ul分解與高斯消元法實驗報告

1、數(shù)值方法實驗報告課程名稱：lu分解法與高斯消元法 學 院：數(shù)學與財經學院 專 業(yè)：信息與計算科學（金融軟件） 年 級：2011級 姓 名：鄭 薦 學 號：201102334023 指導教師：李 夢 實驗一【實驗名稱】實現(xiàn)lu算法，并利用該算法求解線性方程組【實驗目的】了解如何用lu三角分解法解線性方程組，利用lu三角分解法解線性方程組【實驗原理】設無行交換變換的高斯消去法可求解一般線性方程組ax=b，則矩陣a可分解為一個下三角矩陣l和一個上三角矩陣u乘積：a=lu而且l的對角線元素為1，u的對角線元素非零。得到l和u后，可通過如下步驟得到x：1. 利用向前替換法對方程組ly=b求解y。2. 利

2、用回帶法對方程組ux=y求解x?！緦嶒灢襟E】1. 輸入矩陣a2. lu分解a，得到l矩陣與u矩陣的值 l u=lu_1(a)3. 輸入矩陣b，利用向前回帶法求出y值 y=upsub(l,b)4. 利用回帶發(fā)求出x值 x=backsub(u,y)【實驗程序】1. lu分解代碼：function l u=lu_1(a) n=length(a(1,:); l=eye(n); u=zeros(n); for j=1:n u(1,j)=a(1,j); end for i=2:n l(i,1)=a(i,1)/u(1,1); end for k=2:n for j=k:n u(k,j)=a(k,j)-l(k

3、,1:k-1)*u(1:k-1,j); end for i=k+1:n l(i,k)=(a(i,k)-l(i,1:k-1)*u(1:k-1,k)/u(k,k); end end結果：2. 向前回帶法代碼：%向前代入法function y=upsub(a,b)n=length(b);y=zeros(n,1);y(1)=b(1)/a(1,1);for k=2:n y(k)=(b(k)-a(k,1:k-1)*y(1:k-1)/a(k,k);end結果：3. 回帶法代碼：%回代法function x=backsub(a,b)n=length(b);x=zeros(n,1); x(n)=b(n)/a(n

4、,n);for k=n-1:(-1):1 x(k)=(b(k)-a(k,k+1:n)*x(k+1:n)/a(k,k);end結果：【實驗分析】lu分解法比較簡便迅速，當解多個系數(shù)矩陣為a的線性方程做時，lu分解法就顯得特別優(yōu)越，只要對系數(shù)矩陣做一次lu分解，以后只要解三角形方程即可。也可以根據(jù)系數(shù)矩陣的形狀來設計算法。實驗二【實驗名稱】高斯消元法解線性方程組【實驗目的】了解如何用高斯消元法解線性方程組，利用高斯消元法解線性方程組【實驗原理】消元過程：設，令乘數(shù)，做（消去第i個方程組的）操作×第1個方程+第i個方程（i=2，3，.n）則第i個方程變?yōu)檫@樣消去第2，3，。，n個方程的變元

5、后。原線性方程組變?yōu)椋哼@樣就完成了第1步消元。回代過程：在最后的一方程中解出，得：再將的值代入倒數(shù)第二個方程，解出，依次往上反推，即可求出方程組的解：其通項為【實驗步驟】1、輸入a和b2、判斷是否有解b=a bif ra<rb,無解return,endelse ra=rb 轉33、if ra=rb=n 有唯一解對 k=1:n-1 做a(k,k)=0,breakfor i=k+1:nl(i,k)=a(i,k)/a(k,k)a(i,k)=a(i,j)-l(i,k)*a(i,j)endend4、elseif ra=rb<n時，有無窮解，end5、后向代入法求解【實驗程序】回帶法程序：%回

6、代法function x=backsub(a,b)n=length(b);x=zeros(n,1); x(n)=b(n)/a(n,n);for k=n-1:(-1):1 x(k)=(b(k)-a(k,k+1:n)*x(k+1:n)/a(k,k);end高斯消元法程序：functionra,rb,n=gaus(a,b)b=a b;n=length(b);ra=rank(a);rb=rank(b);rank_dif=rb-ra;if rank_dif>0 disp('rarb,此方程無解'); return;endif ra=rb if ra=n disp('ra=r

7、b=n,次方程組有唯一解'); x=zeros(n,1); for p=1:n-1 for k=p+1:n m=b(k,p)/b(p,p); b(k,p:n+1)=b(k,p:n+1)-m*b(p,p:n+1); end end x=backsub(b(1:n,1:n),b(1:n,n+1); x else disp('ra=rb<n,次方程組有無窮解。') endend結果：【實驗分析】高斯消元法代碼更為復雜。lu分解的方法，求解方程組的方法使得得出的結果更加精確。高斯消元法能更快判斷出是由有解。lu分解法在lu分解前矩陣a不知道能否可以分解?！緦嶒炐牡谩?#160;本次試驗涉及到了用高斯消元法，lu分解法兩種方法。需要對這些方法的原理都要掌握才能寫出程序，由于理論知識的欠缺，我花了很大一部分時間在看懂實驗的原理上，看懂了實驗原理之后就開始根據(jù)原理