華南理工大學(xué)高等數(shù)學(xué)13統(tǒng)考卷下3

1、高等數(shù)學(xué)下冊(cè)試卷b20141012姓名： 學(xué)院與專業(yè)： 學(xué)號(hào)： 一、 填空題每小題4分，共20分1. 函數(shù)的連續(xù)范圍是 2. 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的全增量為，全微分為，則在點(diǎn)處的全增量與全微分的關(guān)系式是3. 曲面在點(diǎn)處的法線方程是4. 假設(shè)l為圓的右半部分，則5. 函數(shù)在點(diǎn)處的梯度是 二、（本題8分）函數(shù)，試研究在點(diǎn)的可微性解 ，函數(shù)在點(diǎn)的全增量為，由于，當(dāng)時(shí)與有關(guān)，從而，由定義可知該函數(shù)在點(diǎn)不可微。三、（本題8分）設(shè)，其中為可微函數(shù), 求 解 方程兩邊取微分整理得， 于是四、（本題8分）計(jì)算二重積分，其中d由拋物線與直線所圍成的閉區(qū)域（注：在原點(diǎn)處，補(bǔ)充定義被積函數(shù)為1）解 作圖， 五、（本題8分）

2、計(jì)算，其中l(wèi)為下列閉曲線，沿反時(shí)針方向：（1）圓周；（2）曲線。解 在這里，進(jìn)而在點(diǎn)以外成立且連續(xù)，從而（1）點(diǎn)在l所圍區(qū)域之外，由格林公式，可得=0；（2）點(diǎn)在l所圍區(qū)域之內(nèi)，可以為中心做一個(gè)適當(dāng)小的圓，使得這個(gè)小圓包含在l的內(nèi)部，取逆時(shí)針方向，設(shè)。從而l與的負(fù)向構(gòu)成了所圍成的區(qū)域的正向邊界，且可用格林公式，得=0；從而，對(duì)新的積分在所圍區(qū)域再用格林公式，得（后面步驟也可用代入去計(jì)算的，繁些）六、（本題8分）計(jì)算由曲面和所圍成立體的表面積。解 由和得和，立體在xoy平面上的投影區(qū)域?yàn)?，?duì)，；對(duì)，七、（本題8分）計(jì)算曲面積分，式中是旋轉(zhuǎn)拋物面下側(cè)介于平面0及2之間的部分。解 取曲面，取上側(cè)，配

3、合構(gòu)成立體的表面的外側(cè)。用高斯公式八、（本題6分）設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)，其中連續(xù)可導(dǎo)，且。（1）求，（2）計(jì)算曲線積分。解 （1）由曲線積分與路徑無關(guān)，可得，即，得，再由可得（2）九、（本題6分）求微分方程的通解。解 對(duì)應(yīng)齊次方程 的特征方程為，解得。對(duì)應(yīng)齊次方程通解為。非齊次項(xiàng)與標(biāo)準(zhǔn)形式比較，得，從而不是對(duì)應(yīng)齊次方程的特征根，故待定的特解可設(shè)為，由于，代入原方程，得，所以，于是非齊次方程通解為。十、化工類做（本題6分）已知容積為v的開頂長方體，當(dāng)其尺寸怎樣時(shí)，有最小的表面積。解 十一、化工類做（本題7分）設(shè)是曲面在點(diǎn)處指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)。證 設(shè)為橢圓上任一點(diǎn)，令，則曲面在點(diǎn)處，（確為指向外側(cè)的法向量）單位化可得，而，。從而點(diǎn)的梯度為，故函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)為十二、化工類做（本題7分）求微分方程的通解解 十、非化工類做（6分）判斷級(jí)數(shù)的斂散性解 因?yàn)?，而，從而由比值判別法得收斂。十一、非化工類做（7分）將函數(shù)展開成麥克勞林級(jí)數(shù)，并指出其成立區(qū)間。解 十二、非化工類做