數(shù)學(xué)建模股票的選擇和最有價值投資方案

1、基金公司投資問題模型摘 要：針對投資公司提出的問題，首先求出每支股票過去若干年的時間加權(quán)年收益率，對其求均值和方差，利用變異系數(shù)從各種投資股票中選出最有投資價值的股票和投資價值較高的10支股票。接下來根據(jù)2012年最后兩個月股票每日價格的上漲（下跌）計算一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，利用馬爾柯夫隨機過程理論預(yù)測2013年每支股票的上漲概率。其次參照層次分析法的求解模型，權(quán)衡收益率和風(fēng)險，對這10支股計算合理的投資權(quán)重，做出10種股票的最佳投資策略，合理分配投資金額，降低投資風(fēng)險，獲得更大的效益。最后在已知預(yù)期收益率的前提下，根據(jù)馬克維茲的均值方差模型，問題可轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃求解，利用LINGO軟件求出最終結(jié)

2、果。關(guān)鍵字：時間加權(quán)收益率 變異系數(shù) 馬爾柯夫隨機過程理論 層次分析法 馬克維茲的均值方差模型 二次規(guī)劃1 基金公司投資問題模型1、 問題重述某基金管理公司現(xiàn)有50000萬元于2013年1月1日投資附表1中列出的50種股票，于2013年12月31日之前全部賣出所持有的股票。請你為該基金公司提出投資方案。公司經(jīng)理要求回答以下問題：1. 以我國經(jīng)濟形勢與行業(yè)變化的分析為背景，從附表所羅列的50種股票尋中 尋找一個你認為最有投資價值的股票做一估值報告。2. 從附表所羅列的50種股票選出10種股票進行投資，請你預(yù)估這10種股票2013年的上漲幅度或者通過其他途徑獲取這10種股票的上漲幅度。3. 通過建

3、立數(shù)學(xué)模型確定最優(yōu)投資組合的決策，也就是確定在選出的10種股票的分別投資多少萬元？投資組合的總風(fēng)險是多少？4. 基金公司經(jīng)理要求至少獲得25%預(yù)期收益，最小風(fēng)險是多少？5. 請你為基金公司經(jīng)理撰寫一份投資報告。二、模型假設(shè)與符號說明2.1 模型假設(shè)1. 投資期間社會政策無較大變化經(jīng)濟發(fā)展形勢較穩(wěn)定；2. 投資期間的交易費用不計；3. 基金公司在年初投資股票，年末獲得收益，期間不的撤資或追加投資；4. 基金投資公司期望收益率（亦稱收益率均值）來衡量未來實際收益率的 總體水平，以收益率的方差（或標準差）來衡量收益率的不確定性（風(fēng)險），因而投資公司在決策中只關(guān)心投資的期望收益率和方差。5. 投資公司

4、都是不知足的和厭惡風(fēng)險的，遵循占優(yōu)原則，即：在同一風(fēng)險水平下，選擇收益率較高的股票；在同一收益率水平下，選擇風(fēng)險較低的股票。2.2 符號說明 （i=1,2,.n） ：各種可投資的股票 ：若干年的收益率的均值（期望收益率） ：若干年的收益率的方差 ：的變異系數(shù)（亦稱方差系數(shù)、標準差系數(shù)、標準離差率） ：期望收益率向量 ：協(xié)方差矩陣 ：協(xié)方差矩陣的第i行第j列的元素 ：一種股票的第n天的價格 ：股票價格的一步概率轉(zhuǎn)移矩陣 ：回報風(fēng)險判斷矩陣 ：的最大特征值 ：對應(yīng)的特征向量 ：的歸一化向量的轉(zhuǎn)置 ：10個投資項目的回報判斷矩陣 ：10個投資項目的風(fēng)險判斷矩陣 ：對應(yīng)的最大特征值的特征向量 ：對應(yīng)的

5、最大特征值的特征向量 ：已知投資權(quán)重的風(fēng)險值 ：已知收益率情況下的風(fēng)險值 3、 問題分析證劵投資者最關(guān)心的問題是投資收益率的高低及投資風(fēng)險的大小。由于投資的收益率受證券市場波動的影響因而可以將其看作一個隨機變量。我們用一定時期（一年）內(nèi)股票的時間加權(quán)收益率X的期望值E(X)來衡量該種股票投資的獲利能力，期望值越大，股票的獲利能力越強；股票的風(fēng)險用該種股票投資收益率的方差D(X)（收益的不確定性）來衡量，方差越小，投資的風(fēng)險越小。投資者在選擇投資策略時，有三種情況：（1）投資公司只能在既定收益率的情況下使投資風(fēng)險盡可能小的投資策略；（2）公司在愿意承受的風(fēng)險水平的情況下追求使收益率盡可能大的投資

6、目標；（3）權(quán)衡收益與風(fēng)險的利弊，綜合考慮。降低風(fēng)險的有效途徑是組合投資方式。由于已知的數(shù)據(jù)和該公司的情況有限，綜合各種因素，將第三種作為首選的投資方案。3.1問題(1)和問題(2)的分析 最有投資價值的股票即時間加權(quán)收益率的期望值E(X)大且方差D(X)小且投資方向與我國未來經(jīng)濟形勢大致相符的股票。從每支股票過去若干年的數(shù)據(jù)中算出每年的時間加權(quán)收益率（下面簡稱收益率），然后計算出它們的期望，即期望收益率。再計算出它們的方差，從而得出標準差。最后用股票變異系數(shù)對股票進行排序。股票變異系數(shù)=時間加權(quán)收益率的標準差/期望收益率，且股票變異系數(shù)越小，表示股票相對風(fēng)險小，收益率高，越有投資價值。預(yù)測股

7、票未來的上漲幅度，我我們用馬爾柯夫隨機過程理論進行預(yù)測。3.2問題（3）和(4)的分析問題(3)：確定投資的10支股票后，若想合理分配投資資金，需通過適當?shù)姆椒ㄓ嬎愠雒恐Ч善钡臋?quán)重，根據(jù)權(quán)重乘以總投資額，即得該股票的投資金額。該問題可通過層次分析法計算股票的投資權(quán)重，從而解決問題。問題(4)：在預(yù)期收益不低于25%的情況下使股票投資的風(fēng)險最小，可采用著名的馬克維茲均值方差模型。由于均值方差模型是一個二次規(guī)劃問題，可用現(xiàn)成的的軟件（如LINGO9.0）進行求解。四、模型建立與求解4.1問題（1）和（2）的模型建立與求解 由對問題（1）和（2）分析，通過對每支股票過去若干年數(shù)據(jù)，利用復(fù)利的思想，計

8、算出每年的時間加權(quán)收益率，公式(1)如下: （1）其中為每支股票每年的時間加權(quán)收益率，為股票日收益率。 一支股票過去若干年的收益率的期望 （i表示第i支股票）一支股票過去若干年的加權(quán)收益率的方差 （i表示第i只支票）在知道每支股票收益率的期望 和方差后，給出一個變異系數(shù)，用它來度量股票的相對風(fēng)險。計算公式如下： （2） 表示第i支股票的變異系數(shù)。為了篩選出最具投資價值的股票，由投資價值的倆個因素：收益率高（期望收益率度量）和風(fēng)險?。ǚ讲疃攘浚?，計算出每支股票的，找出最具投資價值的十支股票。由于給出原始數(shù)據(jù)的年份不統(tǒng)一，我們截取重疊年份較多即2008-2012年的數(shù)據(jù)，則對原始數(shù)據(jù)處理后得出表（

9、1）。 表（1）：股票的期望收益、標準差、變異系數(shù)08年后的平均收益率08年后的標準差08年后的變異系數(shù)600000浦發(fā)銀行1.9524 2.7092 1.3876 600010包鋼股份0.0931 0.3451 3.7080 600015華夏銀行0.0459 0.2951 6.4302 600016民生銀行0.0145 0.6145 42.2896 600019寶鋼股份0.0609 0.4956 8.1390 600028中國石化0.0241 0.4970 20.6111 600030中信證券-0.0335 0.4995 -14.9034 600031三一重工-0.0385 0.8098 -

10、21.0502 600036招商銀行0.0124 0.2430 19.5874 600048保利地產(chǎn)-0.0756 0.3660 -4.8410 600050中國聯(lián)通-0.0829 0.2787 -3.3622 600058五礦發(fā)展0.0679 0.3947 5.8136 600104上汽集團0.3996 1.6303 4.0799 600111包鋼稀土0.3143 1.3452 4.2800 600123蘭花科創(chuàng)0.0717 1.2062 16.8254 600188兗州煤業(yè)0.1855 0.6954 3.7498 600256廣匯能源0.1680 0.7240 4.3099 600348陽

11、泉煤業(yè)0.3251 1.6052 4.9379 600362江西銅業(yè)0.3138 1.1008 3.5080 600489中金黃金-0.2544 0.3242 -1.2745 600519貴州茅臺-0.0010 0.3754 -382.0668 600547山東黃金-0.3454 0.4496 -1.3018 600549廈門鎢業(yè)0.3730 0.6902 1.8505 600585海螺水泥-0.2109 0.6258 -2.9674 600837海通證券0.3072 1.0494 3.4164 600887伊利股份0.3072 1.0494 3.4164 601006大秦鐵路-0.0538

12、0.1571 -2.9186 601088中國神華0.0800 0.4084 5.1026 601166興業(yè)銀行0.1467 0.8383 5.7160 601169北京銀行0.0756 0.5517 7.3009 601288農(nóng)業(yè)銀行0.0028 0.0497 18.0053 601299中國北車-0.0983 0.2964 -3.0146 601318中國平安0.1740 0.5477 3.1482 601328交通銀行-0.1611 0.6338 -3.9334 601336新華保險-0.0050 0.0814 -16.4028 601398工商銀行0.0254 0.2697 10.60

13、92 601601中國太保0.1588 0.5168 3.2552 601628中國人壽0.0392 0.3614 9.2245 601668中國建筑-0.1115 0.2893 -2.5947 601669中國水電-0.1743 0.0880 -0.5051 601688華泰證券-0.2310 0.3377 -1.4618 601699潞安環(huán)能0.3524 1.2010 3.4076 601766中國南車0.0313 0.2941 9.3877 601800中國交建-0.2299 /601818光大銀行-0.0658 0.1923 -2.9210 601857中國石油-0.1678 0.35

14、80 -2.1335 601898中煤能源0.0394 0.4530 11.4907 601899紫金礦業(yè)-0.5935 1.5399 -2.5945 601901方正證券-0.1521 0.1970 -1.2950 601989中國重工-0.1016 0.4361 -4.2943 由上表數(shù)據(jù)給出篩選的標準：若<0,表示近些年該股票的收益下降，排除；>0且越趨向1，表示該股票變異特性弱，風(fēng)險小，收益率高。 所以， 選擇股票600000浦發(fā)銀行作為2013年最有投資價值的股票。 十支股票的上漲幅度建立模型與求解： 我們要預(yù)計股票的上漲幅度，可根據(jù)轉(zhuǎn)移概率矩陣，用馬爾柯夫預(yù)測方法進行預(yù)

15、測。 設(shè)表示一種股票的第n天的價格，令，以-1，0，1分別表示<-0.1，-0.1<=<=0.1，>0.1。連續(xù)觀察該種股票2014年的最后40天的變化。假設(shè)，n>=1具有齊次馬爾柯夫性，求，n>=1的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。其中 假設(shè)40個數(shù)據(jù)中-1-1有a次，-10有b次，-11有c次，0-1有d次，00有e次，01有f次，1-1有g(shù)次，10有h次，11有i次。所以，n>=1的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣當n比較大時，即按照這個趨勢發(fā)展下去，長期趨勢比較穩(wěn)定，其中： j表示該股票下跌的概率； k表示該股票持平的概率； l表示該股票上漲的概率；由統(tǒng)計的數(shù)據(jù)對每支股票運

16、用該模型預(yù)測出2013每支股票股票的上漲幅度，如表（2）。 表（2）：2013最具投資價值的十支股票及預(yù)測上漲幅度股票08年后的平均收益率08年后的標準差08年后的變異系數(shù)上漲概率(上漲幅度）600000浦發(fā)銀行1.9524 2.7092 1.3876 0.5250 600010包鋼股份0.0931 0.3451 3.7080 0.1268 600104上汽集團0.3996 1.6303 4.0799 0.5610 600111包鋼稀土0.3143 1.3452 4.2800 0.5252 600188兗州煤業(yè)0.1855 0.6954 3.7498 0.3410 600256廣匯能源0.16

17、80 0.7240 4.3099 0.2927 600362江西銅業(yè)0.3138 1.1008 3.5080 0.0017 601601中國太保0.1588 0.5168 3.2552 0.4240 601699潞安環(huán)能0.3524 1.2010 3.4076 0.0017 600887伊利股份0.3072 1.0494 3.4164 0.2821 4.2問題（3）和（4）的模型建立與求解畫層次結(jié)構(gòu)圖： 最佳組合目標層 風(fēng)險低 回報高準則層 10789654321方案層其中110分別表示的股票如下：1600000浦發(fā)銀行2600010包鋼股份3600104上汽集團4600111包鋼稀土5600

18、188兗州煤業(yè)6600256廣匯能源7600362江西銅業(yè)8601601中國太保9601699潞安環(huán)能10600887伊利股份首先我們在準則層對方案層進行賦權(quán)（由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到的回報風(fēng)險比重），我們采用兩兩比較判斷法：投資決策準則層對目標層的兩兩比較表 回報風(fēng)險回報1.00000.3751風(fēng)險2.66601.0000在這張表中，a12=2/1,它表示回報與風(fēng)險對投資比例的選擇這個目標來說的重要之比為2:1.由此我們得到一個比較判斷矩陣 并稱之為正互反矩陣。N階正互反矩陣的特點是： 正互反矩陣一定存在一個最大的正特征值 ，并且所對應(yīng)的特征向量 X為正向量。即 ，將 歸一化變?yōu)闄?quán)向量 。v,d=ei

19、g(X)可求出最大特征值 ，對應(yīng)的特征向量經(jīng)過歸一化得， 就是準則層對目標層的排序向量。用相同的方法，給出第三層（方案層）對第二層（準則層）的每一準則比較判斷矩陣，由此求出各排序向量（最大特征值所對應(yīng)的特征向量并歸一化）B1=B2=和P1= P2=最后，我們將由各準則層對目標的權(quán)向量W和各方案對每一準則的權(quán)向量，計算各方案對目標的權(quán)向量，稱為組合權(quán)向量。組合權(quán)向量為:若記p= 則根據(jù)矩陣的乘法，可得 =上述結(jié)果可得：表（3）：10個投資項目的投資比例投資權(quán)重投資金額w10.2996 14980w20.0282 1410w30.1304 6520w40.1066 5330w50.0566 283

20、0w60.0573 2865w70.0909 4545w80.0434 2170w90.0998 4990w100.0872 4360和1.0000 50000根據(jù)問題（4）建立的馬克維茲均值方差模型，由模型中的運用MATLAB求出投資組合的總風(fēng)險。程序如下： w1=0.2996;w2=0.0282;w3=0.1304;w4=0.1066;w5=0.0566; w6=0.0573;w7=0.0909;w8=0.0434;w9=0.0998;w10=0.0872;=0.5318*w12-0.0669*w1*w2+0.1351*w1*w3+0.4371*w1*w4+0.2696*w1*w5+0.4

21、064*w1*w6+0.1850*w1*w7+0.0286*w1*w8+0.2265*w1*w9+0.18408*w1*w10+0.0021*w2*w2-0.0084*w2*w3-0.0274*w2*w4-0.0169*w2*w5-0.0255*w2*w6-0.0116*w2*w7-0.0017*w2*w8-0.0142*w2*w9-0.0115*w2*w10+0.0085*w3*w3+0.0555*w3*w4+0.0342*w3*w5+0.0516*w3*w6+0.0235*w3*w7+0.0036*w3*w8+0.0287*w3*w9+0.0233*w3*w10+0.0898*w4*w4+

22、0.1108*w4*w5+0.1670*w4*w6+0.0760*w4*w7+0.0117*w4*w8+0.0931*w4*w9+0.0756*w4*w10+0.0341*w5*w5+0.1030*w5*w6+0.0469*w5*w7+0.0072*w5*w8+0.0574*w5*w9+0.0466*w5*w10+0.0776*w6*w6+0.0707*w6*w7+0.0109*w6*w8+0.0866*w6*w9+0.0703*w6*w10+0.0160*w7*w7+0.0049*w7*w8+0.0394*w7*w9+0.0320*w7*w10+0.0004*w8*w8+0.0061*w8*

23、w9+0.0049*w8*w10+0.0241*w9*w9+0.0392*w9*w10+0.0159*w102; (3)結(jié)果：F=0.0949所以此時的投資組合的總風(fēng)險為0.0949。由問題（4）的分析建立馬克維茲均值方差模型求解： 十種股票的期望收益率向量及協(xié)方差矩陣可由原始統(tǒng)計數(shù)據(jù)估計出來。一般來說，若n種股票，m年投資的收益率統(tǒng)計數(shù)據(jù)為則可以根據(jù)這些統(tǒng)計數(shù)據(jù)作為樣本，求出及（i,j=1,2,.n）的估計值。記 （i=1,2,.,n) （i,j=1,2,.n）用樣本矩作為總體矩的點估計，則 ， （i,j=1,2,.n）所以，可得及的估計 由上表（）的數(shù)據(jù)，可算得期望收益率向量及協(xié)方差矩陣分

24、別為 在投資的期望收益率至少為25%的前提下，使投資的風(fēng)險最小。因此可以建立組合股票投資決策的均值方差模型：min=0.5318*w12-0.0669*w1*w2+0.1351*w1*w3+0.4371*w1*w4+0.2696*w1*w5+0.4064*w1*w6+0.1850*w1*w7+0.0286*w1*w8+0.2265*w1*w9+0.18408*w1*w10+0.0021*w2*w2-0.0084*w2*w3-0.0274*w2*w4-0.0169*w2*w5-0.0255*w2*w6-0.0116*w2*w7-0.0017*w2*w8-0.0142*w2*w9-0.0115*w

25、2*w10+0.0085*w3*w3+0.0555*w3*w4+0.0342*w3*w5+0.0516*w3*w6+0.0235*w3*w7+0.0036*w3*w8+0.0287*w3*w9+0.0233*w3*w10+0.0898*w4*w4+0.1108*w4*w5+0.1670*w4*w6+0.0760*w4*w7+0.0117*w4*w8+0.0931*w4*w9+0.0756*w4*w10+0.0341*w5*w5+0.1030*w5*w6+0.0469*w5*w7+0.0072*w5*w8+0.0574*w5*w9+0.0466*w5*w10+0.0776*w6*w6+0.070

26、7*w6*w7+0.0109*w6*w8+0.0866*w6*w9+0.0703*w6*w10+0.0160*w7*w7+0.0049*w7*w8+0.0394*w7*w9+0.0320*w7*w10+0.0004*w8*w8+0.0061*w8*w9+0.0049*w8*w10+0.0241*w9*w9+0.0392*w9*w10+0.0159*w102 （4）s.t.(1)1.9524*w1+0.09301*w2+0.3996*w3+0.3143*w4+0.1855*w5+0.1679*w6+0.3138*w7+0.1588*w8+0.3524*w9+0.2072*w10>=0.25

27、 (2)w1+w2+w3+w4+w5+w6+w7+w8+w9+w10=1 （3)w1>=0，w2>=0,w3>=0,w4>=0,w5>=0,w6>=0,w7>=0,w8>=0,w9>=0,w10>=0用LINGO9.0求解，輸出結(jié)果： Feasible solution found. Total solver iterations: 11 Variable Value min 0.4058115E-01 W1 0.1170027 W2 0.1065601 W3 0.1029898 W4 0.8933506E-01 W5 0.94652

28、50E-01 W6 0.8907780E-01 W7 0.9970198E-01 W8 0.1038466 W9 0.9848964E-01 W10 0.9834379E-01 Row Slack or Surplus 1 0.000000 2 0.1929561 3 0.000000因此，得w1=0.1170, w2=0.1066, w3=0.1030, w4=0.0893, w5=0.0947w6=0.0891,w7=0.0997, w8=0.1038, w9=0.0985, w10=0.0983min=0.0406 表（4）：2013年基金投資公司在至少獲利25%下的投資報告股票名稱投資

29、比例投資金額（萬元）600000浦發(fā)銀行11.70%5850600010包鋼股份10.66%5330600104上汽集團10.30%5150600111包鋼稀土8.93%4465600188兗州煤業(yè)9.47%4735600256廣匯能源8.91%4455600362江西銅業(yè)9.97%4985601601中國太保10.38%5190601699潞安環(huán)能9.85%4925600887伊利股份9.83%4915 最小投資風(fēng)險為：min=0.04064.3問題（3）層次分析模型的檢驗 n階正互反矩陣為一致矩陣當且僅當其最大特征根 =n ，問題（3）中的矩陣A和B均為一致矩陣。（矩陣A：最大特征跟=矩陣

30、A的階數(shù)=2，矩陣B：最大特征跟=矩陣B的階數(shù)=10）。一致性越高，最大特征根對應(yīng)的標準化特征向量就越能反映出各層次對上一層次的影響中所占的比重。 五、主要結(jié)果 問題（1）的結(jié)果：根據(jù)我們的的評判方法，結(jié)合50種股票最近五年的年平均收益和交易額以及變異系數(shù)，我們認為股票“600000浦發(fā)銀行”為2013年最有投資價值的股票。 問題（2）的結(jié)果： 表（5）：2013最具投資價值的十支股票及預(yù)測上漲幅度股票08年后的平均收益率08年后的標準差08年后的變異系數(shù)上漲概率(上漲幅度）600000浦發(fā)銀行1.9524 2.7092 1.3876 0.5250 600010包鋼股份0.0931 0.345

31、1 3.7080 0.1268 600104上汽集團0.3996 1.6303 4.0799 0.5610 600111包鋼稀土0.3143 1.3452 4.2800 0.5252 600188兗州煤業(yè)0.1855 0.6954 3.7498 0.3410 600256廣匯能源0.1680 0.7240 4.3099 0.2927 600362江西銅業(yè)0.3138 1.1008 3.5080 0.0017 601601中國太保0.1588 0.5168 3.2552 0.4240 601699潞安環(huán)能0.3524 1.2010 3.4076 0.0017 600887伊利股份0.3072 1

32、.0494 3.4164 0.2821 問題（3）的結(jié)果： 表（6）：10個投資項目的投資比例投資權(quán)重投資金額w10.2996 14980w20.0282 1410w30.1304 6520w40.1066 5330w50.0566 2830w60.0573 2865w70.0909 4545w80.0434 2170w90.0998 4990w100.0872 4360和1.0000 50000 十支股票的組合投資風(fēng)險：F=0.0949問題（4）（5）的結(jié)果： 表（7）：2013年基金投資公司在至少獲利25%下的投資報告股票名稱投資比例投資金額（萬元）600000浦發(fā)銀行11.70%5850600010包鋼股份10.66%5330600104上汽集團10.30%5150600111包鋼稀土8.93%4465600188兗州煤業(yè)9.47%4735600256廣匯能源8.