畫法幾何換面法

1、一、換面法的基本概念一、換面法的基本概念變換投影面即變換投影面即“換面法換面法”。根據(jù)。根據(jù)“真實(shí)性真實(shí)性” ，當(dāng)空間，當(dāng)空間的直線或平面與投影面平行時，其投影能夠反映直線的的直線或平面與投影面平行時，其投影能夠反映直線的實(shí)長和平面的真實(shí)的形狀。根據(jù)實(shí)長和平面的真實(shí)的形狀。根據(jù)“積聚性積聚性” ，當(dāng)空間的，當(dāng)空間的直線或平面與投影面垂直時，其投影積聚成點(diǎn)或直線。直線或平面與投影面垂直時，其投影積聚成點(diǎn)或直線。變換投影面的基本原理是：設(shè)置變換投影面的基本原理是：設(shè)置新的投影面來代替原新的投影面來代替原來的某一投影面，并使新投影面與空間幾何元素處于平來的某一投影面，并使新投影面與空間幾何元素處于平

2、行或垂直的特殊位置。行或垂直的特殊位置。且使新投影面與原未被替換的投且使新投影面與原未被替換的投影面垂直。影面垂直。5 - 4 換面法換面法1、為求、為求ab實(shí)長可設(shè)一實(shí)長可設(shè)一v1投影面，投影面，v1面與面與ab平行平行并垂直于并垂直于h投影面。將投影面。將ab線向線向v1面作正投影，則面作正投影，則ab線在線在v1面上的投影便可反面上的投影便可反映實(shí)長。映實(shí)長。2、直線的新投影還可、直線的新投影還可反映反映角的實(shí)際大小。角的實(shí)際大小。5 - 4 換面法換面法換面法應(yīng)用一：換面法應(yīng)用一： 在在v、h兩投影面體系中，兩投影面體系中，ab為一般位置直線，其兩面為一般位置直線，其兩面投影均不能反映

3、實(shí)長。投影均不能反映實(shí)長。圖中圖中abcabc平面為一平面為一鉛垂面，其水平投影積鉛垂面，其水平投影積聚為一直線，正面投影聚為一直線，正面投影為縮小的類似形。為縮小的類似形。為求得為求得abcabc平面的平面的真實(shí)形狀，可設(shè)一新投真實(shí)形狀，可設(shè)一新投影面影面v v1 1，v v1 1面與面與abcabc平平面平行并垂直于面平行并垂直于h h投影投影面。面。換面法應(yīng)用二：換面法應(yīng)用二：1、舊投影面：指圖中的、舊投影面：指圖中的v、h面；面；2、舊投影：指幾何元素在、舊投影：指幾何元素在v、h面上的投影；面上的投影；3、被替換的投影面：圖中、被替換的投影面：圖中的新面的新面v1與與h面垂直，替換了

4、面垂直，替換了舊投影面舊投影面v，因此，因此v面為被替換面為被替換的投影面的投影面,v面上的投影稱為被面上的投影稱為被替換的投影；替換的投影；二、換面法的術(shù)語：二、換面法的術(shù)語： 4、不變的投影面及不變投影：指圖中的、不變的投影面及不變投影：指圖中的h面以及幾何要面以及幾何要 素在素在h面上的投影。面上的投影。 換面法的投影面轉(zhuǎn)換過程如圖所示。換面法的投影面轉(zhuǎn)換過程如圖所示。點(diǎn)擊演示動畫點(diǎn)擊演示動畫 二、換面法的術(shù)語：二、換面法的術(shù)語： 5、新投影面：指圖中的、新投影面：指圖中的v1面，如果需要也可設(shè)面，如果需要也可設(shè)h1面面 6、新投影軸：新投影面與不變投影面的交線，如圖中的、新投影軸：新投

5、影面與不變投影面的交線，如圖中的o1x1 7、新投影：指幾何要素在新投影面上的投影、新投影：指幾何要素在新投影面上的投影,如如a1b1換面法的投影規(guī)律：換面法的投影規(guī)律：在對幾何要素進(jìn)行投影變換在對幾何要素進(jìn)行投影變換時，仍舊遵循著時，仍舊遵循著正投影的基本正投影的基本規(guī)律以及投影面的展開方法規(guī)律以及投影面的展開方法。v、h面上的投影；面上的投影；三、點(diǎn)的投影變換三、點(diǎn)的投影變換1、點(diǎn)的一次變換、點(diǎn)的一次變換v、h兩投影面體系中有一兩投影面體系中有一a點(diǎn)，現(xiàn)在適當(dāng)位置設(shè)一點(diǎn)，現(xiàn)在適當(dāng)位置設(shè)一v1面，面， v1和和h面構(gòu)成新的兩投影面體系。面構(gòu)成新的兩投影面體系。a點(diǎn)在點(diǎn)在v1面上的正投影記做面

6、上的正投影記做a1。a1與與a的連線和的連線和o1x1軸的軸的交點(diǎn)記做交點(diǎn)記做ax1。 將將v1與與h面展開。面展開。 點(diǎn)擊演示動畫點(diǎn)擊演示動畫1、點(diǎn)的一次變換、點(diǎn)的一次變換問題問題1：點(diǎn)的新投影：點(diǎn)的新投影a1與不變投影與不變投影a的連線的連線？ 垂直于新軸垂直于新軸o1x1。（點(diǎn)的變換規(guī)律（點(diǎn)的變換規(guī)律1）問題問題2：點(diǎn)的新投影：點(diǎn)的新投影a1到新軸到新軸o1x1（ax1)的距離的距離？ 等于被替換的投影等于被替換的投影a到舊軸（到舊軸（ax）的距離。）的距離。（點(diǎn)的變（點(diǎn)的變換規(guī)律換規(guī)律2）根據(jù)上述分析，便可得出點(diǎn)的變換投影：（變根據(jù)上述分析，便可得出點(diǎn)的變換投影：（變換換h1面與變換面

7、與變換v1面的規(guī)律是一樣的）面的規(guī)律是一樣的）n 點(diǎn)的新投影與不變投影的連線垂直于新軸；點(diǎn)的新投影與不變投影的連線垂直于新軸；n 點(diǎn)的新投影到新軸的距離等于被替換的投影到點(diǎn)的新投影到新軸的距離等于被替換的投影到 舊軸的距離。舊軸的距離。需要注意的是：誰是點(diǎn)的不變投影、被替換的投影。需要注意的是：誰是點(diǎn)的不變投影、被替換的投影。1、點(diǎn)的一次變換、點(diǎn)的一次變換作圖分析：作圖分析：從圖中標(biāo)注可知變換的是從圖中標(biāo)注可知變換的是v v1 1投影投影面，面，a a為被替換的投影，為被替換的投影，a a為不變投為不變投影。按照點(diǎn)的變換規(guī)律即可作出影。按照點(diǎn)的變換規(guī)律即可作出a a點(diǎn)點(diǎn)的新投影。的新投影。作圖

8、步驟：作圖步驟：例：如下圖，已例：如下圖，已知知a點(diǎn)的兩面投點(diǎn)的兩面投影影a、a，試作出，試作出給定位置的給定位置的a點(diǎn)點(diǎn)新投影。新投影。1、點(diǎn)的一次變換、點(diǎn)的一次變換作圖分析：作圖分析：變換變換h h1 1面與變換面與變換v v1 1面的作圖分析和作圖步驟相同。面的作圖分析和作圖步驟相同。本題的投影變換作圖為本題的投影變換作圖為點(diǎn)點(diǎn)a的兩個一次變換。的兩個一次變換。例：已知例：已知a點(diǎn)的兩面投影點(diǎn)的兩面投影a、a，試作出給定位置的，試作出給定位置的a點(diǎn)新點(diǎn)新投影。又：作出投影。又：作出a點(diǎn)在點(diǎn)在h1面上的投影。面上的投影。在用投影變換的方法求解一些實(shí)際問題時，需要變換兩在用投影變換的方法求解

9、一些實(shí)際問題時，需要變換兩次投影面，這樣的變換方法稱為二次變換。次投影面，這樣的變換方法稱為二次變換。二次變換實(shí)際上就是連續(xù)作出的兩個一次變換。其變換二次變換實(shí)際上就是連續(xù)作出的兩個一次變換。其變換的原則和變換的規(guī)律與一次變換方法完全相同。的原則和變換的規(guī)律與一次變換方法完全相同。不過在作二次變換時要正確判斷出不變投影、被替換的不過在作二次變換時要正確判斷出不變投影、被替換的投影、新軸和舊軸，準(zhǔn)確定出點(diǎn)的新投影的位置。投影、新軸和舊軸，準(zhǔn)確定出點(diǎn)的新投影的位置。圖中先變換的是圖中先變換的是v1面，接著作第面，接著作第二次變換。此時的二次變換。此時的h1面與面與v1面垂直，面垂直，被替換是被替換

10、是h面，而面，而v1面為不變投影面為不變投影面。面。o2x2為新的投影軸，為新的投影軸，o1x1則成則成了舊投影軸。了舊投影軸。點(diǎn)擊演示動畫點(diǎn)擊演示動畫2、點(diǎn)的二次變換、點(diǎn)的二次變換例：如右圖，作出例：如右圖，作出a點(diǎn)的二點(diǎn)的二次變換投影圖。次變換投影圖。 作圖分析：兩次變換的規(guī)律是作圖分析：兩次變換的規(guī)律是一樣的，要注意的是在作第二次一樣的，要注意的是在作第二次變換時，定準(zhǔn)點(diǎn)的新投影的位置。變換時，定準(zhǔn)點(diǎn)的新投影的位置。作圖過程如圖所示。作圖過程如圖所示。四、直線的投影變換四、直線的投影變換直線的變換主要解決以下兩個方面問題：直線的變換主要解決以下兩個方面問題： 求直線的實(shí)際長度或傾角求直線

11、的實(shí)際長度或傾角 求直線的積聚性投影求直線的積聚性投影 變換直線可歸結(jié)于變換變換直線可歸結(jié)于變換直線上的兩端點(diǎn)的作圖。只直線上的兩端點(diǎn)的作圖。只是要根據(jù)解決的實(shí)際問題確是要根據(jù)解決的實(shí)際問題確定變換的新投影面的位置。定變換的新投影面的位置。 1、將一般位置直線變換為投影面平行線、將一般位置直線變換為投影面平行線通過通過一次變換一次變換可將可將一般位置直線一般位置直線變換為變換為投影面平行線投影面平行線，求得直線的實(shí)際長度以及直線對投影面的夾角。求得直線的實(shí)際長度以及直線對投影面的夾角。為求得為求得abab線的實(shí)長，所設(shè)置的新投影面線的實(shí)長，所設(shè)置的新投影面v v1 1應(yīng)與應(yīng)與abab平行。平行

12、。從直觀圖上可看出，體現(xiàn)新面位置的從直觀圖上可看出，體現(xiàn)新面位置的新軸新軸就應(yīng)就應(yīng)平行于平行于abab線的線的水平投影水平投影 abab。1、將一般位置直線變換為投影面平行線、將一般位置直線變換為投影面平行線例：求出例：求出ab直線的實(shí)長以及對直線的實(shí)長以及對h面傾角面傾角。作圖分析：在水平投影圖的適當(dāng)位置作一作圖分析：在水平投影圖的適當(dāng)位置作一平行于平行于ab的新軸的新軸 o1x1，然后按照點(diǎn)的變換規(guī)律作出，然后按照點(diǎn)的變換規(guī)律作出ab線的新投影。線的新投影。作圖步驟如圖示：作圖步驟如圖示：2、將投影面的平行線變換為投影面垂直線、將投影面的平行線變換為投影面垂直線通過一次變換使得直線在新投影

13、面通過一次變換使得直線在新投影面上的投影積聚為一點(diǎn)。因此所設(shè)置的上的投影積聚為一點(diǎn)。因此所設(shè)置的新投影面應(yīng)與直線成垂直。新投影面應(yīng)與直線成垂直。例：將例：將ab直線變換為一投影面垂直線。直線變換為一投影面垂直線。注意：應(yīng)在反映直線實(shí)長的投影圖中進(jìn)行變換。注意：應(yīng)在反映直線實(shí)長的投影圖中進(jìn)行變換。作圖分析：作圖分析： 所設(shè)的新投影面應(yīng)所設(shè)的新投影面應(yīng)垂直于垂直于abab線的正面線的正面投影。體現(xiàn)新面位投影。體現(xiàn)新面位置的新軸置的新軸o o1 1x x1 1應(yīng)垂應(yīng)垂直于直于a ab b。3、將一般位置直線變換為投影面垂直線、將一般位置直線變換為投影面垂直線 要將一般位置直線變換為投影面垂直線則需要

14、作兩次要將一般位置直線變換為投影面垂直線則需要作兩次換面。從下圖可看出，第一次換面將直線變換為投影面換面。從下圖可看出，第一次換面將直線變換為投影面平行線。再將投影面平行線變換成投影面垂直線，使變平行線。再將投影面平行線變換成投影面垂直線，使變換后直線的新投影積聚為一點(diǎn)。換后直線的新投影積聚為一點(diǎn)。 例：試將例：試將ab直線變換為一投影面垂直線。直線變換為一投影面垂直線。作圖分析：作圖分析： 第一次設(shè)置一與第一次設(shè)置一與 ab平行平行的的v1面，將面，將ab直線變換為投直線變換為投影面平行線。再設(shè)置垂直于影面平行線。再設(shè)置垂直于ab線的線的h1面，則面，則ab的新投影的新投影積聚為一點(diǎn)。積聚為

15、一點(diǎn)。3、將一般位置直線變換為投影面垂直線、將一般位置直線變換為投影面垂直線作圖過程如圖示：作圖過程如圖示：1）作新軸）作新軸o1平行于平行于ab(ab也也 可可)，作出第一次變換的新投影，作出第一次變換的新投影 a1b1；2）作新軸）作新軸o2垂直于垂直于a1b1，按，按 投影規(guī)律作出第二次變換的新投影規(guī)律作出第二次變換的新 投影投影a2b2。五、平面的投影變換五、平面的投影變換通過平面的變換主要解決兩方面的問題：通過平面的變換主要解決兩方面的問題：u 將平面變換為投影面平行面，求得平面的實(shí)際形狀將平面變換為投影面平行面，求得平面的實(shí)際形狀u 將平面變換為投影面垂直面，求得平面與投影面的夾角

16、將平面變換為投影面垂直面，求得平面與投影面的夾角點(diǎn)擊演示動畫點(diǎn)擊演示動畫 變換平面的方法同變換點(diǎn)、直變換平面的方法同變換點(diǎn)、直線相同，只是由于要找的點(diǎn)比較線相同，只是由于要找的點(diǎn)比較多，在作圖時更要細(xì)心。多，在作圖時更要細(xì)心。五、平面的投影變換五、平面的投影變換1、將投影面垂直面變換為投影面平行面、將投影面垂直面變換為投影面平行面作圖分析：作圖分析： 新投影面應(yīng)平行于空間新投影面應(yīng)平行于空間平面，所以新投影軸就應(yīng)平面，所以新投影軸就應(yīng)平行于空間平面的積聚性平行于空間平面的積聚性投影。即投影。即o1x1abc。 投影面的空間轉(zhuǎn)換關(guān)系投影面的空間轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖所示。如圖所示。例：用換面法求出例：用換

17、面法求出abc平面的實(shí)際形狀。平面的實(shí)際形狀。 作圖分析：作圖分析：由于由于abc平面為一平面為一鉛垂面鉛垂面 ，則，則o1x1軸應(yīng)平行于平面的軸應(yīng)平行于平面的積聚性投影。積聚性投影。作作圖圖過過程程如如圖圖所所示：示：2 2、將一般位置平面變換為投影面垂直面、將一般位置平面變換為投影面垂直面將一般位置平面變換為投影面垂直面的作圖步驟如下：將一般位置平面變換為投影面垂直面的作圖步驟如下：l 在空間平面內(nèi)作一投影面平行線（下圖中作了一條水在空間平面內(nèi)作一投影面平行線（下圖中作了一條水 平線）平線）l 設(shè)置與投影面平行線成垂直的新設(shè)置與投影面平行線成垂直的新 投影面（如下圖中設(shè)置的投影面（如下圖中

18、設(shè)置的v1面）面）作圖分析：作圖分析： 在作圖時首先要考慮的是如何確定新投影面的位置。在作圖時首先要考慮的是如何確定新投影面的位置。要注意：要注意：新投影面垂直于空間平面內(nèi)的一新投影面垂直于空間平面內(nèi)的一條線，也就垂直于空間平面。條線，也就垂直于空間平面。作圖步驟如圖示：作圖步驟如圖示：例：將例：將abcabc平面變換為投影面垂直面。平面變換為投影面垂直面。3 3、將一般位置平面變換為投影面平行面、將一般位置平面變換為投影面平行面上述的分析步驟實(shí)際上就是將前面所介紹的兩種變上述的分析步驟實(shí)際上就是將前面所介紹的兩種變換平面的方法綜合加以應(yīng)用。換平面的方法綜合加以應(yīng)用。 作圖分析：作圖分析： 將一般位置平面變換成投影面平行面要作將一般位置平面變換成投影面平行面要作兩次變換。即先變換成投影面垂