這個平面也平行abc返回29如果一條直線和兩個相交平面都平如果一條直線和兩個相交平面都平行，則這條直線

13、與它們的交線平行行，則這條直線與它們的交線平行abc l已知：已知：a / a / ， a/ a/ ， = =l l求證：求證：a / a / l l返回30abABOMNPD如圖，如圖，a,ba,b是異面直線，是異面直線，O O為為ABAB的中點，的中點，過點過點O O作平面作平面 與兩異面直線與兩異面直線a,ba,b都平行都平行MNMN交平面于點交平面于點P P，求證：，求證：MP=PNMP=PN 返回31一、兩個平面平行的判定方法一、兩個平面平行的判定方法1 1、兩個平面沒有公共點、兩個平面沒有公共點2 2、一個平面內有兩條相交、一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面直線都平行于另一

14、個平面3 3、都垂直于同一條直線、都垂直于同一條直線的兩個平面的兩個平面兩個平面平行兩個平面平行返回32二、兩個平面平行的性質二、兩個平面平行的性質4 4、一直線垂直于兩個平行平面中、一直線垂直于兩個平行平面中的一個，則它也垂直于另一個平面的一個，則它也垂直于另一個平面2 2、其中一個平面內的直線平行、其中一個平面內的直線平行于另一個平面于另一個平面3 3、兩個平行平面同時和第三個平、兩個平行平面同時和第三個平面相交，它們的交線平行面相交，它們的交線平行兩個平面平行兩個平面平行5 5、夾在兩個平行平面間的平行線、夾在兩個平行平面間的平行線段相等段相等1 1、兩個平面沒有公共點、兩個平面沒有公共

15、點返回33判斷下列命題是否正確？判斷下列命題是否正確？1 1、平行于同一直線的兩平面平行、平行于同一直線的兩平面平行2 2、垂直于同一直線的兩平面平行、垂直于同一直線的兩平面平行3 3、與同一直線成等角的兩平面平行、與同一直線成等角的兩平面平行返回344.4.垂直于同一平面的兩平面平行垂直于同一平面的兩平面平行5.5.若若,則平面則平面內任一直線內任一直線a a 6.6.若若n n ,m ,m ,n,m,n,m則則nm返回352. 如圖如圖,設設AB、CD為夾在兩個平行平面為夾在兩個平行平面 、 之間之間 的線段，且直線的線段，且直線AB、CD為異面直線，為異面直線，M、P 分別分別為為AB、

16、CD 的中點，的中點，求證：求證： 直線直線MP / 平面平面 .ADCBPMNE返回36例例: :如圖如圖, ,在正方體在正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1 中，求中，求證：面證：面ABAB1 1D D1 1面面BDCBDC1 1證明：證明：BDBBDB1 1D D1 1BD BD 面面BDCBDC1 1B B1 1D D1 1 面面BDCBDC1 1B B1 1D D1 1面面BDCBDC1 1同理：同理：ABAB1 1面面BDCBDC1 1B B1 1D D1 1ABAB1 1=B=B1 1面面ABAB1 1D D1 1面面BDCBDC1 1線線線線

17、線線面面面面面面ABCDA1B1C1D1返回37證法證法2 2：ACBDACBDA A1 1AA面面ACACA A1 1C C在面在面ACAC上的上的射影為射影為ACACA A1 1CBDCBDBDBCBDBC1 1=B=BA A1 1CBCCBC1 1同理同理: :A A1 1CC面面BDCBDC1 1同理同理: :A A1 1CC面面ABAB1 1D D1 1面面ABAB1 1D D1 1面面BDCBDC1 1ABCDA1B1C1D1返回38變形變形1:1:如圖，在正方如圖，在正方體體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E,F,GE,F,G分別為分別為

18、A A1 1D D1 1,A,A1 1B B1 1,A,A1 1A A的中點的中點, ,求證：面求證：面EFGEFG面面BDCBDC1 1變形變形2:2:若若O O為為BDBD上的點上的點求證：求證：OCOC1 1 面面EFGEFGO面面面面 由上知面由上知面EFGEFG面面BDCBDC1 1OCOC1 1 面面BDCBDC1 1ABCDA1B1C1D1EFG線線面面OCOC1 1 面面EFGEFG證明：證明：返回39變形變形3:3:如圖如圖, ,在正在正方體方體ABCD-ABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1 中，中，E,F,M,NE,F,M,N分別為分別為A A1 1B

19、 B1 1,A,A1 1D D1 1, B, B1 1C C1 1, , C C1 1D D1 1 的中點的中點ABCDA1B1C1D1EFNM求證：面求證：面AEFAEF面面BDMNBDMN返回40小結：小結：線線平行平行線線 線線平行平行 面面 面面平行平行 面面線面平行判定線面平行判定線面平行性質線面平行性質面面平行判定面面平行判定面面平行性質面面平行性質三種平行關系的轉化三種平行關系的轉化返回41AEBCDGF 已知：四面體已知：四面體A-BCDA-BCD，E,F,GE,F,G分別為分別為AB,AC,ADAB,AC,AD的中點的中點. .求證：面求證：面EFGEFG面面BCDBCD練習

20、練習返回42垂直問題43線面垂直的判定方法線面垂直的判定方法(1)(1)定義定義如果一條直線和一個平面內的如果一條直線和一個平面內的任任意一條意一條直線都垂直，則直線與平面垂直。直線都垂直，則直線與平面垂直。(2)(2)判定定理判定定理11如果兩條如果兩條平行線平行線中的一條垂中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面。直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面。(3)(3)判定定理判定定理22如果一條直線和一個平面內如果一條直線和一個平面內的的兩條相交直線兩條相交直線都垂直，則直線與平面垂直。都垂直，則直線與平面垂直。返回44線面垂直的性質線面垂直的性質(1)(1)定義定義如果一條直線和一

21、個平面垂直則如果一條直線和一個平面垂直則這條直線垂直于平面內的這條直線垂直于平面內的任意一條任意一條直線直線(2)(2)性質定理性質定理如果兩條直線同垂直于一個如果兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平面，則這兩條直線平行平行。返回45填空填空（1）l , m l_m（2） n, m , m與與n_, l m, l n, l （3）l , m , l_m（4）l /m , l , m_ 相交相交 / 返回46PABC如圖，如圖，ABAB是圓是圓O O的直徑，的直徑，C C是異于是異于A A，B B的圓周上的任意一點，的圓周上的任意一點，PAPA垂直于圓垂直于圓O O所在的平面所在的平面（1）

22、BC面面PAC返回47PABC H2)2)若若AHPC,AHPC,則則AHAH面面PBCPBC如圖，如圖，ABAB是圓是圓O O的直徑，的直徑，C C是異于是異于A A，B B的圓周上的任意一點，的圓周上的任意一點，PAPA垂直于圓垂直于圓O O所在的平面所在的平面返回48ABDCA1B1D1C1O在正方體在正方體ACAC1 1中中,O,O為下底面的中心為下底面的中心, ,求證：求證：ACAC面面D D1 1B B1 1BDBD返回49ABDCA1B1D1C1OH在正方體在正方體ACAC1 1中，中，O O為下底面的中為下底面的中心，心，B B1 1H DH D1 1O,O,求證：求證：B B

23、1 1HH面面D D1 1ACAC返回50已知已知: l / ,m 求證求證: l m m ln返回51如果兩個平面所成的二面角是如果兩個平面所成的二面角是直二面角，則這兩個平面垂直直二面角，則這兩個平面垂直如果兩個平面所成的二面角是如果兩個平面所成的二面角是直二面角，則這兩個平面垂直直二面角，則這兩個平面垂直返回52如果一個平面經過另一個平面的一如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直條垂線，則這兩個平面互相垂直ABEDC線面垂直線面垂直線面垂直線面垂直面面垂直面面垂直面面垂直面面垂直返回53如圖，如圖，C C為以為以ABAB為直徑的圓周上一點，為直徑的圓周上一點， PAP

24、A面面ABCABC，找出圖中互相垂直的平面。，找出圖中互相垂直的平面。PABCPA面面ABC面面PAC面面ABC面面PAB面面ABCBC面面PAC面面PBC面面PAC返回54如果兩個平面垂直，則在一個平面內垂直如果兩個平面垂直，則在一個平面內垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面于它們的交線的直線垂直于另一個平面ABDCE線面垂直線面垂直線面垂直線面垂直面面垂直面面垂直面面垂直面面垂直返回55求證：如果一個平面與另一個平面的求證：如果一個平面與另一個平面的垂線平行，則這兩個平面互相垂直垂線平行，則這兩個平面互相垂直 ab 返回56求證：如果兩個相交平面都與另一個平面求證：如果兩個相交平面都與另

25、一個平面垂直，則這兩個平面的交線垂直，則這兩個平面的交線 l 垂直于另一垂直于另一個平面?zhèn)€平面 l返回57求證：如果兩個相交平面都與另一個平面求證：如果兩個相交平面都與另一個平面垂直，則這兩個平面的交線垂直，則這兩個平面的交線 l 垂直于另一垂直于另一個平面?zhèn)€平面 lPAB返回58四面體四面體ABCDABCD中，面中，面ADCADC面面BCDBCD，面，面ABD ABD 面面BCDBCD，設，設DEDE是是BCBC邊上的高，邊上的高， 求證：求證： 平面平面ADE ADE 面面ABC ABC ABCED面面ADC面面BCD面面ABD 面面BCDAD 面面BCDAD BCDE BCBC 面面AD

26、E面面ABC 面面ADE線面垂直線面垂直面面垂直面面垂直線線垂直線線垂直返回59PACBABCABC是直角三角形是直角三角形, ACB=90, ACB=90,P,P為為平面外一點，且平面外一點，且PA=PB=PC . PA=PB=PC . 求證：求證： 平面平面PAB PAB 面面ABC ABC O返回60課堂練習課堂練習課堂練習課堂練習空間四面體空間四面體ABCDABCD中，若中，若AB=BCAB=BC，AD=CDAD=CD，E E為為ACAC的中點，則有的中點，則有( ( ）ABCED(A) (A) 平面平面ABD ABD 面面BCDBCD(B) (B) 平面平面BCD BCD 面面ABC

27、ABC(C) (C) 平面平面ACD ACD 面面ABCABC(D) (D) 平面平面ACD ACD 面面BDEBDE返回61如圖，如圖，ABCDABCD是正方形，是正方形，PA PA 面面ABCDABCD，連接連接PB,PC,PD,AC,BD,PB,PC,PD,AC,BD,問圖中有幾對問圖中有幾對互相垂直的平面？互相垂直的平面？ABDPC面面PACPAC面面ABCDABCD面面PABPAB面面ABCDABCD面面PADPAD面面ABCDABCD面面PADPAD面面PABPAB面面PADPAD面面PCDPCD面面PBCPBC面面PABPAB面面PBDPBD面面PACPAC返回62如圖，三棱錐如

28、圖，三棱錐P-ABCP-ABC中，中，PBPB底面底面ABCABC，ACB= 90ACB= 90,PB=BC=CA,E,PB=BC=CA,E為為PCPC中點，中點，求證：求證： 平面平面PAC PAC 面面PBC PBC 求異面直線求異面直線PAPA與與BEBE所成角的大小所成角的大小ACBEP返回63如圖，四棱錐如圖，四棱錐P-ABCDP-ABCD的底面是菱的底面是菱形，形，PAPA底面底面ABCDABCD，BAD= BAD= 120120,E,E為為PCPC上任意一點，上任意一點，ACDBPE求證：求證： 平面平面BED BED 面面PACPACO若若E E是是PCPC中點，中點，AB=P

29、A=a,AB=PA=a,求二面求二面角角E-CD-AE-CD-A的大小的大小F返回64例例:如圖，在四面體如圖，在四面體SABC中，中，ASC=90，ASB=BSC=60，SA=SB=SC，求證：平面求證：平面ASC平面平面ABC。返回65 證明：容易證得證明：容易證得AB=BC=SB，取，取AC中點中點D，連，連SD、BD，得，得SDAC，BDAC，由ASC=90，設SA=SB=SC=a，解得SD= a，BD= a， 而SB=a， SDB=90，平面ASC平面ABC。2222返回66角度問題67一、概念名稱名稱定義定義圖形圖形兩條異面直線 所成的角直線與平面所成的角二面角及它的平面角直線a、

30、b是異面直線，經過空間任意一點o，作直線a、b，并使a/a，b/b，我們把直線a和b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。返回68abo.aO是空間中的任意一點 點o常取在兩條異面直線中的一條上bo o o o o返回69一、概念名稱名稱定義定義圖形圖形兩條異面直線 所成的角直線與平面所成的角二面角及它的平面角直線a、b是異面直線，經過空間任意一點o，作直線a、b，并使a/a，b/b，我們把直線a和b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。平面的一條斜線和它在這個平面內的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角，特別地，若L?則L與所成的角是直角，若L/或 L ，則L與

31、所成的角是0的角。返回70oLBA返回71一、概念名稱名稱定義定義圖形圖形兩條異面直線 所成的角直線與平面所成的角二面角及它的平面角直線a、b是異面直線，經過空間任意一點o，作直線a、b，并使a/a，b/b，我們把直線a和b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。LoBA平面的一條斜線和它在這個平面內的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角，特別地，若L?則L與所成的角是直角，若L/或 L ，則L與所成的角是的角。返回72AL

32、BO返回73一、概念名稱名稱定義定義圖形圖形兩條異面直線 所成的角直線與平面所成的角二面角及它的平面角直線a、b是異面直線，經過空間任意一點o，作直線a、b，并使a/a，b/b，我們把直線a和b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。LoBAALBO平面的一條斜線和它在這個平面內的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角，特別地，若L?則L與所成的角是直角，若L/或 L ，則L與所成的角是的角。返回74二、數(shù)學思想、方法、步驟：

33、二、數(shù)學思想、方法、步驟： 解決空間角的問題涉及的數(shù)學思想主要是解決空間角的問題涉及的數(shù)學思想主要是化化歸與轉化歸與轉化，即把空間的角轉化為平面的角，進而，即把空間的角轉化為平面的角，進而轉化為三角形的內角，然后通過解三角形求得。轉化為三角形的內角，然后通過解三角形求得。2.2.方法：方法：3.3.步驟：步驟：b.b.求直線與平面所成的角：求直線與平面所成的角：a.a.求異面直線所成的角：求異面直線所成的角：c.c.求二面角的大?。呵蠖娼堑拇笮。鹤鳎ㄕ遥?證 點 算1.1.數(shù)學思想：數(shù)學思想：平移平移 構造可解三角形構造可解三角形找（或作）射影找（或作）射影 構造可解三角形構造可解三角形找（

34、或作）其平面角找（或作）其平面角 構造可解三角形構造可解三角形返回75ABDCA1B1D1C1在正方體在正方體AC1中，求異面直線中，求異面直線A1B和和B1C所成的角？所成的角？A1B和和B1C所所成的角為成的角為60和和A1B成角為成角為60的面對角的面對角線共有線共有 條。條。返回76在正方體在正方體AC1中，求異面直線中，求異面直線D1B和和B1C所成的角？所成的角？ABDCA1B1D1C1E返回77在正方體在正方體AC1中，中，M,N分別是分別是A1A和和B1B的中點，求異面直線的中點，求異面直線CM和和D1N所成的角？所成的角？ABDCA1B1D1C1MN返回78PABCMN空間四

35、邊形空間四邊形P-ABC中，中，M，N分別是分別是PB，AC的中點，的中點，PA=BC=4，MN=3，求求PA與與BC所成的角？所成的角？E返回791. 在正方體在正方體AC1中，中，E、G分別是分別是AA1和和CC1的中點，的中點， F在在AB上，且上，且C1EEF，則則EF與與GD所成的角的大小為（所成的角的大小為（ ）(A) 30 (B) 45 (C) 60(D) 90DF A D C B A1D1B1C1G E M EB1是EC1在平面AB1內的射影EB1 EFDGAMEB1EF DG返回80已知：兩異面直線已知：兩異面直線a,b所成的角是所成的角是50 ，P P為為空間中一定點，則過

36、點空間中一定點，則過點P P且與且與a,ba,b都成都成3030角的角的直線有直線有 條。條。abP PO2返回81A1ABB1CDC1D1FEG解：如圖，取AB的中點G ，O（證）（證）A1D1FGAD又ADA1D1FG四邊形A1GFD1為平行四邊形A1G D1FA1G與AE所成的銳角（或直角）就是AE與D1F所成的角。（點）（點）（算）（算）FG ，A1G ， A1G與AE交于O連結（作）（作）例例1:如圖，如圖，在正方體在正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中，E E、F F分分別是別是BBBB1 1 、CDCD中點。求中點。求AEAE與與D D1

37、1F F所成的角。所成的角。即直線AE與D1F所成的角為直角。E是BB1的中點tRA1AGABEAOG=90GA1A= GAO返回82例例2、長方體、長方體ABCD-A BC D中中, AB=BC=4, AA =6, E、F分別為分別為BB 、CC的中點的中點, 求求AE、BF所成角的余弦值所成角的余弦值.CDBACDABEF259 cos返回83長方體長方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，ABABAAAA1 1 2 cm2 cm， ADAD 1cm1cm，求，求異面直線異面直線A A1 1C C1 1與與BDBD1 1所成角的所成角的余弦值。余弦值。返回8

38、4取取BBBB1 1的中點的中點MM，連，連O O1 1MM，則，則O O1 1MM D D1 1B B，如圖，連如圖，連B B1 1D D1 1與與A A1 1C C1 1 交于交于O O1 1，于是于是 A A1 1O O1 1MM就是異面直線就是異面直線A A1 1C C1 1與與BDBD1 1所成的角（或其補角）所成的角（或其補角）O1MDB1A1D1C1ACB解：解：為什么？為什么？,55cos11MOA返回85解法二解法二：方法歸納：方法歸納：補形法補形法把空間圖形補成熟悉的把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正或完整的幾何體，如正方體、長方體等，其目方體、長方體等，其目的在于易

39、于發(fā)現(xiàn)兩條異的在于易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線的關系。面直線的關系。 F1EFE1BDB1A1D1C1AC返回86解法二解法二：方法歸納：方法歸納：補形法補形法把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、長方體等，其目的在于易于發(fā)如正方體、長方體等，其目的在于易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線的關系?，F(xiàn)兩條異面直線的關系。 3,52,51111ECEACA在在 A1C1E中，中，由余弦定理得由余弦定理得55cos11ECAA1C1與與BD1所成角的余弦值為所成角的余弦值為如圖，補一個與原長方體全等的并與原長方體有公共面如圖，補一個與原長方體全等的并與原長方體有公共面連結連結A1

40、E，C1E，則，則 A1C1E為為A1C1與與BD1所成的角所成的角(或補角或補角)，F(xiàn)1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的長方體B1F，55返回87例：例： 如圖，在正方體如圖，在正方體 ABCDA1B1C1D1中，中，異面直線異面直線AC與與BC1所成角的大小是（所成角的大小是（ ）A30 B45 C60 D90解：在圖形中，將解：在圖形中，將AC平行移平行移動到動到A1C1，再連接，再連接A1B，則，則A1BC1是一個等邊三角形，是一個等邊三角形，A1C1與與BC1所成的角為所成的角為60,所所以以AC與與BC1所成角的大小也是所成角的大小也是60，選，選C.返回88例：例： 如圖

41、，正三棱錐如圖，正三棱錐SA BC的側棱與底面的側棱與底面邊長相等，如果邊長相等，如果E、F分別為分別為SC、 A B的中點，的中點，那么異面直線那么異面直線EF與與SA所成角等于（所成角等于（ ） A90 B60 C45 D30返回89 G F E S C B A解：取解：取AC的中點的中點G，連接，連接EG、FG， EG/SA， GEF是異面直線是異面直線EF與與SA所所成角，又成角，又FG/BC，SABC， EGF=90， EGF是直角三角形，又是直角三角形，又EG=SA，F(xiàn)G=BC， EG=FG，EGF是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， GEF=45，選，選C.返回90正方體ABCD

42、- A1B1C1D1中,AC、BD交于O,則OB1與A1C1所成的角的度數(shù)為A1B1C1D1ABCDO練習1900A1B1C1D1ABCDO返回91在正四面體在正四面體S-ABC中，中，SABC, E, F分別為分別為SC、AB 的中點，那么異面直線的中點，那么異面直線EF 與與SA 所成的角等于（所成的角等于（ ）CSABEFD(A)300 (B)450 (C)600 (D)900練習2B返回92例例: :已知正方體的棱長為已知正方體的棱長為 a , M a , M 為為 AB AB 的中點的中點, N , N 為為 B BB B1 1的中點，求的中點，求 A A1 1M M 與與 C C1

43、 1 N N 所成角的余弦值。所成角的余弦值。解：解：A1D1C1B1ABCDMNEG如圖，取如圖，取AB的中點的中點E, 連連BE, 有有BE A A1 1M M 取取CC1的中點的中點G,連連BG. 有有BG C C1 1N N 則則EBG即為所求角。即為所求角。BG=BE= a, F C1 = a由余弦定理，由余弦定理，cosEBG=2/5F取取EB1的中點的中點F，連，連NF,有有BENF則則FNC為所求角。為所求角。想一想：想一想：還有其它定角的方法嗎？還有其它定角的方法嗎？2526在在EBG中中返回93（1）平移法（常用方法）平移法（常用方法）小結：小結：1 1、求異面直線所成的角

44、是把空間角轉化為平面、求異面直線所成的角是把空間角轉化為平面 角，角，體現(xiàn)了化歸的數(shù)學思想。體現(xiàn)了化歸的數(shù)學思想。2、用余弦定理求異面直線所成角時，要注意角的、用余弦定理求異面直線所成角時，要注意角的 范圍：范圍： （1） 當當 cos 0 時，所成角為時，所成角為 （2） 當當 cos 0 時，所成角為時，所成角為 （3） 當當 cos = 0 時，所成角為時，所成角為 3、當異面直線當異面直線垂直垂直時，還可應用線面垂直的有時，還可應用線面垂直的有 關知識關知識解決。解決。90o（2）補形法）補形法化歸的一般步驟是：化歸的一般步驟是：定角定角求角求角返回94說明說明：異面直線所成角的范圍是

45、（：異面直線所成角的范圍是（0， ，在把異面直線所成的角平移轉化為平面三角在把異面直線所成的角平移轉化為平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，當形中的角，常用余弦定理求其大小，當余弦余弦值為負值值為負值時，其對應角為鈍角，這時，其對應角為鈍角，這不符合不符合兩兩條異面直線所成角的定義，故其補角為所求條異面直線所成角的定義，故其補角為所求的角，這一點要注意。的角，這一點要注意。 2返回95斜線與平面所成的角斜線與平面所成的角平面的一條斜線平面的一條斜線和它在這個平面內的射影和它在這個平面內的射影 所成的所成的銳角銳角AOB返回96若斜線段若斜線段AB的長度是它在平面的長度是它在平面內的射影長的

46、內的射影長的2倍，則倍，則AB與與所成的角為所成的角為 。60AOB返回97最小角原理最小角原理AOBC斜線與平面所成的角，是這條斜線和這個平斜線與平面所成的角，是這條斜線和這個平面內的直線所成的一切角中面內的直線所成的一切角中最小的角最小的角。返回98若直線若直線 l1與平面所成的角為與平面所成的角為60 ，則這條直線與，則這條直線與平面內的直線所成的一切角中最小的角平面內的直線所成的一切角中最小的角 ，最大的角為最大的角為 。9060Ol1返回99若直線若直線 l1與平面所成的角為與平面所成的角為30 ，直線，直線 l2 與與 l1 所成所成的角為的角為60 , ,求求直線直線 l2與平面

47、所成的角與平面所成的角 的范圍的范圍?l10, 90 l2 l2返回100AOBC如圖如圖,直線直線OA與平面與平面所成的角為所成的角為 ,平面內一平面內一條直線條直線OC與與OA的射影的射影OB所成的角為所成的角為,設設AOC為為 2求證求證:cos 2= cos 1 cos 返回101求直線與平面所成的角時求直線與平面所成的角時, ,應注意的問題應注意的問題: :(1)(1)先判斷直線與平面的位置關系先判斷直線與平面的位置關系( (2)2)當直線與平面斜交時，常采用以下步驟：當直線與平面斜交時，常采用以下步驟：作出或找出斜線上的點到平面的垂線作出或找出斜線上的點到平面的垂線作出或找出斜線在

48、平面上的射影作出或找出斜線在平面上的射影求出斜線段，射影，垂線段的長度求出斜線段，射影，垂線段的長度解此直角三角形解此直角三角形, ,求出所成角的相應函數(shù)值求出所成角的相應函數(shù)值返回102例題例題: :如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求中，求A A1 1B B與平面與平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角所成的角ABCDA1B1C1D1O返回103SACBOFE如圖，如圖， ACB=90ACB=90 ，S S為平面為平面ABCABC外一外一點，點， SCA= SCA= SCB= 60SCB= 60 ，求，求SCSC與平與平

49、面面ACBACB所成的角所成的角. .返回104SACBOFE如圖，如圖，SA,SB,SCSA,SB,SC是三條射線，是三條射線， BSC=60BSC=60 ,SA,SA上一點上一點P P到平面到平面BSCBSC的距的距離是離是3, P3, P到到SB,SCSB,SC的距離是的距離是5,5,求求SASA與與平面平面BSCBSC所成的角所成的角P返回105ABCDFEADFDACA1BE正方形正方形ABCDABCD邊長為邊長為3 3，AE=2BEAE=2BE，CF=2DFCF=2DF，沿沿EFEF將直角梯形將直角梯形AEFDAEFD折起，使點折起，使點AA的射的射影點影點G G落在邊落在邊BCB

50、C上，求上，求AEAE與平面與平面ABCDABCD所所成的角？成的角？返回106如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，O O為下底面為下底面ACAC的中心，求的中心，求A A1 1O O與平面與平面BBBB1 1D D1 1D D所成的角所成的角. .ABCDA1B1C1D1OO返回107正四面體正四面體PABCPABC中，求側棱中，求側棱PAPA與與底面底面ABCABC所成的角所成的角PABCHD返回108從一條直線出發(fā)的兩個半平面所形成從一條直線出發(fā)的兩個半平面所形成的圖形叫做二面角的圖形叫做二面角這條直線叫做二面角的棱這條直

51、線叫做二面角的棱從一條直線出發(fā)的兩個半平面所形成從一條直線出發(fā)的兩個半平面所形成的圖形叫做二面角的圖形叫做二面角這條直線叫做二面角的棱這條直線叫做二面角的棱返回109二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角以二面角的棱上任意一點為端點，以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角O返回110基礎題例題基礎題例題1.下列命題中：下列命題中：兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；異面直線異面直線a、b分別和一個二面角的兩個面

52、垂直，則分別和一個二面角的兩個面垂直，則a、b組成的角與這個二面角的平面角相等或互補；組成的角與這個二面角的平面角相等或互補；二面角的平面角是從棱上一點出發(fā)，分別在兩個面二面角的平面角是從棱上一點出發(fā)，分別在兩個面內作射線所成角的最小角；內作射線所成角的最小角；正四面體相鄰兩個面所成的二面角的平面角是銳角正四面體相鄰兩個面所成的二面角的平面角是銳角.其中，正確命題的序號是其中，正確命題的序號是_.、返回1112.如圖，正方體如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，二面角中，二面角B1-AA1-C1的大小為的大小為_，二面角，二面角B-AA1-D的大小為的大小為_，二，二面角面角C1-BD-C的

53、正切值是的正切值是_.24590基礎題例題基礎題例題返回1123. 在二面角在二面角-l-的一個平面的一個平面內有一條直線內有一條直線AB，它，它與棱與棱 l 所成的角為所成的角為45，與平面，與平面所成的角為所成的角為30，則，則這個二面角的大小是這個二面角的大小是_.45或或135基礎題例題基礎題例題返回113B4. 在二面角在二面角-a a-內，過內，過a作一個半平面作一個半平面，使二面角，使二面角-a a-為為45，二面角，二面角-a a-為為30，則，則內的任意內的任意一一 點點P到平面到平面與平面與平面的距離之比為的距離之比為( )(A) (B)(C) (D)222323基礎題例題

54、基礎題例題返回114基礎題例題基礎題例題5. PA、PB、PC是從是從P點引出的三條射線，每兩條的夾角點引出的三條射線，每兩條的夾角都是都是60o，則二面角，則二面角B PAC的余弦值是的余弦值是 ( )A. B. C. D.314131 21A6. 平面平面平面平面=CD，P為這兩個平面外一點，為這兩個平面外一點，PA于于A, PB于于B，若，若PA=2，PB=1，AB=7 ，則二面，則二面角角-CD-的大小為的大小為 ( )A. 150o B. 120o C. 60o D.120o 或或 60oD返回115ABCAM已知：如圖已知：如圖ABCABC的頂點的頂點A A在平面在平面M M上上的

55、射影為點的射影為點A A， ABCABC的面積是的面積是S S， AABCBC的面積是的面積是S S，設二面角，設二面角A-BC-A-BC-A A為為 . .求證：求證：COS = S SD返回116ABDCA1B1D1C1在正方體在正方體ACAC1 1中，求二面角中，求二面角D D1 1-AC-D-AC-D的的大??？大??？O返回117 過正方形過正方形ABCDABCD的頂點的頂點A A引引SASA底底面面ABCDABCD，并使平面，并使平面SBCSBC，SCDSCD都與底面都與底面ABCDABCD成成4545度角，求二面角度角，求二面角B-SC-DB-SC-D的大的大小小. .ABCDSOE

56、返回1187.已知斜三棱柱已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，中，BCA=90，AC=BC，A1在底面在底面ABC的射影恰為的射影恰為AC的中點的中點M. 又知又知AA1與底面與底面ABC所成的角為所成的角為60.(1)求證：求證：BC平面平面AA1C1C；(2)求二面角求二面角B-AA1-C的大小的大小.返回1197.已知斜三棱柱已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，中，BCA=90，AC=BC，A1在底面在底面ABC的射影恰為的射影恰為AC的中點的中點M. 又知又知AA1與底面與底面ABC所成的角為所成的角為60.(1)求證：求證：BC平面平面AA1C1C；(2)求二面角求二面角B-AA1-C的

57、大小的大小.證明證明: (1)由題設知，由題設知，A1M平面平面ABC，又又A1M 平面平面AA1C1C， (1)平面平面AA1C1C底面底面ABC，又又BCAC，平面平面AA1C1C平面平面ABC=AC，BC 平面平面AA1C1C返回1207.已知斜三棱柱已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，中，BCA=90，AC=BC，A1在底面在底面ABC的射影恰為的射影恰為AC的中點的中點M. 又知又知AA1與底面與底面ABC所成的角為所成的角為60.(1)求證：求證：BC平面平面AA1C1C；(2)求二面角求二面角B-AA1-C的大小的大小.證明證明: (2)由題設知，由題設知，A1M平面平面ABC，A

58、A1與底面與底面ABC所成角為所成角為A1AC,A1AC=60o,又又M是是AC中點，中點， AA1C是正三角形是正三角形,作作CNAA1于于N， 點點N是是AA1的中點的中點,連接連接BN， 由由BC 平面平面AA1C1C，BCAA1，作作AA1 平面平面BNC，AA1 BN ，BNC是二面角是二面角B-AA1C的平面角，的平面角，返回1217.已知斜三棱柱已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，中，BCA=90，AC=BC，A1在底面在底面ABC的射影恰為的射影恰為AC的中點的中點M. 又知又知AA1與底面與底面ABC所成的角為所成的角為60.(1)求證：求證：BC平面平面AA1C1C；(2)求

59、二面角求二面角B-AA1-C的大小的大小.設設AC=BC=a，正三角形正三角形AA1C的邊長為的邊長為a，,23aCN 在直角三角形在直角三角形BNC中，中，,33223tan aaNCBCBNC二面角二面角BAA1C的大小是的大小是332arctan返回122【解題回顧】【解題回顧】先由第先由第(1)小題的結論易知小題的結論易知BCAA1，再利用作出棱再利用作出棱AA1的垂面的垂面BNC來確定平面角來確定平面角BNC.將題設中將題設中“AA1與底面與底面ABC所成的角為所成的角為60”改為改為“ BA1AC1 ” 仍可證得三角形仍可證得三角形AA1C為正三角形，所為正三角形，所求求二面角仍為

60、二面角仍為 .本題的解答也可利用三垂線定理來推理本題的解答也可利用三垂線定理來推理.332arctan返回123在正方體在正方體ACAC1 1中，中，E E，F(xiàn) F分別是分別是ABAB，ADAD的中點，求二面角的中點，求二面角C C1 1-EF-C-EF-C的大?。康拇笮。縀FABDCA1B1D1C1H返回124ABCABC中中,ABBC,SA ,ABBC,SA 平面平面ABC,DEABC,DE垂直平分垂直平分SC,SC,又又SA=AB,SB=BC,SA=AB,SB=BC,求二面求二面角角E-BD-CE-BD-C的大小的大小? ?SABCED返回125ABCD求正四面體的側面與底面所成的二面求