球柱系中亥姆霍茲方程分離變量最新課件

1、球柱系中亥姆霍茲方程分離變量最新1.柱系中的變量分離柱系中的變量分離01)(122222uzuurrurrr二、球柱系中亥姆霍茲方程分離變量二、球柱系中亥姆霍茲方程分離變量 0)(10022RrkdrdRrdrdrZZ貝塞爾方程貝塞爾方程2k其中其中球柱系中亥姆霍茲方程分離變量最新1）若穩(wěn)定問題）若穩(wěn)定問題 =0，則結(jié)果不變，則結(jié)果不變2(1)(2)1()0ddRrRr drdrr變型貝塞爾方程變型貝塞爾方程討論：討論：2) 若穩(wěn)定問題，且若穩(wěn)定問題，且u=u (r, ) =0，歐拉型方程歐拉型方程2(2)0r RrRR球柱系中亥姆霍茲方程分離變量最新2.球系中的變量分離球系中的變量分離設(shè)設(shè))

2、()()(),(rRru代入上式代入上式0sin1)(sinsin1)(1222222uururrurrr222201(sin)()0sinsin1()()0ddddddRrRr drdrr 連帶勒讓德方程連帶勒讓德方程球貝塞爾方程球貝塞爾方程球柱系中亥姆霍茲方程分離變量最新2(1)(2)20r RrRR歐拉型方程歐拉型方程2) 穩(wěn)定問題且穩(wěn)定問題且00),(ru21(sin)0sin20ddddr RrRR 勒讓德方程勒讓德方程歐拉型方程歐拉型方程討論：討論：1）穩(wěn)定問題：）穩(wěn)定問題： =0球柱系中亥姆霍茲方程分離變量最新解題思路：步驟與直角坐標系中大同小異解題思路：步驟與直角坐標系中大同小

3、異分幾大步：分幾大步：步一：寫出定解問題步一：寫出定解問題步二：分離變量（如果定解問題確為可直接分離變量步二：分離變量（如果定解問題確為可直接分離變量 的形式）的形式）步三：解本征值問題步三：解本征值問題 解不構(gòu)成本征值問題的變量的常微分方程解不構(gòu)成本征值問題的變量的常微分方程步四：迭加特解得通解步四：迭加特解得通解 定解定解球柱系中亥姆霍茲方程分離變量最新解題過程由曲線坐標系自身的特點帶來的與直角坐解題過程由曲線坐標系自身的特點帶來的與直角坐標系中解題的不同點：標系中解題的不同點：步一：方程：空間變量的拉氏算子的表達式較復(fù)雜；步一：方程：空間變量的拉氏算子的表達式較復(fù)雜； 邊條件：物理邊界比

4、數(shù)學(xué)自變量端點少，在定邊條件：物理邊界比數(shù)學(xué)自變量端點少，在定 解問題中只提真實物理邊界的條件；解問題中只提真實物理邊界的條件；步二：步二：非穩(wěn)問題非穩(wěn)問題：先將時間變量分離出去，剩下的：先將時間變量分離出去，剩下的 空間變量全部都能構(gòu)成本征值問題?？臻g變量全部都能構(gòu)成本征值問題。 穩(wěn)定問題穩(wěn)定問題：選擇合適的空間變量構(gòu)成本征值：選擇合適的空間變量構(gòu)成本征值 問題（空間變量不再平權(quán)）問題（空間變量不再平權(quán)）球柱系中亥姆霍茲方程分離變量最新步三：本征值問題中的邊界條件不再只是一、二類步三：本征值問題中的邊界條件不再只是一、二類 邊條件，可能會由周期條件、有界構(gòu)成；邊條件，可能會由周期條件、有界構(gòu)

5、成； 歐拉型微分方程的求解。歐拉型微分方程的求解。步四：基本同直角坐標系步四：基本同直角坐標系球柱系中亥姆霍茲方程分離變量最新2圓內(nèi)狄氏問題圓內(nèi)狄氏問題區(qū)別于直角系的特點：區(qū)別于直角系的特點：歐拉方程歐拉方程自然邊條件自然邊條件本征值簡并本征值簡并圓內(nèi)狄氏問題：圓內(nèi)狄氏問題：第一類邊條件2( )uf r(穩(wěn)定場方程穩(wěn)定場方程)球柱系中亥姆霍茲方程分離變量最新【例例1】半徑為半徑為a的無限長圓柱形均勻?qū)w，體內(nèi)無熱的無限長圓柱形均勻?qū)w，體內(nèi)無熱 源，柱面溫度源，柱面溫度u(a, )=f() 求穩(wěn)定時導(dǎo)體內(nèi)穩(wěn)求穩(wěn)定時導(dǎo)體內(nèi)穩(wěn) 定的溫度分布。定的溫度分布。定解問題定解問題200,02( , )(

6、)urau af解：解：設(shè)：設(shè)：)()(),(rRru代入中方程得：代入中方程得：2( )( )00r RrRR 球柱系中亥姆霍茲方程分離變量最新對于對于，需要補充自然邊界條件需要補充自然邊界條件( , )( ,2 )u ru r周期條件周期條件由物理場的單值性可得：由物理場的單值性可得：)2 ,()0 ,(ruru為簡單：為簡單：將將u=R 代入周期條件：代入周期條件：)2()()0()(rRrR)2()0( 所滿足的本征值問題為：所滿足的本征值問題為：( )( )0(0)(2 ) 球柱系中亥姆霍茲方程分離變量最新( )AeBe顯然：顯然：22ABAeBeBA)(0)(2 ) 20,AABB

7、A任意 不是本征值不是本征值解：解：i) 0球柱系中亥姆霍茲方程分離變量最新20,1,2( )cossinmmmmmmAmBm綜合綜合ii、iii得本征值問題的解為：得本征值問題的解為：解方程：解方程：022 mmmRmRrRr設(shè)設(shè)r=et，d r=e td t，代入中得：，代入中得：0222mmRmdtRd球柱系中亥姆霍茲方程分離變量最新mmmmmrDrCrRmrDCxRm)(0ln)(0000mtmmtmmeDeCtRmtDCtRm)(0)(0000R的通解：的通解：原點處的原點處的 溫度為一有限值，即溫度為一有限值，即 |u(0, )|幾何邊界個數(shù)幾何邊界個數(shù)ii) 圓內(nèi)狄氏問題圓內(nèi)狄氏

8、問題u=u (r, )i) 直角系中討論穩(wěn)定問題：直角系中討論穩(wěn)定問題：u=u (x ,y)iii) 若遇球系若遇球系 u = u (r , , )球柱系中亥姆霍茲方程分離變量最新自變量端點值自變量端點值4個幾何邊界（個幾何邊界（4條邊）條邊）這時不用提邊條件這時不用提邊條件ii)圓內(nèi)狄氏問題圓內(nèi)狄氏問題u=u (r, )20,0ar自變量端點四個自變量端點四個2, 0, 0a幾何邊界一個幾何邊界一個(r=a)需要在另外三個端點處補自然邊條件：需要在另外三個端點處補自然邊條件：i)直角系中討論穩(wěn)定問題：直角系中討論穩(wěn)定問題：u=u (x ,y) 0 xa , 0y幾何邊界幾何邊界1個，補個，補

9、5個自然邊條件個自然邊條件r=0=0 , =0 ,2有界條件有界條件周期條件周期條件球柱系中亥姆霍茲方程分離變量最新2.簡并簡并本征值問題：本征值問題：( )( )0(0)(2 ) (* *)解得：解得：20,1,2( )cossinmmmmmmAmBm當(dāng)當(dāng)m=0時時0000,A 無簡并無簡并當(dāng)當(dāng)m0時時一個一個本征值本征值稱本征值是稱本征值是二二度簡并的。度簡并的。兩個兩個線性無關(guān)的本征函數(shù)，線性無關(guān)的本征函數(shù)，球柱系中亥姆霍茲方程分離變量最新20,1,2( )cossinmmmmmmAmBmA m , B m是兩個獨立的待定系數(shù)是兩個獨立的待定系數(shù)2mm給定給定令令mBAammmsin10

10、令令mBAbmmmcos01m0球柱系中亥姆霍茲方程分離變量最新Sinm和和cosm 是對應(yīng)同一個本征值是對應(yīng)同一個本征值m2下的兩個下的兩個線性無關(guān)的本征函數(shù)線性無關(guān)的本征函數(shù)一個本征值一個本征值兩個本征函數(shù)，稱兩個本征函數(shù)，稱 是二度簡并的是二度簡并的2mm但但 m=0時，只對應(yīng)時，只對應(yīng) 0A0一個本征函數(shù)，一個本征函數(shù)， m=0是非簡并的是非簡并的二階常微分方程的本征值問題最多只能是二度簡并二階常微分方程的本征值問題最多只能是二度簡并一二三類齊次邊條件一二三類齊次邊條件無簡并無簡并X(x)+X(x)=0球柱系中亥姆霍茲方程分離變量最新3.常微分方程的本征值問題常微分方程的本征值問題i)

11、非穩(wěn)問題非穩(wěn)問題),(tru空間變量構(gòu)成本征值問題，空間變量構(gòu)成本征值問題，T (t) 不能構(gòu)成本征值問題不能構(gòu)成本征值問題ii)穩(wěn)定問題穩(wěn)定問題)(ru一個空間變量不構(gòu)成本征值問題一個空間變量不構(gòu)成本征值問題 其它均要構(gòu)成本征值問題其它均要構(gòu)成本征值問題.u (x ,y ,z) X，Y，Z平權(quán)平權(quán)u (r , ) 構(gòu)成本征值問題構(gòu)成本征值問題u (r , , ) 、 構(gòu)成本征值問題構(gòu)成本征值問題 球柱系中亥姆霍茲方程分離變量最新【例例2】無限長空心圓柱導(dǎo)體半徑為無限長空心圓柱導(dǎo)體半徑為a分成兩半，互相分成兩半，互相 絕緣，一半電位為絕緣，一半電位為u0，另一半電位為，另一半電位為-u0，求，

12、求 柱內(nèi)電位分布。柱內(nèi)電位分布。解：解：02uuE定解問題：定解問題：20),(20,00002uuauaru0aru0-u0球柱系中亥姆霍茲方程分離變量最新設(shè)設(shè))()(),(rRru代入方程及有關(guān)邊條件得代入方程及有關(guān)邊條件得( )( )0(0)(2 ) 解得：解得：20,1,2( )cossinmmmmmmAmBm通解：通解：0sincos),(nmmmmBmArru和和20(0)|r RrRRR 解解得得( )mR rr球柱系中亥姆霍茲方程分離變量最新200)(21dfA021212000dudu0coscos1cos)(1200020dmudmuadmfaAmmm20sin)(1dmfaBmm2000sinsin1dmudmuam定解：定解：20sincos),(000uumBmAaaunmmm球柱系中亥姆霍茲方程分離變量最新mmmmmaummmau) 1(1) 1(1coscos102002 , 1 , 012) 12(42 , 120) 1(1 21200kkmakukkmmaukmm問題：若所討論區(qū)域為半圓，即：問題：若所討論區(qū)域為半圓，即：0ra,0 若所討論區(qū)域為環(huán)形，即：若所討論區(qū)域為環(huán)形，即：arb,0 2(21)021041( , )s