高中數(shù)學(xué)選修教材比較難的專題

1、 高中數(shù)學(xué)選修教材比較難的專題選修三:3-3球面上的幾何。 球面幾何是研究球面上的點(diǎn)、線、面的距離，面積，位置關(guān)系及其有關(guān)性質(zhì)的一門學(xué)科，在測(cè)量、航空、衛(wèi)星定位等方面有著極為廣泛的應(yīng)用。對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力及幾何直觀能力，以及對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法的掌握都有著很重要的作用。 在學(xué)習(xí)這一專題前我們得讓學(xué)生知道球面幾何與人類生產(chǎn)生活的關(guān)系，讓學(xué)生對(duì)該專題的學(xué)習(xí)產(chǎn)生一定的興趣，本專題一共有七講，從我們熟悉的偶是幾何出發(fā)就，回顧平面、直線與球面的位置關(guān)系，得出與園冪定理類似的球冪定理。然后以距離和角的一些列問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入球面幾何的學(xué)習(xí)。其中比較重要的內(nèi)容就是第一講中球面和直線還有平面的位置關(guān)系的判

2、斷和距離問(wèn)題。在這一講中的圓冪定理是我們上高中大學(xué)都沒(méi)有接觸到的東西，屬于教材改編后新加進(jìn)來(lái)的內(nèi)容，它既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。所以我們一定得自己先把這些東西從頭學(xué)習(xí)一遍，在平面幾何中所謂的圓冪定理就是在平面幾何中有切線長(zhǎng)定理、切割線定理、相交弦定理。這些定理統(tǒng)稱為圓冪定理。類比于圓冪定理我們便可以推出球冪定理。我們不難知道球冪定理實(shí)際上就是球的割線、切線之間的關(guān)系。例如在下圖中我們通過(guò)圓冪定理可以得到： 第二講中球面上任意兩點(diǎn)的距離和角的問(wèn)題，學(xué)生通過(guò)本章的學(xué)習(xí)得學(xué)會(huì)有題目中的已知條件求球面的角和距離，對(duì)于球面兩點(diǎn)間的距離并不少兩點(diǎn)連成的直線的長(zhǎng)度，而是兩點(diǎn)把園分成的兩個(gè)弧中劣弧的長(zhǎng)度，如右圖： 球

3、的一個(gè)截面圓上兩點(diǎn)AB之間的距離并不是線段AB的長(zhǎng)度,而是弧的長(zhǎng)度。與距離對(duì)應(yīng)的就是角了，平面上的角是兩條射線構(gòu)成的圖形，而球面上的角則是過(guò)某個(gè)定點(diǎn)的兩條圓弧形成的夾角。其中球的二面角即使重點(diǎn)也是難點(diǎn)，球的三面角我認(rèn)為只要學(xué)生理解就可以，不要求掌握求角的大小等問(wèn)題。第三講和第四講都涉及到了球面三角形的問(wèn)題，主要講了對(duì)頂三角形，2 / 7球極三角形，球面等腰三角形的定義，通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)學(xué)生要能夠辨別這三種三角形并知道為什么球面三角形的周長(zhǎng)小于大圓的周長(zhǎng)和球面三角形的內(nèi)角和的內(nèi)角和是大于小于2的。這是第四講最重要的兩個(gè)定理。第五講主要講了球面三角形全等的幾個(gè)判斷，主要有“邊邊邊”判定定理、“邊角邊

4、”判定定理、“角邊角”判定定理、和“角角角“判定定理。這與平面三角形的全等判定是大致一樣的，所以通過(guò)比較粗略的講解學(xué)生應(yīng)該就要能夠?qū)W會(huì)用這五個(gè)判定定理判定兩個(gè)球面三角形是否全等。第六講是比較難的一講，主要講了球面多邊形及其內(nèi)角和、簡(jiǎn)單多面體的歐拉公式。在求面上的n個(gè)點(diǎn)：、 ，且任意三點(diǎn)不在同一個(gè)大圓上，經(jīng)過(guò)這n個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)作大圓，首尾順次連接劣弧、，如果這些劣弧互不相交，那么就把這些劣弧組成的封閉圖形叫做球面n邊行。、 稱為球面n邊形的頂點(diǎn)。、稱為球面多邊形的內(nèi)角。其面積公式為：（其中、分別表示弧度數(shù)）。再由多邊形內(nèi)角和與面積的關(guān)系球面多邊形的內(nèi)角和為便可求出球面多邊形的內(nèi)角和。歐拉公式是一

5、個(gè)相對(duì)比較陌生的概念，如果用V表示簡(jiǎn)單多面體的定點(diǎn)數(shù)，E表示簡(jiǎn)單多面體的楞數(shù)，F(xiàn)表示簡(jiǎn)單多面體的面數(shù)，通過(guò)計(jì)算可以得出V-E+F=2，這個(gè)結(jié)論就稱為簡(jiǎn)單多面體的歐拉公式。學(xué)生通過(guò)這一節(jié)的學(xué)習(xí)要牢記歐拉，在知道其中的兩個(gè)量后要能熟練的運(yùn)用歐拉公式求出第三個(gè)量。通過(guò)前面幾講對(duì)球面三角形進(jìn)行了定性研究后，第七講主要討論球面三角形之間量的關(guān)系，主要就是正弦定理和余弦定理。通過(guò)對(duì)球面三角形內(nèi)各個(gè)量的討論應(yīng)該讓學(xué)生明白在球面三角內(nèi)正弦定理和余弦定理都是成立的，而且和以前學(xué)的平面三角形的正、余弦定理是一樣的。并能夠運(yùn)用向量證明球面上的余弦定理和運(yùn)用余弦定理求地球上兩城市間的距離。其中對(duì)余弦定理的運(yùn)用是其中應(yīng)

6、該重點(diǎn)要掌握的內(nèi)容，因?yàn)樗鼱可娴缴钪械膶?shí)際應(yīng)用問(wèn)題。作為應(yīng)用題出題的幾率比較大?？傊诒窘滩牡慕虒W(xué)過(guò)程中，要遵循下面幾點(diǎn)原則：1、 要注重形象思維與抽象思維的結(jié)合，因?yàn)樵谇蛎鎺缀沃醒芯康膶?duì)象為球面上的點(diǎn)、線、面及其它們之間的關(guān)系，所以我們?cè)谂囵B(yǎng)學(xué)生邏輯思維的同時(shí)也得培養(yǎng)學(xué)生的再造想象和創(chuàng)造想象的能力。2、 切實(shí)貫徹新課標(biāo)課程理念，營(yíng)“做數(shù)學(xué)”、“探究式”、“合作式”的學(xué)習(xí)環(huán)境。調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和自我參與意識(shí)。3、 注重類比、推廣等研究方法在教學(xué)中的滲透。如將平面幾何的知識(shí)結(jié)構(gòu)類比到球面幾何中去，將球面三角形的內(nèi)角公式加以推廣運(yùn)用到球面三角形中去。4、 引入有價(jià)值的實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)

7、”的能力。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的除了培養(yǎng)一個(gè)人的思維以外，另一個(gè)重要的方面就是應(yīng)用，只有能學(xué)以致用的知識(shí)才是對(duì)人類有意思的好知識(shí)。球面幾何這一講許多問(wèn)題的產(chǎn)生的歷史背景都與一些天文、航海的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題有關(guān)，因此在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該加強(qiáng)有價(jià)值問(wèn)題的引入，以提高學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力。5、 有效的使用信息技術(shù)，增加學(xué)生使用技術(shù)的能力。因?yàn)榍蛎鎺缀紊婕暗降氖橇Ⅲw幾何，所以如果能夠通過(guò)多媒體技術(shù)使很多圖形直觀的展現(xiàn)出來(lái)學(xué)生應(yīng)該比較容易理解一些，尤其是對(duì)于那些空間想象能力比較弱的同學(xué)。 選修4-9風(fēng)險(xiǎn)與決策。 在日常生活和經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中。如購(gòu)物、求職、投資工商企業(yè)的生產(chǎn)或經(jīng)營(yíng)的方案。經(jīng)常需要對(duì)市物的未來(lái)作出決策以便用最有利

8、的方式采取行動(dòng)，由于事物的未來(lái)和信息往往受隨機(jī)因素的影響。不能準(zhǔn)確地判斷決策往往帶有風(fēng)險(xiǎn)在這種情況下，決策通常有很多行動(dòng)方案加以采用，而統(tǒng)計(jì)決策方法可以提供最優(yōu)的行動(dòng)方案大大減少由于盲日地決定而導(dǎo)致的損失。因此。統(tǒng)計(jì)決策方法 I統(tǒng)計(jì)決策分析將會(huì)紅社會(huì)的發(fā)展與進(jìn)步中發(fā)揮越來(lái)越大的作用在現(xiàn)代社會(huì)巾。具有合理的決策能力是每個(gè)公民都應(yīng)該具備的基本素質(zhì)因此在中學(xué)階段最好能掌握一些簡(jiǎn) 單的統(tǒng)計(jì)決策而的知識(shí)和方法，形成初步的決策意識(shí)。 本專題低音第一講主要講了與風(fēng)險(xiǎn)與決策有關(guān)的幾個(gè)概念，1、 風(fēng)險(xiǎn)（平均損失）：行動(dòng)方案對(duì)應(yīng)損失函數(shù)的均值稱為行動(dòng)方案的風(fēng)險(xiǎn)。我們應(yīng)該選用風(fēng)險(xiǎn)最小的行動(dòng)方案，即按照最小準(zhǔn)則選擇行

9、動(dòng)方案。2、 平均收益：行動(dòng)方案對(duì)應(yīng)收益函數(shù)的均值稱為行動(dòng)方案平均收益，我們?cè)谧鰶Q策應(yīng)該按照平均收益最大立體幾何做出決策。3、 損益矩陣：表示損失函數(shù)的矩陣稱為缺失矩陣，表示收益函數(shù)的矩陣稱為收益矩陣，損失矩陣和收益矩陣統(tǒng)稱為損益矩陣。 在對(duì)上面三個(gè)概念有所了解以后，學(xué)生要能夠運(yùn)用上面的知識(shí)在有風(fēng)險(xiǎn)的情況下做出正確的決策。也就是風(fēng)險(xiǎn)型決策。風(fēng)險(xiǎn)型決策人一般決策過(guò)程為：1、 明確問(wèn)題的決策目標(biāo)；2、尋找所有可選擇的行動(dòng)方案；3、確定所有可能出現(xiàn)的狀態(tài)，以及每種狀態(tài)發(fā)生的概率；4、確定損益函數(shù)或函數(shù)；5、計(jì)算各行動(dòng)方案所對(duì)應(yīng)的損益函數(shù)的均值；6、根據(jù)決策目標(biāo)，氣按照風(fēng)險(xiǎn)最小立體幾何或平易收益最大準(zhǔn)

10、則選擇最優(yōu)決策。在這里要注意的是當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)相差不大時(shí)不能隨便選擇一個(gè)行動(dòng)方案，而是應(yīng)該繼續(xù)求出損失方差，選擇損失方差小的行動(dòng)方案。 第二講主要向我們介紹了一種分析和待批決策方案的方法，因數(shù)其運(yùn)用樹狀圖形來(lái)分析和待批決策機(jī)構(gòu)方案所以被稱為決策樹方法。決策樹的基本構(gòu)成如圖1所示，其中方形框叫做決策點(diǎn)，從決策點(diǎn)引出的3條線段分別代表可供選擇的3種方案，叫做方案枝。方案枝末端的圓叫做機(jī)會(huì)點(diǎn)，從機(jī)會(huì)點(diǎn)引出的2條線段表示有2種可能發(fā)生的狀態(tài)，叫做狀態(tài)枝（概率枝），我們將狀態(tài)發(fā)生的概率標(biāo)注在相應(yīng)的概率枝上，狀態(tài)枝的末端的三角形叫做后果點(diǎn)，并疳相應(yīng)的損失函數(shù)的值標(biāo)注在后果點(diǎn)的旁邊。圖1 圖2在了解國(guó)決策樹的結(jié)構(gòu)以

11、后我們要做的就要利用決策樹上的信息做出決策，決策過(guò)程可分為下面兩個(gè)步驟：1、 計(jì)算損益函數(shù)的均值。計(jì)算連接到同一機(jī)會(huì)點(diǎn)的各個(gè)后果點(diǎn)的值l(d,h)（或q(d,h)）與相應(yīng)的狀態(tài)枝的標(biāo)注值P(h)的乘積，并將所得的乘積加起來(lái)，得到機(jī)會(huì)點(diǎn)的均值，如圖2各機(jī)會(huì)點(diǎn)的昀值為： 12*0.3+5*0.5+(-4)*0.2=5.3; 8*0.3+6*0.5+(-1)*0.2=5.2; 3*0.3+3*0.5+2*0.2=2.8;2、 根據(jù)決策目標(biāo)待批最優(yōu)決策。圖2中因?yàn)榉桨钢1末端的機(jī)會(huì)點(diǎn)的值是5.3是收益最大值，所以為最優(yōu)的決策方案。第三講的主要內(nèi)容是對(duì)決策做敏感性分析，即分析未來(lái)狀態(tài)的概率有所變化時(shí)，對(duì)最優(yōu)決策的選擇是否有影響，如果有，有怎樣的影響。具體的做法就是將變化量代入收益函數(shù)或者損失函數(shù)中算出其收益平均值或損失平均值，再觀察其靈敏度。第四講主要介紹了馬爾可夫鏈和馬爾可夫型決策，最后一小節(jié)關(guān)于長(zhǎng)期準(zhǔn)則下的馬爾可夫型決策理論是比較難的內(nèi)容，不要求掌握。對(duì)于隨機(jī)變量序列，已知第n個(gè)小時(shí)的狀態(tài)，如果的變化規(guī)律與的取值都沒(méi)有關(guān)系，那么稱隨機(jī)變量序列具有馬爾可夫性，有馬爾可夫性的隨機(jī)變量序列馬爾可夫鏈。在風(fēng)險(xiǎn)決策案例中，各可能狀態(tài)的分布列一般