中科院歷年高數(shù)甲_高數(shù)A真題

1、中國科學(xué)院中國科技大學(xué)2010年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試卷試卷名稱：高等數(shù)學(xué)（A）考生須知：1. 本試卷滿分150分，全部考試時間總計180分鐘。2. 所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷紙或草稿紙上一律無效。_1、 選擇題（每題只有一個答案是正確的，每小題5分，共25分）（1）當(dāng)時，是（ ） A. 無窮小量 B. 無窮大量 C. 有界且非無窮小量 D. 無窮且非無窮大量（2） 設(shè)可微且滿足，則曲線在處的切線斜率為（ ）A . B. C . D. （3）二元函數(shù)在處的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在是在處可微的（ ） A. 充分條件 B. 必要條件 C. 充分必要條件 D. 既非充分也非必要條件 （4）正

2、項級數(shù)收斂的充分條件是（ ） A . B. C. 收斂 D. 收斂 （5）下列廣義積分中發(fā)散的是（ ） A. B. C. D. 二、填空題（每小題5分，共25分） （1）_。 （2）曲線和軸圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積是_。 （3）二重積分_。 （4）平面與橢圓柱面相交所成的橢圓的面積為_。 （5）向量場的旋度為_。 三、（8分）設(shè)二元函數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，關(guān)系式 可確定函數(shù)及 求及。 四、（8分）設(shè)滿足條件，。 （1）求； （2）求不定積分。 五、（8分）求冪級數(shù)的收斂半徑和函數(shù)。 六、（8分）求微分方程的通解。 七、（12分）設(shè)在中有連續(xù)二階導(dǎo)函數(shù)。 （1）證明：； （2）當(dāng)，且

3、時，試證：。 八、（12分）計算曲線積分，其中是以為起點 ，以為終點的上半圓周。 九、（12分）計算曲面積分，其中是有向曲面，其法向量與軸正方向夾角為銳角。 十、（12分）設(shè)是以為周期的偶函數(shù)，當(dāng)時，。 （1）將在上展開成傅里葉級數(shù)； （2）根據(jù)（1）求和。 十一、（10分）設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上可微，。當(dāng)時，證明恒等于。 十二、（10分）設(shè)在上一致連續(xù)，證明在上有界.舉例說明逆命題不成立。 中國科學(xué)院中國科技大學(xué)2009年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試卷試卷名稱：高等數(shù)學(xué)（A）考生須知：1.本試卷滿分150分，全部考試時間總計180分鐘。2.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷紙或草稿紙上一律

4、無效。_1、 單項選擇題（每題5分，共25分） 1.如果函數(shù)，在點附近有定義，下列四個論斷正確的是（ ） A. 若，則存在，使得在上嚴(yán)格單調(diào)； B. 若在點取到極大值，則在點左側(cè)單調(diào)增、右側(cè)單調(diào)減； C. 若，在點處可導(dǎo)，則在點處可導(dǎo)的充要條件是； D. 若和都在點取到極大值，則函數(shù)在點必取到極大值。 2.當(dāng)時，下列四個無窮小量階數(shù)最高的是（ ） A. B. C. D. 3.設(shè) ，則在處（ ） A. 不連續(xù)； B. 連續(xù)，但不可導(dǎo)； C. 可導(dǎo)，但導(dǎo)函數(shù)不連續(xù)； D. 可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)連續(xù)。4. 設(shè)，當(dāng)時為如下四式之一，則在點 處兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在的是（ ） A. B. C. D. 5.下列四個論

5、斷正確的是（ ） A. 若對所有自然數(shù)，滿足，則正項級數(shù)收斂； B. 若對所有自然數(shù)，滿足，則正項級數(shù)收斂； C. 若正項級數(shù)收斂，則； D. 若單調(diào)減，且級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)收斂。2、 填空題（每題5分，共25分） 6.方程的通解為_。 7.級數(shù)的和為_。 8.設(shè)是連續(xù)函數(shù)，是由直線與軸、軸所圍成的平面域。已知關(guān)系式成立，則積分_。 9.積分_。 10.積分_。3、 解答題（每題8分，共40分） 11.設(shè)是由確定的隱函數(shù)，求和。 12.計算，其中是球面和所圍成的空間區(qū)域，為常數(shù)。 13. （1）將展開成帶皮亞諾余項的三階麥克勞林公式； （2）對，證明：存在，使得； （3）求極限，其中由（2）確定

6、。 14.利用歐拉積分及函數(shù)的余元公式 計算積分，其中常數(shù)滿足。 15.設(shè)第二型曲線積分與路徑無關(guān)。 （1）求； （2）求。 4、 解答與證明題（每題12分，共60分）16.求點到曲面的最短距離，并作幾何解釋。17.設(shè)是二次連續(xù)可微函數(shù)，并設(shè)向量場 是無旋場。 （1）求未知函數(shù)所滿足的微分方程初值問題； （2）求解（1）中的初值問題。18. 設(shè)， ，。求第二型曲面積分，其中由球面與拋物面所圍成的有界區(qū)域，外側(cè)。 19.設(shè) 。 （1）將展開成以為周期的傅里葉余弦級數(shù)； （2）利用（1）中結(jié)果求積分； （3）利用（1）中結(jié)果求級數(shù)和。 20.設(shè)在區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，試證明： （1）； （2）。

7、中國科學(xué)院中國科技大學(xué)2007年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試卷試卷名稱：高等數(shù)學(xué)（A）考生須知：1.本試卷滿分150分，全部考試時間總計180分鐘。2.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷紙或草稿紙上一律無效。_一、填空題（本題5小題，每小題5分，滿分25分） 1.設(shè)，則_。 2.設(shè)是曲面上的一點，曲面在點處的切平面平行于平面，則點的坐標(biāo)為_。 3.設(shè)：，則二重積分的值等于_。 4.方程的通解為_。 5._。2、 單項選擇題（本題共5小題，每小題5分，滿分25分） 1.（ ） A. B. C. D. 2. （ ）A. 有極值點和拐點； B. 有極值點和拐點；C. 和都是的極值點； D. 沒有

8、拐點。 3.積分（ ） A. B. C. D. 4.設(shè)二元函數(shù)可微，則等于（ ） A. B. C. D. 無法確定 5.設(shè)曲線：，則（ ） A. B. C. D. 3、 （本題5小題，每小題8分，滿分40分） 1.求積分。 2.設(shè)曲面塊是上半球面被柱面所截下的部分，上有一物質(zhì)分布其密度為，求曲面上該物質(zhì)的重量。 3.設(shè)，向量，其中，是，軸上指向正方向的單位向量，求。 4.將展開成的冪級數(shù)，并求它的收斂域。 5.設(shè)，試將積分用歐拉積分表示，并根據(jù)函數(shù)的余元公式，算出以上積分的值。4、 （本題5小題，每小題12分，滿分60分） 1.設(shè)函數(shù)，求在平面閉區(qū)域上的最大值與最小值。 2.計算積分，其中是球

9、面與平面的交線，的方向與軸正向成右手系。 3.（1）試構(gòu)造一個齊次的二階線性微分方程，使它以，為基本解組； （2）求出相應(yīng)的非齊次方程的一個特解，并寫出該非齊次方程的通解。 4.將 展開成以為周期的Fourier級數(shù)，并求出數(shù)項級數(shù)與的和。 5.（1）設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，證明存在使得；（2）設(shè)在上處處有存在，利用費馬定理證明達(dá)布定理：存在，使得。 中國科學(xué)院中國科技大學(xué)2006年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試卷試卷名稱：高等數(shù)學(xué)（A）考生須知：1.本試卷滿分150分，全部考試時間總計180分鐘。2.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷紙或草稿紙上一律無效。_一、填空題（本題共5小題，每小題5分，

10、滿分25分） 1._。 2.已知，為可微函數(shù)，則_。 3.平面與橢圓球面相切，則_。 4.設(shè)為圓域，則_。 5.微分方程的通解為_。2、 單項選擇題（本題共5小題，每小題5分，滿分25分） 1.設(shè)在的某鄰域內(nèi)有三階導(dǎo)數(shù)，且，則（ ） A. 是的極小值； B. 是的極大值； C. 是曲線的拐點； D. 不是極值，也不是曲線的拐點。 2.設(shè)，則（ ） A. 是以為周期的偶函數(shù)； B. 是以為周期的奇函數(shù)； C. 是以為周期的偶函數(shù)； D. 是以為周期的奇函數(shù)。 3.，則當(dāng)時，是的（ ） A. 低階無窮小 B. 高階無窮小 C. 等價無窮小 D. 同階但不等價的無窮小 4.級數(shù)（ ） A. B. C

11、. D. 5.已知 ，為常數(shù)，則（ ） A. B. C. D. 3、 （本題共5小題，每題8分，滿分40分） 1.已知 ，求，。 2.設(shè)在上連續(xù)，且，證明方程在上只有唯一解。 3.設(shè)在上連續(xù)，且 ，求。 4.利用歐拉積分計算。 5.將在展開成冪級數(shù)，并求收斂域。4、 （本題共3小題，每小題12分，滿分36分） 1.設(shè)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且曲線積分，是平面上任意一條方向為逆時針的封閉曲線。 （1）已知，求； （2）計算。 2.求二元函數(shù)在由軸、軸和直線所圍成的閉區(qū)域上的最大值和最小值。 3.設(shè)是單位球面的外側(cè)，。 （1）求； （2）求曲面積分，5、 （本題共2小題，每小題12分，滿分24分） 1.將

12、 展開成周期為的Fourier級數(shù)，并求，。 2.設(shè)在上二階可導(dǎo)，又，證明：（1）；（2）.中國科學(xué)院中國科技大學(xué)2005年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試卷試卷名稱：高等數(shù)學(xué)（A）考生須知：1.本試卷滿分150分，全部考試時間總計180分鐘。2.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷紙或草稿紙上一律無效。_一、填空題（本題共5小題，每小題5分，滿分25分） 1.已知，則_。 2.設(shè)的一個原函數(shù)是，則_。 3.數(shù)量場在點的最大方向微商值為_。 4.級數(shù)的收斂半徑為_。 5.微分方程的通解為_。2、 單項選擇題（本題共5小題，每小題5分，滿分25分） 1.設(shè)，則在點可導(dǎo)的充要條件為（ ） A. 存在

13、 B. 存在 C. 存在 D. 存在 2.設(shè)曲面在點處的法線為，又設(shè)：，：，則（ ） A. 與相交，且平行于； B. 與相交，且垂直于； C. 與異面，且平行于； D. 與異面，且垂直于。 3.設(shè)是柱面的外側(cè)，則的值為（ ） A. B. C. D. 4.設(shè)級數(shù)收斂，則下列結(jié)論中正確的是（ ） A. 級數(shù)收斂 B. 級數(shù)收斂 C. 級數(shù)收斂 D. 級數(shù)絕對收斂 5.設(shè)，則其以為周期的傅里葉級數(shù)在點收斂于（ ） A. B. C. D. 3、 （本題共5小題，每小題8分，滿分40分） 1.計算極限。 2.計算廣義積分。 3.利用歐拉積分計算。 4.設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求，。 5.計算二重積分。4、

14、 （本題共3小題，每小題12分，滿分36分） 1.設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且曲線積分與路徑無關(guān)。（1）求；（2）當(dāng)是從沿曲線到的有向曲線段時，求以上曲線積分的值。 2.將函數(shù)在處展開成泰勒級數(shù)，并求收斂域及。 3.將函數(shù) 展開成周期為的傅里葉級數(shù)（說明收斂情況），并求。5、 （本題共2小題，每小題12分，滿分24分） 1.設(shè)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，。證明:（1）存在，使； （2）存在，使。 2.（1）求（常數(shù)）在上的最小值； （2）設(shè)在上連續(xù)，且，。求證：存在一點，使。中國科學(xué)院中國科技大學(xué)2004年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試卷試卷名稱：高等數(shù)學(xué)（A）考生須知：1.本試卷滿分150分，全部考試時

15、間總計180分鐘。2.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷紙或草稿紙上一律無效。_一、填空題（本題共5題，每小題5分，滿分25分） 1._。 2.設(shè)（常數(shù)），則_。 3.積分的收斂域為_。 4.曲面在點處的切平面方程為_。 5.微分方程的通解為_。2、 單項選擇題（本題共5題，每小題5分，滿分25分） 1.設(shè)為球面外側(cè)，則（ ） A. B. C. D. 2.曲線的漸近線的條數(shù)為（ ） A. B. C. D. 3.給定嚴(yán)格遞增數(shù)列，且，。函數(shù)在上連續(xù)且非負(fù)，則積分收斂是級數(shù)收斂的（ ） A. 充分條件但非必要條件 B. 必要條件但非充分條件 C. 充分必要條件 D. 既非充分條件又非必要條件 4.

16、如果級數(shù) 條件收斂，則（ ） A. B. C. D. 5.設(shè) 則下列選項正確的是（ ） A.在處不可微，在處連續(xù)； B.在處不可微，在處不連續(xù)； C.在處可微，在處連續(xù)； D.在處可微，在處不連續(xù)。3、 （本題共5題，每小題8分，滿分40分） 1.計算極限。 2.計算積分。 3.利用歐拉積分計算。 4.利用Stokes公式計算，其中：，從軸正向看為逆時針走向。 5.設(shè)。證明：當(dāng)時，有。4、 （本題共3題，每小題12分，滿分36分） 1.求由曲面和所圍立體的體積。 2.求級數(shù)的和函數(shù)，并求收斂域。 3.求的取值范圍，使得關(guān)于的方程有唯一正根。5、 （本題共2題，每小題12分，滿分24分） 1.將

17、函數(shù) 展開成傅里葉級數(shù)（說明收斂情況），并求。 2.確定常數(shù)，使得在內(nèi)為一全微分方程，并利用曲線積分求此全微分方程的通解。中國科學(xué)院中國科技大學(xué)2003年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試卷試卷名稱：高等數(shù)學(xué)（A）考生須知：1.本試卷滿分150分，全部考試時間總計180分鐘。2.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷紙或草稿紙上一律無效。_一、填空題（本題共5小題，每小題5分，滿分25分） 1._。 2.設(shè) ，則_。 3.級數(shù)的收斂域為_。 4.橢球面上平行于平面的切平面方程為_。 5.微分方程的通解為_。2、 選擇題（本題共5小題，每小題5分，滿分25分） 1.設(shè) 在處連續(xù)但不可導(dǎo)，則的取值范圍是

18、（ ） A. B. C. D. 2.“對任給，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時，就有”是級數(shù)收斂的（ ）A. 充分條件但非必要條件 B. 必要條件但非充分條件C. 充分必要條件 D. 既非充分條件也非必要條件 3.設(shè)是柱面界于平面及之間的部分，則（ ） A. B. C. D. 4.設(shè)是起點為，終點為的簡單光滑曲線，除，外其它點都在軸上方，則曲線積分的值（ ） A. 恒為 B. 恒為 C. 恒為 D. 與曲線有關(guān) 5.廣義積分的收斂域為（ ） A. B. C. D. 3、 （本題共5小題，每小題8分，滿分40分） 1.求。 2.計算無窮積分，其中是正整數(shù)。 3.設(shè)，求。 4.證明：當(dāng)時，有不等式。 5.函數(shù)在上有一階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，對所有，有，且。 證明：存在，使得。4、 （本題共3小題，每小題12分，滿分36分） 1.求函數(shù)在閉區(qū)域：，上的最大值和最小值。 2