高考數(shù)學(xué)試題庫(kù)及參考答案

1、1.(2012北京,18,13分)已知函數(shù)f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線,求a,b的值;(2)當(dāng)a2=4b時(shí),求函數(shù)f(x)+g(x)的單調(diào)區(qū)間,并求其在區(qū)間(-,-1上的最大值. 2.(2012安徽,19,13分)設(shè)函數(shù)f(x)=aex+b(a>0). (1)求f(x)在0,+)內(nèi)的最小值;(2)設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)(2, f(2)處的切線方程為y=x,求a,b的值. 3.(2012重慶,16,13分)設(shè)f(x)=aln x+x+1,其中ar,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1, f(

2、1)處的切線垂直于y軸. (1)求a的值;(2)求函數(shù)f(x)的極值. 4. (2012大綱全國(guó),20,12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax+cos x,x0,. (1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)設(shè)f(x)1+sin x,求a的取值范圍. 5.(2012湖北,17,12分)已知向量a=(cos x-sin x,sin x),b=(-cos x-sin x,2cos x),設(shè)函數(shù)f(x)=a·b+(xr)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng),其中,為常數(shù),且. （1）求函數(shù)f(x)的最小正周期（2）若y=f(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的取值范圍6.(2012湖北,18,12分)已知等差數(shù)列a

3、n前三項(xiàng)的和為-3,前三項(xiàng)的積為8. (1)求等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若a2,a3,a1成等比數(shù)列,求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和. 8.(2012河北高三模擬，21，12分)設(shè)函數(shù)f(x)=x4+bx2+cx+d,當(dāng)x=t1時(shí), f(x)有極小值. (1)若b=-6時(shí),函數(shù)f(x)有極大值,求實(shí)數(shù)c的取值范圍;(2)在(1)的條件下,若存在實(shí)數(shù)c,使函數(shù)f(x)在閉區(qū)間m-2,m+2上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(3)若函數(shù)f(x)只有一個(gè)極值點(diǎn),且存在t2(t1,t1+1),使f '(t2)=0,證明:函數(shù)g(x)=f(x)-x2+t1x在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)最多有一個(gè)零點(diǎn). 9

4、. (2012沈陽(yáng)高三模擬，21,12分)已知橢圓+=1(a>b>0)與x軸、y軸的正半軸分別交于a、b兩點(diǎn),原點(diǎn)o到直線ab的距離為,該橢圓的離心率為. ()求橢圓的方程;()是否存在過(guò)點(diǎn)p的直線l與橢圓交于m,n兩個(gè)不同的點(diǎn),使=4成立?若存在,求出l的方程;若不存在,說(shuō)明理由. 10.(2013高考仿真試題一，20,12分)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為f,過(guò)點(diǎn)f作直線l與拋物線交于a,b兩點(diǎn),拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)c. (1)證明:acf=bcf;(2)求acb的最大值,并求acb取得最大值時(shí)線段ab的長(zhǎng). 11.(2013高考仿真試題二，20，12分)已

5、知中心在原點(diǎn)o,焦點(diǎn)在x軸上,離心率為的橢圓過(guò)點(diǎn). (1)求橢圓的方程;(2)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)o的直線l與該橢圓交于p,q兩點(diǎn),滿足直線op,pq,oq的斜率依次成等比數(shù)列,求opq面積的取值范圍. 12.(2013高考仿真試題三，20,12分)已知圓x2+y2=1過(guò)橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn),與橢圓有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn),直線y=kx+m與圓x2+y2=1相切,與橢圓+=1相交于a,b兩點(diǎn). 記=·,且. (1)求橢圓的方程;(2)求k的取值范圍;(3)求oab的面積s的取值范圍. 13. (2013高考仿真試題五，21,12分)已知函數(shù)f(x)=aln x+x2-(1+a

6、)x,其中ar. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)0對(duì)定義域內(nèi)的任意x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)證明:對(duì)于任意正整數(shù)m,n,不等式+>恒成立. 14.(2012浙江紹興一中高三十月月考,20,10分）已知,其中(e是自然常數(shù)）.（）求的單調(diào)性和極小值；（）求證：在上單調(diào)遞增；（）求證： .15. (2012江西省臨川一中、師大附中聯(lián)考，20,13分）已知函數(shù)，ar（1）若a4，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）求yf(x)的極值點(diǎn)（即函數(shù)取到極值時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)）16. (2012北京海淀區(qū)高三11月月考，19,14分）已知函數(shù)（）若在處取得極大值，求實(shí)數(shù)的值；（）若，

7、直線都不是曲線的切線，求的取值范圍；（）若，求在區(qū)間上的最大值17.(2012湖北省黃岡中學(xué)高三11月月考，21,14分）已知函數(shù)在上為增函數(shù)，且，（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（3）若在上至少存在一個(gè)，使得成立，求的取值范圍18.（2013湖北黃岡市高三三月質(zhì)量檢測(cè)，22,14分）設(shè).（）若對(duì)一切恒成立，求的最大值.（）設(shè)，且是曲線上任意兩點(diǎn)，若對(duì)任意的，直線ab的斜率恒大于常數(shù)，求的取值范圍；（）求證：.答案理數(shù)1.(1)f '(x)=2ax,g'(x)=3x2+b. 因?yàn)榍€y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線,所以f(1

8、)=g(1),且f '(1)=g'(1). 即a+1=1+b,且2a=3+b. 解得a=3,b=3. (2)記h(x)=f(x)+g(x). 當(dāng)b=a2時(shí),h(x)=x3+ax2+a2x+1,h'(x)=3x2+2ax+a2. 令h'(x)=0,得x1=-,x2=-. a>0時(shí),h(x)與h'(x)的情況如下:x-,-,-,+h'(x)+0-0+h(x)所以函數(shù)h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和;單調(diào)遞減區(qū)間為. 當(dāng)-1,即0<a2時(shí),函數(shù)h(x)在區(qū)間(-,-1上單調(diào)遞增,h(x)在區(qū)間(-,-1上的最大值為h(-1)=a-a2. 當(dāng)-&l

9、t;-1,且-1,即2<a6時(shí),函數(shù)h(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,h(x)在區(qū)間(-,-1上的最大值為h=1. 當(dāng)-<-1,即a>6時(shí),函數(shù)h(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增. 又因h-h(-1)=1-a+a2=(a-2)2>0,所以h(x)在區(qū)間(-,-1上的最大值為h=1. 2.(1)f '(x)=aex-,當(dāng)f '(x)>0,即x>-ln a時(shí), f(x)在(-ln a,+)上遞增;當(dāng)f '(x)<0,即x<-ln a時(shí), f(x)在(-,-ln a)上遞減. (i)當(dāng)0<

10、;a<1時(shí),-ln a>0, f(x)在(0,-ln a)上遞減,在(-ln a,+)上遞增,從而f(x)在0,+)上的最小值為f(-ln a)=2+b;(ii)當(dāng)a1時(shí),-ln a0, f(x)在0,+)上遞增,從而f(x)在0,+)上的最小值為f(0)=a+b. (2)依題意f '(2)=ae2-=,解得ae2=2或ae2=-(舍去). 所以a=,代入原函數(shù)可得2+b=3,即b=. 故a=,b=. 3.(1)因f(x)=aln x+x+1,故f '(x)=-+. 由于曲線y=f(x)在點(diǎn)(1, f(1)處的切線垂直于y軸,故該切線斜率為0,即f '(1)

11、=0,從而a-+=0,解得a=-1. (2)由(1)知f(x)=-ln x+x+1(x>0),f '(x)=-+=. 令f '(x)=0,解得x1=1,x2=-因x2=-不在定義域內(nèi),舍去. 當(dāng)x(0,1)時(shí), f '(x)<0,故f(x)在(0,1)上為減函數(shù);當(dāng)x(1,+)時(shí), f '(x)>0,故f(x)在(1,+)上為增函數(shù). 故f(x)在x=1處取得極小值f(1)=3. 4.(1)f '(x)=a-sin x. (2分)(i)當(dāng)a1時(shí),f '(x)0,且僅當(dāng)a=1,x=時(shí), f '(x)=0,所以f(x)在0,

12、上是增函數(shù);(ii)當(dāng)a0時(shí), f '(x)0,且僅當(dāng)a=0,x=0或x=時(shí), f '(x)=0,所以f(x)在0,上是減函數(shù);(iii)當(dāng)0<a<1時(shí),由f '(x)=0解得x1=arcsin a,x2=-arcsin a. 當(dāng)x0,x1)時(shí),sin x<a, f '(x)>0, f(x)是增函數(shù);當(dāng)x(x1,x2)時(shí),sin x>a, f '(x)<0, f(x)是減函數(shù);當(dāng)x(x2,時(shí),sin x<a, f '(x)>0, f(x)是增函數(shù). (6分)(2)由f(x)1+sin x得f()1,

13、a-11,所以a. 令g(x)=sin x-x,則g'(x)=cos x-. 當(dāng)x時(shí),g'(x)>0,當(dāng)x時(shí),g'(x)<0. 又g(0)=g=0,所以g(x)0,即xsin x. (9分)當(dāng)a時(shí),有f(x)x+cos x. (i)當(dāng)0x時(shí),xsin x,cos x1,所以f(x)1+sin x;(ii)當(dāng)x時(shí), f(x)x+cos x=1+-sin1+sin x. 綜上,a的取值范圍是. (12分)5. (1)因?yàn)閒(x)=sin2x-cos2x+2sin x·cos x+=-cos 2x+sin 2x+=2sin+. 由直線x=是y=f(x)圖

14、象的一條對(duì)稱(chēng)軸,可得sin=±1,所以2-=k+(kz),即=+(kz). 又,kz,所以k=1,故=. 所以f(x)的最小正周期是. (2)由y=f(x)的圖象過(guò)點(diǎn),得f=0,即=-2sin=-2sin=-,即=-. 故f(x)=2sin-,由0x,有-x-,所以-sin1,得-1-2sin-2-,故函數(shù)f(x)在上的取值范圍為-1-,2-. 6. (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則a2=a1+d,a3=a1+2d,由題意得解得或所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得an=2-3(n-1)=-3n+5或an=-4+3(n-1)=3n-7. 故an=-3n+5或an=3n-7. (2)當(dāng)an=-

15、3n+5時(shí),a2,a3,a1分別為-1,-4,2,不成等比數(shù)列;當(dāng)an=3n-7時(shí),a2,a3,a1分別為-1,2,-4,成等比數(shù)列,滿足條件. 故|an|=|3n-7|=記數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和為sn. 當(dāng)n=1時(shí),s1=|a1|=4;當(dāng)n=2時(shí),s2=|a1|+|a2|=5;當(dāng)n3時(shí),sn=s2+|a3|+|a4|+|an|=5+(3×3-7)+(3×4-7)+(3n-7)=5+=n2-n+10. 當(dāng)n=2時(shí),滿足此式,綜上,sn=7.(1)當(dāng)n=kn+時(shí),sn=-n2+kn取最大值,即8=sk=-k2+k2=k2,故k2=16,因此k=4,從而an=sn-sn-1=-

16、n(n2). 又a1=s1=,所以an=-n. (2)因?yàn)閎n=,tn=b1+b2+bn=1+,所以tn=2tn-tn=2+1+-=4-=4-. 8.(1)因?yàn)閒(x)=x4+bx2+cx+d,所以f '(x)=x3-12x+c. 設(shè)h(x)=x3-12x+c,(2分)由題意知,方程h(x)=0有三個(gè)互異的實(shí)根,h'(x)=3x2-12,令h'(x)=0,得x=±2. x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)h'(x)+0-0+h(x)增c+16(極大值)減c-16(極小值)增所以故-16<c<16. span (4<>分)(

17、2)存在c(-16,16),使f '(x)0,即x3-12x-c,所以x3-12x>-16,即(x-2)2(x+4)>0,(*)在區(qū)間m-2,m+2上恒成立. (6分)所以m-2,m+2是不等式(*)解集的子集,所以或m-2>2,即-2或m>4. (8分)(3)證明:由題設(shè),可得存在,r,使f '(x)=x3+2bx+c=(x-t1)(x2+x+),且x2+x+0恒成立. (9分)又f '(t2)=0,且在x=t2兩側(cè)同號(hào),所以f '(x)=(x-t1)(x-t2)2. (10分)另一方面,g'(x)=x3+2bx+c-(x-t1

18、)=x3+(2b-1)x+t1+c=(x-t1)(x-t2)2-1. 因?yàn)閠12,且t2-t1<1,所以-11-t22<0. 所以0<(x-t2)2<1,所以(x-t2)2-1<0,而x-t1>0,所以g'(x)<0,所以g(x)在(t1,t2)內(nèi)單調(diào)遞減. 從而g(x)在(t1,t2)內(nèi)最多有一個(gè)零點(diǎn). (12分)9.()由題意得,直線ab的方程為bx+ay-ab=0(a>b>0),(1分)由=及=,得a=2,b=1. (3分)所以橢圓的方程為+y2=1. (4分)()當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),m(0,-1),n(0,1),易知符合

19、條件,此時(shí)直線l的方程為x=0. (6分)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+,代入+y2=1得(9+36k2)x2+120kx+64=0. 由=14 400k2-256(9+36k2)>0,解得k2>. 設(shè)m(x1,y1),n(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=,(9分)由=4得x1=4x2,(10分)由消去x1,x2,得=,即=1,無(wú)解. 綜上,存在符合條件的直線l,且其方程為x=0. (12分)10.(1)證明:由題設(shè)知,f,c,設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),直線l的方程為x=my+,代入拋物線方程y2=2px,得y2-2pmy-p2=0. 則y1

20、+y2=2pm,y1y2=-p2. (4分)不妨設(shè)y1>0,y2<0,則tanacf=,tanbcf=-=-,tanacf=tanbcf,又acf,bcf(0,),acf=bcf. (8分)(2)如(1)所設(shè)y1>0,tanacf=1,當(dāng)且僅當(dāng)y1=p時(shí)取等號(hào),此時(shí)acf取最大值,acb=2acf取最大值,并且a,b,|ab|=2p. (12分)失分警示:(1)不能準(zhǔn)確地得出acf與bcf的正切值. (2)沒(méi)有注意到acf取得最大值時(shí),y1=p. 11.(1)由題意可設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0),則解得所以橢圓方程為+y2=1. (4分)(2)由題意可知,直線

21、l的斜率存在且不為0,op,oq的斜率存在,故可設(shè)直線l的方程為y=kx+m(m0且m±1),p(x1,y1),q(x2,y2),由消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)>0,且x1+x2=,x1x2=. 故y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2. 因?yàn)橹本€op,pq,oq的斜率依次成等比數(shù)列,所以·=k2,即+m2=0,又m0,所以k2=,即k=±. 又m±1,且>0,02<2且m21. 又sopq=|x

22、1-x2|m|=|m|=,所以sopq的取值范圍為(0,1). (12分)失分警示:根據(jù)直線op、pq、oq的斜率依次成等比數(shù)列求出k的值,從而用m表示出sopq. 12.(1)由題意知2c=2,c=1. 因?yàn)閳A與橢圓有且只有兩個(gè)公共點(diǎn),從而b=1,故a=,所以所求橢圓方程為+y2=1. (3分)(2)因?yàn)橹本€l:y=kx+m與圓x2+y2=1相切,所以原點(diǎn)o到直線l的距離為=1,即m2=k2+1. (5分)由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0. 設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=. (7分)=·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k

23、m(x1+x2)+m2=,由,得k21,即k的取值范圍是. (9分)(3)|ab|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=2-,由k21,得|ab|. (11分)設(shè)oab的ab邊上的高為d,則s=|ab|d=|ab|,所以s. (12分)失分警示:(1)沒(méi)有將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)式;(2)計(jì)算時(shí)不細(xì)心或不耐心. 13.f '(x)=+x-(1+a)=. (1)當(dāng)a0時(shí),若0則f '(x)<0,若x>1,則f '(x)>0,故此時(shí)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+);當(dāng)0時(shí),隨著x的變化

24、, f '(x),f(x)的變化情況如下表:x(0,a)a(a,1)1(1,+)f '(x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,a),(1,+),單調(diào)遞減區(qū)間是(a,1). 當(dāng)a=1時(shí),f '(x)=0,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+);當(dāng)a>1時(shí),同理可得,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),(a,+),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,a). (4分)(2)由于f(1)=-a,顯然當(dāng)a>0時(shí), f(1)<0,此時(shí)f(x)0不是恒成立的;當(dāng)a0時(shí),根據(jù)(1)知,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+)上的極小值

25、,也是最小值,為f(1)=-a,此時(shí)只要f(1)0即可,解得a-,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是. (7分)(3)證明:由(2)得,當(dāng)a=-時(shí), f(x)=-ln x+x2-·x0,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立,即ln xx2-x,當(dāng)x>1時(shí),可以變換為>=,(9分)在上面不等式中分別令x取m+1,m+2,m+n,然后不等式兩邊再相加得+>+=+=-=. 所以+>. (12分)失分警示:(1)忽略a=1的情形;(2)在證明第(3)問(wèn)時(shí),沒(méi)有注意到(2)的結(jié)論. 14.（）函數(shù)的定義域是，令，解得；令，解得.當(dāng)變化時(shí)，的變化如下表所示：1-0+0極小值由表知，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間

26、是，單調(diào)遞增區(qū)間是，的極小值為. -（4分）（）函數(shù)的定義域是，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù). -（7分）（）由（）知函數(shù)在上的最小值為，由（）知函數(shù)在上的最大值是，即不等式成立. -（10分）15.（1）函數(shù)的定義域是.，.3分令，解得；令，解得.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1,3），單調(diào)遞減區(qū)間為（3,+）. .5分（2）函數(shù)的定義域是，.，此時(shí)函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，不存在極值點(diǎn). .7分當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程令，解得，9分則，若，則，令，解得；令，解得，或.當(dāng)變化時(shí)，的變化如下表所示：-0+0-極小值極大值由表知，函數(shù)的極小值點(diǎn)；極大值點(diǎn)是.11分若，令，解得；令，解得.當(dāng)變化時(shí)，的變化如下表所示：+

27、0-極大值由表知，函數(shù)的極大值點(diǎn)是，不存在極小值點(diǎn).12分綜上所得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極大值點(diǎn)是，不存在極小值點(diǎn). .13分16.（），2分令，解得，令，解得或；令，解得.當(dāng)變化時(shí)，隨的變化情況如下表：00增極大值減極小值增4分由表知，函數(shù)在處取得極大值，所以. 5分（ii），6分因?yàn)?，直線都不是曲線的切線，所以對(duì)成立，7分則只要的最小值，所以. 8分(iii) ，因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，對(duì)成立，在r上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值；9分當(dāng)時(shí)，在時(shí)，是增函數(shù)，在時(shí)，是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值；10分當(dāng)時(shí)，在時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值；11分

28、當(dāng)時(shí)，在時(shí)，是減函數(shù)，在時(shí)，是增函數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，在取得最大值，當(dāng)時(shí)，在取得最大值，當(dāng)時(shí)，在，處都取得最大值. 綜上所得，當(dāng)或時(shí)，取得最大值；當(dāng)時(shí)，在，處都取得最大值；當(dāng)時(shí)，在取得最大值；當(dāng)時(shí)，取得最大值. 14分17.（1），又函數(shù)在上為增函數(shù)，即恒成立，在上恒成立，即在上恒成立，又在的最大值是1，又，僅有. 4分（2），令，解得，令，解得；令，解得.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)變化時(shí)，、的變化情況如下表：+0極大值由表知函數(shù)的極大值，不存在極小值. 9分（3）由（1）知，則，.令，,當(dāng)時(shí)，恒有，此時(shí)不存在使得，即此時(shí)不存在使得成立；當(dāng)時(shí)，又，在上恒成立，在上是增函數(shù)，又在上至少存在一個(gè)，使得成立，即恒成立，必有，解得，綜上所得，的取值范圍為 14分18.（）f（x）=ex-a（x+1），f（x）=ex-a， a0，f（x）=ex-a=0的解為x=lnaf（x）min=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna， f（x）0對(duì)一切xr恒成立，-alna0，alna0，amax=1（）設(shè)是任意的兩實(shí)數(shù)，且，故，不