高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.1 變化率與導(dǎo)數(shù) 3.1.1 變化率問題 3.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念課件1 新人教A版選修1-1

1、1 1第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.1 變化率與導(dǎo)數(shù)3.1.1 變化率問題 3.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念 2 2早在十七世紀(jì)，歐洲資本主義發(fā)展初期，由于工廠的早在十七世紀(jì)，歐洲資本主義發(fā)展初期，由于工廠的手工業(yè)向機(jī)器生產(chǎn)過渡，提高了生產(chǎn)力，促進(jìn)了科學(xué)手工業(yè)向機(jī)器生產(chǎn)過渡，提高了生產(chǎn)力，促進(jìn)了科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，其中突出的成就就是數(shù)學(xué)研究中取技術(shù)的快速發(fā)展，其中突出的成就就是數(shù)學(xué)研究中取得了豐碩的成果得了豐碩的成果微積分的產(chǎn)生微積分的產(chǎn)生. .3 3背景介紹背景介紹 微積分的奠基人是牛頓和萊布尼茲，他們分別從微積分的奠基人是牛頓和萊布尼茲，他們分別從運(yùn)動(dòng)學(xué)和幾何學(xué)的角度來研究微積分運(yùn)動(dòng)學(xué)和幾何學(xué)的角度來研

2、究微積分.微積分靠著解析微積分靠著解析幾何的幫助，成為十七世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，此后，幾何的幫助，成為十七世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，此后，微積分得到了廣泛的應(yīng)用微積分得到了廣泛的應(yīng)用. 例如，在軍事上，戰(zhàn)爭中涉及炮彈的最遠(yuǎn)射程問例如，在軍事上，戰(zhàn)爭中涉及炮彈的最遠(yuǎn)射程問題，天文學(xué)上，行星與太陽的最近與最遠(yuǎn)距離問題等題，天文學(xué)上，行星與太陽的最近與最遠(yuǎn)距離問題等.甚至連歷法、農(nóng)業(yè)都與微積分密切相關(guān)甚至連歷法、農(nóng)業(yè)都與微積分密切相關(guān).更不用說在我更不用說在我們的日常生活中所碰到的那些問題了們的日常生活中所碰到的那些問題了.4 4 214 96 510?.,:.?shmh ttt 你你看看過過高高臺(tái)臺(tái)跳

3、跳水水比比賽賽嗎嗎照照片片中中鎖鎖定定了了運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)員員比比賽賽的的瞬瞬間間已已知知起起跳跳后后運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)員員相相對(duì)對(duì)于于水水面面的的高高度度單單位位可可用用函函數(shù)數(shù)表表示示 如如何何求求她她在在某某時(shí)時(shí)刻刻的的速速 度度 她她距距水水面面的的最最大大高高度度是是多多少少5 51.1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵內(nèi)涵. .2.2.導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵. .（重點(diǎn)）（重點(diǎn)）6 6探究點(diǎn)探究點(diǎn)1 1 變化率問題變化率問題問題問題1 1 氣球膨脹率氣球膨脹率 我們都吹過氣球，回憶一下吹氣球

4、的過程我們都吹過氣球，回憶一下吹氣球的過程, ,可以發(fā)可以發(fā)現(xiàn)現(xiàn), ,隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加, ,氣球半徑增加得越來氣球半徑增加得越來越慢越慢. .從數(shù)學(xué)角度從數(shù)學(xué)角度, ,如何描述這種現(xiàn)象呢如何描述這種現(xiàn)象呢? ?提示：提示：氣球的體積氣球的體積V(V(單位單位:L):L)與半徑與半徑r(r(單位單位:dm):dm)之間的之間的函數(shù)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系是如果將半徑如果將半徑r r表示為體積表示為體積V V的函數(shù)的函數(shù), ,那么那么334( ).Vr V 34( )3V rr，7 7當(dāng)當(dāng)V V從從0 0增加到增加到1 1時(shí)時(shí), ,氣球半徑增加了氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率

5、為氣球的平均膨脹率為當(dāng)當(dāng)V V從從1 1增加到增加到2 2時(shí)時(shí), ,氣球半徑增加了氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為氣球的平均膨脹率為100 62( )( ).()rrdm 100 6210( )( ).(/).rrdm L (2)(1)0.16()rrdm210 1621( )( ).(/).rrdm L 顯然顯然0.620.160.620.16334( )Vr V 我們來分析一下我們來分析一下: :8 8解解答答： 2121r(V )-r(V )V -V思考思考: :當(dāng)空氣容量從當(dāng)空氣容量從V V1 1增加到增加到V V2 2時(shí)時(shí), ,氣球的平均氣球的平均膨脹率是多少膨脹率是多少? ?9 9

6、hto問題問題2 2 高臺(tái)跳水高臺(tái)跳水在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中, ,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(h(單位：單位：米米) )與起跳后的時(shí)間與起跳后的時(shí)間t t（單位：秒）存在函數(shù)關(guān)系（單位：秒）存在函數(shù)關(guān)系h(t)=-4.9th(t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10.00 52.ttv請請計(jì)計(jì)算算和和1 1時(shí)時(shí)的的平平均均速速度度1010提示：提示：h(t)=-4.9th(t)=-4.9t2 2+6.5t+10+6.5t+100 50 504 0508 2502212 10.( . )( ).(/. (/ ).( )( )thhvm sthhvm

7、s 在在這這段段時(shí)時(shí)間間里里，在在1這1這段段時(shí)時(shí)間間里里，. . .1111 計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在 這段時(shí)間里的平均速度這段時(shí)間里的平均速度,并思考下面的問題并思考下面的問題:65049t 思考：思考：(1) (1) 運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里是靜止的嗎運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里是靜止的嗎? ?(2) (2) 你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題嗎有什么問題嗎? ?6501049()( )hh 0hvt 提示：提示：在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中, ,平均速度不能準(zhǔn)確反平均速度不能準(zhǔn)確反映她在這段時(shí)間里的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)映她在這段時(shí)間里的運(yùn)動(dòng)狀態(tài). .hto121

8、2121)()ff xyxxx 2 2( (x x這里這里xx看作是對(duì)于看作是對(duì)于x x1 1的一個(gè)的一個(gè)“增量增量”可用可用x x1 1+x+x代替代替x x2 2同樣同樣y=f(xy=f(x2 2)-f(x)-f(x1 1) )平均變化率定義平均變化率定義: :上述問題中的變化率可用式子上述問題中的變化率可用式子 表示，表示，我們把這個(gè)式子稱為函數(shù)我們把這個(gè)式子稱為函數(shù)f(x)f(x)從從x x1 1到到x x2 2的的平均變化率平均變化率. .若設(shè)若設(shè)x=xx=x2 2-x-x1 1, y=f(x, y=f(x2 2)-f(x)-f(x1 1) )121ff xxx2x1313觀察函數(shù)觀

9、察函數(shù)f(x)f(x)的圖象的圖象平均變化率平均變化率表示什么表示什么? ?121fxyxxx2f xOABxyy=f(x)y=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)=)=y y直線直線ABAB的斜的斜率率1414已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=3xf(x)=3x2 2+5,+5,求求: :(1)(1)從從0.10.1到到0.20.2的平均變化率的平均變化率. .(2)(2)在區(qū)間在區(qū)間xx0 0,x,x0 0+x+x上的平均變化率上的平均變化率. .2.2.計(jì)算計(jì)算yy的式子是什么的式子是什么? ?提示提示: :y=f(xy=f(x0 0+

10、x)-f(x+x)-f(x0 0).).【解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵】1.1.由函數(shù)的圖象可知自變量的改變量、由函數(shù)的圖象可知自變量的改變量、函數(shù)值的改變量分別是多少函數(shù)值的改變量分別是多少? ?【即時(shí)訓(xùn)練即時(shí)訓(xùn)練】1515解：解：(1)(1)因?yàn)橐驗(yàn)閒(x)=3xf(x)=3x2 2+5,+5,所以從所以從0.10.1到到0.20.2的平均變化率為的平均變化率為 =0.9.=0.9.(2)f(x(2)f(x0 0+x)-f(x+x)-f(x0 0) )=3(x=3(x0 0+x)+x)2 2+5-(3x+5-(3x0 02 2+5) +5) =3x=3x0 02 2+6x+6x0 0 x+3(x)x+

11、3(x)2 2+5-3x+5-3x0 02 2-5-5=6x=6x0 0 x+3(x)x+3(x)2 2 函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間xx0 0,x,x0 0+x+x上的平均變化率為上的平均變化率為 =6x =6x0 0+3x.+3x.223 0.253 0.150.20.1 206xx3( x)x 1616【方法技巧方法技巧】1.1.求函數(shù)平均變化率的三個(gè)步驟求函數(shù)平均變化率的三個(gè)步驟第一步第一步, ,求自變量的增量求自變量的增量x=xx=x2 2-x-x1 1. .第二步第二步, ,求函數(shù)值的增量求函數(shù)值的增量y=f(xy=f(x2 2)-f(x)-f(x1 1).).第三步第三步

12、, ,求平均變化率求平均變化率2.2.求平均變化率的一個(gè)關(guān)注點(diǎn)求平均變化率的一個(gè)關(guān)注點(diǎn)求點(diǎn)求點(diǎn)x x0 0附近的平均變化率附近的平均變化率, ,可用可用 的形式的形式. .2121f xf xy.xxx00f(xx)f xx1717又如何求又如何求瞬時(shí)速度呢瞬時(shí)速度呢? ?探究點(diǎn)探究點(diǎn)2 2 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中, ,平均速度不能反映她在這段時(shí)間里的平均速度不能反映她在這段時(shí)間里的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，需要用瞬時(shí)速度描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，需要用瞬時(shí)速度描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài). .我們把物體在我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度. .1818 平均變化率近似

13、地刻畫了曲線在某一區(qū)間上平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢的變化趨勢. .如何精確地刻畫曲線在一點(diǎn)處的變化趨勢呢如何精確地刻畫曲線在一點(diǎn)處的變化趨勢呢? ?105 . 69 . 4)(2ttth求：從求：從2s2s到到(2+(2+t)st)s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度這段時(shí)間內(nèi)的平均速度. .提示：提示：(2)(2)13.14.9. hvththtt1919t0t0t0時(shí)時(shí), ,在在2,2+2,2+tt這段時(shí)間內(nèi)這段時(shí)間內(nèi)1 .139 . 4tv1 .139 . 4tv13.051 v當(dāng)當(dāng)t=0.01t=0.01時(shí)時(shí), ,13.149v 當(dāng)當(dāng)t = 0.01t = 0.01時(shí)時(shí), ,1

14、3 095 1. v 當(dāng)當(dāng)t=0.001t=0.001時(shí)時(shí), ,13 104 9. v 當(dāng)當(dāng)t =0.001t =0.001時(shí)時(shí), ,13.05 99 1 v當(dāng)當(dāng)t=0.000 1t=0.000 1時(shí)時(shí), ,13.14 009 v當(dāng)當(dāng)t =0.000 1t =0.000 1時(shí)時(shí), ,13 099 951. v 當(dāng)當(dāng)t=0.000 01t=0.000 01時(shí)時(shí), ,13 100 049. v 當(dāng)當(dāng)t = 0.000 01t = 0.000 01時(shí)時(shí), ,13.099 9 5 9 1v 當(dāng)當(dāng)t=0.000 001t=0.000 001時(shí)時(shí), ,13.100 004 9v 當(dāng)當(dāng)t =0.000 00

15、1t =0.000 001時(shí)時(shí), ,當(dāng)當(dāng)tt趨近于趨近于0 0時(shí)時(shí), ,平均平均速度有什么變化趨勢速度有什么變化趨勢? ?2020 當(dāng)當(dāng)t t趨近于趨近于0 0時(shí)時(shí), , 即無論即無論t t從小于從小于2 2的一邊的一邊, , 還還是從大于是從大于2 2的一邊趨近于的一邊趨近于2 2時(shí)時(shí), , 平均速度都趨近于一平均速度都趨近于一個(gè)確定的值個(gè)確定的值13.1.13.1. 從物理的角度看從物理的角度看, , 時(shí)間間隔時(shí)間間隔| |t|t|無限變小時(shí)無限變小時(shí), , 平均速度平均速度 就無限趨近于就無限趨近于t=2t=2時(shí)的瞬時(shí)速度時(shí)的瞬時(shí)速度. . 因此因此, ,運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)員在t = 2t =

16、 2時(shí)的瞬時(shí)速度是時(shí)的瞬時(shí)速度是13.1m/s.13.1m/s.v從從2s2s到到(2+(2+t)st)s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度這段時(shí)間內(nèi)的平均速度13.14.9hvtt 21211 .13 )2()2(lim0ththt表示表示“當(dāng)當(dāng)t =2, t =2, t t趨近于趨近于0 0時(shí)時(shí), , 平均速度平均速度趨近于確定值趨近于確定值13.1”.13.1”.v22220(2)(2)lim13.1ththt 瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度我們用我們用表示表示“當(dāng)當(dāng)t=2, tt=2, t趨近于趨近于0 0時(shí)時(shí), ,平均速度趨于確定平均速度趨于確定值值-13.1”.-13.1”.局部以勻速代替變速，以平均速度代替

17、瞬時(shí)速局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時(shí)速度，然后通過取極限，從瞬時(shí)速度的近似值過渡度，然后通過取極限，從瞬時(shí)速度的近似值過渡到瞬時(shí)速度的精確值到瞬時(shí)速度的精確值. .23231.1.運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻t t0 0的瞬時(shí)速度怎樣表示的瞬時(shí)速度怎樣表示? ?00t0h(tt)h(t )limt 解答：函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在在x=xx=x0 0處的瞬時(shí)變化率的表示處的瞬時(shí)變化率的表示2424導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念: :一般地，函數(shù)一般地，函數(shù)y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0處的瞬時(shí)變化率是處的瞬時(shí)變化率是0000()limlimxxf xxf xyxx ( ( )

18、 ) ，我們稱它為函數(shù)我們稱它為函數(shù)y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù), , 記作記作 或或 , , 即即00000y( )() ()limlim. xxf xxf xfxxx )(0 xf 0|xxy25250001.f (x )xx 與與 的的值值有有關(guān)關(guān)，不不同同的的其其導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)值值一一般般也也不不相相同同. .02.f (x )x 與與的的具具體體取取值值無無關(guān)關(guān). .3.瞬瞬時(shí)時(shí)變變化化率率與與導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是同同一一概概念念的的兩兩個(gè)個(gè)名名稱稱. .【提升總結(jié)提升總結(jié)】2626由導(dǎo)數(shù)的定義可知由導(dǎo)數(shù)的定義可知, , 求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)

19、的一的導(dǎo)數(shù)的一般方法般方法: : 求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量2.2.求平均變化率求平均變化率3.3.求值求值00()().yf xxf x 00()lim. xyfxx00()().f xxf xyxx 一差、二比、三極限2727【拓展延伸拓展延伸】瞬時(shí)變化率的幾種變形形式瞬時(shí)變化率的幾種變形形式00 x000 x000 x000 x00f xxf xlimxf xxf xlimxf xn xf xlimn xf xxf xxlim2 xfx. 2828的導(dǎo)數(shù)2 24 4求求函函數(shù)數(shù)y y = = . . x x22222002222222004444()2()limlim4484()4li

20、mlim2() xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解析析：24 x2222084()2() 8lim xxxxxxxxxxxx24()x2222() xxxxxx22203484lim2() 88. xxxxxxxxxxx【即時(shí)訓(xùn)練即時(shí)訓(xùn)練】2929解解: : 在第在第2h2h和第和第6h6h時(shí)時(shí), , 原油溫度的瞬時(shí)變化率就是原油溫度的瞬時(shí)變化率就是(2)f (6).f 和和22()( )fxfx 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義, ,2473(),xxxxx 所以所以, ,00(2)limlim(3)3.xxyfxx 3030同理可得同理可得. 5)6( f 在第在第2h2

21、h和第和第6h6h時(shí)時(shí), , 原油溫度的瞬時(shí)變化率原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為分別為3 3和和5. 5. 它說明在第它說明在第2h2h附近附近, , 原油溫度原油溫度大約以大約以3 /h3 /h的速率下降的速率下降; ; 在第在第6h6h附近附近, ,原油溫原油溫度大約以度大約以5 /h5 /h的速率上升的速率上升. .CC3131 2 2質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)規(guī)規(guī)律律s=t +3,s=t +3,則則在在時(shí)時(shí)間間(3,3+ t)(3,3+ t)中中相相應(yīng)應(yīng)的的平平均均速速度度為為( )( )9 9A.6+ t B.6+ t+A.6+ t B.6+ t+C.3+ t D.9+ tC.3+ t D.9+

22、ttA A【變式練習(xí)變式練習(xí)】3232解解:000()()2.f xxf xyxxxx 1.1.求求y=xy=x2 2在在x=xx=x0 0附近的平均速度附近的平均速度. . 2.2.過曲線過曲線y=f(x)=xy=f(x)=x3 3上兩點(diǎn)上兩點(diǎn)P P（1 1，1 1）和）和Q(1+x,Q(1+x,1+y)1+y)作曲線的割線，求出當(dāng)作曲線的割線，求出當(dāng)x=0.1x=0.1時(shí)割線的斜率時(shí)割線的斜率. .3322(1)13 3()3 3 0.1 0.13.31.(1) 1 xkxxx解解:33333.3.函數(shù)函數(shù)f(x)=xf(x)=x2 2在在x=1x=1處的瞬時(shí)變化率等于處的瞬時(shí)變化率等于. .4.4.函數(shù)函數(shù)f(x)=1f(x)=1在在x=2x=2處的導(dǎo)