第五章 相關(guān)分析

1、一、簡單相關(guān)（一、簡單相關(guān)（PearsonPearson相關(guān)）相關(guān)） 又稱直線相關(guān)、線性相關(guān)又稱直線相關(guān)、線性相關(guān)二、凈相關(guān)（偏相關(guān)）二、凈相關(guān)（偏相關(guān)）三、復(fù)相關(guān)三、復(fù)相關(guān)第五章 相關(guān)分析一、相關(guān)分析的功用一、相關(guān)分析的功用 研究隨機(jī)變量間的關(guān)系密切程度研究隨機(jī)變量間的關(guān)系密切程度二、相關(guān)分析的應(yīng)用二、相關(guān)分析的應(yīng)用 廣泛應(yīng)用于各行各業(yè)廣泛應(yīng)用于各行各業(yè) 如：身高與體重的關(guān)系；如：身高與體重的關(guān)系； 越冬溫度與病蟲害發(fā)生的關(guān)系；越冬溫度與病蟲害發(fā)生的關(guān)系； 農(nóng)作物施肥與增產(chǎn)的關(guān)系等。農(nóng)作物施肥與增產(chǎn)的關(guān)系等。第一節(jié) 簡單相關(guān)表表5.1 為說明兩變量之間的線性關(guān)系而假設(shè)的三組（為說明兩變量之間

2、的線性關(guān)系而假設(shè)的三組（x，y）觀察值觀察值組別組別 變量變量觀觀 察察 值值 平均數(shù)平均數(shù) 平方之和平方之和 第一組第一組 x17 7 1 6 5 3 8 9 3 1y15 9 6 1 3 1 9 4 6 8 第二組第二組 x29 8 7 7 6 5 3 3 1 1y29 9 8 6 6 5 4 3 1 1第三組第三組 x31 1 3 3 5 6 7 7 8 9y39 9 8 6 6 5 4 3 1 10 . 51x0 . 52x0 . 53x2 . 51y 32421x 35021y2 . 52y2 . 53y 32422x 32423x 35022y 35023y三、簡單相關(guān)的散點(diǎn)圖表示

3、三、簡單相關(guān)的散點(diǎn)圖表示第一節(jié) 簡單相關(guān)第一節(jié) 兩隨機(jī)變量之間的線性關(guān)系表表5.1 為說明兩變量之間的線性關(guān)系而假設(shè)的三組（為說明兩變量之間的線性關(guān)系而假設(shè)的三組（x，y）觀察值觀察值組別組別 變量變量觀觀 察察 值值 平均數(shù)平均數(shù) 平方之和平方之和 第一組第一組 x17 7 1 6 5 3 8 9 3 1y15 9 6 1 3 1 9 4 6 8 第二組第二組 x29 8 7 7 6 5 3 3 1 1y29 9 8 6 6 5 4 3 1 1第三組第三組 x31 1 3 3 5 6 7 7 8 9y39 9 8 6 6 5 4 3 1 10 . 51x0 . 52x0 . 53x2 . 5

4、1y 32421x 35021y2 . 52y2 . 53y 32422x 32423x 35022y 35023y024681002468100246810024681002468100246810 第一組數(shù)據(jù)第一組數(shù)據(jù) 第二組數(shù)據(jù)第二組數(shù)據(jù) 第三組數(shù)據(jù)第三組數(shù)據(jù) a b c 圖圖5.1 三組假設(shè)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖三組假設(shè)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖第一節(jié) 兩隨機(jī)變量之間的線性關(guān)系024681002468100246810024681002468100246810 第一組數(shù)據(jù)第一組數(shù)據(jù) 第二組數(shù)據(jù)第二組數(shù)據(jù) 第三組數(shù)據(jù)第三組數(shù)據(jù) a b c 圖圖5.1 三組假設(shè)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖三組假設(shè)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖 在第三組數(shù)據(jù)中，隨

5、著x3數(shù)值的增大， y3值有減少的趨勢。 在第二組數(shù)據(jù)中，隨著x2數(shù)值的增大， y2值有增加的趨勢。 在第一組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，各點(diǎn)的位置很分散， x1和y1之間沒有明顯的關(guān)系。 024681002468100246810024681002468100246810 第一組數(shù)據(jù)第一組數(shù)據(jù) 第二組數(shù)據(jù)第二組數(shù)據(jù) 第三組數(shù)據(jù)第三組數(shù)據(jù) a b c 圖圖5.1 三組假設(shè)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖三組假設(shè)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖l 在上面的三個(gè)散點(diǎn)圖中，分別過各自的中心，即坐在上面的三個(gè)散點(diǎn)圖中，分別過各自的中心，即坐 標(biāo)（標(biāo)（ ， ）作縱軸線和橫軸線，將各圖分為）作縱軸線和橫軸線，將各圖分為、 、和和等四個(gè)象限。等四個(gè)象限。xy

6、相關(guān)系數(shù)公式推導(dǎo)相關(guān)系數(shù)公式推導(dǎo)024681002468100246810024681002468100246810 第一組數(shù)據(jù)第一組數(shù)據(jù) 第二組數(shù)據(jù)第二組數(shù)據(jù) 第三組數(shù)據(jù)第三組數(shù)據(jù) a b c 圖圖5.1 三組假設(shè)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖三組假設(shè)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖 在第一組數(shù)據(jù)中，四個(gè)象限點(diǎn)的分布均勻分散。 在第二組數(shù)據(jù)中，大部分的點(diǎn)分布在和象限。 在第三組數(shù)據(jù)中，大部分的點(diǎn)分布在和象限。相關(guān)系數(shù)公式推導(dǎo)相關(guān)系數(shù)公式推導(dǎo)024681002468100246810024681002468100246810 第一組數(shù)據(jù)第一組數(shù)據(jù) 第二組數(shù)據(jù)第二組數(shù)據(jù) 第三組數(shù)據(jù)第三組數(shù)據(jù) a b c 圖圖5.1 三組假設(shè)數(shù)據(jù)的散

7、點(diǎn)圖三組假設(shè)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖 不論在哪一幅圖中，有四條規(guī)律是共同的： 第象限的點(diǎn) 0， 0， 0； xxyy)(yyxx 第象限的點(diǎn) 0， 0， 0； xxyy)(yyxx 第象限的點(diǎn) 0， 0， 0； xxyy)(yyxx 第象限的點(diǎn) 0， 0， 0； xxyy)(yyxx相關(guān)系數(shù)公式推導(dǎo)相關(guān)系數(shù)公式推導(dǎo)024681002468100246810024681002468100246810 第一組數(shù)據(jù)第一組數(shù)據(jù) 第二組數(shù)據(jù)第二組數(shù)據(jù) 第三組數(shù)據(jù)第三組數(shù)據(jù) a b c 圖圖5.1 三組假設(shè)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖三組假設(shè)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖其中其中 是兩變量的離均差的乘積。如果將各組是兩變量的離均差的乘積。如果將各組數(shù)

8、據(jù)中所有觀察值的離均差的乘積都加起來，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中所有觀察值的離均差的乘積都加起來，可以發(fā)現(xiàn))(yyxx離均差乘積和很接近于0離均差乘積和大于0離均差乘積和小于0可見，離均差乘積和能很好地衡量兩個(gè)變量之間的線性可見，離均差乘積和能很好地衡量兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系。記：關(guān)系。記：)()(1yyxxyyxxSPniii相關(guān)系數(shù)公式推導(dǎo)相關(guān)系數(shù)公式推導(dǎo)表表5.1 為說明兩變量之間的線性關(guān)系而假設(shè)的三組（為說明兩變量之間的線性關(guān)系而假設(shè)的三組（x，y）觀察值觀察值組別組別 變量變量觀觀 察察 值值 平均數(shù)平均數(shù) 平方之和平方之和 第一組第一組 x17 7 1 6 5 3 8 9 3 1y15 9 6

9、 1 3 1 9 4 6 8 第二組第二組 x29 8 7 7 6 5 3 3 1 1y29 9 8 6 6 5 4 3 1 1第三組第三組 x31 1 3 3 5 6 7 7 8 9y39 9 8 6 6 5 4 3 1 10 . 51x0 . 52x0 . 53x2 . 51y 32421x 35021y2 . 52y2 . 53y 32422x 32423x 35022y 35023y利用定義，可將上面三組數(shù)據(jù)的離均差乘積和算出為： SP1 (75)(55.2)(15)(85.2) 2 SP2 (95)(95.2)(15)(15.2) 75SP3 (15)(95.2)(95)(15.2)

10、 -74相關(guān)系數(shù)公式推導(dǎo)相關(guān)系數(shù)公式推導(dǎo)協(xié)方差：去除資料的觀測值數(shù)量的影響1、總體資料：2、樣本資料：NyyxxNSPyxCovxyxy)(),(1)(1),(nyyxxnSPyxCovSxyxy相關(guān)系數(shù)公式推導(dǎo)相關(guān)系數(shù)公式推導(dǎo)上述三組樣本的協(xié)方差Sxy1=Cov1=Cov(x1,y1)=2/(10-1) = 0.2222相關(guān)系數(shù)公式推導(dǎo)相關(guān)系數(shù)公式推導(dǎo)Sxy2=Cov2=Cov(x2,y2)=75/(10-1) = 8.333Sxy3=Cov3=Cov(x3,y3)=74/(10-1) = 8.222相關(guān)系數(shù)：去除資料的自身變異程度的影響1、總體相關(guān)系數(shù)：2、樣本相關(guān)系數(shù)：yxxyyxxyS

11、SSSSPyxCov),(相關(guān)系數(shù)公式推導(dǎo)相關(guān)系數(shù)公式推導(dǎo)yxxyyxxySSSSSPSSyxCovr),(第一節(jié) 兩隨機(jī)變量之間的線性關(guān)系四、簡單相關(guān)系數(shù)性質(zhì)四、簡單相關(guān)系數(shù)性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的定義域：相關(guān)系數(shù)的定義域： 1 1，11相關(guān)系數(shù)是相關(guān)性大小的度量，是沒有單位的量相關(guān)系數(shù)是相關(guān)性大小的度量，是沒有單位的量相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) 為低度相關(guān)為低度相關(guān)相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) 為中度相關(guān)為中度相關(guān)相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) 為高度相關(guān)為高度相關(guān)4 . 0|0 r7 . 0|4 . 0 r1|7 . 0r第一節(jié) 兩隨機(jī)變量之間的線性關(guān)系四、簡單相關(guān)系數(shù)性質(zhì)四、簡單相關(guān)系數(shù)性質(zhì)正相關(guān)：正相關(guān)：0 r =1完全正相關(guān)：

12、完全正相關(guān)： r = 1負(fù)相關(guān)：負(fù)相關(guān)：-1= r 0完全負(fù)相關(guān)：完全負(fù)相關(guān)： r = -1不相關(guān)：不相關(guān)：r = 0表表5.1 為說明兩變量之間的線性關(guān)系而假設(shè)的三組（為說明兩變量之間的線性關(guān)系而假設(shè)的三組（x，y）觀察值觀察值組別組別 變量變量觀觀 察察 值值 平均數(shù)平均數(shù) 平方之和平方之和 第一組第一組 x17 7 1 6 5 3 8 9 3 1y15 9 6 1 3 1 9 4 6 8 第二組第二組 x29 8 7 7 6 5 3 3 1 1y29 9 8 6 6 5 4 3 1 1第三組第三組 x31 1 3 3 5 6 7 7 8 9y39 9 8 6 6 5 4 3 1 10 .

13、 51x0 . 52x0 . 53x2 . 51y 32421x 35021y2 . 52y2 . 53y 32422x 32423x 35022y 35023y如果上例中的是樣本數(shù)據(jù)，則它們的相關(guān)系數(shù)分別為：02606. 06 .797421r19772. 06 .7974752r96418. 06 .7974743r練習(xí)：求三組數(shù)的相關(guān)系數(shù) 如第如第2組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù) r2 =0.97721；所以所以 x2 與與 y2之間有正的高度相關(guān)關(guān)系；之間有正的高度相關(guān)關(guān)系； 如第如第3組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù) r3 = 0.96418；所；所以以 x3與與y3 之間有負(fù)的高

14、度相關(guān)關(guān)系；之間有負(fù)的高度相關(guān)關(guān)系； 如第如第1組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù) r1 =0.0261；所以所以 x1 與與 y1之間就幾乎沒有線性相關(guān)關(guān)系。之間就幾乎沒有線性相關(guān)關(guān)系。練習(xí)：求三組數(shù)的相關(guān)系數(shù)第一節(jié) 兩隨機(jī)變量之間的線性關(guān)系五、相關(guān)系數(shù)顯著性測驗(yàn)五、相關(guān)系數(shù)顯著性測驗(yàn)第一步：第一步： 統(tǒng)計(jì)假設(shè)：統(tǒng)計(jì)假設(shè)：H H0 0： 0 0，H HA A： 0 01 1、用統(tǒng)計(jì)量、用統(tǒng)計(jì)量t t檢驗(yàn)檢驗(yàn)當(dāng)要使用一個(gè)樣本的相關(guān)系數(shù)當(dāng)要使用一個(gè)樣本的相關(guān)系數(shù)r r對相應(yīng)的總體相關(guān)系對相應(yīng)的總體相關(guān)系數(shù)數(shù) 進(jìn)行估計(jì)，可以由兩種統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行估計(jì)，可以由兩種統(tǒng)計(jì)量 t t 和和 r r 來實(shí)現(xiàn)來實(shí)現(xiàn)總

15、體相關(guān)系數(shù)是否為零的假設(shè)?？傮w相關(guān)系數(shù)是否為零的假設(shè)。相關(guān)系數(shù)顯著性測驗(yàn)212nrrsrtr212nrsr第二步：計(jì)算統(tǒng)計(jì)量計(jì)算統(tǒng)計(jì)量t tdf = n-2抽樣誤差：相關(guān)系數(shù)顯著性測驗(yàn)第三步：統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)推斷 1 1、|t|t|t|t0.050.05 推斷相關(guān)不顯著推斷相關(guān)不顯著 2 2、t t0.050.05|t|t|t| t = 18.31 t0.01 3.356推斷推斷x x2 2和和y y2 2相關(guān)達(dá)極顯著相關(guān)達(dá)極顯著2 2、統(tǒng)計(jì)量、統(tǒng)計(jì)量r r顯著性測驗(yàn)顯著性測驗(yàn)第一步：第一步：作統(tǒng)計(jì)假設(shè)作統(tǒng)計(jì)假設(shè)第二步：計(jì)算統(tǒng)計(jì)量計(jì)算統(tǒng)計(jì)量r r，根據(jù)，根據(jù)df = =n-2-2，查相關(guān)，查相關(guān)系

16、數(shù)顯著性測驗(yàn)表，從而獲得系數(shù)顯著性測驗(yàn)表，從而獲得r r0.050.05和和r r0.010.01 。第三步：第三步：作統(tǒng)計(jì)推斷作統(tǒng)計(jì)推斷 1 1、|r|r|r|r0.05 0.05 推斷相關(guān)不顯著；推斷相關(guān)不顯著； 2 2、r r0.050.05=|r|r=|r|=|r| = r r0.010.01 推斷相關(guān)達(dá)極顯著。推斷相關(guān)達(dá)極顯著。第一節(jié) 兩隨機(jī)變量之間的線性關(guān)系0:0H0:AH實(shí)例：相關(guān)系數(shù)顯著性測驗(yàn)相關(guān)系數(shù)顯著性測驗(yàn)根據(jù)自由度根據(jù)自由度df=8df=8，查相關(guān)系數(shù)顯著性測驗(yàn)表，查相關(guān)系數(shù)顯著性測驗(yàn)表, ,從而獲得從而獲得 r r0.050.05 = 0.632 = 0.632 r r

17、0.010.01 = 0.765 = 0.765作統(tǒng)計(jì)推斷作統(tǒng)計(jì)推斷 今今|r|=0.97721 r|r|=0.97721 r0.01 0.01 推斷推斷x x2 2和和y y2 2相關(guān)達(dá)極顯著相關(guān)達(dá)極顯著計(jì)算得：計(jì)算得：97721. 0r相關(guān)系數(shù)顯著性測驗(yàn)相關(guān)系數(shù)顯著性測驗(yàn)t和和r檢驗(yàn)是等價(jià)的，在檢驗(yàn)是等價(jià)的，在水平下水平下相關(guān)系數(shù)顯著性測驗(yàn)相關(guān)系數(shù)顯著性測驗(yàn)22tdftr多個(gè)變量間的簡單相關(guān)多個(gè)變量間的簡單相關(guān)設(shè)有設(shè)有n個(gè)變量個(gè)變量x x1 1x xn n，其相關(guān)系數(shù)矩陣：，其相關(guān)系數(shù)矩陣：111212122112121nnnnnnrrxrrxrrxxxx第二節(jié)第二節(jié) 凈相關(guān)（偏相關(guān)）凈相

18、關(guān)（偏相關(guān)）一級凈相關(guān)一級凈相關(guān)二級凈相關(guān)二級凈相關(guān) 最高級凈相關(guān)最高級凈相關(guān)凈相關(guān)：凈相關(guān)：用數(shù)學(xué)方法固定其余的變量，消除用數(shù)學(xué)方法固定其余的變量，消除其余變量的影響，只研究指定兩個(gè)變量間的其余變量的影響，只研究指定兩個(gè)變量間的純相關(guān)關(guān)系。純相關(guān)關(guān)系。 彌補(bǔ)了簡單相關(guān)不能真實(shí)地反映兩個(gè)變彌補(bǔ)了簡單相關(guān)不能真實(shí)地反映兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系。量間的相關(guān)關(guān)系。一級凈相關(guān)一級凈相關(guān)df = n-3第二節(jié)第二節(jié) 凈相關(guān)凈相關(guān)2232132313123 .1211rrrrrr2232122312132 .1311rrrrrr2132121312231 .2311rrrrrr第二節(jié)第二節(jié) 凈相關(guān)凈相關(guān)二級凈

19、相關(guān)二級凈相關(guān)df = n-422 .3422 .142 .342 .142 .1324.1311rrrrrr23 .2423 .143 .243 .143 .1234.1211rrrrrr22 .3422 .132 .342 .132 .1423.1411rrrrrr第二節(jié)第二節(jié) 凈相關(guān)凈相關(guān)最高級凈相關(guān)最高級凈相關(guān)df = n-m將將m個(gè)變量中的個(gè)變量中的m-2-2個(gè)變量固定，只研究另個(gè)變量固定，只研究另外兩個(gè)變量的相關(guān)外兩個(gè)變量的相關(guān)jjiiijijcccr.mmmmmmrrrrrrrrrR212222111211相關(guān)矩陣相關(guān)矩陣mmmmmmcccccccccRC2122221112111凈相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)凈相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)第二步：計(jì)算統(tǒng)計(jì)量計(jì)算統(tǒng)計(jì)量第一步：統(tǒng)計(jì)假設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè) H H0 0： ijij. .0 0，H HA A： ijij. .00n為觀測數(shù)據(jù)組數(shù)，為觀測數(shù)據(jù)組數(shù)，m為相關(guān)變量總個(gè)數(shù)為相關(guān)變量總個(gè)數(shù)mnrrSrtijijrijrij2.1.凈相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)凈相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)第三步