有限元分析ansys（課堂PPT）

1、1機(jī)械工程有限元法基礎(chǔ)機(jī)械工程有限元法基礎(chǔ)周培周培機(jī)電工程系機(jī)電工程系2有限元法現(xiàn)已成為計(jì)算機(jī)有限元法現(xiàn)已成為計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬數(shù)值模擬中的一種主要手段中的一種主要手段. .現(xiàn)廣泛應(yīng)用于機(jī)械、電子、航空航天、汽車、船舶、現(xiàn)廣泛應(yīng)用于機(jī)械、電子、航空航天、汽車、船舶、建筑以及石油化工等領(lǐng)域建筑以及石油化工等領(lǐng)域. .拓展到了拓展到了電磁學(xué)電磁學(xué),流體力學(xué)流體力學(xué),傳熱學(xué)傳熱學(xué),聲學(xué)等領(lǐng)域聲學(xué)等領(lǐng)域從簡(jiǎn)單的靜力分析從簡(jiǎn)單的靜力分析發(fā)展到了發(fā)展到了動(dòng)態(tài)分析動(dòng)態(tài)分析,非線性分析非線性分析,多物理場(chǎng)耦合分析等復(fù)多物理場(chǎng)耦合分析等復(fù)雜問題的計(jì)算雜問題的計(jì)算它從最初的固體力學(xué)領(lǐng)域它從最初的固體力學(xué)領(lǐng)域有限元法是

2、根據(jù)有限元法是根據(jù)變分原理變分原理求解數(shù)學(xué)物理問題的一求解數(shù)學(xué)物理問題的一種種數(shù)值方法數(shù)值方法.3第二章第二章 有限元法的基本原理有限元法的基本原理21第一章第一章 緒論緒論 第三章第三章 軸對(duì)稱問題的有限元解法軸對(duì)稱問題的有限元解法第四章第四章 桿件系統(tǒng)的有限元法桿件系統(tǒng)的有限元法345第五章第五章 空間問題的有限元法空間問題的有限元法4第六章第六章 動(dòng)態(tài)分析有限元法動(dòng)態(tài)分析有限元法6第七章第七章 熱分析有限元法熱分析有限元法第八章第八章 有限元建模方法有限元建模方法789第九章第九章 ANSYSANSYS分析實(shí)例分析實(shí)例5船體在彎扭聯(lián)合作用下的結(jié)構(gòu)船體在彎扭聯(lián)合作用下的結(jié)構(gòu)“應(yīng)力應(yīng)力-變形

3、變形”有限元分析有限元分析6風(fēng)洞風(fēng)洞 強(qiáng)度與振動(dòng)強(qiáng)度與振動(dòng)7增壓風(fēng)洞的第一階模態(tài)增壓風(fēng)洞的第一階模態(tài) f=10.36Hz8電機(jī)諧響應(yīng)分析電機(jī)諧響應(yīng)分析9電機(jī)諧響應(yīng)分析電機(jī)諧響應(yīng)分析1011第一節(jié)第一節(jié) 有限元法的產(chǎn)生與基本思想有限元法的產(chǎn)生與基本思想2200d()d0d0dxxyFlxxEIyyx邊界條件邊界條件數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)問題求解求解解析法解析法數(shù)值法數(shù)值法差分法差分法變分法變分法有限元法有限元法微分方程的邊值問題微分方程的邊值問題12差分法差分法基本思想基本思想:用用均勻的網(wǎng)格離散均勻的網(wǎng)格離散求解域求解域,用離散點(diǎn)的用離散點(diǎn)的差分差分代替微分代替微分,從而將連續(xù)的微分方程和邊界條件轉(zhuǎn)化為

4、網(wǎng)從而將連續(xù)的微分方程和邊界條件轉(zhuǎn)化為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)處的格節(jié)點(diǎn)處的差分方程差分方程,并用差分方程的解作為邊值問題并用差分方程的解作為邊值問題的的近似解近似解.邊值問題為邊值問題為12( )( )( )( )( )( )y xy xy xf xaxby ady bd(1-3)13對(duì)每個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)對(duì)每個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn) xi ,若用差分近似若用差分近似代替微分代替微分,有有1()( )( )iiiy xy xy xh1iiiyyyh 11112112()( )( )()( )()2 ( )()2iiiiiiiiiiiy xy xy xy xhhy xhy xy xy xhyyyh同樣同樣(1 4)(1 5)14111

5、22(1,2,1)iiiiiiiyyyyyyfinhh211(1)(2)(1,2,1)iiiih yhhyyfin012,nydyd將將(1-4)(1-5)代入代入(1-3),得得即即(1 6)再由再由(1-3)中的邊界條件中的邊界條件,有有(1 7)線性方程組線性方程組15變分法變分法變分原理變分原理:微分方程邊值問題的解等價(jià)于相應(yīng)泛函極值微分方程邊值問題的解等價(jià)于相應(yīng)泛函極值問題的解問題的解.邊值問題的求解邊值問題的求解泛函極值的求解泛函極值的求解泛函泛函:給定滿足一定條件的函數(shù)集合給定滿足一定條件的函數(shù)集合A:y(x),和實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)集合集合R。設(shè)。設(shè)y(x)是是A中的函數(shù)中的函數(shù),V是是

6、R中的變量中的變量,若若A和和V之間存在一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系之間存在一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系,就是就是A中的每個(gè)函數(shù)中的每個(gè)函數(shù)y(x),R中都有唯一的中都有唯一的V值與之對(duì)應(yīng)值與之對(duì)應(yīng),則稱則稱V是函數(shù)是函數(shù)y(x)的泛函的泛函,記為記為V=V(y(x)。A稱為泛函的定義域稱為泛函的定義域,可變函數(shù)可變函數(shù)y(x)稱為自變函數(shù)稱為自變函數(shù),依賴依賴自變函數(shù)而變的量自變函數(shù)而變的量V,稱為自變函數(shù)的泛函。稱為自變函數(shù)的泛函。16里茲法里茲法: :選擇一個(gè)定義于整個(gè)求解域選擇一個(gè)定義于整個(gè)求解域并滿足邊界條件的試探函數(shù)并滿足邊界條件的試探函數(shù)將試探函數(shù)代入泛函表將試探函數(shù)代入泛函表達(dá)式達(dá)式,建立線性方程建立線性方程

7、求解方程求解方程計(jì)算系數(shù)計(jì)算系數(shù)17式中，式中， 為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。設(shè)有邊值問題設(shè)有邊值問題22d10d(0)0, (1)0yyxyy 122011( )()d22I y xyyyx234112311( )()()()()()nnniiixxxxxxxxxxx(1-8)通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)，求得其泛函為通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)，求得其泛函為現(xiàn)用一試探函數(shù)近似原邊值問題的解，試探函數(shù)設(shè)為現(xiàn)用一試探函數(shù)近似原邊值問題的解，試探函數(shù)設(shè)為以下多項(xiàng)式形式以下多項(xiàng)式形式12,n (1-9)(1-10)18因此有因此有( )( )y xx試探函數(shù)中所取的項(xiàng)數(shù)越多，逼近的精度越高。試探函數(shù)中所取的項(xiàng)數(shù)越多，逼近的精度越高。

8、將試探函數(shù)代入式將試探函數(shù)代入式(1-9)，可以得到關(guān)于，可以得到關(guān)于n個(gè)待定系數(shù)個(gè)待定系數(shù)的泛函表達(dá)式，簡(jiǎn)記為的泛函表達(dá)式，簡(jiǎn)記為123( )(,)nI y xI 根據(jù)多元函數(shù)有極值的必要條件，有根據(jù)多元函數(shù)有極值的必要條件，有12311232123(,)0(,)0(,)0nnnnIII (1-11)將求出的系數(shù)代入將求出的系數(shù)代入(1-10)，就可得到試探函數(shù)的表達(dá)，就可得到試探函數(shù)的表達(dá)式，即原邊值問題的近似解。式，即原邊值問題的近似解。19有限元法有限元法有限元法是在差分法和變分法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一有限元法是在差分法和變分法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種數(shù)值方法種數(shù)值方法,它吸取了差分法對(duì)求

9、解域進(jìn)行離散處理它吸取了差分法對(duì)求解域進(jìn)行離散處理的啟示的啟示,又繼承了里茲法選擇試探函數(shù)的合理方法又繼承了里茲法選擇試探函數(shù)的合理方法.基本思想基本思想:離散離散,分片插值分片插值單元單元（網(wǎng)格）（網(wǎng)格）節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)單元間的互相作用只能通單元間的互相作用只能通過節(jié)點(diǎn)傳遞過節(jié)點(diǎn)傳遞1.離散離散:2021222.分片插值分片插值變分法一般用于求解函數(shù)較規(guī)則和邊界條件較簡(jiǎn)單變分法一般用于求解函數(shù)較規(guī)則和邊界條件較簡(jiǎn)單的問題的問題.分片插值的思想分片插值的思想: 針對(duì)每一個(gè)單元選擇試探函數(shù)針對(duì)每一個(gè)單元選擇試探函數(shù)(插值函數(shù)插值函數(shù)),積分計(jì)算在單元內(nèi)完成積分計(jì)算在單元內(nèi)完成.一維函數(shù)的整體插值與分片插

10、值一維函數(shù)的整體插值與分片插值23第二節(jié)第二節(jié) 有限元法的應(yīng)用有限元法的應(yīng)用有限元法的優(yōu)越性有限元法的優(yōu)越性能夠分析形狀復(fù)雜的結(jié)構(gòu)能夠分析形狀復(fù)雜的結(jié)構(gòu)能夠處理復(fù)雜的邊界條件能夠處理復(fù)雜的邊界條件能夠保證規(guī)定的工程精度能夠保證規(guī)定的工程精度能夠處理不同類型的材料能夠處理不同類型的材料有限元法的應(yīng)用范圍有限元法的應(yīng)用范圍線性靜力分析線性靜力分析動(dòng)態(tài)分析動(dòng)態(tài)分析熱分析熱分析流場(chǎng)分析流場(chǎng)分析電磁場(chǎng)計(jì)算電磁場(chǎng)計(jì)算非線性分析非線性分析過程仿真過程仿真在產(chǎn)品開發(fā)中的應(yīng)用在產(chǎn)品開發(fā)中的應(yīng)用:CAD/CAE/CAM 有限元法是有限元法是CAE的主要方法的主要方法2425262728第二章第二章 有限元法的基本

11、原理有限元法的基本原理21第一章第一章 緒論緒論第三章第三章 軸對(duì)稱問題的有限元解法軸對(duì)稱問題的有限元解法第四章第四章 桿件系統(tǒng)的有限元法桿件系統(tǒng)的有限元法345第五章第五章 空間問題的有限元法空間問題的有限元法29第二章第二章 有限元法的基本原理有限元法的基本原理線性彈性平面問題線性彈性平面問題第一節(jié)第一節(jié) 彈性力學(xué)相關(guān)知識(shí)彈性力學(xué)相關(guān)知識(shí)一、彈性力學(xué)中的物理量一、彈性力學(xué)中的物理量: 載荷載荷,應(yīng)力應(yīng)力,應(yīng)變應(yīng)變,位移位移1.載荷載荷載荷是外界作用在彈性體上的力載荷是外界作用在彈性體上的力,又稱外力又稱外力.它包括它包括體力體力,面力和集中力面力和集中力三種形式三種形式.體力矩陣體力矩陣面

12、力矩陣面力矩陣集中力矩陣集中力矩陣 TvvxvyvzPPPP TssxsyszPPPPTccxcyczPPPP302.應(yīng)力應(yīng)力當(dāng)彈性體受到載荷作用當(dāng)彈性體受到載荷作用,其內(nèi)部將產(chǎn)生內(nèi)力。彈性體其內(nèi)部將產(chǎn)生內(nèi)力。彈性體內(nèi)某一點(diǎn)作用于某個(gè)截面單位面積上的內(nèi)力稱為應(yīng)內(nèi)某一點(diǎn)作用于某個(gè)截面單位面積上的內(nèi)力稱為應(yīng)力力,它反映了它反映了內(nèi)力內(nèi)力在截面上的在截面上的分布密度分布密度。微分體的應(yīng)力分量微分體的應(yīng)力分量,xyyxxzzxyzzy切應(yīng)力互等定律切應(yīng)力互等定律應(yīng)力矩陣應(yīng)力矩陣 Txyzxyyzzx313. .應(yīng)變應(yīng)變32微分體的應(yīng)變分量微分體的應(yīng)變分量 正應(yīng)變正應(yīng)變伸長(zhǎng)為正伸長(zhǎng)為正,縮短為負(fù)縮短為負(fù)

13、 切應(yīng)變切應(yīng)變直角減小為正直角減小為正,增大為負(fù)增大為負(fù)注意!應(yīng)變的矩陣表示：應(yīng)變的矩陣表示： Txyzxyyzzx334.位移位移彈性體變形實(shí)際上是彈性體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位置發(fā)生變彈性體變形實(shí)際上是彈性體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位置發(fā)生變化化,這種位置的改變稱為位移這種位置的改變稱為位移,用用d表示表示.位移可分解為位移可分解為x、y、z三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影u、v、w,稱為稱為位移分量位移分量. .沿坐標(biāo)軸正方向的位移分量為正沿坐標(biāo)軸正方向的位移分量為正, ,反之為負(fù)反之為負(fù). .位移的矩陣表示位移的矩陣表示 Tduvw34二、彈性力學(xué)的基本方程二、彈性力學(xué)的基本方程彈性力學(xué)基本方程描述彈性體內(nèi)任一

14、點(diǎn)應(yīng)力彈性力學(xué)基本方程描述彈性體內(nèi)任一點(diǎn)應(yīng)力,應(yīng)變應(yīng)變,位位移以及外力之間的關(guān)系移以及外力之間的關(guān)系,它包括它包括平衡方程平衡方程,幾何方程幾何方程和和物理方程物理方程三類三類.彈性力學(xué)中的基本假設(shè)：彈性力學(xué)中的基本假設(shè)： 1 1、連續(xù)性假設(shè)：物體是連續(xù)的、連續(xù)性假設(shè)：物體是連續(xù)的 2 2、均勻性假設(shè)：物體由同一材料組成、均勻性假設(shè)：物體由同一材料組成 3 3、各向同性假設(shè)：物體各個(gè)方向的性能相同、各向同性假設(shè)：物體各個(gè)方向的性能相同 4 4、物體是完全彈性的、物體是完全彈性的 （符合上述（符合上述4 4個(gè)條件的稱為理想彈性體）個(gè)條件的稱為理想彈性體） 5 5、位移和形變是微小的。、位移和形變

15、是微小的。351.平衡方程平衡方程彈性體受力以后仍處于平衡狀態(tài)彈性體受力以后仍處于平衡狀態(tài),因此其上的因此其上的應(yīng)力應(yīng)力和和體力體力在在x,y,z三個(gè)方向上分別滿足以下平衡方程三個(gè)方向上分別滿足以下平衡方程000 xyxxzvxxyyyzvyyzxzzvzpxyzpxyzpxyz平衡方程是彈性體內(nèi)部必須滿足的條件平衡方程是彈性體內(nèi)部必須滿足的條件362.幾何方程幾何方程幾何方程描述幾何量幾何方程描述幾何量應(yīng)變應(yīng)變和和位移位移之間的關(guān)系之間的關(guān)系,其矩其矩陣形式為陣形式為 000000000 xyzxyyzzxuxxvyywuzzvuvwyxyxvwzyzywuxzzx373.物理方程物理方程物

16、理方程描述物理方程描述應(yīng)力分量應(yīng)力分量和和應(yīng)變分量應(yīng)變分量之間的關(guān)系之間的關(guān)系,這這種關(guān)系與材料的物理特性有關(guān)種關(guān)系與材料的物理特性有關(guān).物理方程有六個(gè)物理方程有六個(gè):1()1()1()111xxyzyyzxzzxyxyxyyzyzzxzxEEEGGG2(1)EGE:彈性模量彈性模量 G:切變彈性模量切變彈性模量 : :泊松比泊松比 D矩陣形式矩陣形式稱為彈性矩陣稱為彈性矩陣,由彈性模量和泊松比確定由彈性模量和泊松比確定,與坐標(biāo)無關(guān)與坐標(biāo)無關(guān) D38三類基本方程中包括三類基本方程中包括15個(gè)方程個(gè)方程.含有含有6個(gè)應(yīng)力分量個(gè)應(yīng)力分量,6個(gè)應(yīng)變分量個(gè)應(yīng)變分量,3個(gè)位移分量個(gè)位移分量(共共15個(gè)未

17、知量個(gè)未知量)三種解題方法三種解題方法:位移法位移法,應(yīng)力法應(yīng)力法,混合法混合法目前有限元法主要采用的是位移法目前有限元法主要采用的是位移法,它是以三個(gè)位移它是以三個(gè)位移分量作為基本未知量的分量作為基本未知量的.(平衡方程平衡方程3個(gè)個(gè),幾何方程幾何方程6個(gè)個(gè),物理方程物理方程6個(gè)個(gè))39三、虛位移原理三、虛位移原理1.虛功與虛應(yīng)變能虛功與虛應(yīng)變能 彈性體在外力作用下要發(fā)生變形彈性體在外力作用下要發(fā)生變形,外力對(duì)彈性體外力對(duì)彈性體做功。若不考慮變形中的熱量損失做功。若不考慮變形中的熱量損失,彈性體的動(dòng)能及彈性體的動(dòng)能及外界阻尼外界阻尼,則外力功將全部轉(zhuǎn)換為儲(chǔ)存于彈性體內(nèi)的則外力功將全部轉(zhuǎn)換為儲(chǔ)

18、存于彈性體內(nèi)的位能位能-應(yīng)變能。當(dāng)外力去掉后應(yīng)變能。當(dāng)外力去掉后,應(yīng)變能將使彈性體恢應(yīng)變能將使彈性體恢復(fù)原狀。復(fù)原狀。應(yīng)變能應(yīng)變能40厚度為厚度為1的微分體的微分體,在水平方向拉在水平方向拉力力F F的作用下發(fā)生了位移的作用下發(fā)生了位移xdx1xFdy拉力表達(dá)式拉力表達(dá)式:12xdWFdx12xxdWdxdy 拉力做的功拉力做的功:將將F代入代入:4112xxU 12xxUdxdy 1()2xxyyxyxyU 儲(chǔ)存在微分體內(nèi)的應(yīng)變能儲(chǔ)存在微分體內(nèi)的應(yīng)變能:12xxdUdWdxdy 單位體積內(nèi)的應(yīng)變能單位體積內(nèi)的應(yīng)變能:應(yīng)變能應(yīng)變能:如果微分體上還有如果微分體上還有 和和 的作用的作用,彈性體單

19、位彈性體單位體積應(yīng)變能體積應(yīng)變能: yxy42 是指在約束條件允許的范圍內(nèi)彈性體可能發(fā)是指在約束條件允許的范圍內(nèi)彈性體可能發(fā)生的任意微小的位移。生的任意微小的位移。彈性體在平衡狀態(tài)下發(fā)生虛位移時(shí)彈性體在平衡狀態(tài)下發(fā)生虛位移時(shí),外力要做虛功外力要做虛功,大小為大小為 TWfR虛功虛功虛位移虛位移外力外力彈性體在外載作用下的實(shí)位移是可能的虛位移。彈性體在外載作用下的實(shí)位移是可能的虛位移。它的發(fā)生與時(shí)間無關(guān)它的發(fā)生與時(shí)間無關(guān),與彈性體所受的外載無關(guān)。與彈性體所受的外載無關(guān)。它并未實(shí)際發(fā)生，只是說明產(chǎn)生位移的可能性。它并未實(shí)際發(fā)生，只是說明產(chǎn)生位移的可能性。虛位移虛位移43U在發(fā)生虛位移的過程中在發(fā)生

20、虛位移的過程中,彈性體內(nèi)將產(chǎn)生虛應(yīng)變彈性體內(nèi)將產(chǎn)生虛應(yīng)變 。應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功是儲(chǔ)存在彈性體內(nèi)的虛應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功是儲(chǔ)存在彈性體內(nèi)的虛應(yīng)變能應(yīng)變能,若用若用 表示虛應(yīng)變能表示虛應(yīng)變能,則則 TVUdV TU單位體積內(nèi)的虛應(yīng)變能為單位體積內(nèi)的虛應(yīng)變能為442.虛位移原理虛位移原理虛位移原理又稱虛功原理虛位移原理又稱虛功原理,是最基本的能量原理是最基本的能量原理.虛位移原理虛位移原理:如果在虛位移發(fā)生之前彈性體是平衡的如果在虛位移發(fā)生之前彈性體是平衡的,那么在虛位移發(fā)生時(shí)那么在虛位移發(fā)生時(shí),外力在虛位移上所做的功就等外力在虛位移上所做的功就等于彈性體的虛應(yīng)變能于彈性體的虛應(yīng)變能,即即

21、WU TTVfRdV一般表達(dá)式一般表達(dá)式:45 cP對(duì)于虛位移原理對(duì)于虛位移原理,在虛位移發(fā)生過程中在虛位移發(fā)生過程中,原有的外原有的外力力,應(yīng)力應(yīng)力,溫度及速度應(yīng)保持不變溫度及速度應(yīng)保持不變,也就是說也就是說,不能有熱不能有熱能或動(dòng)能的改變。能或動(dòng)能的改變。外力的形式有集中力外力的形式有集中力 ,體力體力 和表面力和表面力 ,對(duì)于平面彈性體而言對(duì)于平面彈性體而言,上述外力的虛功為上述外力的虛功為 vP sP TTTcvsVWfPfP dVfP ds46四、平面問題的定義四、平面問題的定義平面問題分為平面問題分為平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題和和平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題。1.平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題

22、當(dāng)結(jié)構(gòu)滿足以下兩個(gè)條件時(shí)當(dāng)結(jié)構(gòu)滿足以下兩個(gè)條件時(shí),則認(rèn)為是平面應(yīng)力問題。則認(rèn)為是平面應(yīng)力問題。(1)幾何條件幾何條件 厚度尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于截面尺寸厚度尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于截面尺寸,即結(jié)構(gòu)即結(jié)構(gòu)形狀成薄板形。形狀成薄板形。(2)載荷條件載荷條件 載荷平行于板平面且沿厚度方向均載荷平行于板平面且沿厚度方向均勻分布勻分布,而板平面不受任何外力作用。而板平面不受任何外力作用。47參照下圖參照下圖,判斷是否是平面應(yīng)力問題。判斷是否是平面應(yīng)力問題。一般地一般地,當(dāng)結(jié)構(gòu)厚度當(dāng)結(jié)構(gòu)厚度 時(shí)時(shí),結(jié)構(gòu)可作為平面應(yīng)力問題結(jié)構(gòu)可作為平面應(yīng)力問題.15tL48平面應(yīng)力問題的應(yīng)力特點(diǎn)平面應(yīng)力問題的應(yīng)力特點(diǎn):0zzxzy0()1zxz

23、yzxy TxyxyTxyxy根據(jù)物理方程，根據(jù)物理方程，應(yīng)變特點(diǎn)應(yīng)變特點(diǎn):這類結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分量和應(yīng)變分量分別為這類結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分量和應(yīng)變分量分別為:49 00 xyxyxuvyyx D 2101011002ED這時(shí)這時(shí),幾何方程變?yōu)閹缀畏匠套優(yōu)?物理方程變?yōu)槲锢矸匠套優(yōu)?平面應(yīng)力問題的彈性矩陣平面應(yīng)力問題的彈性矩陣502.平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題凡滿足以下兩個(gè)條件的結(jié)構(gòu)可視為平面應(yīng)變問題：凡滿足以下兩個(gè)條件的結(jié)構(gòu)可視為平面應(yīng)變問題：(1)幾何條件幾何條件沿厚度方向的截面形狀和大小相同沿厚度方向的截面形狀和大小相同且厚度尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于截面尺寸且厚度尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于截面尺寸,即結(jié)即結(jié)構(gòu)呈等截面的細(xì)長(zhǎng)形。構(gòu)

24、呈等截面的細(xì)長(zhǎng)形。(2)載荷條件載荷條件 載荷垂直于厚度方向載荷垂直于厚度方向(平行橫截面平行橫截面)且且沿厚度均勻分布沿厚度均勻分布,兩個(gè)端面不受力。兩個(gè)端面不受力。51參照下圖參照下圖,判斷是否是平面應(yīng)變問題。判斷是否是平面應(yīng)變問題。52平面應(yīng)變問題的應(yīng)變特點(diǎn)平面應(yīng)變問題的應(yīng)變特點(diǎn):0zyzzx應(yīng)力特點(diǎn)應(yīng)力特點(diǎn):0()yzzxzxy 53平面應(yīng)變問題的應(yīng)力分量為平面應(yīng)變問題的應(yīng)力分量為應(yīng)變分量為應(yīng)變分量為 Txyxy Txyxy D兩者關(guān)系為兩者關(guān)系為 101(1)10(1)(1 2 ) 11 2002(1)ED式中式中稱為平面應(yīng)變問題的彈性矩陣稱為平面應(yīng)變問題的彈性矩陣.54 21010

25、11002ED平面應(yīng)力問題彈性矩陣平面應(yīng)力問題彈性矩陣E2(1)E(1) 101(1)10(1)(1 2 ) 11 2002(1)ED平面應(yīng)變問題彈性矩陣平面應(yīng)變問題彈性矩陣55綜上所述，平面問題（包括平面應(yīng)力問題和平面綜上所述，平面問題（包括平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題）只有三個(gè)應(yīng)力分量應(yīng)變問題）只有三個(gè)應(yīng)力分量 ，三，三個(gè)應(yīng)變分量個(gè)應(yīng)變分量 ，和兩個(gè)位移分量，和兩個(gè)位移分量 這些分量都是這些分量都是x,y的函數(shù)，而與坐標(biāo)的函數(shù)，而與坐標(biāo)z無關(guān)。無關(guān)。TxyxyTxyxyTuv因此平面問題的網(wǎng)格劃分可在一個(gè)反映橫截面形因此平面問題的網(wǎng)格劃分可在一個(gè)反映橫截面形狀的平面圖形上進(jìn)行。狀的平面圖形上

26、進(jìn)行。56第二節(jié)第二節(jié) 平面問題有限元法平面問題有限元法(平面應(yīng)力問題的靜力分析平面應(yīng)力問題的靜力分析)一、結(jié)構(gòu)離散一、結(jié)構(gòu)離散 離散就是將一個(gè)連續(xù)的彈性體離散就是將一個(gè)連續(xù)的彈性體(實(shí)際上是描述彈性實(shí)際上是描述彈性體形狀和尺寸的幾何區(qū)域體形狀和尺寸的幾何區(qū)域,稱為求解域稱為求解域)分割為一定形分割為一定形狀和數(shù)量的單元狀和數(shù)量的單元,從而使從而使從而使從而使連續(xù)體連續(xù)體轉(zhuǎn)換為由有限轉(zhuǎn)換為由有限個(gè)單元組成的個(gè)單元組成的組合體組合體。單元與單元之間僅通過節(jié)點(diǎn)連接單元與單元之間僅通過節(jié)點(diǎn)連接,除此之外再無其他除此之外再無其他連接。也就是說一個(gè)單元上的力只能通過節(jié)點(diǎn)傳遞到連接。也就是說一個(gè)單元上的力

27、只能通過節(jié)點(diǎn)傳遞到相鄰單元。相鄰單元。57離散（劃分網(wǎng)格）離散（劃分網(wǎng)格）:網(wǎng)格網(wǎng)格:三角形三角形矩形矩形任意四邊形任意四邊形選擇節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量。在平面問題中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有選擇節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量。在平面問題中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)位移分量。兩個(gè)位移分量。節(jié)點(diǎn)所具有的位移分量的數(shù)量稱為節(jié)點(diǎn)所具有的位移分量的數(shù)量稱為節(jié)點(diǎn)自由度節(jié)點(diǎn)自由度(DOF)，一個(gè)，一個(gè)單元所有節(jié)點(diǎn)的自由度的總和稱為單元所有節(jié)點(diǎn)的自由度的總和稱為單元自由度單元自由度。節(jié)點(diǎn)和單元需要編號(hào)節(jié)點(diǎn)和單元需要編號(hào)58二、單元分析二、單元分析單元分析的任務(wù)是形成單元?jiǎng)偠染仃噯卧治龅娜蝿?wù)是形成單元?jiǎng)偠染仃?建立建立單元特性單元特性方程

28、方程。三角形三節(jié)點(diǎn)單元三角形三節(jié)點(diǎn)單元591.位移函數(shù)位移函數(shù) 按照有限元分片插值思想按照有限元分片插值思想, ,首先假設(shè)一種函數(shù)首先假設(shè)一種函數(shù)來近似表示單元內(nèi)部的實(shí)際位移分布來近似表示單元內(nèi)部的實(shí)際位移分布, ,該函數(shù)稱該函數(shù)稱為為位移函數(shù)位移函數(shù), ,又稱位移模式。又稱位移模式。根據(jù)數(shù)學(xué)理論根據(jù)數(shù)學(xué)理論, ,定義于某一閉域內(nèi)的函數(shù)總可以定義于某一閉域內(nèi)的函數(shù)總可以用一個(gè)多項(xiàng)式來逼近用一個(gè)多項(xiàng)式來逼近, ,所以位移函數(shù)常常取為多所以位移函數(shù)常常取為多項(xiàng)式項(xiàng)式, ,一般形式一般形式: :2212345622123456( , )( , )uu x yxyxxyyvv x yxyxxyy60項(xiàng)

29、數(shù)的多少應(yīng)根據(jù)單元自由度數(shù)確定。項(xiàng)數(shù)的多少應(yīng)根據(jù)單元自由度數(shù)確定。三節(jié)點(diǎn)三角形單元有三節(jié)點(diǎn)三角形單元有6個(gè)自由度個(gè)自由度,可以確定可以確定6個(gè)待定個(gè)待定系數(shù)系數(shù),所以取上式中的前三項(xiàng)。因此這種三角形單所以取上式中的前三項(xiàng)。因此這種三角形單元位移函數(shù)為元位移函數(shù)為:123456uxyvxy 上式是線性多項(xiàng)式上式是線性多項(xiàng)式,稱為稱為線性位移函數(shù)線性位移函數(shù),相應(yīng)的單相應(yīng)的單元稱為元稱為線性單元線性單元。如果單元節(jié)點(diǎn)越多。如果單元節(jié)點(diǎn)越多,就可能構(gòu)造就可能構(gòu)造階次越高的位移函數(shù)階次越高的位移函數(shù),計(jì)算精度也就越高。計(jì)算精度也就越高。61 由于節(jié)點(diǎn)由于節(jié)點(diǎn)i , j , m在單元上在單元上,它們的位

30、它們的位移自然也就滿足位移函數(shù)式。移自然也就滿足位移函數(shù)式。設(shè)三個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移分別為設(shè)三個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移分別為( , )iiu v( , )jju v(,)mmu v將節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入位移函數(shù)得將節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入位移函數(shù)得123456123456123456iiiiiijjjjjjmmmmmmuxyvxyuxyvxyuxyvxy6個(gè)方程個(gè)方程,可以求出可以求出6個(gè)待定系數(shù)個(gè)待定系數(shù).621212iiiijjjjmmmmiiiijjjjmmmmuab xc y uab xc y uab xc y uAvab xc y vab xc y vab xc y vA經(jīng)過數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得：經(jīng)過數(shù)學(xué)推導(dǎo)可

31、得：A為三角形單元的面積為三角形單元的面積為方便書寫，引入形函數(shù)為方便書寫，引入形函數(shù)1()21()21()2iiiijjjjmmmmNab xc yANab xc yANab xc yAiNjNmN稱為稱為形函數(shù)形函數(shù)63形函數(shù)是坐標(biāo)的函數(shù)形函數(shù)是坐標(biāo)的函數(shù),與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān),而與節(jié)點(diǎn)位而與節(jié)點(diǎn)位移無關(guān)。移無關(guān)。因此因此u,v可以寫為可以寫為iijjmmiijjmmuN uN uN uvN vN vN v64以矩陣表示以矩陣表示: 000000iieijmjijmjmmuvNNNuudNqNNNvvuv 形函數(shù)矩陣形函數(shù)矩陣單元節(jié)點(diǎn)位移陣列單元節(jié)點(diǎn)位移陣列形函數(shù)形函數(shù)節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)

32、位移單元內(nèi)任意一單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移點(diǎn)的位移65當(dāng)節(jié)點(diǎn)當(dāng)節(jié)點(diǎn) 在某坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移在某坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移而其他節(jié)點(diǎn)的位移為零時(shí)而其他節(jié)點(diǎn)的位移為零時(shí),單元內(nèi)的單元內(nèi)的位移分布形狀。位移分布形狀。形函數(shù)的性質(zhì)形函數(shù)的性質(zhì)iijjmmiijjmmuN uN uN uvN vN vN v1iiuviuN當(dāng)當(dāng)ivN其他節(jié)點(diǎn)的位移為零其他節(jié)點(diǎn)的位移為零iN的物理意義的物理意義:i形函數(shù)的形狀形函數(shù)的形狀66 形函數(shù)是單元內(nèi)各點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)形函數(shù)是單元內(nèi)各點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù),并不是節(jié)點(diǎn)位移并不是節(jié)點(diǎn)位移的函數(shù)的函數(shù),其表達(dá)式與單元的位移函數(shù)有關(guān)其表達(dá)式與單元的位移函數(shù)有關(guān),因此不同類因此不同類型單元的形函數(shù)

33、是不同的。型單元的形函數(shù)是不同的。形函數(shù)具有以下三條性質(zhì)形函數(shù)具有以下三條性質(zhì):(1) 在在 節(jié)點(diǎn)上的值為節(jié)點(diǎn)上的值為1,而在其他節(jié)點(diǎn)處而在其他節(jié)點(diǎn)處為零為零,即即iNi( ,)1,(,)(,)0iiiijjimmN x yN xyN xy(,)1,( ,)(,)0jjjjiijmmNxyNx yNxy(,)1,( ,)(,)0mmmmiimjjNxyNx yNxy同理同理67(3) 單元每一條邊的形函數(shù)只與該邊上的節(jié)點(diǎn)位單元每一條邊的形函數(shù)只與該邊上的節(jié)點(diǎn)位置有關(guān)置有關(guān),而與其他節(jié)點(diǎn)的位置無關(guān)而與其他節(jié)點(diǎn)的位置無關(guān) 。例如在邊。例如在邊 上上,有有( , )( , )( , )1ijmN x

34、 yNx yNx y( , )1iijixxN x yxx ( , )ijjixxNx yxx( , )0mNx y ij(2) 在單元的任一處在單元的任一處,三個(gè)形函數(shù)之和等于三個(gè)形函數(shù)之和等于1,即即68位移函數(shù)應(yīng)滿足以下位移函數(shù)應(yīng)滿足以下4個(gè)條件個(gè)條件: 包括包括常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng) 單元內(nèi)各點(diǎn)的單元內(nèi)各點(diǎn)的位移位移一般包括兩部分一般包括兩部分:一部分由一部分由單元自身變形引起單元自身變形引起;另一部分是由于其他單元變形時(shí)通過節(jié)另一部分是由于其他單元變形時(shí)通過節(jié)點(diǎn)傳遞過來的點(diǎn)傳遞過來的,這部分位移與單元本身變形無關(guān)這部分位移與單元本身變形無關(guān),它使單元發(fā)它使單元發(fā)生整體移動(dòng)生整體移動(dòng),各點(diǎn)移動(dòng)大

35、小相等各點(diǎn)移動(dòng)大小相等,故稱為故稱為剛體位移剛體位移。由于剛體。由于剛體位移與點(diǎn)的位置無關(guān)位移與點(diǎn)的位置無關(guān),因此在位移函數(shù)中應(yīng)該有常數(shù)項(xiàng)來反因此在位移函數(shù)中應(yīng)該有常數(shù)項(xiàng)來反映這種位移。映這種位移。必要條件必要條件( (完備性條件完備性條件) ) 完備單元完備單元2. 包括包括一次項(xiàng)一次項(xiàng) 單元內(nèi)各點(diǎn)的單元內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)變應(yīng)變也分為兩部分也分為兩部分:一部分是與一部分是與點(diǎn)的位置有關(guān)的變量應(yīng)變點(diǎn)的位置有關(guān)的變量應(yīng)變,一部分是與坐標(biāo)位置無關(guān)的常應(yīng)一部分是與坐標(biāo)位置無關(guān)的常應(yīng)變。對(duì)于小變形問題變。對(duì)于小變形問題,當(dāng)單元尺寸縮小時(shí)當(dāng)單元尺寸縮小時(shí),單元各點(diǎn)應(yīng)變趨單元各點(diǎn)應(yīng)變趨于相等于相等,這時(shí)這時(shí)常應(yīng)變

36、常應(yīng)變?yōu)橹饕糠?。為了反映這種應(yīng)變狀態(tài)為主要部分。為了反映這種應(yīng)變狀態(tài),位移函數(shù)中就應(yīng)該包括一次項(xiàng)位移函數(shù)中就應(yīng)該包括一次項(xiàng),因?yàn)橐淮雾?xiàng)求導(dǎo)后為常數(shù)。因?yàn)橐淮雾?xiàng)求導(dǎo)后為常數(shù)。69充分條件充分條件( (協(xié)調(diào)條件協(xié)調(diào)條件) )協(xié)調(diào)單元協(xié)調(diào)單元協(xié)調(diào)單元的有限元解一定是收斂的協(xié)調(diào)單元的有限元解一定是收斂的,但非協(xié)調(diào)單元的解不一定不收斂。但非協(xié)調(diào)單元的解不一定不收斂。3. 盡量保證位移的盡量保證位移的連續(xù)性連續(xù)性 彈性體實(shí)際變形時(shí)各點(diǎn)位移彈性體實(shí)際變形時(shí)各點(diǎn)位移是連續(xù)的是連續(xù)的,即彈性體內(nèi)部不會(huì)出現(xiàn)材料的裂縫和重疊即彈性體內(nèi)部不會(huì)出現(xiàn)材料的裂縫和重疊,因此因此離散后的組合體位移也應(yīng)該連續(xù)。對(duì)于多項(xiàng)式位移

37、函數(shù)離散后的組合體位移也應(yīng)該連續(xù)。對(duì)于多項(xiàng)式位移函數(shù),它在單元內(nèi)部的連續(xù)性是自然滿足的它在單元內(nèi)部的連續(xù)性是自然滿足的,關(guān)鍵是要求跨單元關(guān)鍵是要求跨單元之間也應(yīng)連續(xù)即變形后相鄰單元之間既不互相脫離之間也應(yīng)連續(xù)即變形后相鄰單元之間既不互相脫離,又不又不互相嵌入?；ハ嗲度搿M足上述三個(gè)條件的目的就是要滿足有限元解的滿足上述三個(gè)條件的目的就是要滿足有限元解的收斂性收斂性。704. 幾何幾何各向同性各向同性 單元的位移分布不應(yīng)與人為選單元的位移分布不應(yīng)與人為選取的坐標(biāo)方位有關(guān)取的坐標(biāo)方位有關(guān),即位移函數(shù)中坐標(biāo)即位移函數(shù)中坐標(biāo)x,y應(yīng)該是能應(yīng)該是能夠互換的。為滿足這種幾何各向同性要求夠互換的。為滿足這種

38、幾何各向同性要求,位移多位移多項(xiàng)式應(yīng)按下圖所示的巴斯卡三角形來選擇項(xiàng)式應(yīng)按下圖所示的巴斯卡三角形來選擇.223223432234543223451xyxxyyxx yxyyxx yx yxyyxx yx yx yxyy巴斯卡三角形巴斯卡三角形712.2.單元應(yīng)變和應(yīng)力單元應(yīng)變和應(yīng)力知道了單位位移函數(shù)知道了單位位移函數(shù),就可根據(jù)幾何方程和物理方程就可根據(jù)幾何方程和物理方程求得單元應(yīng)變和應(yīng)力。求得單元應(yīng)變和應(yīng)力。123456uxyvxy 00 xyxyxuvyyx 將位移函數(shù)將位移函數(shù)代入幾何方程代入幾何方程得得,72 263510()210()21()()200010002iijjmmxyiij

39、jmmxyiijjmmiijjmmijmijmiibub ub uxAuc vc vc vvyAc uc uc ubvb vb vAyxbbbcccAcbc iiejjjjmmmmuvuBqvbcbuv 00010002ijmijmijmiijjmmbbbBcccBBBAcbcbcb其中其中,稱為應(yīng)變矩陣稱為應(yīng)變矩陣,其中每個(gè)子矩陣為其中每個(gè)子矩陣為0102lllllbBcAcb(, ,)li j m73應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系為應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系為 eeDDBqSq ijmSDBSSS 22(1)1122lllllllbcESbcAcb(, ,)li j m 應(yīng)變矩陣應(yīng)變矩陣B的每個(gè)非零元素均是由節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

40、決定的常數(shù)的每個(gè)非零元素均是由節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)決定的常數(shù),由于節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為定值由于節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為定值,所以矩陣所以矩陣B為常數(shù)矩陣為常數(shù)矩陣,因此三節(jié)點(diǎn)三角因此三節(jié)點(diǎn)三角形單元為形單元為常應(yīng)變單元常應(yīng)變單元。這是由于單元線性位移函數(shù)所引起的。這是由于單元線性位移函數(shù)所引起的。式中式中稱為應(yīng)力矩陣稱為應(yīng)力矩陣.其中每個(gè)矩陣其中每個(gè)矩陣由于矩陣由于矩陣D、 B均為常數(shù)矩陣均為常數(shù)矩陣,所以應(yīng)力矩陣所以應(yīng)力矩陣S也是常數(shù)矩也是常數(shù)矩陣陣,故三節(jié)點(diǎn)三角形單元也是故三節(jié)點(diǎn)三角形單元也是常應(yīng)力單元常應(yīng)力單元。由于相鄰單元的應(yīng)。由于相鄰單元的應(yīng)力是不同的常數(shù)力是不同的常數(shù),故單元邊界的應(yīng)力值將發(fā)生突變。故單元邊界的應(yīng)力值

41、將發(fā)生突變。743.3.單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?單元分析的目的是建立單元的剛度矩陣。建立單單元分析的目的是建立單元的剛度矩陣。建立單元?jiǎng)偠染仃嚨姆椒ㄓ兄苯臃?、變分法等元?jiǎng)偠染仃嚨姆椒ㄓ兄苯臃?、變分法?下面利用變下面利用變分原理中的虛位移原理來建立。分原理中的虛位移原理來建立。設(shè)作用在單元節(jié)點(diǎn)上的力為設(shè)作用在單元節(jié)點(diǎn)上的力為Fi,Fj,Fm,則單元節(jié)點(diǎn)力列則單元節(jié)點(diǎn)力列陣為陣為 TTeijmixiyjxjymxmyFFFFFFFFFFTeiijjmmquvuvuv若單元在節(jié)點(diǎn)處發(fā)生虛位移若單元在節(jié)點(diǎn)處發(fā)生虛位移75Texyxy iixiiyjjxjjymmxmmyeTeWu Fv Fu Fv

42、 Fu Fv FqF相應(yīng)的虛應(yīng)變?yōu)橄鄳?yīng)的虛應(yīng)變?yōu)閯t節(jié)點(diǎn)力在虛位移上所做的虛功為則節(jié)點(diǎn)力在虛位移上所做的虛功為76單元內(nèi)存儲(chǔ)的應(yīng)變能為單元內(nèi)存儲(chǔ)的應(yīng)變能為 TTVUdVtdxdy eBq TTeTqB eTTTeTUqBtdxdyqBtdxdy TeTeeTqFqBtdxdy由于由于所以所以且節(jié)點(diǎn)位移僅與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)且節(jié)點(diǎn)位移僅與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān),因此因此根據(jù)虛位移原理有根據(jù)虛位移原理有 TeFBtdxdy考慮到虛位移的任意性考慮到虛位移的任意性,兩邊兩邊 同時(shí)消去同時(shí)消去,則有則有eTq77 由于三角形單元為常應(yīng)變和常應(yīng)力單元由于三角形單元為常應(yīng)變和常應(yīng)力單元,且厚度且厚度t也為常數(shù)也為常數(shù),設(shè)單

43、元面積為設(shè)單元面積為A,則上式變?yōu)閯t上式變?yōu)?TTeeFBtdxdyBDBqtA eeeFkq eTkBDB tA簡(jiǎn)寫為簡(jiǎn)寫為式中式中單元特性方程單元特性方程單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?當(dāng)矩陣當(dāng)矩陣D,B的表達(dá)式代入到單元?jiǎng)偠染仃嚨谋磉_(dá)式代入到單元?jiǎng)偠染仃?可得單元?jiǎng)偪傻脝卧獎(jiǎng)偠染仃嚨姆謮K表達(dá)形式為度矩陣的分塊表達(dá)形式為 iiijimejijjjmmimjmmkkkkkkkkkk78 iiiiijjimmjjiijjjjmmmmiimjjmmmFkqkqkqFkqkqkqFkqkqkq 從上式可以看出從上式可以看出,單元?jiǎng)傟嚸總€(gè)分塊陣的單元?jiǎng)傟嚸總€(gè)分塊陣的物理意義物理意義為為:當(dāng)在當(dāng)在一個(gè)節(jié)點(diǎn)處

44、產(chǎn)生單位位移而其他節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí)一個(gè)節(jié)點(diǎn)處產(chǎn)生單位位移而其他節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí),在該節(jié)點(diǎn)上在該節(jié)點(diǎn)上需要的力的大小。需要的力的大小。 例如例如:kij表示在表示在j節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生單位位移、其他節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí)節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生單位位移、其他節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí),需要在需要在i節(jié)點(diǎn)上施加的力。節(jié)點(diǎn)上施加的力。 因此單元?jiǎng)傟囍忻恳粋€(gè)元素的物理意義是因此單元?jiǎng)傟囍忻恳粋€(gè)元素的物理意義是:當(dāng)節(jié)點(diǎn)在某一當(dāng)節(jié)點(diǎn)在某一方向方向(x或或y)發(fā)生單位位移而其他方向位移和其他節(jié)點(diǎn)位移為零發(fā)生單位位移而其他方向位移和其他節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí)時(shí),在一個(gè)節(jié)點(diǎn)處某一方向上需要施加的節(jié)點(diǎn)力。在一個(gè)節(jié)點(diǎn)處某一方向上需要施加的節(jié)點(diǎn)力。(2-55)79以式以式(

45、2-55)的第一行的第一行為例為例,當(dāng)當(dāng)Fi為零時(shí)為零時(shí),單元仍可以作剛體運(yùn)單元仍可以作剛體運(yùn)動(dòng)動(dòng),因此有因此有單元?jiǎng)傟嚲哂幸韵聝蓚€(gè)特性單元?jiǎng)傟嚲哂幸韵聝蓚€(gè)特性:(1) 對(duì)稱性對(duì)稱性 eeTkk0ekijmqqq上述特性是由彈性力學(xué)中功的互等定理決定的上述特性是由彈性力學(xué)中功的互等定理決定的.(2) 奇異性奇異性()0iiijimikkkq0iiijimkkk則則由于由于qi是任意數(shù)是任意數(shù),所以只有所以只有 ek為奇異陣的物理意義是為奇異陣的物理意義是:在無約束的條件下在無約束的條件下,單元可以作單元可以作剛體運(yùn)動(dòng)。剛體運(yùn)動(dòng)。80三、總剛集成三、總剛集成總剛集成的任務(wù)總剛集成的任務(wù):將所有單

46、元的剛度矩陣集成為整個(gè)將所有單元的剛度矩陣集成為整個(gè)結(jié)構(gòu)的剛度矩陣結(jié)構(gòu)的剛度矩陣,稱為總剛度矩陣稱為總剛度矩陣,簡(jiǎn)稱總剛簡(jiǎn)稱總剛.1.總剛集成原理總剛集成原理單元分析時(shí)已對(duì)單元的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)建立了平衡方程單元分析時(shí)已對(duì)單元的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)建立了平衡方程.如如i節(jié)點(diǎn)的平衡方程為節(jié)點(diǎn)的平衡方程為 eiiiiijjimmissFkqkqkqkq(, ,)si j m 上式就是式上式就是式(2-55)中的第一式。它表明單元在任一節(jié)點(diǎn)發(fā)中的第一式。它表明單元在任一節(jié)點(diǎn)發(fā)生位移時(shí)生位移時(shí),都將在節(jié)點(diǎn)都將在節(jié)點(diǎn)i處產(chǎn)生節(jié)點(diǎn)力處產(chǎn)生節(jié)點(diǎn)力(實(shí)際上是節(jié)點(diǎn)力引起位實(shí)際上是節(jié)點(diǎn)力引起位移移),且力的大小等于各個(gè)節(jié)點(diǎn)位移所

47、引起節(jié)點(diǎn)力的疊加。且力的大小等于各個(gè)節(jié)點(diǎn)位移所引起節(jié)點(diǎn)力的疊加。(2-56)81 在整體結(jié)構(gòu)中在整體結(jié)構(gòu)中,一個(gè)節(jié)點(diǎn)往往為幾個(gè)單元所共有一個(gè)節(jié)點(diǎn)往往為幾個(gè)單元所共有,根根據(jù)線性疊加原理?yè)?jù)線性疊加原理,該節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)力應(yīng)為所有單元引該節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)力應(yīng)為所有單元引起的節(jié)點(diǎn)力之和。結(jié)構(gòu)平衡時(shí)起的節(jié)點(diǎn)力之和。結(jié)構(gòu)平衡時(shí),每個(gè)節(jié)點(diǎn)也是平衡的。每個(gè)節(jié)點(diǎn)也是平衡的。設(shè)作用在節(jié)點(diǎn)設(shè)作用在節(jié)點(diǎn)i上的載荷為上的載荷為Ri,則節(jié)點(diǎn)則節(jié)點(diǎn)i處的平衡方程處的平衡方程為為 eiieFR將式將式(2-55)代入上式代入上式,得得 , ,eissies i j mkqR 82 1, ,1nneissiies i j mikq

48、R KqR對(duì)結(jié)構(gòu)中的所有節(jié)點(diǎn)對(duì)結(jié)構(gòu)中的所有節(jié)點(diǎn),則有則有式中式中,n為節(jié)點(diǎn)總數(shù)。將上式記為為節(jié)點(diǎn)總數(shù)。將上式記為整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程稱為有限元方程稱為有限元方程( (剛度方程剛度方程) )83式中式中, 是所有節(jié)點(diǎn)的位移分量組成是所有節(jié)點(diǎn)的位移分量組成的列陣的列陣,稱為稱為節(jié)點(diǎn)位移列陣節(jié)點(diǎn)位移列陣; 是所有是所有作用在節(jié)點(diǎn)上的載荷組成的列陣作用在節(jié)點(diǎn)上的載荷組成的列陣,稱為稱為節(jié)點(diǎn)載荷列節(jié)點(diǎn)載荷列陣陣;K就是要求的就是要求的總剛矩陣總剛矩陣,表達(dá)式為表達(dá)式為 12,Tnqq qq 12,TnRR RR 1, ,nsies i j mKk K 中每個(gè)元素中每個(gè)元素kij的物理意義

49、和單剛元素相同的物理意義和單剛元素相同,即在節(jié)即在節(jié)點(diǎn)點(diǎn)j發(fā)生單位位移而其他節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí)發(fā)生單位位移而其他節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí),在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)i處產(chǎn)處產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)力。生的節(jié)點(diǎn)力。84 式式(2-61)中第一個(gè)求和表示按節(jié)點(diǎn)編號(hào)順中第一個(gè)求和表示按節(jié)點(diǎn)編號(hào)順序依次形成序依次形成K中的某一行。對(duì)于節(jié)點(diǎn)中的某一行。對(duì)于節(jié)點(diǎn)1(n=1),它只通過單元與節(jié)點(diǎn)它只通過單元與節(jié)點(diǎn)2,3有關(guān)有關(guān),而與節(jié)點(diǎn)而與節(jié)點(diǎn)4,5,6不直接相關(guān)不直接相關(guān),因此有因此有,借助模型說明總剛形成過程借助模型說明總剛形成過程: 1, ,nsies i j mKk 1415160,kkk(2-61)11111,kk11212,kk1131

50、3kk其中上標(biāo)表示單元編號(hào)。其中上標(biāo)表示單元編號(hào)。 對(duì)于節(jié)點(diǎn)對(duì)于節(jié)點(diǎn)2,它與節(jié)點(diǎn)它與節(jié)點(diǎn)6不直接相關(guān)不直接相關(guān),而與其他節(jié)點(diǎn)均相關(guān)而與其他節(jié)點(diǎn)均相關(guān).其其中和節(jié)點(diǎn)中和節(jié)點(diǎn)3是通過單元是通過單元,相關(guān)的即當(dāng)節(jié)點(diǎn)相關(guān)的即當(dāng)節(jié)點(diǎn)3產(chǎn)生位移時(shí)產(chǎn)生位移時(shí),它將它將通過單元在節(jié)點(diǎn)通過單元在節(jié)點(diǎn)2處產(chǎn)生節(jié)點(diǎn)力處產(chǎn)生節(jié)點(diǎn)力,也會(huì)通過單元在節(jié)點(diǎn)也會(huì)通過單元在節(jié)點(diǎn)2處處產(chǎn)生節(jié)點(diǎn)力產(chǎn)生節(jié)點(diǎn)力,因此因此 簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為 ,這就是式這就是式(2-61)中的第二個(gè)求和中的第二個(gè)求和,即對(duì)圍繞一個(gè)節(jié)點(diǎn)的所有單元求和即對(duì)圍繞一個(gè)節(jié)點(diǎn)的所有單元求和.12232323,kkk1 22323kk85同理同理,1 2 42 42222

51、2525,kkkk 其他總剛元素分別為其他總剛元素分別為142121242426,0kkkkk按上述原理依次形成對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)按上述原理依次形成對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)3,4,5,6的剛陣元素的剛陣元素,就就可以得到下面的可以得到下面的總剛矩陣總剛矩陣 11111121311 2 41 242 4212223242511 21 2 32 3331323335364444244452 42 342 3 435253545556333636566000000000000kkkkkkkkkkkkkKkkkkkkkkkkk 862.總剛集成過程總剛集成過程根據(jù)上面介紹的總剛形成原理根據(jù)上面介紹的總剛形成原理,總剛矩陣可按下

52、面兩步總剛矩陣可按下面兩步進(jìn)行集成進(jìn)行集成.(1)擴(kuò)階過程擴(kuò)階過程 將各個(gè)單元?jiǎng)傟嚢垂?jié)點(diǎn)總數(shù)將各個(gè)單元?jiǎng)傟嚢垂?jié)點(diǎn)總數(shù)n擴(kuò)大為擴(kuò)大為n*n階方塊陣階方塊陣,并將單剛元素送入該單元節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的節(jié)并將單剛元素送入該單元節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)總碼的行和列點(diǎn)總碼的行和列,其余元素置為零其余元素置為零.如單元如單元, 的剛的剛陣擴(kuò)階后變?yōu)殛嚁U(kuò)階后變?yōu)?1112132122231313233000000000000000000000000000kkkkkkkkkk 2223252323335525355000000000000000000000000000kkkkkkkkkk87(2)疊加過程疊加過程 擴(kuò)階后的單元?jiǎng)?/p>

53、陣具有相同的階數(shù)擴(kuò)階后的單元?jiǎng)傟嚲哂邢嗤碾A數(shù)和節(jié)點(diǎn)排列順序和節(jié)點(diǎn)排列順序,將各個(gè)單元?jiǎng)傟嚢词綄⒏鱾€(gè)單元?jiǎng)傟嚢词?1eneeKk(ne為單元總數(shù)為單元總數(shù))進(jìn)行疊加進(jìn)行疊加,即相同位置的元素相加即相同位置的元素相加,就可得到總剛矩就可得到總剛矩陣。陣。883.總剛矩陣的特點(diǎn)總剛矩陣的特點(diǎn)總剛矩陣總剛矩陣K具有以下特點(diǎn)具有以下特點(diǎn).(1)對(duì)稱性對(duì)稱性 總剛矩陣是由單元?jiǎng)傟嚡B加形成的總剛矩陣是由單元?jiǎng)傟嚡B加形成的,所以它與單元所以它與單元?jiǎng)傟囈粯右彩菍?duì)稱陣剛陣一樣也是對(duì)稱陣,即即 ,利用這一特性利用這一特性,計(jì)算時(shí)就只計(jì)算時(shí)就只需要存儲(chǔ)矩陣主對(duì)角線一側(cè)的元素需要存儲(chǔ)矩陣主對(duì)角線一側(cè)的元素,從而可以

54、節(jié)省近一半的存從而可以節(jié)省近一半的存儲(chǔ)容量。儲(chǔ)容量。 TKK(2)稀疏性稀疏性 從前面的總剛矩陣的形成原理可知從前面的總剛矩陣的形成原理可知,對(duì)應(yīng)于某一對(duì)應(yīng)于某一節(jié)點(diǎn)的矩陣元素中節(jié)點(diǎn)的矩陣元素中,與該節(jié)點(diǎn)無關(guān)的節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的元素為零。與該節(jié)點(diǎn)無關(guān)的節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的元素為零。而大型結(jié)構(gòu)離散后而大型結(jié)構(gòu)離散后,單元和節(jié)點(diǎn)數(shù)往往很多單元和節(jié)點(diǎn)數(shù)往往很多,而某一節(jié)點(diǎn)僅與而某一節(jié)點(diǎn)僅與周圍少數(shù)單元和節(jié)點(diǎn)相關(guān)周圍少數(shù)單元和節(jié)點(diǎn)相關(guān),因此因此K中存在大量的零元素中存在大量的零元素,這種這種矩陣稱為稀疏陣。矩陣稱為稀疏陣。89(3)帶狀性帶狀性 總剛矩陣不僅具有稀疏性總剛矩陣不僅具有稀疏性,而非零元素集而非零元素集

55、中分布在主對(duì)角元素附近中分布在主對(duì)角元素附近,這種分布特點(diǎn)稱為帶狀分這種分布特點(diǎn)稱為帶狀分布。布。(4)奇異性奇異性 結(jié)構(gòu)不加任何約束或約束不足時(shí)結(jié)構(gòu)不加任何約束或約束不足時(shí),其總其總剛矩陣是奇異陣剛矩陣是奇異陣,即即 ,物理上表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)整體物理上表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)整體可以作剛體運(yùn)動(dòng)可以作剛體運(yùn)動(dòng),這時(shí)有限元方程這時(shí)有限元方程(2-60)的解不唯一。的解不唯一。因此為了得到惟一的有限元解因此為了得到惟一的有限元解,就應(yīng)限制結(jié)構(gòu)的剛體就應(yīng)限制結(jié)構(gòu)的剛體運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng),消除總剛矩陣的奇異性。消除總剛矩陣的奇異性。0K 90四、載荷移置四、載荷移置 通過總剛集成形成了有限元方程通過總剛集成形成了有限元方程 ,其中

56、列陣其中列陣R的元素為節(jié)點(diǎn)載荷的元素為節(jié)點(diǎn)載荷,是集中力。但載荷除了集中力外是集中力。但載荷除了集中力外,還有面還有面力和體力力和體力,即使是集中力也不一定作用在節(jié)點(diǎn)上。因此需要即使是集中力也不一定作用在節(jié)點(diǎn)上。因此需要將將各種載荷轉(zhuǎn)化為節(jié)點(diǎn)載荷各種載荷轉(zhuǎn)化為節(jié)點(diǎn)載荷,這就是載荷移置的目的和任務(wù)。這就是載荷移置的目的和任務(wù)。 KqR 載荷移置載荷移置遵循能量等效原則遵循能量等效原則,即原載荷與移置產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)載即原載荷與移置產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)載荷在虛位移上所做的虛功相等。對(duì)于給定的位移函數(shù)荷在虛位移上所做的虛功相等。對(duì)于給定的位移函數(shù),這種移這種移置的結(jié)果是惟一的。在線性位移函數(shù)情況下置的結(jié)果是惟一的。

57、在線性位移函數(shù)情況下,也可按靜力等效也可按靜力等效原則進(jìn)行移置。原則進(jìn)行移置。 載荷移置是在結(jié)構(gòu)的局部區(qū)域內(nèi)進(jìn)行的。根據(jù)圣維南原理載荷移置是在結(jié)構(gòu)的局部區(qū)域內(nèi)進(jìn)行的。根據(jù)圣維南原理,這種移置可能在局部產(chǎn)生誤差這種移置可能在局部產(chǎn)生誤差,但不會(huì)影響整個(gè)結(jié)構(gòu)的力學(xué)特但不會(huì)影響整個(gè)結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性。性。911.集中力的移置集中力的移置集中力的移置是面力和體力移置的集中力的移置是面力和體力移置的基礎(chǔ)?；A(chǔ)。 cP TccxcyPpp如右圖所示如右圖所示,設(shè)平面單元設(shè)平面單元e中某中某一點(diǎn)一點(diǎn)(x,y)作用一集中力作用一集中力 cTeixiyjxjymxmyPRRRRRRR cP設(shè)設(shè) 移置后產(chǎn)生的等效節(jié)點(diǎn)

58、載荷為移置后產(chǎn)生的等效節(jié)點(diǎn)載荷為如果節(jié)點(diǎn)發(fā)生虛位移如果節(jié)點(diǎn)發(fā)生虛位移 ,則單元內(nèi)任一點(diǎn)的虛位移為則單元內(nèi)任一點(diǎn)的虛位移為eq eedNq92由于虛位移是任意的由于虛位移是任意的,可從上式兩邊同時(shí)消去可從上式兩邊同時(shí)消去,則有則有集中力集中力 所作的虛功為所作的虛功為 cP eTcdP等效節(jié)點(diǎn)載荷所作的虛功為等效節(jié)點(diǎn)載荷所作的虛功為 ceTePqR根據(jù)能量等效原則根據(jù)能量等效原則,有有 cTeTeeTeTccPqRdPqNP cTecPRNP也可寫成也可寫成 cceiicejjcPmmcPRNPRRNPRNP集中載荷的集中載荷的移置公式移置公式載荷移置的結(jié)果僅與單元形函數(shù)有關(guān)載荷移置的結(jié)果僅與單

59、元形函數(shù)有關(guān),當(dāng)形函數(shù)確定后當(dāng)形函數(shù)確定后,移置的移置的結(jié)果是唯一的。結(jié)果是唯一的。932.面力的移置面力的移置設(shè)厚度為設(shè)厚度為t的平面單元單位面積上作用的面力為的平面單元單位面積上作用的面力為 ,如圖所示。從網(wǎng)格圖上看如圖所示。從網(wǎng)格圖上看,面力作用在棱邊上面力作用在棱邊上,但實(shí)際單元有但實(shí)際單元有一定厚度。若將微元面積一定厚度。若將微元面積 上的面力上的面力 視為集中視為集中力力,利用式利用式 并積分并積分,可得與面力等效的移置節(jié)點(diǎn)可得與面力等效的移置節(jié)點(diǎn)載荷為載荷為 ssxsyPppddAt l dsPA cTecPRNP dcTesPRNP t l dddcseisiejjsPmPms

60、NP t lRRRNP t lRNP t l也可寫成也可寫成 根據(jù)形函數(shù)的特點(diǎn)根據(jù)形函數(shù)的特點(diǎn),在在ij邊上有邊上有 ,所以所以 .因此因此在在ij邊上作用的面力只能移置到該邊的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)上邊上作用的面力只能移置到該邊的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)上.0mN0semPR94若將微元體若將微元體 上的體力上的體力 視為集中力視為集中力,則利用式則利用式(2-64)并積分并積分,可得與體力等效的移置節(jié)點(diǎn)載荷為可得與體力等效的移置節(jié)點(diǎn)載荷為3.體力的移置體力的移置設(shè)單元單位體積內(nèi)作用的體力為設(shè)單元單位體積內(nèi)作用的體力為 vvxvyPppd dt x y d dvP t x y d dvTevPRNP t x y d dd