概率論中心極限定理

1、概率論中心極限定理如果x是連續(xù)型隨機(jī)變量.思考題解答:本課程的主要內(nèi)容:中心極限定理:1.李雅普諾夫定理;2.推論:獨(dú)立同分布定理;3.拉普拉斯定理(獨(dú)立同分布定理推論);4.拉普拉斯局部極限定理;抽樣分布:設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量有期望值及方差若每個(gè)對總和的影響不大.一.定理5.3: (李雅普諾夫定理) 設(shè)x1,x2, 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且e(xi)= ，d(xi)= ，i=1,2,，則列維一林德伯格（levylindberg）定理.推論（獨(dú)立同分布下的中心極限定理）請看演示中心極限定理的直觀演示說明:在定理?xiàng)l件下:和函數(shù)的正態(tài)性;算術(shù)均值的正態(tài)性;或 n較大的情況下,一般 n>

2、;30;例3 在一個(gè)罐子中,裝有10個(gè)編號(hào)為0-9的同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個(gè)，并記下號(hào)碼.問對序列xk,能否應(yīng)用大數(shù)定律？ 諸xk 獨(dú)立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù)定律.解: k=1,2, e(xk)=0.1, (1) 設(shè)，k=1,2, 即對任意的>0,解: k=1,2, e(xk)=0.1, 諸xk 獨(dú)立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù)定律.(2) 至少應(yīng)取球多少次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95?解：設(shè)應(yīng)取球n次，0出現(xiàn)頻率為由題可知:由中心極限定理近似n(0,1)近似n(0,1)欲使即查表得從中解得即至少應(yīng)取球3458次才

3、能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95.(3) 用中心極限定理計(jì)算在100次抽取中,數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率.解：在100次抽取中, 數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)為即近似n(0,1)由題:所求概率為:即在100次抽取中，數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率為0.6826.=0.6826近似n(0,1)例1 根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布. 現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的. 求這16只元件的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率.由題給條件知，諸xi獨(dú)立，同分布.16只元件的壽命的總和為解: 設(shè)第i只元件的壽命為xi , i=

4、1,2, ,16e(xi)=100, d(xi)=10000依題意，所求為p(y>1920)由于e(y)=1600,d(y)=160000由中心極限定理,近似n(0,1)p(y>1920)=1-p(y?1920)=1-0.7881=0.2119 設(shè)隨機(jī)變量 服從參數(shù)n, p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則對任意x，有 定理表明，當(dāng)n很大，0<p<1是一個(gè)定值時(shí)（或者說，np(1-p)也不太小時(shí)），二項(xiàng)變量 的分布近似正態(tài)分布 n(np,np(1-p).二.定理(棣莫佛拉普拉斯定理）例: 一復(fù)雜的系統(tǒng)由100個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件 組成,在整個(gè)運(yùn)行期間每個(gè)部件損壞

5、的概率為0.1,為使整個(gè)系統(tǒng)起作用,至少必須有85個(gè)部件正常工 作求整個(gè)系統(tǒng)起作用的概率 一復(fù)雜的系統(tǒng)由n個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件所組成,每個(gè)部件的可靠性為0.9,且必須至少有80%的部件工作才能使整個(gè)的系統(tǒng)正常工作,問n至少為多大才能使系統(tǒng)的可靠性不低于0.95?解:設(shè)100中個(gè)正常工作數(shù)為x,=0.9525 2) xb(n, 0.9)由題意可知 即:查表得:解方程:至少25件.例2. (供電問題)某車間有200臺(tái)車床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常需停車. 設(shè)開工率為0.6, 并設(shè)每臺(tái)車床的工作是獨(dú)立的，且在開工時(shí)需電力1千瓦.問應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概

6、率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)?設(shè)需要x千瓦電力.由題意得:用x表示在某時(shí)刻工作著的車床數(shù)，解：對每臺(tái)車床的觀察作為一次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)觀察該臺(tái)車床在某時(shí)刻是否工作， 工作的概率為0.6，共進(jìn)行200次試驗(yàn).依題意，xb(200,0.6),現(xiàn)在的問題是：p(xx)0.999的最小的x.求滿足設(shè)需x千瓦電力，（由于每臺(tái)車床在開工時(shí)需電力1千瓦，x臺(tái)工作所需電力即x千瓦.） 由德莫佛-拉普拉斯極限定理近似n(0,1),于是 p(xx)= p(0xx)這里 np=120, np(1-p)=48查正態(tài)分布函數(shù)表得由 0.999，從中解得x141.5,即所求 x=142.(千瓦) 也就是說, 應(yīng)供應(yīng)

7、142 千瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn). 3.1,故三.定理5.4(拉普拉斯局部極限定理）當(dāng) 時(shí), 例:10部機(jī)器獨(dú)立工作,每部停機(jī)得概率為0.2,求3部機(jī)器同時(shí)停機(jī)的概率?解:設(shè)10部中同時(shí)停機(jī)的數(shù)為x,=0.2308 統(tǒng)計(jì)量既然是依賴于樣本的，而后者又是隨機(jī)變量，故統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量，因而就有一定的分布，這個(gè)分布叫做統(tǒng)計(jì)量的“抽樣分布” . 7.4幾個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量的分布主要介紹正態(tài)總體下的統(tǒng)計(jì)量的分布.設(shè)總體x是總體x的一個(gè)樣本.由此構(gòu)成的樣本函數(shù):它們服從什么分布?一.關(guān)于樣本均值的分布的定理設(shè)x1,x2,xn是取自正態(tài)總體的樣本，則有(1)(2)令u=u

8、-分布的臨界值:它是指在一定的概率之下,隨機(jī)變量取值落入某一區(qū)間內(nèi)的區(qū)間上限或下限.例:p=,稱為u分布的臨界值已知的值可查表求臨界值.即:由左邊面積求u的臨界值二.關(guān)于樣本方差s2的分布定理(一)分布分布的密度函數(shù)為來定義.其中伽瑪函數(shù) 通過積分e(x)=n, d(x)=2n演示 c2 分布分布的上分位點(diǎn):例如:34.4 當(dāng)n充分大時(shí),有費(fèi)歇(r.a.fisher)公式:例如:=67.28 定理2.1: 設(shè) 相互獨(dú)立, 都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布n(0,1), 則隨機(jī)變量： 服從的分布為自由度為 n 的 分布.定理2.2:設(shè) 相互獨(dú)立, 都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布則(二)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下平方和分布定理 (1) 與相互獨(dú)立.(2) 作業(yè):1.預(yù)習(xí):抽