函數(shù)的求導(dǎo)法則PPT課件

1、一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理1,)(),(處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果函函數(shù)數(shù)xxvxu并且在點(diǎn) x處也可導(dǎo).則它們的和、差u xv x( )( ) u xv xu xv x ( )( )( )( ).證hu xv xu xhv xhu xv xh0 ( )( ) ()() ( )( )lim hu xhu xv xhv xhh0 ()( ) ()( )limhhu xhu xv xhv xhh00()( )()( )limlimu xv x( )( ).2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則第1頁(yè)/共27頁(yè)定理2,)(),(處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果函函數(shù)數(shù)xxvxu并且u xv xu x v

2、xu x v x ( )( )( ) ( )( ) ( ).則它們的積u xv x( )( ) 在點(diǎn) x處也可導(dǎo).定理1可推廣到多個(gè)函數(shù)的情形.nnu xuxuxu xuxux1212( )( )( )( )( )( ).證hu xv xu xh v xhu x v xh0 ( )( ) () ()( ) ( )lim u x( )v xh() v xh( ) u x( )v xh() hu xhh0()lim 2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則第2頁(yè)/共27頁(yè)hhu xhu xv xhh00()( )limlim ()hv xhv xu xh0()( )( ) lim u x v xu x v x( )

3、 ( )( ) ( ).推論Cu x(1) ( ) nu uu12(2) () Cu x( ) nnnu uuu uuu uu121212ax(3) (log) xalnln xa1.ln ( C為常數(shù) )2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則第3頁(yè)/共27頁(yè)定理3,)(),(處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果函函數(shù)數(shù)xxvxu則它們的商u xv x( )( )在點(diǎn) x處也可導(dǎo).并且 )()(xvxu).0)()()()()()(2 xvxvxvxuxvxu證),0)( ,)()()( xvxvxuxf設(shè)設(shè)hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法

4、則第4頁(yè)/共27頁(yè)hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh u x v xu x v xvx2( ) ( )( ) ( ).( ) 特別地， )(1xv)()(2xvxv 2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則第5頁(yè)/共27頁(yè)例1求 的導(dǎo)數(shù).yxxx57322解 yxxx57322 xxx517322 xxx42853( 1)2( 7)0 xxx4285314.2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則第6頁(yè)/共27頁(yè)例2解的導(dǎo)數(shù).求

5、函數(shù)xyexcos xxxyexexex(cos )() cos(cos )u xv xu x v xu x v x ( )( )( ) ( )( ) ( ).xxexexcossin .例3.tan的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解)(tan xyx2cos xxx222cossincos xx22seccos1 xxcossin)(cossin xxxx cos)(sin .sec)(tan2xx )(cot x類似可得,即.csc2x 2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則第7頁(yè)/共27頁(yè)例4.sec的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossi

6、n 類似可得 )(1xv)()(2xvxv 即xxxtansec)(sec xxx(csc )csccot 2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則第8頁(yè)/共27頁(yè)例5xxf xxxsincos( )sincos 求 在 處的導(dǎo)數(shù).x 4 xxxf xxxxxsincos2cos( )1sincossincos 解xfxxxcos( )2sincos xxxxxxxx2(cos ) (sincos )cos (sincos )2(sincos ) xxxxxxxx2sin (sincos )cos (cossin )2(sincos ) xx22(sincos ) 代入得f ()1.4 x 4 將2.2 函數(shù)的

7、求導(dǎo)法則第9頁(yè)/共27頁(yè)定理4在點(diǎn) x0 可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則在點(diǎn) x0 可導(dǎo),而ux ( ) 如果函數(shù)在點(diǎn)u0可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)yf u( ) yfx ( ) x xdyfuxdx 000()(). 因變量對(duì)自變量求導(dǎo),等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo).注復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則第10頁(yè)/共27頁(yè)證yfuu 0(),故故 uyfuu00lim() ,)(可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)由由uufy 0u 0lim0 規(guī)定u0, 0 在點(diǎn) x0 可導(dǎo),從而連續(xù)，ux ( ) xu0lim0, xyx0lim xuufuxx 00lim() xxxuufux

8、x 0000() limlimlim 因此x 0lim0, fux 00()(). 故yfuuu 0() 則(*)uyf uuf u0,()( )0 (*)式仍成立!2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則第11頁(yè)/共27頁(yè)dydfdu dvdxdu dv dx推廣的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))(xfy ),(ufy 設(shè)設(shè)),(vu vx ( ) 可導(dǎo)，fuvx( )( )( )注復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是把握復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，從外到內(nèi)逐層求導(dǎo).2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則第12頁(yè)/共27頁(yè)例6求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).yx21解yx21由 和yu ux21復(fù)合而成，dydfdudxdu dxxu122xx2.1 例7求 （

9、為任意常數(shù)）的導(dǎo)數(shù). yxx (0) 解xyxeln,由 和uye ux ln 復(fù)合而成，dydfdudxdu dxuex 1x 1. 2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則第13頁(yè)/共27頁(yè)例8求 的導(dǎo)數(shù).xy lntan()24解xyuuvv ln ,tan ,24函數(shù)以下三個(gè)函數(shù)復(fù)合而成，dydfdu dvdxdu dv dx xuv lntan24 vu211sec2xx21112tan() cos ()2424xxx 11sec .cossin()2 2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則第14頁(yè)/共27頁(yè)例9.1sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解)1(sin x xe1sin.1cos11sin2xexx

10、xey1sin x1cos)1( x例10設(shè) 可導(dǎo)，求的導(dǎo)數(shù). f x( )yxfx232()yxfxxfx23231(2()2 2() 解f xxxfx3323122 () () 2 2() x f xxfx232313().2() 2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則第15頁(yè)/共27頁(yè)例11求 的導(dǎo)數(shù).yxxln(0)解先去掉絕對(duì)值符號(hào)再求導(dǎo).xxyxxxln ,0ln,ln(),0 當(dāng) 時(shí)，x0 當(dāng) 時(shí)，x0 yxx1(ln ),yxxx11ln()( 1). 綜上， xx1ln. )()( )(ln)(lnxfxfxfxf 2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則第16頁(yè)/共27頁(yè)三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理5若嚴(yán)格單調(diào)

11、連續(xù)函數(shù)xy ( ) 在點(diǎn) y 處可導(dǎo)，并且y ( )0, 則它的反函數(shù) 在yf x( ) 相應(yīng)的點(diǎn) x 處可導(dǎo)，且有fxy 1( )( ) 或dydxdxdy1 xx 以以增增量量給給x(0), 證則y0, 因函數(shù) 連續(xù)，xy ( ) 當(dāng)yx0,0, yxxy1 對(duì)等式兩邊取極限，xxyyxxxyy00011limlimlim fxy 1( ).( ) 即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則第17頁(yè)/共27頁(yè).112x 例12.arcsin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解)(arcsin xycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 類似可得;

12、11)(arctan2xx yycos)(sin 且且, 0 )(sin1 y)(arcsin x內(nèi)有在)1,1( xarcxx21(cot ).1 為xysin 的反函數(shù)，y (,),2 2 yxarcsin 2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則第18頁(yè)/共27頁(yè)例13.arcsin22222的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)axaxaxy 解 )2(22xaxy)arcsin2(2 axaxxaxax2222122 aaxa2221121 xaxax22222122 aax222.2 2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則第19頁(yè)/共27頁(yè)xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1. 常數(shù)

13、和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 211)(arcsinxx 211)(arccosxx 211)(arctanxx 211)cotarc(xx 四、基本求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則第20頁(yè)/共27頁(yè)2. 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則,)(),(處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果函函數(shù)數(shù)xxvxuu xv xu xv x ( )( )( )( )則 )()(xvxu).0)()()()()()(2 xvxvxvxuxvxuu xv xu x v

14、 xu x v x ( )( )( ) ( )( ) ( )Cu x( ) Cu x( ) ( C為常數(shù) )(1)(2)(3)(4)2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則第21頁(yè)/共27頁(yè)則復(fù)合函數(shù) 也可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為yfx ( ) 3. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則ux ( ) 如果函數(shù)yf u( ), 都可導(dǎo)，dydy dudxdu dx或y xfux ( )( )( ).4. 反函數(shù)的求導(dǎo)法則,0)( yf且且在對(duì)應(yīng)區(qū)間在對(duì)應(yīng)區(qū)間則它的反函數(shù)則它的反函數(shù))(1xfy 內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、在在某某區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù)yIyfx)( 可可導(dǎo)導(dǎo)內(nèi)也可導(dǎo)，且)(1 )(1yfxf 或dydxdxdy1. 2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則第22頁(yè)/共27頁(yè) 初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算及有限次復(fù)合而成的，因此可以根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則解決所有初等函數(shù)的求導(dǎo)問題.4. 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，但不一定可導(dǎo)!注2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則第23頁(yè)/共27頁(yè)（注意成立條件）2. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 )()(xvxu )()(xvxu);()(xvxu .)()(xvxu 3. 反函數(shù)的求導(dǎo)法則（關(guān)鍵把握復(fù)合結(jié)構(gòu)）1. 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則牢記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則.內(nèi)容小結(jié)2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則第24頁(yè)/共27頁(yè)思考