理論力學(xué)10—質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程1

1、動(dòng)力學(xué)引言動(dòng)力學(xué)研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)與作用力之間的關(guān)系。動(dòng)力學(xué)中所研究的力學(xué)模型是質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系(包括剛體)。質(zhì)點(diǎn):具有一定質(zhì)量而幾何形狀和尺寸大小可以忽略不計(jì)的物體。質(zhì)點(diǎn)系：由幾個(gè)或無(wú)限個(gè)相互有聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)所組成的系統(tǒng)。剛體：質(zhì)點(diǎn)系的一種特殊情形，其中任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的距離保持不變，也稱不變的質(zhì)點(diǎn)系。動(dòng)力學(xué)基本定律質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問(wèn)題10 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程牛頓出生于林肯郡伍爾索樸城的一個(gè)中等農(nóng)戶家中。在他出生之前父親即去世，他不到三歲時(shí)母親改嫁了，他不得不靠他的外祖母養(yǎng)大。 1661年牛頓進(jìn)入了劍橋大學(xué)的三一學(xué)院，1665年獲文學(xué)學(xué)士學(xué)位。在大學(xué)期間他全面掌握了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)和光學(xué)

2、。1665-1666的兩年期間，劍橋流行黑熱病，學(xué)校暫時(shí)停辦，他回到老家。這段時(shí)間中他發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定律，開(kāi)始了光學(xué)中的顏色實(shí)驗(yàn)，即白光由7種色光構(gòu)成的實(shí)驗(yàn)。而且由于一次躺在樹(shù)下看到蘋果落地開(kāi)始思索地心引力問(wèn)題。在30歲時(shí)，牛頓被選為皇家學(xué)會(huì)的會(huì)員，這是當(dāng)時(shí)英國(guó)最高科學(xué)榮譽(yù)。 牛頓在光學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是發(fā)現(xiàn)了太陽(yáng)光是由7種不同顏色的光合成的，他提出了光的微粒說(shuō)。 牛頓在數(shù)學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是與萊布尼茲各自獨(dú)立地發(fā)明了微積分，給出了二項(xiàng)式定理。 牛頓在力學(xué)上最重要的貢獻(xiàn)，也是牛頓對(duì)整個(gè)自然科學(xué)的最重要貢獻(xiàn)是他的巨著自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理。這本書出版于1687年，書中提出了萬(wàn)有引力理論并且系統(tǒng)總結(jié)了前人對(duì)動(dòng)力

3、學(xué)的研究成果，后人將這本書所總結(jié)的經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)稱為牛頓力學(xué)。10.1 動(dòng)力學(xué)的基本定律第一定律(慣性定律)不受力作用的質(zhì)點(diǎn)，將保持靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)保持其原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變的屬性稱為慣性。10.1 動(dòng)力學(xué)的基本定律第二定律(力與加速度關(guān)系定律) m aF在經(jīng)典力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量是守恒的在經(jīng)典力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量是守恒的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量越大，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)越不容易改變，也就是質(zhì)點(diǎn)的慣性越大。因此，質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性的度量。上式是推導(dǎo)其它動(dòng)力學(xué)方程的出發(fā)點(diǎn)，稱為動(dòng)力學(xué)基本方程。質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用質(zhì)點(diǎn)的力的大小，加速度的方向與力的方向相同。d()dmtvF10.1 動(dòng)力學(xué)的基本定律mPgm Pg國(guó)

4、際計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)g9.80665 m/s2，一般取g9.8 m/s2在國(guó)際單位制(SI)中，長(zhǎng)度、時(shí)間、質(zhì)量為基本量，它們的單位以米(m)、秒(s)和千克(kg)為基本單位。其它量均為導(dǎo)出量，它們的單位則是導(dǎo)出單位。在地球表面，任何物體都受到重力 P 的作用。在重力作用下得到的加速度稱為重力加速度，用 g 表示。由第二定律有或229.78049(1 0.0052884sin0.0000059sin 2g為緯度10.1 動(dòng)力學(xué)的基本定律 必須指出的是：質(zhì)點(diǎn)受力與坐標(biāo)無(wú)關(guān)，但質(zhì)點(diǎn)的加速度與坐標(biāo)的選擇有關(guān)，因此牛頓第一、第二定律不是任何坐標(biāo)都適用的。凡牛頓定律適用的坐標(biāo)系稱為慣性坐標(biāo)系。反之為非慣性坐標(biāo)系

5、。第三定律（作用與反作用定律）兩個(gè)物體間相互作用的作用力和反作用力總是大小相等、方向相反，沿著同一作用線同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。 以牛頓定律為基礎(chǔ)所形成的力學(xué)理論稱為古典力學(xué)。10.2 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程221ddniimmtraF2. 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在直角坐標(biāo)軸上投影222222111ddd,dddnnnxiyiziiiixyzmFmFmFttt3. 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在自然軸上投影2tnb111d, 0dnnniiiiiivvmFmFFt1. 矢量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程10.3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問(wèn)題第一類基本問(wèn)題：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力。這類問(wèn)題其實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的求

6、導(dǎo)問(wèn)題。 第二類基本問(wèn)題：已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。這類問(wèn)題其實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的解微分方程或求積分問(wèn)題。10.3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問(wèn)題1. 力是常數(shù)或是時(shí)間的簡(jiǎn)單函數(shù)00d( )dvtvm vF tt00ddddd( )dddddvxvxvvxvvmv vF xxtxtx3. 力是速度的簡(jiǎn)單函數(shù)，分離變量積分00dd( )vtvmvtF v2. 力是位置的簡(jiǎn)單函數(shù), 利用循環(huán)求導(dǎo)變換例10.1例1 如圖，設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M在平面oxy內(nèi)運(yùn)動(dòng)，已知其運(yùn)動(dòng)方程為xa cos wt，ya sin wt，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力F。ijvrF解：以質(zhì)點(diǎn)M為研究對(duì)象。分析運(yùn)動(dòng)：由運(yùn)動(dòng)方程消去時(shí)

7、間 t，得12222byax質(zhì)點(diǎn)作橢圓運(yùn)動(dòng)。將運(yùn)動(dòng)方程對(duì)時(shí)間求兩階導(dǎo)數(shù)得：22cos,sinxatybtwwww 代入質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，即可求得主動(dòng)力的投影為：22cos,sinxyFmxmat Fmymbtwwww 22222cossin( cossin)()XYmatmbtmatbtmxymwwwwwwwww Fijijijijr力 F 與矢徑 r 共線反向，其大小正比于矢徑 r 的模，方向恒指向橢圓中心。這種力稱為有心力。yxxbaOM例10.2 例2 質(zhì)量為1Kg的小球M，用兩繩系住，兩繩的另一端分別連接在固定點(diǎn)A、B，如圖。已知小球以速度v2.5 m/s在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓的

8、半徑r0.5 m, 求兩繩的拉力。解：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，任一瞬時(shí)小球受力如圖。220,12.5nvaam sr方向指向O點(diǎn)。MOrBA4560小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。B60ArOMmgFBFAvan 建立自然坐標(biāo)系得：2sin45sin60(1)0cos45cos60(2)ABABvmFFrmgFF 解得：8.65 N,7.38 NABFF分析: 由(1)、(2)式可得:2222(9.8 32),(29.8)3 131ABFvFv04.9 32.91m sAFv04.92.21m sBFv因此，只有當(dāng) 時(shí)，兩繩才同時(shí)受力。否則將只有其中一繩受力。2.21m/s2.91m/svB60ArO

9、MmgFBFAvanbn 例10.3 例3 從某處拋射一物體，已知初速度為v0，拋射角為a，如不計(jì)空氣阻力，求物體在重力單獨(dú)作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 0vvmg解：研究拋射體, 列直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程2222dd0,ddxymmmgtt 積分后得xyM213241,2xC tCygtC tC初始條件為0000000: 0,cos ,sinxytxyvvvvaaacos0tvx 2021gttvy 軌跡方程為：aa2202cos2vgxxtgy由此可見(jiàn)，物體的軌跡是一拋物線。于是物體的運(yùn)動(dòng)方程為：確定出積分常數(shù)為：102034cos,sin,0CvCvCCaa例10.4 oRHMFx例4 垂

10、直于地面向上發(fā)射一物體，求該物體在地球引力作用下的運(yùn)動(dòng)速度，并求第二宇宙速度。不計(jì)空氣阻力及地球自轉(zhuǎn)的影響。20 xmMGF 由于20RmMGmg 所以MgRG20由直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程得：2222ddxmgRmFtx 由于 ，將上式改寫為22ddddddddddxxxxxvvxvvttxtx解：以物體為研究對(duì)象，將其視為質(zhì)點(diǎn)，建立如圖坐標(biāo)。質(zhì)點(diǎn)在任一位置受地球引力的大小為： 22ddxxvmgRmvxx 分離變量得：22ddxxxmvvmgRx 設(shè)物體在地面發(fā)射的初速度為v0，在空中任一位置x處的速度為v，對(duì)上式積分022ddvxxxvRxmvvmgRx得)11(21212202R

11、xmgRmvmv所以物體在任意位置的速度為：xgRgRvv2202)2(可見(jiàn)物體的速度將隨x的增加而減小。xgRgRvv2202)2(若v02gR，則不論x為多大，甚至為無(wú)限大時(shí)，速度v均不會(huì)減小為零，因此欲使物體向上發(fā)射一去不復(fù)返時(shí)必須具有的最小速度為gRv20若取g9.8 m/s，R6370 km，代入上式可得skmv2 .110這就是物體脫離地球引力范圍所需的最小初速度，稱為第二宇宙速度。例10.5 例5 在重力作用下以仰角a初速度v0拋射出一物體。假設(shè)空氣阻力與速度成正比，方向與速度方向相反，即FR-Cv，C為阻力系數(shù)。試求拋射體的運(yùn)動(dòng)方程。acos0vx acos0v解：以物體為研究

12、對(duì)象，將其視為質(zhì)點(diǎn)。建立圖示坐標(biāo)。在任一位置質(zhì)點(diǎn)受力如圖。由直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程得2222dcoscosddsinsindRRxmFCvtymFmgCvmgt 因?yàn)閐dcos ,sinddxyxyvvvvttv0vMFRmgOyxa將它們代入運(yùn)動(dòng)微分方程，并令 ，得：mC2222dddd0,ddddxxyygtttt 這是兩個(gè)獨(dú)立的線性二階常系數(shù)常微分方程，由常微分方程理論可知，它們的解為1212,ttgxCC eyDD et求導(dǎo)得22,ttxygvCevDe 其中，C1、C2 、D1、D2為積分常數(shù)，由運(yùn)動(dòng)初始條件確定。當(dāng)t0時(shí)，x00，y00；vx0v0cosa，vy0v0sin

13、a代入以上四式，求得001212cossin,vvgCCDDaa 于是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為0cos(1)tvxeaagtegvyt)1 (sin0上式即為軌跡的參數(shù)方程，軌跡如圖所示。由第一式可知軌跡漸近線為 。對(duì)于拋射體的射程：acos0vx 當(dāng)a較大時(shí)， ，當(dāng)a 較小時(shí)，由運(yùn)動(dòng)方程求。 acos0vOA acos0vx acos0vv0vMFRmgOyxa 質(zhì)點(diǎn)的速度公式為0costxvvea0(sin)tyggvvea由上式可見(jiàn)，質(zhì)點(diǎn)的速度在水平方向的投影vx不是常量，而是隨著時(shí)間的增加而不斷減小，當(dāng)t時(shí)，vx；質(zhì)點(diǎn)的速度在y軸上的投影vy，隨著時(shí)間的增加，大小和方向都將變化，當(dāng)t時(shí)，vxg

14、/，方向鉛垂向下。因此，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后將鉛直向下作勻速運(yùn)動(dòng)。例10.6 例6 如圖所示，一細(xì)常桿桿端有一小球M，其質(zhì)量為m，另一端用光滑鉸固定。桿長(zhǎng)為l，質(zhì)量不計(jì)，桿在鉛垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)小球位于鉛垂位置，突然給小球一水平初速度v0，求桿處于任一位置 時(shí)對(duì)球的約束力。解：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，將其視為質(zhì)點(diǎn)。建立圖示的自然坐標(biāo)。由運(yùn)動(dòng)學(xué)知：ls ddsvlttddvalt22nvallOlO1Sv0M(+)n dsindvmmgt 2cosTvmFmglsin(1)mlmg （1）式是一常系數(shù)二階非線性微分方程，其解為橢圓積分，較為復(fù)雜。將其積分一次求出 ，代入（2）式即可求出FT。因?yàn)閐

15、dddddddttt所以dsin dgl 002d()sin d2gl OlO1Sv0mgFTM(+)n 在任一位置質(zhì)點(diǎn)受力如圖。由自然坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程得2cos(2)mlTmg即 得：)cos(cos2121002lg由初始條件：t0時(shí)，00， 代入上式得lv0022022(cos1)(3)vgll將其代入（2）式，得22020cos2(cos1)cos(3cos2)(4)TFmlmgmvglmglmvmgl下面將計(jì)算結(jié)果作進(jìn)一步的討論： 由(3)得) 1(cos2202glvv此式表示桿在任意位置時(shí)球的速度。由此式可知:當(dāng)時(shí)小球才能作圓周運(yùn)動(dòng)，否則球作擺動(dòng)。glv40(4)式給出

16、約束力FT隨 角的變化規(guī)律。當(dāng)0時(shí)，20maxTmvFmgl當(dāng)p 時(shí)，20min5TmvFmgl 若令T = 0，可由(4)式給出約束力為零時(shí)，桿的位置(設(shè)此時(shí)桿的位置用A表示)所滿足的條件0)2cos3(20lmvmgA因此，要使T 0，必須滿足 。glv50即glvA332cos20若glvgl450則0cos1A因此，在區(qū)間 范圍內(nèi)，總存在確定的A值，使小球在這一點(diǎn)不受桿的作用。),2(pp當(dāng)A時(shí)，F(xiàn)T0 ，即小球受壓。例10.7umg s例7：質(zhì)量為 m 長(zhǎng)為 l 的擺在鉛垂面內(nèi)擺動(dòng)。初始時(shí)小球的速度為u , = 0。求繩作用在小球上的力F( ), 并分析小球的運(yùn)動(dòng)。解：1、取研究對(duì)象

17、畫受力圖 2、確定坐標(biāo)系 3、建立微分方程 4、求解 5、分析小球運(yùn)動(dòng)F ngFamm: cossin2mgFmlmgml 運(yùn)動(dòng)微分方程積分上式可得：積分上式可得：lummgF2)2cos3( 分析小球微幅擺動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律0singl sin02w )sin(wtA0, w wluA運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：等時(shí)性（周期與初始條件無(wú)關(guān)）lg2w初始條件：lu00, 0 0 lg 微分方程的通解確定積分常數(shù)解：1、取炮彈為研究對(duì)象,建立矢量方程Rga mm2、建立直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程yxovmgR例8: 建立拋體的運(yùn)動(dòng)微分方程。 設(shè)空氣阻力的大小與速度的平方成正比2222yxycmgymyxxcxm )(v

18、gacvmm運(yùn)動(dòng)微分方程22yxv 炮彈運(yùn)動(dòng)軌跡圖7.70p4.00pm/s,0010,/m0.02Nsc10kg,022vm 飛機(jī)空投物體速度大小隨時(shí)間的變化飛機(jī)空投物體速度大小隨時(shí)間的變化m/s,200,/m0.02Nsckg,5022vm例9: 質(zhì)點(diǎn)與圓柱面間的動(dòng)滑動(dòng)摩擦因數(shù)為 f，圓柱半徑為 r 為1m。（1）建立質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程；（2）分析其運(yùn)動(dòng)。rgmo 解：取質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象解：取質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象FNF nNFFga mm: ) 2(sin) 1 (cos2NFmgmrFmgmr NFfF 由（由（2）式解得：）式解得：sin2mgmrFN代入（代入（1）式得：）式得：)sin(cos2mgmrfmgm