高等數(shù)學(xué)第十一章習(xí)題課一

1、第十一章第十一章 習(xí)題課（一）習(xí)題課（一）曲線積分部分曲線積分部分 重點(diǎn)掌握：重點(diǎn)掌握：1.第一類曲線積分的計(jì)算第一類曲線積分的計(jì)算 2.第二類曲線積分的計(jì)算第二類曲線積分的計(jì)算 lyyxqxyxpd),(d),( lsyxfd),(3.一、基本內(nèi)容 曲曲 線線 積積 分分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分定定義義 niiiilsfdsyxf10),(lim),( ldyyxqdxyxp),(),(),(),(lim10iiiniiiiyqxp 聯(lián)聯(lián)系系dsqpqdypdxll)coscos( 計(jì)計(jì)算算 dtfdsyxfl22,),(三代一定三代一定)( dtqp

2、qdypdxl),(),(二代一定二代一定 (與方向有關(guān)與方向有關(guān))ld區(qū)域 d 分類單連通區(qū)域 ( 無“洞”區(qū)域 )復(fù)連通區(qū)域 ( 有“洞”區(qū)域 )域 d 邊界l 的正向正向: 域的內(nèi)部靠左域的內(nèi)部靠左定理定理1. 設(shè)閉區(qū)域設(shè)閉區(qū)域 d 是由分段光滑正向曲線是由分段光滑正向曲線 l 圍成圍成,則有則有, ),(yxp),(yxqldyqxpyxypxqdddd( 格林公式格林公式 )函數(shù)函數(shù)在在 d 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 格林公式格林公式與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條條件件在單連通開區(qū)域在單連通開區(qū)域d上上),(),(yxqyxp具有具有連續(xù)的一階偏

3、導(dǎo)數(shù)連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), ,則以下四個(gè)命題成立則以下四個(gè)命題成立. . lqdypdxd與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)內(nèi)內(nèi)在在)1( cdcqdypdx閉閉曲曲線線, 0)2(qdypdxduyxud 使使內(nèi)存在內(nèi)存在在在),()3(xqypd ,)4(內(nèi)內(nèi)在在等等價(jià)價(jià)命命題題 基本方法基本方法曲線積分曲線積分第一類第一類 ( 對(duì)弧長(zhǎng)對(duì)弧長(zhǎng) )第二類第二類 ( 對(duì)坐標(biāo)對(duì)坐標(biāo) )(1) 統(tǒng)一積分變量統(tǒng)一積分變量轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化定積分定積分用參數(shù)方程用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程(2) 確定積分上下限確定積分上下限第一類第一類: 下小上大下小上大第二類第二類: 下始上終下始上終“變量參

4、數(shù)化，一小二起下變量參數(shù)化，一小二起下” (1) 利用對(duì)稱性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算利用對(duì)稱性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算 ;(2) 利用積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件利用積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件;(3) 利用格林公式利用格林公式 (注意注意加輔助線的技巧加輔助線的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式求曲線積分（空間）（第七節(jié)）利用斯托克斯公式求曲線積分（空間）（第七節(jié)） ;(5) 利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式 . 基本技巧基本技巧 (1) 如果曲線弧如果曲線弧l關(guān)于關(guān)于y軸對(duì)稱軸對(duì)稱,且被積函數(shù)關(guān)于且被積函數(shù)關(guān)于x為奇函數(shù)為奇函數(shù),則曲線積分為零則曲線積分為零.(2) 如果曲線弧如果曲線弧

5、l關(guān)于關(guān)于y軸對(duì)稱軸對(duì)稱,且被積函數(shù)關(guān)于且被積函數(shù)關(guān)于x為偶函數(shù)為偶函數(shù),則曲線積分為則曲線積分為一半曲線上的積分的一半曲線上的積分的2倍倍.(3) 如果曲線弧如果曲線弧l關(guān)于關(guān)于x，y軸均對(duì)稱軸均對(duì)稱,且被積函數(shù)且被積函數(shù)關(guān)于關(guān)于x為偶函數(shù)為偶函數(shù),關(guān)于關(guān)于y為偶函數(shù)，則曲線積分為偶函數(shù)，則曲線積分為四分之一曲線的積分的為四分之一曲線的積分的4倍倍.第一類曲線積分的對(duì)稱性定理：第一類曲線積分的對(duì)稱性定理：第二類曲線積分第二類曲線積分 lqdypdxixqyp xqyp 0 lqdypdxi ),(),(00yxyxqdypdxi閉合閉合非閉非閉閉合閉合 ddxdyypxqi)(非閉非閉補(bǔ)充曲

6、線或用公式補(bǔ)充曲線或用公式利用格林公式求解對(duì)坐標(biāo)的曲線積分利用格林公式求解對(duì)坐標(biāo)的曲線積分（1 1）適宜范圍：）適宜范圍：當(dāng)平面曲線當(dāng)平面曲線l封閉時(shí)，直接利用格林公式封閉時(shí)，直接利用格林公式.但必須注意使用條件（但必須注意使用條件（l取正向邊界，取正向邊界，若若l不是封閉的，直接計(jì)算又困難，可以添加不是封閉的，直接計(jì)算又困難，可以添加、yp xq 在閉區(qū)域在閉區(qū)域d上連續(xù)，上連續(xù)， d上可以不是單連通域）上可以不是單連通域）輔助曲線輔助曲線c，使積分曲線封閉，從而利用格林公式，使積分曲線封閉，從而利用格林公式，但須注意將所加曲線積分減去但須注意將所加曲線積分減去)( ccll利用格林公式求解

7、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分利用格林公式求解對(duì)坐標(biāo)的曲線積分（2 2）注意：）注意：利用利用格林公式將曲線積分化為二重積分時(shí)，應(yīng)格林公式將曲線積分化為二重積分時(shí)，應(yīng)若若l是是d的負(fù)向邊界，則利用格林公式前，的負(fù)向邊界，則利用格林公式前，, ll特別注意兩種積分計(jì)算的不同：曲線積分可以將特別注意兩種積分計(jì)算的不同：曲線積分可以將l的的表達(dá)式直接代入積分式，而二重積分卻不能直接代入表達(dá)式直接代入積分式，而二重積分卻不能直接代入邊界線方程邊界線方程.應(yīng)先作變換應(yīng)先作變換再對(duì)積分再對(duì)積分 l用格林公式用格林公式.帶奇點(diǎn)的曲線積分的處理方法帶奇點(diǎn)的曲線積分的處理方法. .yx說明: 根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域內(nèi),x

8、qyp則2) 求曲線積分時(shí), 可利用格林公式簡(jiǎn)化計(jì)算,3) 可用積分法求d u = p dx + q dy在域 d 內(nèi)的原函數(shù):dyx),(00及動(dòng)點(diǎn),),(dyxyyxqxyxpyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxp0d),(0或yyyyxqyxu0d),(),(00y0 x則原函數(shù)為yyyyxq0d),(xxxyxp0d),(若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助線;取定點(diǎn)1) 計(jì)算曲線積分時(shí), 可選擇方便的積分路徑;二、二、典型例題典型例題 1.計(jì)算 ,d22syxl其中l(wèi)為圓周.22xayx提示提示: 利用極坐標(biāo) ,)22(cos: arldd22rrs原式 =

9、sxald22dcos22aa22a說明說明: 若用參數(shù)方程計(jì)算,:l)20( txaoyrda)cos1 (2txatyasin2t則tyxsd)()(d22 tad2解解xxyxyyp2)2(2 知知xyxxxq2)(42 ,xqyp 即即 104102)1(dyydxx故原式故原式.1523 xyo11a dyyxdxxyxi)()2(422由由例3. 計(jì)算計(jì)算,d)(d)(22lyxyxyxi其中l(wèi) 是沿逆時(shí)針方向以原點(diǎn)為中心,coyxabl解法解法1 令,22xyqyxp則xq這說明積分與路徑無關(guān), 故yxyxyxiabd)(d)(22aaxx d2332a1ypa 為半徑的上半圓周

10、.解法2 ,ba它與l所圍區(qū)域?yàn)閐,coyxabldyxdd0yxyxyxbad)(d)(22xxaad2d(利用格林公式)思考思考:(2) 若 l 同例2 , 如何計(jì)算下述積分:lyxyxyxid)(d) (2222ylyxyxyxid)(d)(2213332a(1) 若l 改為順時(shí)針方向,如何計(jì)算下述積分:balyxyxyxid)(d)(22則添加輔助線段思考題解答:lyxyxyxid)(d)(2213(1)ababldyxdd2)32(2aalyxyxyxid)(d) (2222y(2)lyxyxyxd)(d)(22lxy d2ttadsin303,sin,cos:taytaxl332a13223 a32a0: t332aicoyxabldp247 6 . 設(shè)在右半平面 x 0 內(nèi), 力構(gòu)成力場(chǎng),其中k 為常數(shù), ,22yx 證明在此力場(chǎng)中場(chǎng)力所作的功與所取的路徑無關(guān).提示提示:)dd(3yyxxkwl令33,ykqxkp易證53yxkypxq)0(x),(3yxkff 沿右半平面內(nèi)任意有