工程統(tǒng)計(jì)學(xué)第七章方差與正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步

1、2021-10-271第七章 方差分析與正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步2021-10-272本章重點(diǎn)與難點(diǎn)n重點(diǎn):n 是了解和掌握方差分析與正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的思想和方法。n難點(diǎn):n 方差分析與正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法。2021-10-273學(xué)習(xí)目標(biāo)n 通過本章的學(xué)習(xí)，正確理解方差分析與正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的思想和有關(guān)概念，了解各種方法的應(yīng)用條件和范圍，能夠應(yīng)用軟件進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算，能說明計(jì)算結(jié)果的含義。2021-10-274案例：染整工藝對(duì)布的縮水率有影響嗎 ?n 某公司為考察染整工藝是否對(duì)布的縮水率有顯著影響進(jìn)行了試驗(yàn)。試驗(yàn)中采用三種染整工藝，分別對(duì)四種布樣進(jìn)行了處理，測(cè)得縮水率的百分比資料如7-1表所示:2021-10-2

2、75問題：n(1) 如何判斷染整工藝類型對(duì)縮水率是否有顯著影響？若影響顯著，應(yīng)采用哪種工藝？n(2) 如果還有一個(gè)因素B（試驗(yàn)配方，共三種）也對(duì)縮水率產(chǎn)生作用，應(yīng)該如何選擇最優(yōu)方案？n(3) 如果還有兩個(gè)或者兩個(gè)以上的因素也對(duì)縮水率產(chǎn)生作用，應(yīng)該如何選擇最優(yōu)方案？n 為了回答上述問題，本章將介紹單因素方差分析、雙因素方差分析和正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法的有關(guān)概念、分析思想、數(shù)學(xué)模型、方差分析表和正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本方法等。2021-10-276n第一節(jié) 方差分析的基本思想 n第二節(jié) 單因素方差分析 n第四節(jié) 雙因素方差分析 n第四節(jié) 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步 第七章方差分析與正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步2021-10-277第

3、一節(jié) 方差分析的基本思想 n一、方差分析的有關(guān)概念和基本思想 n二、顯著性檢驗(yàn)2021-10-278一、方差分析的有關(guān)概念和基本思想 n（一）簡單平均數(shù)n 方差分析（Analysis of Variance，ANOVA）是一種檢驗(yàn)多個(gè)總體均值是否相等的統(tǒng)計(jì)方法。 n 一般將方差分析研究的對(duì)象稱為因素，而因素中的內(nèi)容稱為水平。若方差分析同時(shí)針對(duì)兩個(gè)因素進(jìn)行，則稱為雙因素方差分析。 2021-10-279一、方差分析的有關(guān)概念和基本思想n 在本章案例中，縮水率就是試驗(yàn)指標(biāo)，染整工藝是所要檢驗(yàn)的因素（又稱因子），三種不同的工藝可看成是該因素的三種水平，故這是一個(gè)單因素三水平的試驗(yàn)。n 從表7.1可知

4、，12個(gè)數(shù)據(jù)各不相同。一方面，同一種工藝對(duì)不同種布樣的縮水率是不同的，其差異可以看成是由于隨機(jī)因素造成的；另一方面，不同工藝對(duì)各布樣的縮水率也是不同的，這既可能是由于染整工藝類型不同造成的，也有可能是由于隨機(jī)因素造成的。 2021-10-2710一、方差分析的有關(guān)概念和基本思想n 要判斷隨機(jī)因素和工藝差別哪個(gè)是造成縮水率不同的主要原因，可假設(shè)三種不同的工藝為三個(gè)不同的可假設(shè)三種不同的工藝為三個(gè)不同的總體，將此問題歸結(jié)為判斷三個(gè)總體是否具有相同的總體，將此問題歸結(jié)為判斷三個(gè)總體是否具有相同的分布。分布。又由于經(jīng)常假定遇到的是正態(tài)總體，且在進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，除了要檢驗(yàn)的因素，其他條件是盡可能保持一致的，

5、于是可以認(rèn)為每個(gè)總體的方差是相同的認(rèn)為每個(gè)總體的方差是相同的。這樣一來，推斷幾個(gè)總體是否具有相同分布，就可以化推斷幾個(gè)總體是否具有相同分布，就可以化為檢驗(yàn)幾個(gè)具有相同方差的正態(tài)總體均值是否相等的為檢驗(yàn)幾個(gè)具有相同方差的正態(tài)總體均值是否相等的問題。問題。這里還要假定各水平觀察值為來自正態(tài)總體的隨機(jī)樣本，各總體相互獨(dú)立且方差相同。這些假定在實(shí)際中一般難以嚴(yán)格滿足，但應(yīng)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，使其近似地滿足正態(tài)分布。 2021-10-2711二、顯著性檢驗(yàn)二、顯著性檢驗(yàn)n 設(shè)檢驗(yàn)的因素有m個(gè)水平，分別記為n ，在每個(gè)水平下做k次試驗(yàn)，觀察值 n 表示第i個(gè)水平下的第j個(gè)試驗(yàn)值。又設(shè) n 是m個(gè)相互獨(dú)立且方差

6、相等的正態(tài)總體， 的總體均值 ，則方差分析實(shí)際上就是要檢驗(yàn)假設(shè)：2021-10-2712n令n=mkn通常稱 為組平均數(shù)，稱 為總平均數(shù)。2021-10-2713平方和分解公式： 2021-10-2714n 稱為總離差平方和，它是描述所有數(shù)值離散程度的數(shù)量指標(biāo)。n 稱為組內(nèi)平方和或誤差平方和，是觀察值與組內(nèi)平均數(shù)之差的平方和，它反映了組內(nèi)（即在同一水平之下）樣本的隨機(jī)波動(dòng)。n 的自由度 ，其組內(nèi)方差為 。n 稱為組間平方和，是組內(nèi)平均數(shù)與總平均數(shù)之差的平方和，它反映了因素水平的不同及隨機(jī)因素引起的差異。 的自由度 ，其組內(nèi)方差為n 。2021-10-2715第二節(jié) 單因素方差分析一、各水平試驗(yàn)

7、次數(shù)相等的方差分析 試驗(yàn)次數(shù)相等的單因素方差分析的具體步驟：1建立假設(shè)2021-10-2716n2計(jì)算有關(guān)均值 2021-10-2717在表7.1中增加若干計(jì)算欄，計(jì)算有關(guān)均值，如表7.3所示。2021-10-27183計(jì)算離差平方和2021-10-27194列方差分析表2021-10-2720對(duì)于本章案例，方差分析表如表7.5所示：2021-10-27215統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)n 對(duì)于顯著性水平 ，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 ，說明不同工藝方法的差異顯著。又由于 ,故第一種工藝方法（即 ）對(duì)布料縮水率的影響顯著小于其他方法，應(yīng)予采用。2021-10-2722二、試驗(yàn)次數(shù)不等的方差分析二、試驗(yàn)次數(shù)不等的方差分析n試驗(yàn)中，

8、有時(shí)各水平下的試驗(yàn)次數(shù)不相等，如表7.6所示：2021-10-2723試驗(yàn)次數(shù)不等的單因素方差分析的計(jì)算步驟與試驗(yàn)次數(shù)相等的完全一樣，只是將K改為 即可。n 例7.1 為了對(duì)幾個(gè)行業(yè)的服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)，某市消費(fèi)者協(xié)會(huì)對(duì)該地的旅游業(yè)、居民服務(wù)業(yè)、公路客運(yùn)業(yè)和保險(xiǎn)業(yè)分別抽取了不同數(shù)量的企業(yè)。每個(gè)行業(yè)中的這些企業(yè)在服務(wù)內(nèi)容、服務(wù)對(duì)象、企業(yè)規(guī)模等方面基本相同。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，最近一年消費(fèi)者對(duì)這23家企業(yè)投訴的次數(shù)資料如表7-7所示，消費(fèi)者協(xié)會(huì)想知道:這幾個(gè)行業(yè)之間的服務(wù)質(zhì)量是否有顯著差異？如果有，究竟是在哪些行業(yè)之間？如果能找出哪些行業(yè)的服務(wù)質(zhì)量最差，就可以建議對(duì)消費(fèi)者權(quán)益保護(hù)法中該行業(yè)的某些條款作出修正。2

9、021-10-2724n 對(duì)于給定的顯著性水平，由F分布表可查出相應(yīng)自由度的臨界值 。如果， 則拒絕原假設(shè) ，此時(shí)說明因素A對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)起顯著影響；如果 ，則接受原假設(shè) ，此時(shí)說明因素A的不同水平對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響不顯著。2021-10-27252021-10-2726n解(1) 建立假設(shè) n 不全相等 n(2) 計(jì)算有關(guān)均值及平方和 2021-10-2727n(3) 列方差分析表(表7-8)2021-10-2728n(4) 統(tǒng)計(jì)決策n對(duì)于顯著性水平 n由于檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 ，所以拒絕原假設(shè) ，即有95%的把握認(rèn)為不同的行業(yè)之間投訴的差異顯著。2021-10-2729Excel中方差分析的計(jì)算步驟n(1

10、) 點(diǎn)擊“工具”欄中的數(shù)據(jù)分析項(xiàng)；n(2) 在分析工具框中連擊“單因素方差分析”；n(3) 在對(duì)話框的“數(shù)據(jù)區(qū)域”框中鍵入A3：C6；n在框中保持0.05不變（也可根據(jù)需要變?yōu)?.01）；n在“輸出選項(xiàng)”中鍵入D3；n選擇“確定”，輸出結(jié)果如表7-9所示：2021-10-2730由于P=0.0207150.05，故拒絕原假設(shè)，即有95%的把握認(rèn)為三種染整工藝縮水率的差異是顯著的。 2021-10-2731三、方差分析中的多重比較三、方差分析中的多重比較n最小顯著差異法 的基本步驟為：n第一步：提出原假設(shè)： n第二步：計(jì)算各檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的 值；n第三步：計(jì)算LSD，其公式為：n第四步：根據(jù)顯著性水

11、平進(jìn)行決策：如果n 的值，則拒絕 ；否則，則接受 2021-10-2732對(duì)于例7.1，對(duì)四個(gè)行業(yè)的均值進(jìn)行多重比較（=0.05） n由題意及計(jì)算可知， n第一步：提出假設(shè)2021-10-27332021-10-27342021-10-2735第四步：進(jìn)行決策2021-10-2736第三節(jié) 雙因素方差分析n一、無交互作用的雙因素方差分析n 若記一因素為因素若記一因素為因素A，另一因素為因素，另一因素為因素B，對(duì)對(duì)A與與B同時(shí)進(jìn)行分析，就屬于雙因素方差分，同時(shí)進(jìn)行分析，就屬于雙因素方差分，即判斷是否有某一個(gè)或兩個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有即判斷是否有某一個(gè)或兩個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響，兩個(gè)因素結(jié)合后是否

12、有新效應(yīng)。在顯著影響，兩個(gè)因素結(jié)合后是否有新效應(yīng)。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中將各個(gè)因素的不同水平的搭配所產(chǎn)生統(tǒng)計(jì)學(xué)中將各個(gè)因素的不同水平的搭配所產(chǎn)生的新的影響稱為交互作用。我們先討論無交互的新的影響稱為交互作用。我們先討論無交互作用的雙因素方差分析問題，對(duì)于有交互作用作用的雙因素方差分析問題，對(duì)于有交互作用的雙因素方差分析問題稍后再討論。的雙因素方差分析問題稍后再討論。2021-10-2737n 假定因素A有r個(gè)水平： ；因素B有s個(gè)水平： 。在A的r個(gè)水平與B的s個(gè)水平的每種組合下作一次試驗(yàn)，可得無交互作用的雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如表7-10所示：2021-10-2738表7-10 雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)

13、構(gòu)2021-10-2739n在表7-10中：2021-10-2740n判斷因素A的影響是否顯著等價(jià)于檢驗(yàn)假設(shè)：n判斷因素B的影響是否顯著等價(jià)于檢驗(yàn)假設(shè)：n其中， 表示A的第i個(gè)水平所構(gòu)成的總體均值， 表示的B第j個(gè)水平所構(gòu)成的總體均值。2021-10-2741n 對(duì)離差總平方和進(jìn)行分解。與單因素情況類似，能夠證明下列公式成立：2021-10-2742n由數(shù)理統(tǒng)計(jì)可以證明：當(dāng) 時(shí) 2021-10-27432021-10-27442021-10-2745表7-11 雙因素（無交互作用）方差分析表 2021-10-2746n 例7.2 為提高某種產(chǎn)品的合格率，考察原料用量和來源地對(duì)其是否有影響。原料

14、來源地有三個(gè)：甲、乙、丙；原料用量有三種：現(xiàn)有量、增加5%、增加8%。每個(gè)水平組合各作一次試驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如表7-12所示。試分析原料用量和來源地對(duì)產(chǎn)品合格率的影響是否顯著？2021-10-2747表7-12 產(chǎn)品合格率數(shù)據(jù)2021-10-2748n解:(1) 建立假設(shè)n(2) 計(jì)算相應(yīng)的均值和平方和：2021-10-2749(3) 列方差分析表2021-10-2750(4) 統(tǒng)計(jì)決策n對(duì)于顯著性水平 =0.05，查表得臨界值n因?yàn)?n即根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)，有95%的把握可以推斷原料來源地對(duì)產(chǎn)品合格率的影響不大，而原料用量對(duì)合格率有顯著影響。n由于 為最優(yōu)水平。既然原料來源地對(duì)產(chǎn)品合格率的影響不顯著

15、，在保證質(zhì)量的前提下，可以選擇運(yùn)費(fèi)最省的地方作為原料來源地選擇時(shí)的首選。如果丙地的運(yùn)費(fèi)最省，則最優(yōu)方案為 。 2021-10-2751Excel應(yīng)用n以例7.2為例，設(shè)數(shù)據(jù)輸入到Excel工作表的區(qū)域?yàn)锳2:C4，再按以下步驟進(jìn)行：n(1) 點(diǎn)擊“工具”欄中的數(shù)據(jù)分析項(xiàng)。n(2) 分析工具框中連擊“方差分析：無重復(fù)的雙因素方差分析”。n(3) 在對(duì)話框的“數(shù)據(jù)區(qū)域”框中鍵入B3：D5；n在框中保持0.05不變（也可根據(jù)需要變?yōu)?.01）；n在“輸出選項(xiàng)”中鍵入E2；n選擇“確定”，輸出結(jié)果如表7-14所示： 2021-10-2752表7-14 無重復(fù)雙因素分析方差分析結(jié)果2021-10-275

16、3二、有交互作用的雙因素方差分析二、有交互作用的雙因素方差分析2021-10-2754表7-15 有交互作用的雙因素方差分析數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)2021-10-27552021-10-27562021-10-2757n對(duì)這一模型可設(shè)如下三個(gè)假設(shè)：2021-10-27583方差分析n與單因素方差分析的平方和分解類似，有 2021-10-27592021-10-27602021-10-2761表7.16 雙因素（有交互作用）方差分析表2021-10-2762n 例7.3 某公司想將橡膠、塑料和軟木的板材沖壓成密封墊片出售。市場上有兩種不同型號(hào)的沖壓機(jī)可供選擇。為了能對(duì)沖壓機(jī)每小時(shí)所生產(chǎn)的墊片數(shù)進(jìn)行比較，并確定

17、哪種機(jī)器使用何種材料生產(chǎn)墊片的能力更強(qiáng)，該公司使用每臺(tái)機(jī)器對(duì)每一種材料分別運(yùn)行三段時(shí)間，得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)（每小時(shí)生產(chǎn)的墊片數(shù)）如表7-16所示，試運(yùn)用方差分析確定最優(yōu)方案。2021-10-27632021-10-2764n解n(1) 建立假設(shè)： n(2) 計(jì)算相應(yīng)的均值和平方和：2021-10-27652021-10-2766(3) 列方差分析表（7-19）2021-10-2767n(4) 統(tǒng)計(jì)決策n由于 ,說明不僅沖壓機(jī)的型號(hào)和墊片材料對(duì)墊片數(shù)量有顯著影響，而且其交互作用也是顯著的。由結(jié)構(gòu)均值表可知，在沖壓機(jī)中,第一種的均值較大；墊片材料中,木的均值較大，故最優(yōu)方案是 。 2021-10-27

18、68有交互作用的雙因素方差分析中的Excel應(yīng)用 n以例7.3為例，設(shè)數(shù)據(jù)輸入到Excel工作表的區(qū)域?yàn)锳2:C7，再按以下步驟進(jìn)行：n(1) 點(diǎn)擊“工具”欄中的數(shù)據(jù)分析項(xiàng)。n(2) 分析工具框中連擊“方差分析：可重復(fù)雙因素方差分析”。n(3) 在對(duì)話框的“數(shù)據(jù)區(qū)域”框中鍵入A1：D7;n在 框中保持0.05不變（也可根據(jù)需要變?yōu)?.01）;n在“輸出選項(xiàng)”中鍵入F2;n選擇“確定”，輸出結(jié)果如表7-20所示：2021-10-27692021-10-27702021-10-2771第四節(jié) 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步一、試驗(yàn)設(shè)計(jì)的概念和設(shè)計(jì)原則n試驗(yàn)設(shè)計(jì)有三個(gè)基本原則：重復(fù)性、隨機(jī)化和區(qū)組化。n(1) 重

19、復(fù)性原則：重復(fù)性是指對(duì)一項(xiàng)試驗(yàn)要在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行若干次。只有進(jìn)行多次的試驗(yàn)，才能掌握其規(guī)律性。n(2) 隨機(jī)化原則：隨機(jī)化是指試驗(yàn)材料和試驗(yàn)地點(diǎn)都要隨機(jī)地確定。這樣進(jìn)行試驗(yàn)得出的結(jié)論才具有客觀性和普遍性，且每次進(jìn)行的試驗(yàn)都可認(rèn)為是相互獨(dú)立的。n(3) 區(qū)組化原則：一組試驗(yàn)，試驗(yàn)者總希望在相同或近似相同的條件下進(jìn)行，以便在相互比較中得出正確的結(jié)論。 2021-10-2772在安排試驗(yàn)時(shí)需要注意三點(diǎn)： n第一、盡量減少試驗(yàn)誤差。在試驗(yàn)時(shí)，要盡可能使對(duì)試驗(yàn)產(chǎn)生影響的其他因素達(dá)到理論中要求的精確程度，這樣我們?cè)趯?duì)目的指標(biāo)進(jìn)行測(cè)算時(shí)才能達(dá)到較為客觀的結(jié)果。在一項(xiàng)試驗(yàn)中誤差是必然存在的，我們的目的就

20、是要盡量減少該誤差。n第二、盡量減少試驗(yàn)次數(shù)。試驗(yàn)的次數(shù)越多，進(jìn)行試驗(yàn)所耗費(fèi)的人力、物力也就會(huì)相應(yīng)地增多，最佳的試驗(yàn)就是用盡可能少的費(fèi)用來獲得最有效的試驗(yàn)結(jié)果。n第三、所設(shè)計(jì)的試驗(yàn)要便于對(duì)指標(biāo)值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。影響一個(gè)事件的指標(biāo)是多樣的，在進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)要選擇比較容易測(cè)算且對(duì)事件影響較大的指標(biāo)進(jìn)行計(jì)算。2021-10-2773n 在現(xiàn)實(shí)問題中，影響試驗(yàn)指標(biāo)的因素通常有很多個(gè)，要考察它們就涉及多因子的試驗(yàn)設(shè)計(jì)問題。多因子試驗(yàn)中一個(gè)很困難的問題就是因子數(shù)較多，而又需要進(jìn)行多次的試驗(yàn)。例如，有10個(gè)因子對(duì)某一指標(biāo)有顯著影響，而每個(gè)因子取兩個(gè)水平進(jìn)行比較，那么就有210=1024個(gè)不同的水平組合，即每個(gè)水平

21、組合作一次試驗(yàn)，就需要進(jìn)行1024次試驗(yàn)，耗費(fèi)的人力、財(cái)力可想而知，這在實(shí)際中是不可行的。因此，需要按照一定的方法從中選擇一部分進(jìn)行試驗(yàn)。常用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法有正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法、參數(shù)設(shè)計(jì)法、回歸設(shè)計(jì)法、均勻設(shè)計(jì)法、混料設(shè)計(jì)法等。限于篇幅，這里僅介紹正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，其他方法請(qǐng)讀者自行閱讀試驗(yàn)設(shè)計(jì)的有關(guān)書籍。2021-10-2774二、多因子試驗(yàn)問題n 在多因子試驗(yàn)中，各因子又有不同的水平數(shù)，我們的目的是要從這些因子不同的水平組合中，找出一組或幾組組合使所要求的指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。下面以一個(gè)二因子的例子來具體認(rèn)識(shí)一下多因子試驗(yàn)問題。n例7.4 為提高合金鋼的強(qiáng)度，同時(shí)考慮碳(C)含量(因子)及鈦(T

22、i)與鋁(AL)的含量(因子)對(duì)強(qiáng)度Y的影響，希望找出最佳的含量組合，使強(qiáng)度Y達(dá)到最大（表7-21）。2021-10-2775表7-21 合金鋼的試驗(yàn)數(shù)據(jù)2021-10-27762021-10-2777三、交互作用n 一個(gè)因子的水平好壞或好壞的程度受另一個(gè)因子水平制約的情況，稱為因子A和B的交互作用，記作 或AB。n 因子A和B的交互作用可以用圖形較為直觀地表示。n 2021-10-27782021-10-2779n 因子間的交互作用會(huì)隨著因子個(gè)數(shù)的增加而增加。如四個(gè)因子A，B，C，D間的交互作用有以下幾類：n(1) 二級(jí)交互作用有6個(gè)： AB， AC， AD， BC， BD， CD；n(2)

23、 三級(jí)交互作用有4個(gè)： ABC， ABD， ACD， BCD；n(3) 四級(jí)交互作用有1個(gè)： ABCD 。n 交互作用共有11個(gè)，比因子個(gè)數(shù)還多。實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明，多數(shù)交互作用是不存在或者很小以至可以忽略不計(jì)的，一般我們主要考慮部分二級(jí)交互作用，但具體考察哪些二級(jí)交互作用還要根據(jù)下面的方法來決定。 2021-10-2780四、正交表及其類型n 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法是利用正交表科學(xué)地挑選試驗(yàn)條件，合理安排試驗(yàn)的方法，是研究與處理多因素試驗(yàn)的一種科學(xué)方法。n 正交設(shè)計(jì)有兩個(gè)重要的特點(diǎn)：（1）任意一對(duì)因子（也稱因素）的任一水平組合必在試驗(yàn)中出現(xiàn)，且出現(xiàn)的次數(shù)相同；（2）總試驗(yàn)次數(shù)比全面試驗(yàn)（所有因子的任一水平

24、組合都進(jìn)行搭配）要少許多次。例如，對(duì)7個(gè)二水平因子進(jìn)行全面試驗(yàn)要進(jìn)行27=128次，而用正交表安排試驗(yàn)只需要作8次。用正交表合理地安排試驗(yàn)，可以做到省時(shí)、省力、省錢，還能得到令人滿意的檢驗(yàn)效果，因此這種方法在改進(jìn)產(chǎn)品質(zhì)量、研究采用新工藝、試制新產(chǎn)品、了解設(shè)備工藝性能以及改進(jìn)技術(shù)管理等方面都有廣泛的應(yīng)用。 2021-10-27811正交表及其特性n 正交表是正交設(shè)計(jì)的工具，是運(yùn)用組合數(shù)學(xué)理論在正交拉丁方的基礎(chǔ)上構(gòu)造的一種規(guī)格化表格，符號(hào)為：n其中，L為正交表符號(hào)；n n為正交表的行數(shù)(試驗(yàn)次數(shù)，試驗(yàn)方案數(shù))；n j為正交表中每一列因子的水平個(gè)數(shù)；n i為正交表的列數(shù)(試驗(yàn)因子的個(gè)數(shù))。 n 20

25、21-10-27822021-10-27832021-10-2784n 正交表具有正交性，這是指它有如下兩個(gè)特征：n（1）每列中不同的數(shù)字重復(fù)的次數(shù)相同。在表7.22中，每列有兩個(gè)不同的數(shù)字：1，2，每一個(gè)各出現(xiàn)4次。n（2）將任意兩列的同行數(shù)字看成一個(gè)數(shù)對(duì)，那么任意可能數(shù)對(duì)重復(fù)的次數(shù)相等。在 中，任意兩列有4種可能數(shù)對(duì)：(1，1)， (1，2)，(2，1)，(2，2)，每一對(duì)各出現(xiàn)2次。 2021-10-27852正交表的分類2021-10-2786五、無交互作用情況下的設(shè)計(jì)n正交表安排試驗(yàn)的步驟如下：n（1） 明確試驗(yàn)?zāi)康模_定要考察的試驗(yàn)指標(biāo)。n（2） 確定要考察的因子和因子的水平。n（

26、3） 選用合格的正交表，進(jìn)行表頭設(shè)計(jì)。n（4） 根據(jù)試驗(yàn)號(hào)的安排進(jìn)行試驗(yàn)，并記錄試驗(yàn)指標(biāo)的具體數(shù)據(jù)。n（5） 數(shù)據(jù)分析。對(duì)一個(gè)正交表形式的試驗(yàn)設(shè)計(jì)通常有三種分析方法：一是用極差分析各因子對(duì)指標(biāo)影響程度的大小，這是一種較為簡單的直觀分析方法；二是用方差分析進(jìn)行數(shù)據(jù)分析；三是貢獻(xiàn)率分析法。 2021-10-2787n例7.5 某化工廠生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的收率較低，為此希望通過試驗(yàn)提高收率。在試驗(yàn)中考察如下三個(gè)因子三個(gè)水平（表7-23）：n表7-23 因子水平表 2021-10-2788n解n 由于所考察的因子是三水平的，因此選用三水平正交表，又現(xiàn)在只考察三個(gè)因子，故選擇 安排試驗(yàn)。n 選定了正交表后把

27、因子放在正交表的列上去，稱為表頭設(shè)計(jì)。在例7.5中將三個(gè)因子置于前三列，將它寫成如下的表頭設(shè)計(jì)形式： 2021-10-2789n九次試驗(yàn)的結(jié)果收率(%)分別是：n51 61 58 72 69 59 87 85 84n(一) 用極差分析各因子對(duì)指標(biāo)影響程度的大小n1用直觀分析表對(duì)該試驗(yàn)進(jìn)行分析n為方便起見，把試驗(yàn)結(jié)果寫在正交表的右邊一列上，并分別用 表示，所有計(jì)算可以在表上進(jìn)行。2021-10-2790n 首先來看第一列，該列中的1，2，3分別表示因子的三個(gè)水平，按水平號(hào)將數(shù)據(jù)分為三組：“1”對(duì)應(yīng) ，“2”對(duì)應(yīng) ，“3”對(duì)應(yīng) 。n 在第二列，該列中的1，2，3分別表示因子B的三個(gè)水平，按水平號(hào)將

28、數(shù)據(jù)分為三組：“1”對(duì)應(yīng) ，“2”對(duì)應(yīng) ，“3”對(duì)應(yīng) 。同理我們可以從圖中得到第三列的情況。2021-10-2791n 分別對(duì)每一列每個(gè)水平的數(shù)據(jù)進(jìn)行相加，得到這個(gè)水平下該因子對(duì)應(yīng)指標(biāo)值的和，例如，2021-10-2792n 同理我們可以得到對(duì)應(yīng)C水平的T1，T2，T3的值，用每個(gè)水平得出的Ti的值去除以3就得到其均值 。n 由以上計(jì)算可知，每個(gè)因子下間的差異反映了這個(gè)因子三個(gè)水平間的差異；分別對(duì)三個(gè)因子的各個(gè)水平進(jìn)行數(shù)值大小比較：因子A的三個(gè)水平均值差異較大，其第三個(gè)水平的均值最大，故因子A的三水平最好。對(duì)第二、三列進(jìn)行類似地分析，可知因子B的第二個(gè)水平好，因子C的第二個(gè)水平好。 n 202

29、1-10-2793n對(duì)第四列也可以進(jìn)行上述分析，按其中的1，2，3分別將數(shù)據(jù)分為三組，但三組的水平組合相同，因此該列僅反映誤差。n綜上可知，使指標(biāo)達(dá)到最佳的水平組合是，即反應(yīng)溫度為90度、加堿量為48公斤、選取乙類催化劑可以使轉(zhuǎn)化率達(dá)到最大。2021-10-27942用極差分析各因子對(duì)指標(biāo)影響程度的大小n 一個(gè)因子的極差是該因子各水平均值的最大值與最小值之差，如果該值大，則說明改變這一因子的水平會(huì)對(duì)指標(biāo)造成較大的變化，所以該因子對(duì)指標(biāo)的影響大，反之，則影響小。極差最大的列所對(duì)應(yīng)的因子是最主要因子。當(dāng)要求指標(biāo)愈高愈好時(shí)，可選R行中最大者，所對(duì)應(yīng)的水平為優(yōu)水平；當(dāng)要求指標(biāo)愈低愈好時(shí)，可選R行中最小

30、者其所對(duì)應(yīng)的水平為優(yōu)水平。 2021-10-2795n在例7.5中各個(gè)因子的極差分別是：n它們被置于表7-24的最下方一行。從三個(gè)因子的極差可知因子A的影響最大，其次是C，而因子B的影響則最小，通常記為n 2021-10-2796表7-24 例7.5的直觀分析計(jì)算表2021-10-2797(二) 用方差分析進(jìn)行數(shù)據(jù)分析n 用方差分析方法來說明影響指標(biāo)的因子的分析步驟如下：n1建立統(tǒng)計(jì)模型n要對(duì)試驗(yàn)進(jìn)行方差分析，首先要作幾點(diǎn)假設(shè)：n(1) 在同一水平組合下全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成一個(gè)總體，且服從正態(tài)分布；n(2) 各正態(tài)總體的方差相同，均為 ；n(3) 各正態(tài)均值與水平組合有關(guān)；n(4) 不同水平組合下

31、的試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。 2021-10-27982021-10-27992進(jìn)行平方和分解n總平方和為：2021-10-271003計(jì)算各因子的平方和n（1）因子的平方和是此因子各水平均值與總均值間的離差平方和；n（2）一個(gè)置于正交表第k列上的因子，其平方和 ，其自由度 ；n（3） 因子平方和中除了誤差之外只反映此因子的效應(yīng)間的差異；n（4）誤差平方和 等于諸空白列的平方和之和，其自由度等于諸空白列的自由度之和。 2021-10-271014方差分析表2021-10-271022021-10-271035最佳水平選擇n(1)對(duì)顯著因子應(yīng)選擇其最好的水平；n(2)對(duì)不顯著的因子可以任意選擇水平，?？筛鶕?jù)降低成本、操作方便等來選擇其水平。2021-10-271046最佳水平組合均值估計(jì)2021-10-271052021-10-271067驗(yàn)證試驗(yàn)n 在實(shí)際問題中,分析所得的最佳水平組合無論是否在試驗(yàn)中出現(xiàn)，通常都需要作驗(yàn)證