空間曲面及方程課件

1、空間曲面及方程1.2 曲面及其方程曲面及其方程一、空間曲線的方程概念一、空間曲線的方程概念二、平面和球面二、平面和球面三、柱面與旋轉(zhuǎn)曲面三、柱面與旋轉(zhuǎn)曲面四、二次曲面四、二次曲面空間曲面及方程一、空間曲面方程概念一、空間曲面方程概念v曲面的實(shí)例：曲面的實(shí)例：水桶的表面水桶的表面臺燈的罩子面臺燈的罩子面反光鏡的鏡面，反光鏡的鏡面，管道的外表面管道的外表面錐面等錐面等空間曲面及方程曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡曲面方程的定義：曲面方程的定義：如如果果曲曲面面S與與三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述關(guān)關(guān)系系：（1 1） 曲曲面面S上上任任

2、一一點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)都都滿滿足足方方程程；（2 2）不不在在曲曲面面S上上的的點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)都都不不滿滿足足方方程程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的圖圖形形常見的曲面：平面、球面、柱面、旋轉(zhuǎn)曲面、常見的曲面：平面、球面、柱面、旋轉(zhuǎn)曲面、二次曲面二次曲面空間曲面及方程（2 2）根據(jù)方程）根據(jù)方程F F（x x，y y，z z）=0=0的特點(diǎn)，討的特點(diǎn)，討論該方程所表示曲面的形狀論該方程所表示曲面的形狀下面介紹一些常見的曲面,主要討論一下兩個(gè)問題：（1 1）根據(jù)曲面上動點(diǎn)的特性建立曲）根據(jù)曲面上動點(diǎn)的特性建立曲 面的

3、方程面的方程F F（x x，y y，z z）=0=0常見的曲面：平面、球面、柱面、旋轉(zhuǎn)曲面、常見的曲面：平面、球面、柱面、旋轉(zhuǎn)曲面、 二次曲面二次曲面方程方程 F F( (x x, ,y y, ,z z)=0 )=0 決定了空間直角坐標(biāo)系上的一張曲面決定了空間直角坐標(biāo)系上的一張曲面. .空間曲面及方程二、平面和球面二、平面和球面設(shè)有設(shè)有三元一次方程三元一次方程 此方程稱為平面的一般平面的一般方程方程.0DzCyBxA)0(222CBA（1）平面空間曲面及方程特殊情形特殊情形 當(dāng) D = 0 時(shí), A x + B y + C z = 0 表示 通過原點(diǎn)通過原點(diǎn)的平面; 當(dāng) A = 0 時(shí),平面平

4、行于 x 軸; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D = 0 表示0AxByCzD222(0)ABC平行于 y 軸的平面;平行于 z 軸的平面;平行于 xOy 面 的平面;平行于 yOz 面 的平面；平行于 zOx 面 的平面.空間曲面及方程設(shè)設(shè)),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，根據(jù)題意有根據(jù)題意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化簡得所求方程化簡得所求方程. 07262 zyx解解空間曲面及方程例例2. 求通過 x 軸和點(diǎn)( 4, 3, 1)

5、的平面方程.解解: 因平面通過 x 軸 ,0 DA故設(shè)所求平面方程為0zCyB代入已知點(diǎn)) 1,3,4(得BC3化簡,得所求平面方程03 zy想一想：通過通過x軸：軸：A=D=0通過通過y軸軸:B=D=0通過通過z軸：軸： C=D=O空間曲面及方程例例 4 4 設(shè)設(shè)平平面面與與zyx,三三軸軸分分別別交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解空間曲面及方程,a

6、DA ,bDB ,cDC 將將代入所設(shè)方程得代入所設(shè)方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸上截距軸上截距空間曲面及方程（2）球面）球面解解設(shè)設(shè)),(zyxM是是球球面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，RMM |0根據(jù)題意有根據(jù)題意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為2222Rzyx 空間曲面及方程定義定義三、柱面與旋轉(zhuǎn)曲面三、柱面與旋轉(zhuǎn)曲面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線C 移動的直線移動的直線L所形成的

7、曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .這條定曲線這條定曲線C 叫叫柱面的柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動，動直線直線L 叫柱面的叫柱面的母線母線.1、柱面、柱面播放空間曲面及方程定義定義1 1、柱面、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程: :平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫柱面的叫柱面的母線母線. .CL空間曲面及方程定義定義1、柱面、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲

8、面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL空間曲面及方程定義定義1、柱面、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL空間曲面及方程定義定義1、柱面、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱

9、面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL空間曲面及方程定義定義1、柱面、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL空間曲面及方程定義定義1、柱面、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定

10、曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL空間曲面及方程定義定義1、柱面、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL空間曲面及方程定義定義1、柱面、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)

11、線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL空間曲面及方程定義定義1、柱面、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL空間曲面及方程定義定義1、柱面、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面

12、的柱面的母線母線.CL空間曲面及方程定義定義1、柱面、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL空間曲面及方程定義定義1、柱面、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL空間曲

13、面及方程xyz柱面的母線平行于柱面的母線平行于z z軸軸, ,準(zhǔn)線準(zhǔn)線C C是是xOyxOy平平面上的一條曲線面上的一條曲線, ,其方程為其方程為F(x,y)=0.F(x,y)=0.例如方程例如方程表示的曲面表示的曲面 : :的坐標(biāo)也滿足方程的坐標(biāo)也滿足方程222xyR在在xoyxoy面上，面上，表示表示準(zhǔn)線圓準(zhǔn)線圓C C, , 222xyR222Ryx沿曲線沿曲線C C平行于平行于z z 軸的一切直線所形成的曲面稱為軸的一切直線所形成的曲面稱為圓圓故在空間故在空間222Ryx過此點(diǎn)作過此點(diǎn)作柱面柱面. .對任意對任意 z z , ,平行平行z z軸軸的直線的直線l ,l ,表示表示母線平行于

14、母線平行于z z軸軸, ,準(zhǔn)線準(zhǔn)線C C是是xOyxOy平面上平面上的一條曲線的的一條曲線的圓柱面圓柱面oC在圓在圓C C上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn) , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程, ,空間曲面及方程xzy2l一般地一般地, ,在三維空間在三維空間柱面柱面, ,柱面柱面, ,平行于平行于 x x 軸軸; ;平行于平行于 y y 軸軸; ;平行于平行于 z z 軸軸; ;準(zhǔn)線準(zhǔn)線: :xozxoz 面上的曲線面上的曲線 l l3.3.母線母線: :柱面柱面, ,準(zhǔn)線準(zhǔn)線: :xoyxoy 面上的曲線面上的曲線 l l1.1.母線母

15、線: :準(zhǔn)線準(zhǔn)線: :yoz yoz 面上的曲線面上的曲線 l l2. 2. 母線母線: :表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1l空間曲面及方程柱面舉例柱面舉例xozyxozyxy22 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面xyzo 橢圓柱面橢圓柱面.12222byax空間曲面及方程2 2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平以一條平面曲線面曲線C C 繞其平面繞其平面上的一條直線上的一條直線L L 旋旋轉(zhuǎn)所成的曲面稱為轉(zhuǎn)所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸播放播放空間曲面及方程2 2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定

16、義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸空間曲面及方程2 2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸空間曲面及方程2 2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面

17、. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸空間曲面及方程2 2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸空間曲面及方程2 2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸空間曲面及方程2 2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面

18、上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸空間曲面及方程2 2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸空間曲面及方程2 2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲

19、面的曲面的軸軸空間曲面及方程2 2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸空間曲面及方程2 2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸空間曲面及方程2 2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條

20、直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸空間曲面及方程2 2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸空間曲面及方程xozy0),( zyf), 0(111zyM M),(zyxM設(shè)設(shè)1)1(zz |122yyxd 旋轉(zhuǎn)過程中的特征：旋轉(zhuǎn)過程中的特征：如圖如圖將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd空間曲面及方程將將 代入代入2211,yx

21、yzz 0),(11 zyf , 0,22 zyxf得方程得方程同理：同理：yoz坐標(biāo)面上的已知曲線坐標(biāo)面上的已知曲線0),( zyf繞繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程為為 . 0,22 zxyf空間曲面及方程例例1 1 將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程（1）雙雙曲曲線線12222 czax分分別別繞繞x軸軸和和z軸軸；繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)122222 czyax122222 czayx旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面空間曲面及方程繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)122222 czxay12

22、2222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面（3）拋拋物物線線 022xpzy繞繞z軸軸；pzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面空間曲面及方程xozy解解 yoz面面上上直直線線方方程程為為 cotyz ), 0(111zyM ),(zyxM圓錐面方程圓錐面方程 cot22yxz oxzy 空間曲面及方程（2）圓錐面）圓錐面222zyx （1）球面）球面（3）旋轉(zhuǎn)雙曲面）旋轉(zhuǎn)雙曲面1222222 czayax1222 zyx空間曲面及方程二次曲面的定義：二次曲面的定義：三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面相應(yīng)地平面被稱為相應(yīng)地平面被稱為一次曲面一次曲面討論二次曲面性狀的討論二次曲面性狀的截痕法截痕法： 用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌加以綜合，從而了解曲面的全貌以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面四、二次曲面空間曲面及方程ozyx（一）橢球面（一）橢球面1222222 czbyax