2015年高三第一輪復(fù)習(xí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其三視圖和直觀圖解析

1、第一節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其三視圖和直觀圖歸納知識(shí)整合1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征多面體1棱柱的側(cè)棱都互相平行，上下底面是互相平行且全等的多邊形2棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的二角形3棱臺(tái)可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相互平行且相似的多邊形旋轉(zhuǎn)體1圓柱可以由矩形繞其任一邊旋轉(zhuǎn)得到2圓錐可以由直角三角形繞其一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到3圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)連線旋轉(zhuǎn)得到， 也可由 平行于圓錐底面的平面截圓錐得到4球可以由半圓或圓繞直徑所在直線旋轉(zhuǎn)得到探究1.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱嗎？提示：不一定如圖所示，盡

2、管幾何體滿足了兩個(gè)平面平行且其余各面都是平行四邊形，但不 能保證每相鄰兩個(gè)側(cè)面的公共邊互相平行.2 中心投影與平行投影平行投影的投影線是平行的，而中心投影的投影線相交于一點(diǎn)在平行投影中投影線垂直于投影面的投影稱為正 投影.3.三視圖與直觀圖三視圖空間幾何體的三視圖是用平行投影得到的，它包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，其畫法規(guī) 則是：長(zhǎng)對(duì)正，咼平齊，寬相等直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫法規(guī)則來畫，基本步驟是：1畫幾何體的底面在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸，兩軸相交于點(diǎn)O畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的x軸、y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，且使/xO y= 45 （或 135 ），已知圖形 中平行x軸、y

3、軸的線段在直觀圖中分別畫成平行于x軸、y軸的線段已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度不變，平行于y 軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话?2畫幾何體的高在已知圖形中過O點(diǎn)作z軸垂直于xOy平面，在直觀圖中對(duì)應(yīng)的z軸，也垂直于xO y平面，已知圖形中平行于 z 軸的線段，在直觀圖中仍平行于z軸且長(zhǎng)度不變探究2.正方體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖一定相同嗎？提示：由于正視圖的方向沒確定，因此正視圖、側(cè)視圖、俯視圖不一定相同.1 用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是（）A.圓柱 B.圓錐 C .球體 D .圓柱，圓錐，球體的組合體2.如圖所示的幾何體是棱柱的有（）1.解析: 選

4、 C 由球的性質(zhì)可知，用平面截球所得的截面都是圓面.2.解析: 選 C 根據(jù)棱柱結(jié)構(gòu)特征可知是棱柱.3.解析: 選 C 由三視圖可知，此幾何體由上面的圓臺(tái)和下面的圓柱組合而成的.4.解析: 選 D 由斜二測(cè)畫法規(guī)則可知，平行于y 軸的線段長(zhǎng)度減半，直角坐標(biāo)系變成了斜坐標(biāo)系，而平行性沒有改變，因此，只有 D 正確.5.解析: 只要判斷正視圖是不是三角形就行了，畫出圖形容易知道三棱錐、四棱錐、圓錐一定可以，對(duì)于三棱柱，只需要放倒就可以了，所以均符合題目要求.答案：例 1下列結(jié)論中正確的是（）A. 各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B. 以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的

5、幾何體叫圓錐C. 棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則該棱錐可能是六棱錐D. 圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任一點(diǎn)的連線都是母線A.B.C.D .3.（教材習(xí)題改編）已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，分析此幾何體的組成為（）A.上面為棱臺(tái)，下面為棱柱B .上面為圓臺(tái)，下面為棱柱C.上面為圓臺(tái)，下面為圓柱D .上面為棱臺(tái)，下面為圓柱4.關(guān)于斜二測(cè)畫法所得直觀圖的說法正確的是（）C.正方形的直觀圖是菱形D.平行四邊形的直觀圖仍是平行四邊形5.個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形，則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的_（填入所有可能的幾何體前的編號(hào)）.三棱錐四棱錐三棱柱四棱柱圓錐圓柱俯視圖解：A 錯(cuò)誤.如圖，由兩個(gè)結(jié)

6、構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐.B 錯(cuò)誤如下圖，若ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐。 C 錯(cuò)誤若六棱錐的所有棱都相等，則底面多邊形是正六形.但由幾何圖形知，若以正六邊形為底面， 側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng). 答案D求解空間幾何體概念辨析題的常用方法定義法，即嚴(yán)格按照空間幾何體的有關(guān)定義判斷.（2）反例法，即通過舉反例來說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的.|理式訓(xùn)練1.下列命題中，正確的是（）A 有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱B .側(cè)面都是等腰三角形的棱柱是正棱錐C.側(cè)面都是矩形的四棱柱是長(zhǎng)方體D .底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)

7、面與底面垂直的棱柱是正棱柱1.解析： 選 D 對(duì)于 A,兩個(gè)側(cè)面是矩形并不能保證側(cè)棱與底面垂直，故A 錯(cuò)誤；對(duì)于 B,側(cè)面都是等腰三角形，不能確保此棱錐頂點(diǎn)在底面在底面的射影在底面正多邊形的中心上，且也不能保證底面是正多邊形，故 B 錯(cuò)誤；對(duì)于 C,側(cè)面是矩形不能保證底面也是矩形，因而C 錯(cuò)誤.例 2 （1）（2012 湖南高考）某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是（）（2012 廈門質(zhì)檢）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體是（）A.三棱錐B.四棱錐C.四棱臺(tái) D .三棱臺(tái)解(1)A 圖是兩個(gè)圓柱的組合體的俯視圖；B 圖是一個(gè)四棱柱與一個(gè)圓柱的組合體的俯視圖;C 圖

8、是一 -個(gè)底面為等腰直角三角形的三棱柱與一個(gè)四棱柱的組合體的俯視圖，采用排除法，故選(2)由三視圖可知，該幾何體是四棱錐(如圖所示)，且其中一條棱與底面垂直.答案(1)D(2)B由三視圖還原實(shí)物圖應(yīng)明確的兩個(gè)方面(1) 首先要熟悉柱、錐、臺(tái)、球的三視圖，較復(fù)雜的幾何體也是由這些簡(jiǎn)單幾何體組合而成的.(2) 要明確三視圖的形成原理，并能結(jié)合空間想象將三視圖還原為實(shí)物圖.II暨式訓(xùn)練2 .已知某組合體的正視圖與側(cè)視圖相同(其中AB= AC四邊形BCDE為矩形)，則該組合體的俯視圖可以是_(把你認(rèn)為正確的圖的序號(hào)都填上).解析：幾何體是四棱錐與四棱柱組成時(shí)，得正確.幾何體由四棱錐與圓柱組成時(shí)，得正確

9、.幾何體由圓錐與 圓柱組成時(shí)，得正確.幾何體由圓錐與四棱柱組成時(shí)，得正確.故填答案：例 3 如圖所示，A B。是厶ABC勺直觀圖，且A B C是邊長(zhǎng)為a的正三角形，求ABC的面積.針旋轉(zhuǎn) 45得y軸，在y軸上取點(diǎn)C使0C=2OC,A B點(diǎn)即為A、B點(diǎn)，長(zhǎng)度不變. 已知AB=AC=8,在厶OA C中，、OCA Csin 120J6由正弦定理得 sin /OA C=sin 45 ，所以0C=sin 45 a=Ta，D.解：建立如圖所示的坐標(biāo)系xOy, A B C的頂點(diǎn)C在y軸上,A B邊在x軸上，把y軸繞原點(diǎn)逆時(shí)解(1)A 圖是兩個(gè)圓柱的組合體的俯視圖；B 圖是一個(gè)四棱柱與一個(gè)圓柱的組合體的俯視圖

10、;C 圖是一 -個(gè)底面為等所以原三角形ABC的高0G= .6a,所以&ABC=ax6a26a2.本例若改為“已知ABC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，求其直觀圖A B C的面積，”應(yīng)如何求?解：由斜二測(cè)畫法規(guī)則可知，直觀圖厶A B C一底邊上的高為22 2 8故其面積S A B，C平面圖形的直觀圖與原圖形面積的兩個(gè)關(guān)系按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積有以下關(guān)系：記住上述關(guān)系，解題時(shí)能起到事半功倍的作用.3.如圖，矩形O ABC是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中 則原圖形是()A.正方形 B.矩形C.菱形 D.一般的平行四邊形解析：選 C 將直觀圖還原得?OABC則T

11、O D=寸 2。C= 22(cm) ,OD=20 D= 42(cm),C D=O C= 2(cm) ,CD=2 (cm) ,OC= CD+OD= 22+ 4 22= 6 (cm),OA= O A= 6(cm) =OC故原圖形為菱形.1 種數(shù)學(xué)思想一一轉(zhuǎn)化與化歸思想利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決棱臺(tái)、圓臺(tái)的有關(guān)問題由棱臺(tái)和圓臺(tái)的定義可知棱臺(tái)和圓臺(tái)是分別用平行于棱錐和圓錐的底面的平面截棱錐和圓錐后得到的，所以在解 決棱臺(tái)和圓臺(tái)的相關(guān)問題時(shí)，?！斑€臺(tái)為錐”，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.1 個(gè)疑難點(diǎn)一一三視圖的還原問題由三視圖還原幾何體是解答三視圖問題的重要手段和方法，在明確三視圖畫法規(guī)則的基礎(chǔ)上，按以下步驟可輕松

12、 解決:定底面根據(jù)俯視圖確定根據(jù)止視圖確定幾何體的側(cè) 棱與側(cè)面特征整實(shí)線，虛 線對(duì)應(yīng)棱的位置定棱及側(cè)iriiT確定幾何體的形狀3 個(gè)注意事項(xiàng)一一畫三視圖應(yīng)注意的三個(gè)問題(1) 若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實(shí)、虛線的畫法.(2) 確定正視、側(cè)視、俯視的方向，觀察同一物體方向不同，所畫的三視圖也不同.O A = 6 cm,O C= 2 cm,S直觀圖=原圖形,S原圖形= 22S直觀圖.（3）觀察簡(jiǎn)單組合體是由哪幾個(gè)簡(jiǎn)單幾何體組成的，并注意它們的組成方式，特別是它們的交線位置.3 個(gè)“變”與“不變”一一斜二測(cè)畫法的要求坐標(biāo)軸的夾角改變，“三變”與y軸平行的線段

13、的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话?，圖形改變平行性不改變，“三不變”與x、z軸平行的線段的長(zhǎng)度不改變，相對(duì)位置不改變易誤警示一一三視圖識(shí)圖中的易誤辨析典例（2012 陜西高考）將正方體（如圖 1 所示）截去兩個(gè)三棱錐，得到如圖2 所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為（）解析側(cè)視圖中能夠看到線段AD,應(yīng)為實(shí)線，而看不到BC,應(yīng)畫為虛線由于AD與BC不平行，投影為相交 線，故應(yīng)選B.答案B易誤辨析1 因?qū)θ晥D的原理認(rèn)識(shí)不到位，區(qū)分不清選項(xiàng)A 和 B,而易誤選 A.2.因?qū)θ晥D的畫法要求不明而誤選C 或 D.在畫三視圖時(shí)，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫，被遮住的部分的輪廓線為虛線.3解答此類問題時(shí)，還易出現(xiàn)畫三視

14、圖時(shí)對(duì)個(gè)別視圖表達(dá)不準(zhǔn)而不能畫出所要求的視圖在復(fù)習(xí)時(shí)要明確三視圖的含義，掌握“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的要求.變式訓(xùn)練若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是ABCD止視圖 側(cè)視圖俯視圖A解析：選 B 由正視圖與俯視圖可以將選項(xiàng) A、C 排除；根據(jù)側(cè)視圖，可以將 D 排除，注意正視圖與俯視圖中的實(shí)、選擇題（本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分）1. （2012 福建高考）一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同，大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可以是A.球B.三棱錐 C .正方體 D .圓柱2. （2013 西城模擬）有一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，這個(gè)幾何體應(yīng)是一個(gè)（）二二正（主視圖

15、 厠（右）視圖正視圖5.一個(gè)錐體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，下面選項(xiàng)中，不可能是該錐體的俯視圖的是面積為()A. 4.3 B. 8 3線.A.棱臺(tái) B 棱錐 C 棱柱 D 都不對(duì)3.一梯形的直觀圖是一個(gè)如右圖所示的等腰梯形，且該梯形的面積為2，則原梯形的面積為（）C. 2 2 D . 44.一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)小長(zhǎng)方體，所得幾何體的正視圖與側(cè)視圖分別如圖所示,則該幾何體的俯視圖為（）6.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖的面積等于4 3 的正三角形，則其側(cè)視圖的DC. 8 ,2 D . 4、填空題7以下四個(gè)命題：正棱錐的所有側(cè)棱相等；直棱柱的側(cè)面都是全等的矩形；圓柱的母線垂直于底面；用經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸

16、的平面截圓錐，所得的截面一定是全等的等腰三角形其中，真命題的序號(hào)為_&一個(gè)幾何體是由若干個(gè)相同的小正方體組成的，其正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體最多可由個(gè)這樣的小正方體組成.9正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為 2,側(cè)棱長(zhǎng)均為 Q3,其正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰三角形，則正視圖的周長(zhǎng)為 _1. 解析：選 D 圓柱的三視圖，分別是矩形，圓，不可能三個(gè)視圖都一樣，而球的三視圖可以都是圓，三棱錐的三 視圖可以都是三角形，正方體的三視圖可以都是正方形.2. 解析：選 A 從俯視圖來看，上、下底面都是正方形，但大小不一樣，可以判斷是棱臺(tái).3. 解析：選 D 直觀圖為等腰梯形，若上底設(shè)為X,高設(shè)為y,1L

17、1LLL則S直觀圖=2y(x+2y+x) =Q2,而原梯形為直角梯形，其面積S= - 22y(x+2y+x)=2j2xQ2=4.4/解析：選 C 由正視圖和側(cè)視圖可知，該長(zhǎng)方體挖掉一個(gè)小長(zhǎng)方體后，相應(yīng)位置在俯視圖中應(yīng)為左下角位置，且 可看見輪廓線，故選 C.5.解析：選 C 若俯視圖是等邊三角形且為圖中的位置，則正視圖是等腰三角形，且高線是實(shí)線，故選C.6.解析：選 A 由三視圖知該幾何體是正三棱柱，設(shè)其底面邊長(zhǎng)為a,高為h,則其正視圖為矩形，矩形的面積=ah= 8,俯視圖為邊長(zhǎng)為a的正三角形，三角形的面積$=嚴(yán)=4 3，貝 Ua= 4,h= 2,而側(cè)視圖為矩形，底邊為 23a,高為h,故側(cè)視

18、圖的面積為 S23ah=4 3.7.解析：均正確，對(duì)，直棱柱的側(cè)面都是矩形而不一定全等，錯(cuò)誤.答案：8. 解析：依題意可知這個(gè)幾何體最多可由9+ 2+ 2= 13 個(gè)這樣的小正方體組成.答案： 139. 解析：由題意知，正視圖就是如圖所示的截面PEF其中E、F分別是AD BC的中點(diǎn)，連接AQ易得AO=Q2,而PA=.3,于是解得PO=1，所以PE= . 2,故其正視圖的周長(zhǎng)為 2+ 2 2.三、解答題10.用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐， 截得圓臺(tái)上、3 cm，求圓臺(tái)的母線長(zhǎng).mo下底面的面積之比為 1 : 16,截去的圓錐的母線長(zhǎng)是俯視圖12.如圖所示的三幅圖中，圖(1)所示的是一個(gè)長(zhǎng)

19、方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖如圖解：如圖.1.給出下列命題：在正方體上任意選擇4 個(gè)不共面的頂點(diǎn)，它們可能是正四面體的角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱.其中正確命 題的序解：抓住軸截面，利用相似比，由底面積之比為1 : 16，設(shè)半徑分別為r、4r.設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為I，截得圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r、4r.根據(jù)相似三角形的性3r質(zhì)得3TT=石，解得I= 9.所以，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為9 cm.11 已知：圖是截去一個(gè)角的長(zhǎng)方體，試按圖示的方向畫出其三視圖；圖是某幾何體的三視圖，試說明該幾何體的構(gòu)成.惻視解：圖幾何體的三視

20、圖為:圖所示的幾何體是上面為正六棱柱、下面為倒立的正六棱錐的組合體.(3) 所示(單位：cm).(1)在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖;(2)按照給出的數(shù)據(jù)，求該多面體的體積.(2)所求多面體的體積V=V長(zhǎng)方體一V正三棱錐=4X4X63X2X2X2 X2=2843丁(cm ).4 個(gè)頂點(diǎn)；底面是等邊三俯視正視正視圖惻視圖號(hào)是1.解析：正確，正四面體是每個(gè)面都是等邊三角形的四面體，如正方體ABCD AiBiOD中的四面體A CBD;錯(cuò)誤，舉反例如圖所示，底面ABO為等邊三角形，可令A(yù)B= VB= VO=BC= AC則厶VBC為等邊三角形，VABDVOA均為等腰三角形，但不能判

21、定其為正三棱錐； 錯(cuò)誤，必須是相鄰的兩個(gè)側(cè)面答案：2.（2011 江西高考）將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為2.解析： 選 D 被截去的四棱錐的三條可見側(cè)棱中有兩條為長(zhǎng)方體的面對(duì)角線，它們?cè)谟覀?cè)面上的投影與右側(cè)面（長(zhǎng)方形）的兩條邊重合，另一條為體對(duì)角線，它在右側(cè)面上的投影與右側(cè)面的對(duì)角線重合，對(duì)照各圖，只有選項(xiàng)D 符合1 的等腰直角三角形，則該四棱錐中最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為（門AA. 1 B. 2 C. 3 D . 23. 解析：選 C 在四棱錐PABCD中，連接AC由正視圖和側(cè)視圖可得PC= BC= CD=1,故AC=，最長(zhǎng)的棱為PA=p PC+AC =心4.（2

22、011 北京高考）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個(gè)面的面積中最大的是（）3.如圖，在四棱錐P- ABC曲，底面ABCD為正方形,PC與底面垂直.若該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖都是腰長(zhǎng)為正視圖厠視圖14I k-3正視圖 惻視圖俯視圖A. 8 B . 6 2C. 10 D . 8 ,24.解析：選 C 由三視圖可知，該幾何體的四個(gè)面都是直角三角形，面積分別為6,6 J, 8,10，所以面積最大的是 10.第二節(jié) 空間幾何體的表面積和體積歸納知識(shí)整合1 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖1側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=2nrlS圓錐側(cè)=nrlS圓臺(tái)側(cè)=n(r+r)12.空間幾何體

23、的表面積和體積公式名稱幾何體表面積體積柱體（棱柱和圓柱）S表面積=S側(cè)+2S底V=戲錐體（棱錐和圓錐）S表面積=S側(cè)+S底ijSh臺(tái)體（棱臺(tái)和圓臺(tái)）S表面積=S側(cè)+S上+STV= -(S上+ST+ 寸S上S下)h球S= 4nR43V=3n戌2.如何求不規(guī)則幾何體的體積？提示：常用方法：分割法、補(bǔ)體法、轉(zhuǎn)化法通過計(jì)算轉(zhuǎn)化得到基本幾何體的體積來實(shí)現(xiàn).1 棱長(zhǎng)為 2 的正四面體的表面積是（）A. 3B. 4C. 4 3D. 162._ （2012 上海高考）一個(gè)高為 2 的圓柱，底面周長(zhǎng)為 2n,該圓柱的表面積為 _ .3.個(gè)球的半徑擴(kuò)大為原來的_3 倍，則表面積擴(kuò)大為原來的 _ 倍；體積擴(kuò)大為原來

24、的倍.4._（2012 遼寧高考）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 _ .0.50.55如圖，用半徑為 2 的半圓形鐵皮卷成一個(gè)圓錐筒，那么這個(gè)圓錐筒的容積是1. 解析：選 C 正四面體的各面為全等的正三角形，故其表面積S= 4X*X22= 4/32. 解析：由已知條件得圓柱的底面半徑為1,所以S表=S側(cè)+ 2S底=cl+ 2nr= 2n X2+ 2n=6n.4. 解析：由三視圖可知該組合體的上方是一個(gè)高為1，底面直徑為 2 的圓柱，下方是一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為4、3、1 的長(zhǎng)方體，如圖所示，它的體積 V= 1X n+ 4X3X1 = 12+n.293. 解析：設(shè)原球的半徑為1,則

25、半徑擴(kuò)大后半徑為 3，則S=4n,S=4n X3= 36n，即= 9 所以表面積擴(kuò)大443Va為原來的 9 倍由V=-n ,V=；nX3 =12n，即；y=27,所以體積擴(kuò)大為原來的 27 倍答案：9 2733V15. 解析：由于半圓的圓弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)，若設(shè)圓錐底面圓半徑為r，則得 2n= 2nr,解得r= 1,又圓錐的母線長(zhǎng)為 2,所以高為：,-；3,所以這個(gè)圓錐筒的容積為 3nX1X3= - n.例 1（2012 北京高考）某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是A. 28+ 6 5 B 30 + 6 5C. 56 + 12 5 D . 60 + 12 5解：該三棱錐的直觀圖

26、如圖所示據(jù)俯視圖知，頂點(diǎn)P在底面上的投影D在棱AB上，且/AB（= 90據(jù)正視圖知，AD=2,BD=3,PD=4，據(jù)側(cè)視圖知，BC= 4.綜上所述，BQ平面PABPB= PD+BD=5,PC=QBC+PB=(16+ 25 = 41,AC= AB+BC=0,PA= ,PD+AD= 2 _5.TPC=AC= ,41,仏PAC的邊AP上的高為h=.PC一 二 6.二SAPAB= 2AB-PD=10 ,SAABC *ABBC= 10,1 1SAPB=?PBBC= 10,SAAPC=AP- h= 6 5.故三棱錐的表面積為由三視圖求幾何體表面積的方法步驟根據(jù)三視圖確定幾何體利用有關(guān)畫出直觀圖- 的結(jié)構(gòu)特

27、征- 公式計(jì)算S PAB+SA ABC+SAPBC+SAAPC=30+ 6 , 5.僞（左）視圖事坐代訓(xùn)練1. （2013 馬鞍山模擬）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則它的表面積為（）一一1一72解析：選 D 由三視圖可知該幾何體是半徑為1 的球被挖出了 w 部分得到的幾何體，故表面積為-4 n l+8 812173肓n】=7n例 2（1）（2012 湖北高考）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（2）（2012 安徽高考）某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積是 _A. 4n15nB4 C.5nD.17nA.10nB.3nCPD. 6n解：（1）由三視圖可知，該組合體上端為一圓柱的

28、一半，下端為圓柱.其體積V= n X12X2+2n XI X2=3n.（2）據(jù)三視圖可知，該幾何體是一個(gè)直四棱柱，其底面是直角梯形（兩底邊長(zhǎng)分別為 2、5,直腰長(zhǎng)為 4,即梯形的高為 4），高為 4. 該幾何體的體積為V=X4X4=56.正視圖俯視圖側(cè)視圖2正視圖正（主）視圖惻（左）盤閣由三視圖求解幾何體體積的解題策略以三視圖為載體考查幾何體的體積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖想象原幾何體的形狀構(gòu)成，并從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何 體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，然后在直觀圖中求解.II暨式訓(xùn)練2.（2012 新課標(biāo)全國卷）如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積

29、為（）A. 6 B . 9 C . 12 D . 183某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是（）2nn2nA. 8 3 B.8 3 C.8 2nD. 33.解析：選 A 圓錐的底面半徑為 1，高為 2,該幾何體體積為正方體體積減去 圓錐體積，即V= 23-n X12X2= 8-3n.例 3 （2012 新課標(biāo)全國卷）已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，ABC是邊長(zhǎng)為 1 的正三角形,SC為球O的直徑，且SC= 2,則此棱錐的體積為（）A.解：ABO的外接圓的半徑r=,點(diǎn)O到平面ABC的距離d=.氏一二：6SC為球O的直徑，故點(diǎn)S到平面ABC33的距離為 2d=務(wù) 6，故棱錐的體積為

30、V=ABcX2d= 1X-X務(wù) 6 =二 2.333436與球有關(guān)的切、接問題的解題策略解決球與其他幾何體的切、接問題，關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察、分析，弄清相關(guān)元素的關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選準(zhǔn)最佳角度作出截面（要使這個(gè)截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的.|鈕代訓(xùn)練4已知正四棱錐的側(cè)棱與底面的邊長(zhǎng)都為3 .2,則這個(gè)四棱錐的外接球的表面積為（）2.解：由三視圖可知該幾何體為底面是斜邊為D.6 的等腰直角三角形高為A. 12nB.36nC. 72n4.解析：選 B 依題意得，該正四棱錐的底面對(duì)角線的長(zhǎng)為3 2 X 2 = 6,高為：J ； 22-；農(nóng)2=

31、 3，因此底面中心到各頂點(diǎn)的距離均等于 3,所以該四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3,所以其外接球的表面積等于 4nX3=36n.通法一歸納領(lǐng)悟3 個(gè)步驟一一求解與三視圖有關(guān)的幾何體的表面積、體積的解題步驟3 種方法求空間幾何體體積的常用方法(1) 公式法：直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計(jì)算.(2) 等積法：根據(jù)體積計(jì)算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計(jì)算更容易，或是求出一些體積比等.(3) 割補(bǔ)法：把不能直接計(jì)算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指罨蜓a(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為可計(jì)算體積的幾何體.1 種數(shù)學(xué)思想一一求旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積中的轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)，一般采用

32、轉(zhuǎn)化的方法來進(jìn)行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，“化曲為直”來解決，因此 要熟悉常見旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀及平面圖形面積的求法創(chuàng)新交匯一一空間幾何體中體積的最值問題1 求空間幾何體的體積一直是高考考查的重點(diǎn)，幾乎每年都考查，既可以與三視圖結(jié)合考查， 又可以單獨(dú)考查.而求空間幾何體體積的最值問題，又常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等知識(shí)交匯考查.2求解空間幾何體最值問題，可分為二步：第一步引入變量，建立關(guān)于體積的表達(dá)式；第二步以導(dǎo)數(shù)或基本不等 式為工具求最值.典例(2012 湖北高考(節(jié)選)如圖 1,ZAC= 45,BC=3，過動(dòng)點(diǎn)A作ADL BC垂足D在線段BC上且異于 點(diǎn)B,連接AB沿人小將厶ABD折起

33、，使/BDC=90 (如圖 2 所示)當(dāng)BD的長(zhǎng)為多少時(shí)，三棱錐A- BCD勺體積最大？圖 1圖 2解 如圖 1 所示的ABC中，設(shè)BD= x(0 x3)，貝 UCD=3-x.由ADL BC/ACB=45知厶ADC為等腰直角三角形，所以AD= CD=3-x.由折起前ADL BC知，折起后(如圖 2) ,ADL DC ADL DC且BDn DC= D,所以ADL平面BDC/BDC=90，所以 &BCH?BDCD=fx(3 x).于是VBC=1AD-SCH*(3 x) 1x(3 x).132132法一：VABCD=6(x 6x+ 9x).令f(x) = 6(x 6x+ 9x).由f(x)

34、= 2(x 1)(x 3) = 0,且 0 x0 ;當(dāng)x (1,3)時(shí)，f(x)0 ,所以當(dāng)x= 1 時(shí)，f（x）取得最大值，即BD= 1時(shí)，三棱錐A- BCD勺體積最大.法二：VABCD=存2*(3 x)(3 x) 當(dāng)且僅當(dāng) 2x= 3 X,即x= 1 時(shí)，取“=”.故當(dāng)BD= 1 時(shí)，三棱錐ABCD勺體積最大.名師點(diǎn)評(píng)解答此題的關(guān)鍵是恰當(dāng)引入變量x，即令BD=x,結(jié)合位置關(guān)系列出體積的表達(dá)式，將求體積的最值問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.變式訓(xùn)練如圖，動(dòng)點(diǎn)P在正方體ABCABCD的對(duì)角線BD上過點(diǎn)P作垂直于平面BBDD的直線，與正方體表面相交于M N設(shè)BF=x,MN=y，則函數(shù)y=f（x）的圖

35、象大致是（）解析：選 B 顯然，只有當(dāng)F移動(dòng)到中心O時(shí)，MN有唯一的最大值，淘汏選項(xiàng) A C;F點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，取AA的中點(diǎn)E,CC的中點(diǎn)Q平面DEBQ垂直于平面BBDD,且M N兩點(diǎn)在菱形DEBQ勺邊界上運(yùn)動(dòng)，故x與y的關(guān)系應(yīng)該是線性的， 淘汰選項(xiàng) D,選 B.一、選擇題1.圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的 3 倍， 母線長(zhǎng)為 3，圓臺(tái)的側(cè)面積為84n，則圓臺(tái)較小底面的半徑為（）A. 7 B. 6 C. 5D. 32. （2013 長(zhǎng)春模擬）一個(gè)空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為 1 的正方形，俯視圖是一個(gè)直徑為 1 的圓，那么這個(gè)幾何體的全面積為（）3A. 2nB.2nC.3nD.4nj2

36、x+3 x+x1323,AB-6HPSHif觀閔3. （2012 廣東高考）某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為（）俯視圖A. 72nB.48nC.30nD.24n4.（2013 廣州模擬）設(shè)一個(gè)球的表面積為Si,它的內(nèi)接正方體的表面積為Sa,則S的值等于（）26nA. B. C.1D.nn65.個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為A. 48C. 48 + 8 176.已知正方形ABC啲邊長(zhǎng)為 2 述，將ABC沿對(duì)角線AC折起，使平面ABCL平面ACD得到如圖所示的三棱錐、填空題7. （2012 安徽高考）某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是& （2012 江蘇高

37、考）如圖，在長(zhǎng)方體ABCABCD中，AB= AD=3 cmAA= 2 cm,則四棱錐A- BBDD的體積為B. 32 + 8 17D. 80ACD若O為AC邊的中點(diǎn)，M N分別為線段DC BC上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且BN= CM設(shè)BN=x,則三棱錐N AMC勺體積y=f（x）的函數(shù)圖象大致是（）rioi2 *俯視圖Ap I 2 X俯視圖3俯視圖1.解析：選 A 設(shè)圓臺(tái)較小底面半徑為r，則另一底面半徑為 3r.由S= n(r+ 3r) 3=84n,解得r= 7.2. 解析：依題意知，該幾何體是一個(gè)底面半徑為舟、高為 1 的圓柱，則其全面積為 2n X+ 2n X卜 1 = |n .14312-

38、23. 解析：選 C 此幾何體由半個(gè)球體與一個(gè)圓錐組成，其體積V=-X3n X3+ 3n X3X二亍=30n.,、 亠o322T3S4nRn4. 解析：選 D 設(shè)球的半徑為R其內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為a,則易知 4a，即a=R則S=-:-=石43S2i2“3226X號(hào)5. 解析：選 C 由三視圖可知幾何體是一個(gè)放倒的直棱柱(最大的側(cè)面貼在地面上)，直觀圖如圖，底面是等腰梯形，1 其上底長(zhǎng)為 2,下底長(zhǎng)為 4，咼為 4,二兩底面積和為 2X2X(2 + 4)X4= 24,四個(gè)側(cè)面的面積為 4X(4 + 2 + 2 17) = 24 + 817,A幾何體的表面積為 48+ 8,17.6. 解析：選 B

39、由平面ABCL平面ACD且0為AC的中點(diǎn)可知，BCL平面ACD易知BO=2,故三棱錐NAMC勺高1 1 1為ON=2 X,SMM=-MC- AD=2x,故三棱錐N- AMC勺體積為y=f(x) = 3 (2 x) 2x=3( 2x2+ 2 2x)(0 x2),23O函數(shù)f(x)的圖象為開口向下的拋物線的一部分.7.解：由三視圖可知此幾何體為底面是直角梯形的直四棱柱，其表面積8.解析：由題意，四邊形ABCD正方形，連接AC交BD于Q則ACL BD由面面垂直的性質(zhì)定理，可證ACL平1面BBDD.四棱錐底面BBDD的面積為 3 羽X2= 6 述，從而VA- BBDD=3XOAK S長(zhǎng)方形BBDD=6

40、.9.解析：該棱錐的直觀圖如圖，取CD的中點(diǎn)E,BD的中點(diǎn)F,由三視圖知，AEL平面BCDAF= 5,AE=52 32=4,ZCBD=90 .設(shè)0為該棱錐外接球的球心， 半徑為R由題知B0=BE+E0,即卩氏=(3 ,2)2+ (R 4)2,解得R= f 故球的表面積為4三、解答題10. (2013 杭州模擬)如圖，在四邊形ABCDK/DAB=90,/ADC=135,AB=5,CD=2 2,AD=2,求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積.解：由已知得：CE=2,DE=2,CB=5,S表面=S圓臺(tái)側(cè)+S圓臺(tái)下底+S圓錐側(cè)=n(2 + 5)X5+n X25+n X2X2 寸2 = (60+4 2)n ,V= V圓臺(tái)一V圓錐=