函數(shù)與導(dǎo)數(shù)初步PPT課件

1、學(xué)好高等數(shù)學(xué)是擁有美好大學(xué)生活的第一步學(xué)好高等數(shù)學(xué)是擁有美好大學(xué)生活的第一步學(xué)好高等數(shù)學(xué)可以考慮參加全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽學(xué)好高等數(shù)學(xué)可以考慮參加全國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽第1頁(yè)/共25頁(yè)今天內(nèi)容今天內(nèi)容 函數(shù)函數(shù) 反函數(shù)反函數(shù) 周期函數(shù)周期函數(shù) 函數(shù)方程函數(shù)方程 導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)定義第2頁(yè)/共25頁(yè)例 1,1,)(2xxxxxf設(shè)設(shè) exxexxxg, 2,ln)().(),(xfgxgf試求試求 )(xgf解：解： 1)(),(1)(),(2xgxgxgxg exxgexxg),(),(2 exxexx, 2,ln2 )(xfg exfxfexfxf)(, 2)()(),(ln exxfexxf, 2)(),(l

2、n exxfexx, 2)(,ln2 1, 21, 2,ln22xxexxexx第3頁(yè)/共25頁(yè)解：解：七、求函數(shù) 的反函數(shù).xxxfsgn)1 ()(2 0),1(0,00,1)(22xxxxxxfy 1, 10,01, 122yyxyxyyx 1, 10, 01, 1yyyyyx所求反函數(shù)為：所求反函數(shù)為： .1, 1, 0, 0, 1, 1xxxxxy第4頁(yè)/共25頁(yè)反三角函數(shù)的反函數(shù)記為的反函數(shù)記為將將2,2,sin xxyxyarcsin 的反函數(shù)記為：的反函數(shù)記為：將將, 0,cos xxyxyarccos 的反函數(shù)記為：的反函數(shù)記為：將將)2,2(,tan xxyxyarctan

3、 的反函數(shù)記為：的反函數(shù)記為：將將), 0(,cot xxyxarcycot 注意：它們主值區(qū)間的不同。第5頁(yè)/共25頁(yè)幾個(gè)顯然的反三角函數(shù)公式0,21arctanarctan)1 xxx 1 , 1,2arccosarcsin)2 xxx 第6頁(yè)/共25頁(yè)證證明明：從從 tantan1tantan)tan( 例)1 , 1(,1arctanarctanarctan yxxyyxyxyxarctan,arctan 證明：設(shè)證明：設(shè)yx tan,tan則則xyyx 1tantan1tantan)tan( )1 , 1(, yx由由于于)4,4(, 所以，所以，)2,2( 所以，所以，所以，結(jié)論成

4、立。所以，結(jié)論成立。第7頁(yè)/共25頁(yè)證證明明：從從 tantan1tantan)tan( 例1, 0, 0,1arctanarctanarctan xyyxxyyxyx yxarctan,arctan 證明：設(shè)證明：設(shè)yx tan,tan則則xyyx 1tantan1tantan)tan( 1, 0, 0 xyyx由由于于,2)2, 0(, 且且所以，所以，xyyx 1)tan()tan( )0 ,2( 即即xyyx 1arctan 第8頁(yè)/共25頁(yè)互為反函數(shù)，求函數(shù)互為反函數(shù)，求函數(shù)和和十三、已知十三、已知)()(xgxf的反函數(shù)。的反函數(shù)。)(1)(1(xgxgf 解：解：)(1)(1(x

5、gxgfy 令令互為反函數(shù)，互為反函數(shù)，和和由于由于)()(xgxf)()()(1)(11ygyfxgxg 則有則有1)(1)()( ygygxg即即)1)(1)()1)(1)(1- ygygfygyggx所所以以因因此此所所求求反反函函數(shù)數(shù)為為)1)(1)( xgxgfy第9頁(yè)/共25頁(yè).10)()(babaxfxf和和，求求常常數(shù)數(shù)，但但它它們們有有相相同同的的定定義義域域是是兩兩個(gè)個(gè)不不同同的的函函數(shù)數(shù)，和和八八、已已知知函函數(shù)數(shù) 解：解：10, 0 xa由于由于若若10 bax并且并且11, 0 abab所以有，所以有，. 1, 0 ab解得解得.)(為同一函數(shù)，故舍去為同一函數(shù)，故舍

6、去與與xf, 0 a若若, 10 bax由于由于, 01, 1 abab所以所以abxab 1即即,1abxab 即即. 0 a顯然顯然. 1, 1 ab解得解得第10頁(yè)/共25頁(yè)對(duì)對(duì)稱稱，若若函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于ax ax ha ha )()(,hafhafh 則則)()(xafxaf 或者或者)2()(xafxf 第11頁(yè)/共25頁(yè)必必是是周周期期函函數(shù)數(shù)。試試證證明明函函數(shù)數(shù)有有對(duì)對(duì)稱稱軸軸上上的的奇奇函函數(shù)數(shù)，曲曲線線是是九九、設(shè)設(shè))(, 1)(),()(xfxxfyxf 證明：證明：)1()1()()(xfxfxfxf 及及)3(1)4(xfxf )3(1xf )2(xf )2(xf )

7、1(1(xf )1(1(xf )( xf )(xf 故故原原函函數(shù)數(shù)為為周周期期函函數(shù)數(shù)。或或者者，我我們們應(yīng)應(yīng)用用)2()(xfxf )()(xfxf )(2(xf )2(xf )2(2(xf )4(xf )2(xf 第12頁(yè)/共25頁(yè))()(axfaxf )()(axfaxf 及及)3()4(xaafaxf )()(xfxaaf 都都是是偶偶函函數(shù)數(shù)，和和十十、若若函函數(shù)數(shù))0)()( aaxfaxf是是周周期期函函數(shù)數(shù)。證證明明)(xf證明：證明：)3(xaaf )2(xaf )(xaaf 是周期函數(shù)。是周期函數(shù)。)(xf第13頁(yè)/共25頁(yè), 1)(0 xfxxf )(1),2,1()(

8、)(2)(11 nxfxxfxfnnn)arccoscos()(xnxfn 證明：證明：xarccos 令令)cos()( nxfn 則則和和）當(dāng)當(dāng)（01 n時(shí)時(shí)，結(jié)結(jié)論論顯顯然然成成立立1 n )1cos(coscos2)()(2)(11 kkxfxxfxfkkk )1cos()sinsincos(coscoscos2 kkkk上有定義上有定義在在十一、設(shè)十一、設(shè)1 , 0), 2 , 1 , 0()( nxfn證明：證明：用二重?cái)?shù)學(xué)歸納法。用二重?cái)?shù)學(xué)歸納法。時(shí)結(jié)論成立時(shí)結(jié)論成立和和）設(shè)）設(shè)（knkn 12）（3因此結(jié)論成立。因此結(jié)論成立。第14頁(yè)/共25頁(yè)例).(. 1, 0,2)1()(

9、xfxxxxxfxf求求其中其中設(shè)設(shè) 解利用函數(shù)表示法的無(wú)關(guān)特性,1xxt 令令,11tx 即即代入原方程得,12)()11(ttftf ,12)11()(xxfxf 即即,111uux 令令,11ux 即即代入上式得,)1(2)1()11(uuuufuf ,)1(2)1()11(xxxxfxf 即即第15頁(yè)/共25頁(yè) xxxxfxfxxfxfxxxfxf)1(2)1()11(12)11()(2)1()(解聯(lián)立方程組. 1111)( xxxxf第16頁(yè)/共25頁(yè)).(, )2()(xfxxxxf 求求設(shè)設(shè)例解先去掉絕對(duì)值,2),2(20),2(0),2()(222 xxxxxxxxxxf,0時(shí)

10、時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 00)2(lim)0(20 xxxfx; 0)0( f,20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x;43)(2xxxf ,02時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng) xx;43)(2xxxf , 00)2(lim)0(20 xxxfx第17頁(yè)/共25頁(yè),2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x2)2()(lim)2(2 xfxffx2)2(lim22 xxxx. 4 2)2()(lim)2(2 xfxffx2)2(lim22 xxxx. 4 ),2()2( ff.2)(處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 xxf , 20 ,43, 0, 00, 2,43)(22xxxxxxxxxf或或第18頁(yè)/共25頁(yè)一. (1)xxxxxf 32)2()(不可導(dǎo)的點(diǎn)為 x分析分析函數(shù)

11、函數(shù)|)(xxf .0不可導(dǎo)不可導(dǎo)在在 x而函數(shù)而函數(shù)|)(xxxf .0可導(dǎo)可導(dǎo)在在 x解解xxxxxf 32)2()(|1|1| )1()2( xxxxx所以不可導(dǎo)的點(diǎn)為 0 x. 1 x及及第19頁(yè)/共25頁(yè)。則則若函數(shù)若函數(shù)_)(),2()2)(1()( nfnxxxxxf解解nxnfxfnfnx )()(lim)()2()1)(1()1(limnxnxnxxxnx )2()1)(1()1(nnnnnnnn 2) !()1(nn 一. (2)第20頁(yè)/共25頁(yè)四.設(shè)對(duì)任意實(shí)數(shù) 均有均有x，)()1(xfaxf bf )0(且且),(為為非非零零常常數(shù)數(shù)ba點(diǎn)點(diǎn)處處可可導(dǎo)導(dǎo)，并并求求在在

12、證證明明1)( xxf。)1(f 證明證明時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x),0()1(faf xfxfx)1()1(lim0 xfaxfax)0()(lim0 xfxfax)0()(lim0 )0(fa ba 所以所以abf )1(第21頁(yè)/共25頁(yè)一. (4), 1)(0 xf若若 )5()2(lim000 xxfxxfxx則則解解由由于于xxxfxxfx)5()2(lim000 xxxfxfxfxxfx)5()()()2(lim00000 xxfxxfxxfxxfx)()5()()2(lim00000 xxfxxfxxfxxfxx5)()5(lim52)()2(lim)2(000000 7 所以所以71)5()2(lim000 xxfxxfxx第22頁(yè)/共25頁(yè)以下解法是否正確?xxxfxxfx)5()2(lim000 關(guān)關(guān)于于yxx 20令令xxxfxxfx)5()2(lim000 xyfxyfx)()7(lim0 )( 7yf )2( 70 xxf 若改為若改為xxxfxxfx)5()2(lim000 xyfxyfx)()7(lim0 )( lim70yfx )2( lim700 xxfx )( 70 xf ?why是否正確？是否正確？第23頁(yè)/共25頁(yè)五.若對(duì)一切實(shí)數(shù) , yx，有有)(e)(e)(xfyfyxfyx ，且且1)0( f證明當(dāng) 時(shí)時(shí)，0 x且且也也可