曲面方程的概念課件

1、曲面方程的概念一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、常見的二次曲面及其方程二、常見的二次曲面及其方程三、空間曲線的方程三、空間曲線的方程四、空間曲線在坐標面上的投影四、空間曲線在坐標面上的投影第六節(jié)第六節(jié) 二次曲面與空間曲線二次曲面與空間曲線第八章第八章 向量代數向量代數 空間解析幾何空間解析幾何曲面方程的概念 若曲面若曲面 上的點的坐標都滿足方程上的點的坐標都滿足方程 F( x, y, z ) = 0 (或或 z = f ( x , y )， 而不在曲面而不在曲面 上的點的坐標上的點的坐標都不滿足方程都不滿足方程 F ( x , y , z ) = 0 ( 或或 z = f ( x , y

2、 )， 則則稱稱方程方程 F ( x , y , z ) = 0 ( 或或 z = f ( x , y ) 為為曲面曲面 的方程的方程. 而曲面而曲面 就稱為就稱為方程方程 F( x , y , z ) = 0 ( 或或 z = f ( x , y ) 的圖形的圖形.一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念曲面方程的概念1. .球面方程球面方程球心在球心在 M0 ( x0 , y0 , z0 )， 半徑為半徑為 R 的球面方程的球面方程 2202020)()()(Rzzyyxx半徑為半徑為 R 的球面方程為的球面方程為球心在原點時，球心在原點時，.2222Rzyx 二、常見的二次曲面及其方程二、常

3、見的二次曲面及其方程曲面方程的概念 半徑為半徑為 1 的的球面球面.例例 10122222222 zxzyx方方程程表示怎樣的曲面表示怎樣的曲面?解解原方程兩邊同時除以原方程兩邊同時除以 2 ， 并將常數項移到并將常數項移到等式右端，等式右端，得得21222 zxzyx配方得配方得.1)21()21(222 zyx所以，所以， 原方程表示球心在原方程表示球心在)21,0,21( 曲面方程的概念 定曲線定曲線 C 稱稱為柱面的為柱面的準線準線.2. .母線平行于坐標軸的柱面方程母線平行于坐標軸的柱面方程動直線動直線 L 沿給定曲線沿給定曲線 C 平行移動形成的曲面，平行移動形成的曲面，稱為稱為柱

4、面柱面，動直線動直線 L 稱為柱面的稱為柱面的母線母線， LC 柱面的形成柱面的形成 曲面方程的概念由于方程由于方程 f ( (x , y) )= 0 不含不含 z， 所所以點以點 M( (x, y, z) )也滿足方程也滿足方程 f ( (x, y) )= 0 .設設 M (x, y, z) )為柱面上的任一點，為柱面上的任一點， 過過M 作平行于作平行于 z 軸的直線交軸的直線交 x y 坐標面于點坐標面于點),(zyxM 由柱面定由柱面定義可知義可知 必在準線必在準線 C 上上.M 所以所以 的坐標滿足曲線的坐標滿足曲線 C 的方程的方程 f ( (x , y) )= 0 .M 而不在柱

5、面上而不在柱面上的點作平行于的點作平行于 z 軸的直線軸的直線 與與 x y 坐標面的交點必不在曲線坐標面的交點必不在曲線 C 上，上，也就是說不在柱面上的點的坐也就是說不在柱面上的點的坐標不滿足方程標不滿足方程 f ( (x , y) )= 0. 所以，所以，不含變量不含變量 z 的方程的方程xyzOM MLC 現在來建立以現在來建立以 x y 坐標面上的曲線坐標面上的曲線 C : f ( x , y ) = 0 為準線，為準線， 平行于平行于 z 軸的直線軸的直線 L 為母線為母線 的柱面方程的柱面方程. 曲面方程的概念 f ( (x , y) )= 0 在空間表示以在空間表示以 x y

6、坐標面上的曲線為準線，坐標面上的曲線為準線， 平行于平行于 z 軸的直線為母線的柱面軸的直線為母線的柱面.類似地，類似地， 不含變量不含變量 x 的方程的方程f( ( y , z) )= 0 平行于平行于 x 軸的直線為母線的柱面軸的直線為母線的柱面.在空間表示以在空間表示以 y z 坐標面上的曲線為準線，坐標面上的曲線為準線，而不含變量而不含變量 y 的方程的方程f ( (x , z) )= 0在空間表示以在空間表示以 x z 坐標面上的曲線為準線，坐標面上的曲線為準線， 平行于平行于 y 軸的直線為母線的柱面軸的直線為母線的柱面.曲面方程的概念 例如方程例如方程 在空間表示以在空間表示以

7、x y 坐標面坐標面上的圓為準線、上的圓為準線、222Ryx 平行于平行于z 軸的直線為母線的柱面軸的直線為母線的柱面. 稱為稱為圓柱面圓柱面xyzO曲面方程的概念 方程方程 y = x2 在空間表示以在空間表示以 x y 坐標面上的拋物坐標面上的拋物線為準線、線為準線、 平行于平行于z 軸的直線為母線的柱面軸的直線為母線的柱面. 稱為稱為拋物柱面拋物柱面.xyzO曲面方程的概念1422 zx 平行于平行于 y 軸的直線為母線的柱面軸的直線為母線的柱面, 方程方程 在空間表示以在空間表示以 x z 坐標面上的橢坐標面上的橢圓為準線，圓為準線， 稱為橢稱為橢圓柱面圓柱面.xyzO2曲面方程的概念

8、 繞繞 z 軸旋轉所成的旋轉曲面軸旋轉所成的旋轉曲面 的方程的方程. 現在來建立現在來建立 y z 面上曲線面上曲線 C : f ( y , z ) = 0 設設 M( x, y, z ) 為旋轉曲為旋轉曲面上任意一點，面上任意一點， 過點過點 M 作平作平面垂直于面垂直于 z 軸，軸， 交交 z 軸于點軸于點 P ( 0, 0, z )， 交曲線交曲線 C 于點于點M0( 0, y0, z0 ). 由于點由于點 M 可可以由點以由點 M0 繞繞 z 軸旋轉得到，軸旋轉得到，因此有因此有3. .以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面的方程以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面的方程平面曲線平面曲線 C 繞同一平面上定

9、直線繞同一平面上定直線 L 旋轉所形旋轉所形成的曲面，成的曲面， 稱為旋轉曲面，稱為旋轉曲面， 定直線定直線 L 稱為旋轉軸稱為旋轉軸.xyzOMM0PC曲面方程的概念f ( y0 , z0 ) = 0所以所以又因為又因為 M0 在曲線在曲線 C 上，上，將將 、 代入代入 f ( y0 , z0 ) = 0， 即得旋轉曲面方程即得旋轉曲面方程:. 0),(22 zyxf同理，曲線同理，曲線 C 繞繞 y 軸旋轉成的曲面方程為軸旋轉成的曲面方程為. 0),(22 zxyf,00zzPMPM ,22yxPM 因因為為,00yPM 所以所以,220yxy yzOMM0PC 旋轉曲面的形成旋轉曲面的

10、形成 曲面方程的概念例例 2 將下列平面曲線繞指定坐標軸旋轉，試求將下列平面曲線繞指定坐標軸旋轉，試求所得旋轉曲面方程所得旋轉曲面方程:(1) y z 坐標面上的直線坐標面上的直線 z = ay( a 0 )， 繞繞 z 軸軸.(2) y z 坐標面上的拋物線坐標面上的拋物線 z = ay2( a 0 )， 繞繞 z 軸軸.(3) x y 坐標面上的橢圓坐標面上的橢圓 ,12222 cyax分別繞分別繞 x、y 軸軸.曲面方程的概念解解 (1) y z 坐標面上的直坐標面上的直線線 z = ay( a 0 )繞繞 z 軸旋轉，軸旋轉，故故 z 保持不變，將保持不變，將 y 換成換成,22yx

11、則得則得).(22yxaz 曲面方程的概念 即所求旋轉曲面方程為即所求旋轉曲面方程為),(2222yxaz 表示的曲面稱為表示的曲面稱為圓錐面圓錐面， 點點 O 稱為圓錐的頂點稱為圓錐的頂點.曲面方程的概念 (2) y z 坐標面上的拋物線坐標面上的拋物線 z = ay2 繞繞 z 軸旋轉所軸旋轉所得的曲面方程為得的曲面方程為),(22yxaz 該曲面稱為該曲面稱為旋轉拋物面旋轉拋物面. 其特征是其特征是: 當當 a 0 時，旋轉時，旋轉拋物面的開口向下拋物面的開口向下. 一般地，一般地， 2222byaxz 所表示的曲面稱為所表示的曲面稱為橢圓拋物面。橢圓拋物面。方程方程xyzO曲面方程的概

12、念 (3) x y 坐標面上的橢圓坐標面上的橢圓 繞繞 x 軸旋轉，軸旋轉，12222 byax故故 x 保持不變，保持不變，而將而將 y 換成換成,22zy 得旋轉得旋轉曲面的方程為曲面的方程為. 1222222 bzbyax該曲面稱為該曲面稱為旋轉橢球面旋轉橢球面.類似地，該橢圓繞類似地，該橢圓繞 y 軸旋轉而得的旋轉橢球面軸旋轉而得的旋轉橢球面的方程為的方程為 . 1222222 azbyax曲面方程的概念一般地，方程一般地，方程1222222 czbyax所表示的曲面稱為所表示的曲面稱為橢球面橢球面. 其特征是其特征是: 用坐標面或平用坐標面或平行于坐標面的平面行于坐標面的平面 x =

13、 m ， y = n， z = h ( a m a ， b n b ， c h c) 截曲面所得到的交線均為截曲面所得到的交線均為橢圓橢圓. 當當 a，b，c 中有中有 a = b 或或 b = c或或 a = c 時，時，即為旋轉橢球面，即為旋轉橢球面，當當 a = b = c 時，即為球面時，即為球面.xyzO曲面方程的概念1.1.空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 0),(0),(21zyxFzyxF稱為空間稱為空間曲線的一般方程曲線的一般方程例例 3 下列方程組表示什么曲線下列方程組表示什么曲線? ;3,25)1(222zzyx .0,25)2(222zzyx三、空間曲線的方程三、空

14、間曲線的方程曲面方程的概念 z = 3 是平行于是平行于 x y 坐標面的平面，坐標面的平面， 因而它們的交線是在平面因而它們的交線是在平面 z = 3 上的圓上的圓. (1) 因為因為 x2 + y2 + z2 = 25 是球心在原點，是球心在原點， 半徑為半徑為 5 的球面，的球面， 解解xyzO曲面方程的概念 因而它們的交線是在因而它們的交線是在 x y 坐標面上坐標面上的圓的圓 z = 0 是是 x y 坐標面，坐標面，( (2) )因為第一個方程所表示的球面與因為第一個方程所表示的球面與( (1) )相同，相同，.2522 yx若把若把( (2) )寫成同解方程組寫成同解方程組 ,

15、0,2522zyx 它表示母線平行于它表示母線平行于 z 軸的軸的圓柱面與圓柱面與 x y 坐標面的交線坐標面的交線. 這這樣更清楚地看出它是樣更清楚地看出它是 x y 坐標坐標面上的圓面上的圓.2522 yxxyzO曲面方程的概念 t 為參數為參數. 2. .空間曲線的參數方程空間曲線的參數方程空間曲線空間曲線 上動點上動點 M 的坐標的坐標 x，y，z 也可以用也可以用另一個變量另一個變量 t 的函數來表示，的函數來表示， 即即 .)(),(),(tzztyytxx形如形如上上的方程組稱為的方程組稱為曲線曲線 的參數方程的參數方程，曲面方程的概念 則從則從 P0 到到 P 所轉所轉過的角過

16、的角 = t，質點在質點在 P0(R, 0, 0) 處，處，向平行于向平行于 z 軸的方向上升軸的方向上升.例例 4 設質點在圓柱面設質點在圓柱面 上以均勻的上以均勻的角速度角速度 222Ryx 繞繞 z 軸旋轉，軸旋轉， 同時又以均勻的線速度同時又以均勻的線速度 v運動開始，即運動開始，即 t = 0 時，時，求質點的運動方程求質點的運動方程.解解 設時間設時間 t 時，時， 質點的位置為質點的位置為 P( x, y, z )，由由 P 作作 x y 坐標面的垂線坐標面的垂線垂足為垂足為 Q (x, y , 0) 上升的高度上升的高度 QP = vt ，即質點的運動方程為：即質點的運動方程為

17、：此方程稱為此方程稱為螺旋線方程螺旋線方程. ,sin,cosvtztRytRx zyxP0QP O曲面方程的概念設設 為已知空間曲線，為已知空間曲線， 則以則以 為準線，為準線， 平行于平行于 z 軸的直線為母線的柱面，軸的直線為母線的柱面， 稱為空間曲線稱為空間曲線 關于關于 x y 坐標面的坐標面的投影柱面投影柱面. 而投影柱面與而投影柱面與 x y 坐標面的交線坐標面的交線 C稱為曲線稱為曲線 在在 x y 坐標面的坐標面的投影曲線投影曲線. 類似地，類似地， 可可以定義曲線以定義曲線 關于關于 y z 坐標面、坐標面、z x 坐標面的投影坐標面的投影柱面及投影曲線柱面及投影曲線.設空

18、間曲線設空間曲線 的方程為的方程為 , 0),(, 0),(21zyxFzyxF消去消去 z ，得，得G( x , y )= 0.四、空間曲線在坐標面上的投影四、空間曲線在坐標面上的投影曲面方程的概念 就就可得到可得到 關于關于 yz 坐標面坐標面 或者或者 zx 坐標面的投影柱面坐標面的投影柱面方程，方程， 可知滿足曲線可知滿足曲線 的方程一定滿足方程的方程一定滿足方程 G( x, y) = 0 ， 而而 G( (x , y) )= 0 是母線平行于是母線平行于 z 軸的柱面方程，軸的柱面方程，因此，柱面因此，柱面 G( x , y ) = 0 就是曲線就是曲線 關于關于 x y 坐標坐標面的投影柱面面的投影柱面. 而而 0, 0),(zyxG就是曲面就是曲面 在在 x y 坐標面上的投影曲線的方程坐標面上的投影曲線的方程.同理，同理， 從曲線從曲線 的方程中消去的方