信號(hào)與系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)教程

1、信 號(hào) 與 系 統(tǒng)實(shí) 驗(yàn) 教 程目 錄實(shí)驗(yàn)一：連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析-6一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康募耙?6二、實(shí)驗(yàn)原理-61、信號(hào)的時(shí)域表示方法-62、用matlab仿真連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)-73、lti系統(tǒng)的時(shí)域描述-11三、實(shí)驗(yàn)步驟及內(nèi)容-15四、實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求-26實(shí)驗(yàn)二：連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析-27一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康募耙?27二、實(shí)驗(yàn)原理-271、連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)ctfs-272、連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換ctft-283、離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換dtft -284、連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)ctfs的matlab實(shí)現(xiàn)-295、用matlab實(shí)現(xiàn)ctft及其逆變換的計(jì)算-33三、

2、實(shí)驗(yàn)步驟及內(nèi)容-34四、實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求-48實(shí)驗(yàn)三：連續(xù)時(shí)間lti系統(tǒng)的頻域分析-49一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康募耙?49二、實(shí)驗(yàn)原理-491、連續(xù)時(shí)間lti系統(tǒng)的頻率響應(yīng)-492、lti系統(tǒng)的群延時(shí)-503、用matlab計(jì)算系統(tǒng)的頻率響應(yīng)-50三、實(shí)驗(yàn)步驟及內(nèi)容-51四、實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求-58實(shí)驗(yàn)四：調(diào)制與解調(diào)以及抽樣與重建-59一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康募耙?59二、實(shí)驗(yàn)原理-591、信號(hào)的抽樣及抽樣定理-592、信號(hào)抽樣過程中的頻譜混疊-623、信號(hào)重建- -624、調(diào)制與解調(diào)-645、通信系統(tǒng)中的調(diào)制與解調(diào)仿真-66三、實(shí)驗(yàn)步驟及內(nèi)容-66四、實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求-75實(shí)驗(yàn)五：連續(xù)時(shí)間lti系統(tǒng)的復(fù)頻域分析-76一、實(shí)驗(yàn)

3、目的及要求-76二、實(shí)驗(yàn)原理-761、連續(xù)時(shí)間lti系統(tǒng)的復(fù)頻域描述-762、系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖-773、拉普拉斯變換與傅里葉變換之間的關(guān)系-784、系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)穩(wěn)定性和因果性之間的關(guān)系-795、系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)的濾波特性-806、拉普拉斯逆變換的計(jì)算-81三、實(shí)驗(yàn)步驟及內(nèi)容-82四、實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求-87附錄：授課方式和考核辦法-88實(shí)驗(yàn)一 信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、熟悉和掌握常用的用于信號(hào)與系統(tǒng)時(shí)域仿真分析的matlab函數(shù)；2、掌握連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間信號(hào)的matlab產(chǎn)生，掌握用周期延拓的方法將一個(gè)非周期信號(hào)進(jìn)行周期信號(hào)延拓形成一個(gè)周期信號(hào)的matlab

4、編程；3、牢固掌握系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的概念，掌握lti系統(tǒng)的卷積表達(dá)式及其物理意義，掌握卷積的計(jì)算方法、卷積的基本性質(zhì)；4、掌握利用matlab計(jì)算卷積的編程方法，并利用所編寫的matlab程序驗(yàn)證卷積的常用基本性質(zhì)；掌握matlab描述lti系統(tǒng)的常用方法及有關(guān)函數(shù)，并學(xué)會(huì)利用matlab求解lti系統(tǒng)響應(yīng)，繪制相應(yīng)曲線?；疽螅赫莆沼胢atlab描述連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)的方法，能夠編寫matlab程序，實(shí)現(xiàn)各種信號(hào)的時(shí)域變換和運(yùn)算，并且以圖形的方式再現(xiàn)各種信號(hào)的波形。掌握線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型用matlab描述的方法，掌握卷積運(yùn)算、線性常系數(shù)微分方程的求解編程。二、實(shí)驗(yàn)原

5、理信號(hào)（signal）一般都是隨某一個(gè)或某幾個(gè)獨(dú)立變量的變化而變化的，例如，溫度、壓力、聲音，還有股票市場(chǎng)的日收盤指數(shù)等，這些信號(hào)都是隨時(shí)間的變化而變化的，還有一些信號(hào)，例如在研究地球結(jié)構(gòu)時(shí)，地下某處的密度就是隨著海拔高度的變化而變化的。一幅圖片中的每一個(gè)象素點(diǎn)的位置取決于兩個(gè)坐標(biāo)軸，即橫軸和縱軸，因此，圖像信號(hào)具有兩個(gè)或兩個(gè)以上的獨(dú)立變量。 在信號(hào)與系統(tǒng)課程中，我們只關(guān)注這種只有一個(gè)獨(dú)立變量（independent variable）的信號(hào)，并且把這個(gè)獨(dú)立變量統(tǒng)稱為時(shí)間變量（time variable），不管這個(gè)獨(dú)立變量是否是時(shí)間變量。 在自然界中，大多數(shù)信號(hào)的時(shí)間變量都是連續(xù)變化的，因此這

6、種信號(hào)被稱為連續(xù)時(shí)間信號(hào)（continuous-time signals）或模擬信號(hào)（analog signals），例如前面提到的溫度、壓力和聲音信號(hào)就是連續(xù)時(shí)間信號(hào)的例子。但是，還有一些信號(hào)的獨(dú)立時(shí)間變量是離散變化的，這種信號(hào)稱為離散時(shí)間信號(hào)。前面提到的股票市場(chǎng)的日收盤指數(shù)，由于相鄰兩個(gè)交易日的日收盤指數(shù)相隔24小時(shí)，這意味著日收盤指數(shù)的時(shí)間變量是不連續(xù)的，因此日收盤指數(shù)是離散時(shí)間信號(hào)。 而系統(tǒng)則用于對(duì)信號(hào)進(jìn)行運(yùn)算或處理，或者從信號(hào)中提取有用的信息，或者濾出信號(hào)中某些無用的成分，如濾波，從而產(chǎn)生人們所希望的新的信號(hào)。系統(tǒng)通常是由若干部件或單元組成的一個(gè)整體（entity）。系統(tǒng)可分為很多不

7、同的類型，例如，根據(jù)系統(tǒng)所處理的信號(hào)的不同，系統(tǒng)可分為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)（continuous-time system）和離散時(shí)間系統(tǒng)（discrete-time system），根據(jù)系統(tǒng)所具有的不同性質(zhì)，系統(tǒng)又可分為因果系統(tǒng)（causal system）和非因果系統(tǒng)（noncausal system）、穩(wěn)定系統(tǒng)（stable system）和不穩(wěn)定系統(tǒng)（unstable system）、線性系統(tǒng)（linear system）和非線性系統(tǒng)（nonlinear system）、時(shí)變系統(tǒng)（time-variant system）和時(shí)不變系統(tǒng)（time-invariant system）等等。 然而，在信

8、號(hào)與系統(tǒng)和數(shù)字信號(hào)處理中，我們所分析的系統(tǒng)只是所謂的線性時(shí)不變系統(tǒng)，這種系統(tǒng)同時(shí)滿足兩個(gè)重要的基本性質(zhì)，那就是線性性和時(shí)不變性，通常稱為線性時(shí)不變（lti）系統(tǒng)。1. 信號(hào)的時(shí)域表示方法1.1將信號(hào)表示成獨(dú)立時(shí)間變量的函數(shù)例如 x(t)=sin(t) 和 xn=n(0.5)nun分別表示一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)和一個(gè)離散時(shí)間信號(hào)。在matlab中有許多內(nèi)部函數(shù)，可以直接完成信號(hào)的這種表達(dá)，例如：sin()：正弦信號(hào)cos()：余弦信號(hào)exp()：指數(shù)信號(hào)1.2用信號(hào)的波形圖來描述信號(hào)用函數(shù)曲線表示一個(gè)信號(hào)，圖1.1就是一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)和一個(gè)離散時(shí)間信號(hào)的波形圖。圖1.1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)的波

9、形圖1.3將信號(hào)用一個(gè)數(shù)據(jù)序列來表示對(duì)于離散時(shí)間信號(hào)，還可以表示成一個(gè)數(shù)的序列，例如： xn=., 0.1, 1.1, -1.2, 0, 1.3, . n=0 在信號(hào)與系統(tǒng)和數(shù)字信號(hào)處理課程中，上述三種信號(hào)的描述方法是經(jīng)常要使用的。2 用matlab仿真連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào) 在matlab中，無論是連續(xù)時(shí)間信號(hào)還是離散時(shí)間信號(hào)，matlab都是用一個(gè)數(shù)字序列來表示信號(hào)，這個(gè)數(shù)字序列在matlab中叫做向量(vector)。通常的情況下，需要與時(shí)間變量相對(duì)應(yīng)。 如前所述，matlab有很多內(nèi)部數(shù)學(xué)函數(shù)可以用來產(chǎn)生這樣的數(shù)字序列，例如sin()、cos()、exp()等函數(shù)可以直接產(chǎn)生一個(gè)按

10、照正弦、余弦或指數(shù)規(guī)律變化的數(shù)字序列。2.1連續(xù)時(shí)間信號(hào)的仿真程序program1_1是用matlab對(duì)一個(gè)正弦信號(hào)進(jìn)行仿真的程序，請(qǐng)仔細(xì)閱讀該程序，并在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行，觀察所得圖形。% program1_1% this program is used to generate a sinusoidal signal and draw its plotclear, % clear all variablesclose all, % close all figure windowsdt = 0.01; % specify the step of time variablet = -2:dt:2; %

11、 specify the interval of timex = sin(2*pi*t); % generate the signalplot(t,x) % open a figure window and draw the plot of x(t)title('sinusoidal signal x(t)')xlabel('time t (sec)')常用的圖形控制函數(shù)axis(xmin,xmax,ymin,ymax)：圖型顯示區(qū)域控制函數(shù)，其中xmin為橫軸的顯示起點(diǎn)，xmax為橫軸的顯示終點(diǎn)，ymin為縱軸的顯示起點(diǎn)，ymax為縱軸的顯示終點(diǎn)。有時(shí)，為了使

12、圖形具有可讀性，需要在所繪制的圖形中，加上一些網(wǎng)格線來反映信號(hào)的幅度大小。matlab中的grid on/grid off可以實(shí)現(xiàn)在你的圖形中加網(wǎng)格線。grid on：在圖形中加網(wǎng)格線。grid off：取消圖形中的網(wǎng)格線。x = input(type in signal x(t) in closed form:)在信號(hào)與系統(tǒng)課程中，單位階躍信號(hào)u(t) 和單位沖激信號(hào)(t) 是二個(gè)非常有用的信號(hào)。它們的定義如下 1.1(a) 1.1(b)這里分別給出相應(yīng)的簡(jiǎn)單的產(chǎn)生單位沖激信號(hào)和單位階躍信號(hào)的擴(kuò)展函數(shù)。產(chǎn)生單位沖激信號(hào)的擴(kuò)展函數(shù)為：function y = delta(t)dt = 0.01

13、;y = (u(t)-u(t-dt)/dt;產(chǎn)生單位階躍信號(hào)的擴(kuò)展函數(shù)為：% unit step functionfunction y = u(t)y = (t>=0); % y = 1 for t > 0, else y = 0 請(qǐng)將這二個(gè)matlab函數(shù)分別以delta 和u為文件名保存在work文件夾中，以后，就可以像教材中的方法使用單位沖激信號(hào)(t) 和單位階躍信號(hào)u(t)。2.2離散時(shí)間信號(hào)的仿真程序program1_2用來產(chǎn)生離散時(shí)間信號(hào)xn=sin(0.2n)。% program1_2% this program is used to generate a discr

14、ete-time sinusoidal signal and draw its plotclear, % clear all variablesclose all, % close all figure windowsn = -10:10; % specify the interval of timex = sin(0.2*pi*n); % generate the signalstem (n,x) % open a figure window and draw the plot of xntitle ('sinusoidal signal xn')xlabel ('t

15、ime index n') 請(qǐng)仔細(xì)閱讀該程序，比較程序program1_1和program1_2中的不同之處，以便自己編程時(shí)能夠正確使用這種方法方針連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)。 程序program1_3用來仿真下面形式的離散時(shí)間信號(hào)： xn=., 0.1, 1.1, -1.2, 0, 1.3, . n=0% program1_3% this program is used to generate a discrete-time sequence% and draw its plotclear, % clear all variablesclose all, % close all fi

16、gure windowsn = -5:5; % specify the interval of time, the number of points of n is 11.x = 0, 0, 0, 0, 0.1, 1.1, -1.2, 0, 1.3, 0, 0; % generate the signalstem(n,x,'.') % open a figure window and draw the plot of xngrid on,title ('a discrete-time sequence xn')xlabel ('time index n&

17、#39;) 由于在程序的stem(n,x,'.') 語句中加有'.'選項(xiàng)，因此繪制的圖形中每根棒條線的頂端是一個(gè)實(shí)心點(diǎn)。 如果需要在序列的前后補(bǔ)較多的零的話，可以利用函數(shù)zeros()，其語法為： zeros(1, n)：圓括號(hào)中的1和n表示該函數(shù)將產(chǎn)生一個(gè)一行n列的矩陣，矩陣中的所有元素均為零。利用這個(gè)矩陣與序列xn進(jìn)行組合，從而得到一個(gè)長度與n相等的向量。 例如，當(dāng) xn= 0.1, 1.1, -1.2, 0, 1.3 時(shí)，為了得到程序program1_3中的序列， n=0可以用這個(gè)matlab語句x = zeros(1,4) x zeros(1, 2) 來

18、實(shí)現(xiàn)。用這種方法編寫的程序如下：% program1_4% this program is used to generate a discrete-time sinusoidal signal% and draw its plotclear, % clear all variablesclose all, % close all figure windowsn = -5:5; % specify the interval of timex = zeros(1,4), 0.1, 1.1, -1.2, 0, 1.3, zeros(1,2); % generate the sequencestem

19、(n,x,'.') % open a figure window and draw the plot of xngrid on,title ('a discrete-time sequence xn')xlabel ('time index n') 離散時(shí)間單位階躍信號(hào)un定義為 1.2離散時(shí)間單位階躍信號(hào)un除了也可以直接用前面給出的擴(kuò)展函數(shù)來產(chǎn)生，還可以利用matlab內(nèi)部函數(shù)ones(1,n) 來實(shí)現(xiàn)。這個(gè)函數(shù)類似于zeros(1,n)，所不同的是它產(chǎn)生的矩陣的所有元素都為1。 值得注意的是，利用ones(1,n) 來實(shí)現(xiàn)的單位階躍序列并不

20、是真正的單位階躍序列，而是一個(gè)長度為n單位門(gate)序列，也就是un-un-n。但是在一個(gè)有限的圖形窗口中，我們看到的還是一個(gè)單位階躍序列。 在繪制信號(hào)的波形圖時(shí)，有時(shí)我們需要將若干個(gè)圖形繪制在圖一個(gè)圖形窗口中，這就需要使用matlab的圖形分割函數(shù)subplot()，其用法是在繪圖函數(shù)stem或plot之前，使用圖形分割函數(shù)subplot(n1,n2,n3)，其中的參數(shù)n1，n2和n3的含義是，該函數(shù)將把一個(gè)圖形窗口分割成n1xn2個(gè)子圖，即將繪制的圖形將繪制在第n3個(gè)子圖中。2.3信號(hào)的時(shí)域變換2.3.1 信號(hào)的時(shí)移 信號(hào)的時(shí)移可用下面的數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述： 設(shè)一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)為x(t)

21、，它的時(shí)移y(t) 表示為： y(t) = x(t - t0) 1.3其中，t0為位移量。若t0為正數(shù)，則y(t)等于將x(t)右移t0秒之后的結(jié)果。反之，若t0為負(fù)數(shù)，則y(t)等于將x(t)左移t0秒之后的結(jié)果。 在matlab中，時(shí)移運(yùn)算與數(shù)學(xué)上習(xí)慣表達(dá)方法完全相同。 程序program1_5對(duì)給定一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t) = e-0.5tu(t)，對(duì)它分別左移2秒鐘和右移2秒鐘得到信號(hào)x1(t) = e-0.5(t+2)u(t+2)和x2(t) = e-0.5(t-2)u(t-2)。% program1_5% this program is used to implement the

22、time-shift operation% on a continuous-time signal and to obtain its time-shifted versions% and to draw their plots.clear,close all,t = -5:0.01:5;x = exp(-0.5*t).*u(t); % generate the original signal x(t)x1 = exp(-0.5*(t+2).*u(t+2); % shift x(t) to the left by 2 second to get x1(t)x2 = exp(-0.5*(t-2)

23、.*u(t-2); % shift x(t) to the right by 2 second to get x2(t)subplot(311)plot(t,x) % plot x(t)grid on,title ('original signal x(t)')subplot (312)plot (t,x1) % plot x1(t)grid on,title ('left shifted version of x(t)')subplot (313)plot (t,x2) % plot x2(t)grid on,title ('right shifted

24、 version of x(t)')xlabel ('time t (sec)')2.3.2 信號(hào)的時(shí)域反褶 對(duì)一個(gè)信號(hào)xn的反褶運(yùn)算在數(shù)學(xué)上表示為 yn = x-n 1.4 這種反褶運(yùn)算，用matlab實(shí)現(xiàn)起來也是非常簡(jiǎn)單的。有多種方法可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)的反褶運(yùn)算。方法一，修改繪圖函數(shù)plot(t,x)和stem(n,x)中的時(shí)間變量t和n，即用-t和-n替代原來的t和n，這樣繪制出來的圖形，看起來就是原信號(hào)經(jīng)時(shí)域反褶后的版本。方法二，直接利用原信號(hào)與其反褶信號(hào)的數(shù)學(xué)關(guān)系式來實(shí)現(xiàn)。這種方法最符合信號(hào)反褶運(yùn)算的實(shí)際意義。方法三，使用matlab內(nèi)部函數(shù)fliplr()來實(shí)現(xiàn)信

25、號(hào)的反褶運(yùn)算。其用法如下： y = fliplr(x)：其中x為原信號(hào)x(t)或xn，而y則為x的時(shí)域反褶。需要說明的是，函數(shù)fliplr()對(duì)信號(hào)作時(shí)域反褶，僅僅將信號(hào)中各個(gè)元素的次序作了一個(gè)反轉(zhuǎn)，這種反轉(zhuǎn)處理是獨(dú)立于時(shí)間變量t和n的。因此，如果信號(hào)與其時(shí)間變量能夠用一個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)來表達(dá)的話，那么建議將時(shí)間變量t和n的范圍指定在一個(gè)正負(fù)對(duì)稱的時(shí)間區(qū)間即可。2.3.3 信號(hào)的時(shí)域尺度變換 信號(hào)x(t)的時(shí)域尺度變換在數(shù)學(xué)描述為y(t) = x(at)， 1.5其中a為任意常數(shù)。根據(jù)a的不同取值，這種時(shí)域尺度變換對(duì)信號(hào)x(t)具有非常不同的影響。 當(dāng)a = 1時(shí)，y(t) = x(t)； 當(dāng)a =

26、 -1時(shí)，y(t) = x(-t)，即y(t)可以通過將x(t)反褶運(yùn)算而得到； 當(dāng)a > 1時(shí)，y(t) = x(at)，y(t)是將x(t)在時(shí)間軸上的壓縮而得到； 當(dāng)0 < a < 1時(shí)，y(t) = x(at)，y(t)是將x(t)在時(shí)間軸上的擴(kuò)展而得到； 當(dāng) -1 < a < 0時(shí)，y(t) = x(at)，y(t)是將x(t)在時(shí)間軸上的擴(kuò)展同時(shí)翻轉(zhuǎn)而得到； 當(dāng) a < -1時(shí)，y(t) = x(at)，y(t)是將x(t)在時(shí)間軸上的壓縮同時(shí)翻轉(zhuǎn)而得到； 由此可見，信號(hào)的時(shí)域尺度變換，除了對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)域壓縮或擴(kuò)展外，還可能包括對(duì)信號(hào)的時(shí)域反褶運(yùn)

27、算。實(shí)際上，matlab完成式1.5的運(yùn)算，并不需要特殊的處理，按照數(shù)學(xué)上的常規(guī)方法即能完成。2.3.4周期信號(hào) 在信號(hào)與系統(tǒng)課程中，周期信號(hào)是一類非常重要的信號(hào)。給定一個(gè)信號(hào)x(t)或xn，如果滿足 x(t) = x(t+kt) 1.6 xn = xn+kn 1.7則該信號(hào)叫做周期信號(hào)。其中，k為任意整數(shù)，t和n為常數(shù)，通常稱為信號(hào)的基本周期或最小周期。 周期信號(hào)可以看作是一個(gè)時(shí)限的非周期信號(hào)經(jīng)過周期延拓之后形成的。在數(shù)字信號(hào)處理中，周期延拓這一信號(hào)處理方法非常重要。下面的程序段，就是將一個(gè)非周期信號(hào)x1(t) = e-2tu(t)-u(t-2)經(jīng)過周期延拓之后而得到一個(gè)周期信號(hào)：clear

28、, close all;t = -4:0.001:4;t = 2; x = 0;for k = -2:2; x = x+exp(-2*(t-k*t).*(u(t-k*t)-u(t-(k+1)*t);end仔細(xì)閱讀該程序，可以發(fā)現(xiàn)其算法就是： 1.8 由于k無法計(jì)算到無窮，而是以有限值加以替代，反映到有限寬度圖形窗口中得到的效果完全符合要求。3 lti系統(tǒng)的時(shí)域描述3.1線性時(shí)不變系統(tǒng) 在分析lti系統(tǒng)時(shí)，有關(guān)lti系統(tǒng)的兩個(gè)重要的性質(zhì)是必須首先掌握和理解的。這就是線性性（linearity）和時(shí)不變性（time-invariance）。所謂線性性就是指系統(tǒng)同時(shí)滿足齊次性和疊加性。這可以用下面的

29、方法來描述。 假設(shè)系統(tǒng)在輸入信號(hào)x1(t)作用時(shí)的響應(yīng)信號(hào)為y1(t)，在輸入信號(hào)x2(t)作用時(shí)的響應(yīng)信號(hào)為y2(t)，給定兩個(gè)常數(shù)a和b，如果當(dāng)輸入信號(hào)為x(t)時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)信號(hào)為y(t)，且滿足 x(t) = x1(t) + x2(t) 1.9(a) y(t) = y1(t) + y2(t) 1.9(b)則該系統(tǒng)具有疊加性（additivity）。如果滿足 x(t) = ax1(t) 1.10(a) y(t) = ay1(t) 1.10(b)則該系統(tǒng)具有齊次性（homogeneity）。一個(gè)系統(tǒng)如果是線性系統(tǒng)的話，那么這個(gè)系統(tǒng)必須同時(shí)具有疊加性和齊次性。 又假設(shè)系統(tǒng)在輸入信號(hào)x(t)作用

30、時(shí)的響應(yīng)信號(hào)為y(t)，對(duì)一個(gè)給定時(shí)間常數(shù)t0，如果當(dāng)輸入信號(hào)為x(t-t0)時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)信號(hào)為y(t-t0)的話，則該系統(tǒng)具有時(shí)不變性。 同時(shí)具有線性性和時(shí)不變性的系統(tǒng)，叫做線性時(shí)不變系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱lti系統(tǒng)。lti系統(tǒng)有連續(xù)時(shí)間lti系統(tǒng)和離散時(shí)間lti系統(tǒng)之分。連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的輸入和輸出信號(hào)都必須是連續(xù)時(shí)間信號(hào)，而離散時(shí)間系統(tǒng)的輸入和輸出信號(hào)都必須是離散時(shí)間信號(hào)。3.2 lti系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)和卷積模型 給定一個(gè)連續(xù)時(shí)間lti系統(tǒng)，在系統(tǒng)的初始條件為零時(shí)，用單位沖激信號(hào)(t)作用于系統(tǒng)，此時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)信號(hào)稱為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)（unit impulse response），一般用h(t)來

31、表示。需要強(qiáng)調(diào)的是，系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是在激勵(lì)信號(hào)為(t)時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)（zero-state response）。 離散時(shí)間lti系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的定義與連續(xù)時(shí)間lti系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)相同，只是離散時(shí)間單位沖激函數(shù)n的定義有所不同。 系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是一個(gè)非常重要的概念，對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，如果我們知道了該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，那么，該系統(tǒng)對(duì)任意輸入信號(hào)的響應(yīng)信號(hào)都可以求得。也就是說，系統(tǒng)的輸入信號(hào)x(t)、xn和輸出信號(hào)y(t)、yn之間的關(guān)系可以用一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述，這個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式為 1.11(a) 1.11(b)這個(gè)表達(dá)式就是lti系統(tǒng)的卷積模型，它是根據(jù)系統(tǒng)的線性性和時(shí)不變性以及信號(hào)

32、可以分解成單位沖激函數(shù)經(jīng)推理得到的。這個(gè)表達(dá)式實(shí)際上告訴了我們一個(gè)重要的結(jié)論，那就是，任意lti系統(tǒng)可以完全由它的單位沖激響應(yīng)h(t)/hn來確定。由于系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是零狀態(tài)響應(yīng)，故按照式1.11求得的系統(tǒng)響應(yīng)也是零狀態(tài)響應(yīng)。式1.11中的積分運(yùn)算叫做卷積積分，求和運(yùn)算叫做卷積和，是描述連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的一個(gè)重要表達(dá)式。3.3卷積的計(jì)算 卷積的計(jì)算通?？砂聪旅娴奈鍌€(gè)步驟進(jìn)行（以卷積積分為例）：1. 該換兩個(gè)信號(hào)波形圖中的橫坐標(biāo)，由t改為，變成函數(shù)的自變量；2. 把其中一個(gè)信號(hào)反褶，如把h()變成h(-)；3. 把反褶后的信號(hào)做移位，移位量是t，這樣t是一個(gè)參變量。在坐標(biāo)系中，t &

33、gt; 0時(shí)圖形右移， t < 0時(shí)圖形左移。4. 計(jì)算兩個(gè)信號(hào)重疊部分的乘積x()h(t-)；5. 完成相乘后圖形的積分。對(duì)于兩個(gè)時(shí)限信號(hào)（time-limited signal），按照上述的五個(gè)步驟，作卷積積分運(yùn)算時(shí)，關(guān)鍵是正確確定不同情況下的積分限。只要正確地確定了積分限都能得到正確定積分結(jié)果。盡管如此，在時(shí)域中計(jì)算卷積積分，總體上來說是一項(xiàng)比較困難的工作。程序convlution_demo用來演示上述作卷積積分運(yùn)算的五個(gè)步驟。本程序較為復(fù)雜，不建議讀者讀懂該程序，只需執(zhí)行這個(gè)程序，觀看程序執(zhí)行過程中有關(guān)卷積積分的運(yùn)算過程，以便于理解這五個(gè)步驟。借助matlab的內(nèi)部函數(shù)conv(

34、)可以很容易地完成兩個(gè)信號(hào)的卷積積分運(yùn)算。其語法為：y = conv(x,h)。其中x和h分別是兩個(gè)作卷積運(yùn)算的信號(hào)，y為卷積結(jié)果。為了正確地運(yùn)用這個(gè)函數(shù)計(jì)算卷積，這里有必要對(duì)conv(x,h)做一個(gè)詳細(xì)說明。conv(x,h)函數(shù)實(shí)際上是完成兩個(gè)多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算。例如，兩個(gè)多項(xiàng)式p1和p2分別為： 和 這兩個(gè)多項(xiàng)式在matlab中是用它們的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)行向量來表示的，如果用x來表示多項(xiàng)式p1，h表示多項(xiàng)式p2，則x和h分別為 x = 1 2 3 4 h = 4 3 2 1在matlab命令窗口依次鍵入>> x = 1 2 3 4;>> h = 4 3 2 1;>

35、> y=conv(x,h)在屏幕上得到顯示結(jié)果：y = 4 11 20 30 20 11 4這表明，多項(xiàng)式p1和p2的乘積為： 正如前所述，用matlab處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)時(shí)，獨(dú)立時(shí)間變量t的變化步長應(yīng)該是很小的，假定用符號(hào)dt表示時(shí)間變化步長，那么，用函數(shù)conv()作兩個(gè)信號(hào)的卷積積分時(shí)，應(yīng)該在這個(gè)函數(shù)之前乘以時(shí)間步長方能得到正確的結(jié)果。也就是說，正確的語句形式應(yīng)為：y = dt*conv(x,h)。對(duì)于定義在不同時(shí)間段的兩個(gè)時(shí)限信號(hào)x(t)，t0 t t1，和h(t)，t2 t t3。 如果用y(t)來表示它們的卷積結(jié)果，則y(t)的持續(xù)時(shí)間范圍要比x(t)或h(t)要長，其時(shí)間范圍

36、為t0+t2 t t1+t3。這個(gè)特點(diǎn)很重要，利用這個(gè)特點(diǎn)，在處理信號(hào)在時(shí)間上的位置時(shí)，可以很容易地將信號(hào)的函數(shù)值與時(shí)間軸的位置和長度關(guān)系保持一致性。根據(jù)給定的兩個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t) = tu(t)-u(t-1)和h(t) = u(t)-u(t-1)，編寫程序，完成這兩個(gè)信號(hào)的卷積運(yùn)算，并繪制它們的波形圖。范例程序如下：% program1_6% this program computes the convolution of two continuou-time signalsclear;close all;t0 = -2; t1 = 4; dt = 0.01;t = t0:dt:t1;x

37、 = u(t)-u(t-1);h = t.*(u(t)-u(t-1);y = dt*conv(x,h); % compute the convolution of x(t) and h(t)subplot(221)plot(t,x), grid on, title('signal x(t)'), axis(t0,t1,-0.2,1.2)subplot(222)plot(t,h), grid on, title('signal h(t)'), axis(t0,t1,-0.2,1.2)subplot(212)t = 2*t0:dt:2*t1; % again spe

38、cify the time range to be suitable to the % convolution of x and h.plot(t,y), grid on, title('the convolution of x(t) and h(t)'), axis(2*t0,2*t1,-0.1,0.6), xlabel('time t sec')在有些時(shí)候，做卷積和運(yùn)算的兩個(gè)序列中，可能有一個(gè)序列或者兩個(gè)序列都非常長，甚至是無限長，matlab處理這樣的序列時(shí)，總是把它看作是一個(gè)有限長序列，具體長度由編程者確定。實(shí)際上，在信號(hào)與系統(tǒng)分析中所遇到的無限長序列，

39、通常都是滿足絕對(duì)可和或絕對(duì)可積條件的信號(hào)。因此，對(duì)信號(hào)采取這種截短處理盡管存在誤差，但是通過選擇合理的信號(hào)長度，這種誤差是能夠減小到可以接受的程度的。若這樣的一個(gè)無限長序列可以用一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式表示的話，那么，它的長度可以由編程者通過指定時(shí)間變量n的范圍來確定。例如，對(duì)于一個(gè)單邊實(shí)指數(shù)序列xn = 0.5nun，通過指定n的范圍為0 n 100，則對(duì)應(yīng)的xn的長度為101點(diǎn)，雖然指定更寬的n的范圍，xn將與實(shí)際情況更相符合，但是，注意到，當(dāng)n大于某一數(shù)時(shí)，xn之值已經(jīng)非常接近于0了。對(duì)于序列xn = 0.5nun，當(dāng)n = 7時(shí)，x7 = 0.0078，這已經(jīng)是非常小了。所以，對(duì)于這個(gè)單邊實(shí)指數(shù)

40、序列，指定更長的n的范圍是沒有必要的。當(dāng)然，不同的無限長序列具有不同的特殊性，在指定n的范圍時(shí)，只要能夠反映序列的主要特征就可以了。3.4 用線性常系數(shù)微分方程描述lti系統(tǒng)線性常系數(shù)微分方程或差分方程是描述lti系統(tǒng)的另一個(gè)時(shí)域模型。一個(gè)連續(xù)時(shí)間lti系統(tǒng)，它的輸入信號(hào)x(t)輸出信號(hào)y(t)關(guān)系可以用下面的微分方程來表達(dá) 1.12式1.12中，max (n, m)定義為系統(tǒng)的階。式1.12描述了lti系統(tǒng)輸入信號(hào)和輸出信號(hào)的一種隱性關(guān)系（implicit relationship）。為了求得系統(tǒng)響應(yīng)信號(hào)的顯式表達(dá)式（explicit expression），必須對(duì)微分方程和差分方程求解。

41、在matlab中，一個(gè)lti系統(tǒng)也可以用系統(tǒng)微分方程的系數(shù)來描述，例如，一個(gè)lti連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的微分方程為 matlab則用兩個(gè)系數(shù)向量num = 1和den = 1 3 2來描述該系統(tǒng)，其中num和den分別表示系統(tǒng)微分方程右邊和左邊的系數(shù)，按照微分運(yùn)算的降階排列。matlab的內(nèi)部函數(shù)impulse()，step()，initial()，lsim() 可以用來計(jì)算并繪制連續(xù)時(shí)間lti系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，單位階躍響應(yīng)，零輸入響應(yīng)和任意信號(hào)作用于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。這些函數(shù)的用法描述如下：h= impulse(num, den, t) 和 impulse(num, den, t)s = step

42、(num, den, t) 和 step(num, den, t)y = lmis(num, den, x, t) 和 lmis(num, den, x, t)函數(shù)impulse()，step()用來計(jì)算由num和den表示的lti系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)，響應(yīng)的時(shí)間范圍為0t，其中den和num分別為系統(tǒng)微分方程左右兩邊的系數(shù)向量，t為指定的響應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)間。h和s的點(diǎn)數(shù)默認(rèn)值為101點(diǎn)。由此可以計(jì)算時(shí)間步長為dt = t/(101-1)。不帶返回值的函數(shù)如impulse(num, den, t)和step(num, den, t)將直接在屏幕上繪制系統(tǒng)的單位沖激響和單位階躍響應(yīng)曲線。

43、帶返回值的函數(shù)如y = lmis(num, den, x, t)和y = lmis(num, den, x, t)，用來計(jì)算由num和den表示的lti系統(tǒng)在輸入信號(hào)x作用下的零狀態(tài)響應(yīng)。其中t為指定的時(shí)間變化范圍，x為輸入信號(hào)，它們的長度應(yīng)該是相同的。如帶返回參數(shù)y，則將計(jì)算的響應(yīng)信號(hào)保存在y中，若不帶返回參數(shù)y，則直接在屏幕上繪制輸入信號(hào)x和響應(yīng)信號(hào)y的波形圖。例如，編寫程序，計(jì)算并繪制由下面的微分方程表示的系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)，單位階躍響應(yīng)s(t)。 matlab范例程序如下：% program1_7% this program is used to compute the impulse response h(t) and the step response s(t) of a % continuous-time lti systemclear, close all;