傳熱與流體流動(dòng)的數(shù)值計(jì)算(4-5章)

1、傳熱與流體流動(dòng)的數(shù)值計(jì)算傳熱與流體流動(dòng)的數(shù)值計(jì)算美 S.V. 帕坦卡 著同濟(jì)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院朱 彤第四章 熱傳導(dǎo) 4-1 本章的對(duì)象 著手構(gòu)建一個(gè)求解通用微分方程的數(shù)值方法 構(gòu)成一個(gè)求解通用微分方程的數(shù)值方法，略去對(duì)流項(xiàng)。 其他一些物理過程也由非常類似于熱傳導(dǎo)方程的數(shù)學(xué)方程所控制。 本章完成了隨后幾章所需要的若干預(yù)備性的工作，提出代數(shù)方程的求解方法。()div()div( grad )uSt 基本方程 穩(wěn)態(tài)一維問題的控制微分方程： 推導(dǎo)出離散化方程4-2 一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)dd()0ddTkSxx()()ppEEWWeEewWwPEWpccppa Ta Ta TbkaxkaxaaaSxbSxSSS

2、 Tddd0ddewTkSxxx-網(wǎng)格間距 網(wǎng)格點(diǎn)距離(x)e與(x)w沒有必要相等。 雖然只有在網(wǎng)格相當(dāng)細(xì)時(shí)才可能得到精確的解，但是在因變量隨x變化相當(dāng)慢的區(qū)域沒有必要采用細(xì)的網(wǎng)格；在Tx變化較陡的區(qū)域則需要細(xì)的網(wǎng)格。 誤區(qū)：不均勻網(wǎng)格的準(zhǔn)確度比均勻網(wǎng)格差。 設(shè)計(jì)一個(gè)合適的非均勻網(wǎng)格： 從解的定性預(yù)計(jì)得到指導(dǎo)。 用初步粗網(wǎng)格的解求得Tx變化形式；然后構(gòu)成合適的非均勻網(wǎng)格。 先進(jìn)行預(yù)備性的實(shí)驗(yàn)或探索性試驗(yàn)，然后應(yīng)用得到的數(shù)據(jù)資料確定在最終的實(shí)驗(yàn)中所應(yīng)安裝的探頭位置和數(shù)目。-界面導(dǎo)熱系數(shù)ke 最直截了當(dāng)?shù)姆椒ㄊ羌僭O(shè)k在P點(diǎn)和E值間呈線性變化： 其中插入因子在某些情況下這種簡單化會(huì)導(dǎo)致相當(dāng)不準(zhǔn)確的

3、結(jié)果；而且這樣做不可能精確處理組合材料中可能遇到的導(dǎo)熱系數(shù)的突然變化。一種替代方法：得到一個(gè)通過下式描述的界面熱流密度qe的良好表達(dá)式：1eePeEkf kfkeeexfx/ePEPEeeeekTTTTqxxk(4.5)(4.6)(4.7) 討論這樣一種情況：圍繞著網(wǎng)格點(diǎn)P的控制容積由具有均勻?qū)嵯禂?shù)kP的材料填滿，圍繞著E點(diǎn)的控制容積由導(dǎo)熱系數(shù)kE的材料填滿，對(duì)于P點(diǎn)和E點(diǎn)之間的組合板，根據(jù)穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源一維導(dǎo)熱的分析，有： 合并得： 當(dāng)界面l位于P和E之間的中點(diǎn)時(shí)，有fe=0.5，有： 上式說明ke是kP和kE的調(diào)和平均值，而非給出的平均值。PPeeekTTqxEeEeekTTqxPEeee

4、PETTqxxkk11eeeEPffkkk2PEePEk kkkk(4.8)(4.9)(4.10) 應(yīng)用于系數(shù)的定義式，得到aE： 其效能可由兩種極限情況看出： 令kE 0，則有ke 0（ 4.12 ），即一個(gè)絕熱層表面上的熱流密度為0。 令kPkE，那么kekE/fe （4.13） 。表明界面的導(dǎo)熱系數(shù)ke完全與kP無關(guān)； ke不等于kE ，而是它的1/ fe 。 目的是通過（4.7）得到一個(gè)正確的qe，應(yīng)用(4.13)，得： 當(dāng)kPkE時(shí)，溫度Tp將一直擴(kuò)展到界面e，而溫降Tp-TE將實(shí)際上發(fā)生在距離(x)e+內(nèi)。 兩個(gè)極限情況討論表明這個(gè)公式可以適用于導(dǎo)熱系數(shù)突然變化的情況，而無需在發(fā)生

5、突變的鄰近區(qū)域采用極細(xì)的網(wǎng)格。1()()eeEpExxakk()()EpEeekTTqx(4.11)(4.14)-非線性即便是在熱傳導(dǎo)問題中我們也經(jīng)常遇到非線性的情況。如離散化方程中的系數(shù)本身與T有關(guān)。我們用迭代的方法來處理。過程包括：一開始在所有各個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上，猜測或估計(jì)一個(gè)T值。由這些估計(jì)的T值，計(jì)算出離散化方程中的系數(shù)的試探值。解名義上的線性化方程組，得到一組新的T值。以這些T值作為較好的估計(jì)值，返回到第二步并重復(fù)整個(gè)過程，直到這種進(jìn)一步的重復(fù)計(jì)算（迭代）不再引起T值任何有意義的變化為止。1.這種最終不變的狀態(tài)叫做迭代的收斂。與之相反，迭代永遠(yuǎn)也不會(huì)收斂到一個(gè)解的狀態(tài)稱為發(fā)散。-源項(xiàng)的線性

6、化 當(dāng)源項(xiàng)S與T有關(guān)時(shí)，用方程（4.4）給出的線性形式表達(dá)。 當(dāng)S是T的一個(gè)非線性函數(shù)時(shí)，必須把它線性化，即規(guī)定SC和SP的值。有很多方法可以把給定的S表達(dá)式分解成SC和SP。如：已知S=4-5T3。某些可能的線性化：1. SC =4-5Tp*3，Sp=0。這種做法不能很好利用已知ST關(guān)系的有利條件。2. SC =4， Sp= -Tp*3 ?？雌饋硐駵?zhǔn)確的線性化，但已知的曲線比這一關(guān)系所反映的曲線要陡。3. 推薦的方法：在點(diǎn)Tp* ，所選擇的直線與ST曲線相切。*3*2*3*2() ()4515()41015pPPPPPCPPPdSSSTTTTTTdTSTST 4. SC =4+20Tp*3，

7、Sp= -25Tp*2。這一線性化比已知的ST曲線陡，使收斂速度降低。四種可能的線性化與實(shí)際曲線比較如圖：-邊界條件討論圖中所示網(wǎng)格點(diǎn)組。 在兩個(gè)邊界上各有一個(gè)網(wǎng)格 點(diǎn)。其余網(wǎng)格點(diǎn)稱為內(nèi)點(diǎn)。 圍繞每個(gè)內(nèi)點(diǎn)有一個(gè)控制容 積。對(duì)每一個(gè)控制容積可以 寫一個(gè)像方程（4.2）那樣的離散化方程，如果看作是關(guān)于Tp的方程，那么就有了對(duì)所有內(nèi)網(wǎng)格點(diǎn)上未知溫度所必要的方程。其中有兩個(gè)方程包含著邊界網(wǎng)格點(diǎn)上的溫度。通過處理這些邊界溫度，就把已知的邊界條件引入到數(shù)值解法中。熱傳導(dǎo)問題中有三類典型邊界條件，對(duì)于每一種有： 1. 已知邊界溫度。此時(shí)不需要外加 任何方程。 2. 已知邊界熱流密度。得到：()()0()iB

8、IBCPBik TTqSS Txx (4.16)Boundary conditions 如果邊界上的熱流密度qB已知，則要求的對(duì)TB的方程變成：3. 通過放熱系數(shù)和周圍流體的溫度來規(guī)定邊界的熱流密度。如果熱流密度qB是放熱系數(shù)h以及環(huán)境流體溫度Tt規(guī)定，那么，方程TB方程變?yōu)椋哼@樣就構(gòu)成了對(duì)所有未知溫度的足夠數(shù)量的方程。BBIIa Ta TbBIPIIiCBaaSxkaxbSxq BfBqh TTBBIIa Ta TbBIPIIiCfaaSxhkaxbSxhT -線性代數(shù)方程的解 一維離散化方程的解可以用標(biāo)準(zhǔn)的高斯消去法得到。 當(dāng)寫這些方程的系數(shù)矩陣時(shí)，所有的非零系數(shù)均排列在矩陣的三角對(duì)角線上

9、，這種算法稱為TDMA（三對(duì)角矩陣算法）。 設(shè)網(wǎng)格點(diǎn)標(biāo)號(hào)為1，2，3，N，其中1和N代表邊界點(diǎn)。有：邊界溫度已知時(shí)，對(duì)邊界點(diǎn)的方程只剩下一個(gè)無意義的形式。(如c1=0,bN=0) T2可以用T3的一個(gè)關(guān)系式表示，.， TN 可以由TN+1表示，回代就是TDMA的要點(diǎn)。11iiiiiiiaTbTcTd(4.22)TDMANNNNNNidTcTa1iiiiiiidTcTbTa11121111dTbTai21232222dTcTbTai32343333dTcTbTai1211111NNNNNNNNidTcTbTaTDMAiiiiiiidTcTbTa11111iiiiQTPTiiiiiiiiidQTP

10、cTbTa1111111iiiiiiiiiiiiPcaQcdTPcabTiiiiQTPT 1TDMA1iiiiiPcabP11iiiiiiiPcaQcdQ11111112111adQabPdTbTaNNNNQTPb00iiiiQTPT 1TDMA 算法 計(jì)算：P1=b1/a1 and Q1=d1/a1 使用迭代關(guān)系式，獲得 Pi 和 Qi ，i=2,3N. 設(shè) TN =QN 使用迭代關(guān)系式，得到 Ti =Pi Ti+1 +Qi ， i=N-1, N-23, 2, 1 從而依次得到TN-1, TN-2, T3, T2, T1. 通用的離散化方程 時(shí)間是一個(gè)單向坐標(biāo)，由一已知的初始溫度分布開始，沿

11、著時(shí)間坐標(biāo)逐步向前求解：已知t時(shí)刻T在網(wǎng)格點(diǎn)上的值，求得t+t時(shí)刻值。 對(duì)整個(gè)控制容積積分方程： 得到：4-3 非穩(wěn)態(tài)一維熱傳導(dǎo)假設(shè)在網(wǎng)格點(diǎn)上的T值代表整個(gè)控制容積上的值，最后得到：TTcktxxd dd dettttewttwTTct xkx ttxx 10()()()d()()tteEPwPWpptewk TTkTTc x TTtxx 假設(shè)用下式歸納一般化有關(guān)TP、TE和TW如何隨時(shí)間由t到t+t而變化的關(guān)系： 其中f是在0和1之間變化的加權(quán)因子。于是：改寫后得：10d(1)ttPPPtTtfTf Tt1111100000()()()()()()()(1)()()eEPwPWPPeweEP

12、wPWewxk TTkTTcTTftxxk TTkTTfxx000000(1)(1)(1)(1)()()PPEEEWWWPEWPeWEWewPPEWPa TafTf TafTf Taf af aTkkaaxxc xatafafaa-顯式，克蘭克-尼科爾森模式，以及全隱式模式對(duì)于某個(gè)特定的加權(quán)因子f的值，離散化方程可簡化為適用于拋物線型微分方程的我們所熟悉的模式之一。f=0導(dǎo)致顯式模式；f=0.5導(dǎo)致克蘭克-尼科爾森模式；f=1導(dǎo)致全隱式模式。不同f值可以由圖中所示關(guān)系來說明：顯式模式假設(shè)老的值代表除了時(shí)刻 t+t以外整個(gè)時(shí)間間隔上的Tp值；全隱式模式假設(shè)在時(shí)刻t， Tp的值突 然降了，而后整個(gè)

13、時(shí)間步上保持為降 后的值，于是整個(gè)時(shí)間步期間溫度為 新值所確定。克蘭克-尼科爾森模式假設(shè)Tp呈線性 變化。如果我們要求方程（4.36）中系數(shù)務(wù)必永不為負(fù)，只有f=1。即全隱式模式能夠滿足我們簡單而物理上又滿意的要求。tTTpoldtTpnewt+tf=0f=0.5f=1顯式格式Explicit scheme00PPPewEWewcxaaatkkaaxxkkkxxxwewekxct22for:00PPEEWWaTaTaT00PEWPaaaTin order to give realistic solutionsCrank-Nicolson格式0022EEWWPPEWTTTTa Taa002EWP

14、PaaaT002EWPPPewEWewaacxaaatkkaaxxcan give unrealistic solutions隱式格式Implicit scheme0000PEWPPewEWewPCPPaaaaSxkkaaxxcxatbSxaTbTaTaTaWWEEPPalways gives realistic solutions-全隱式離散化方程線性化源項(xiàng)結(jié)果：t趨近于無窮大時(shí)，這個(gè)方程簡化為穩(wěn)態(tài)的離散化方程。全隱式模式主要原則：Tp的新值代表整個(gè)時(shí)間步上的值。因此如果導(dǎo)熱系數(shù)kp與溫度有關(guān)，就應(yīng)當(dāng)反復(fù)由它迭代算得新值。穩(wěn)態(tài)程序的其他環(huán)節(jié)，如邊界條件、源項(xiàng)線性化處理以及TDMA也都完全適用

15、于不穩(wěn)態(tài)問題。0000()()PPEEWWewEWewPcPPPEWPPa Ta Ta Tbkkaaxxc xabSxa TtaaaaSx 4.4 Unsteady2-D heat conductionSyTkyxTkxtTcDiscretized unsteady 2-D heat conduction equationbTaTaTaTaTaSSNNWWEEPP000ewEWewnsNSnspCppPEWNSPkykyaaxxkxkxaayycxyatbSxya TaaaaaSxyUnsteady 3-D heat conduction equationbTaTaTaTaTaTaTaBBTT

16、SSNNWWEEPPSzTkzyTkyxTkxtTcbTaTanbnbPPDiscretized unsteady 3-D heat conduction equation000ewEWewnsNSnstbTBtbpCppPEWNSTBPkyzkyzaaxxkzxkzxaayykxykxyaazzcxyzatbSxyzaTaaaaaaaSxyz-三維問題的離散化方程 加入兩個(gè)z方向的相鄰點(diǎn)T和B（項(xiàng)和底）構(gòu)成三維的網(wǎng)格圖形。 相鄰系數(shù)aE、aW、aN、aB代表P點(diǎn)與相鄰點(diǎn)之間的熱導(dǎo)；a0PT0P是t時(shí)刻控制容積內(nèi)部所包含的內(nèi)能（除以t）常數(shù)b由這一內(nèi)能項(xiàng)與由Sc所造成的在控制容積內(nèi)的發(fā)熱率組成

17、。中心點(diǎn)系數(shù)ap是所有相鄰點(diǎn)系數(shù)之和，并包括一項(xiàng)由線性的源項(xiàng)所作的貢獻(xiàn)。-代數(shù)方程的解 迭代法 高斯-賽德爾逐點(diǎn)計(jì)算法 按一定的順序逐個(gè)訪問每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，以計(jì)算那里的變量值。在計(jì)算機(jī)內(nèi)值需要存儲(chǔ)一組T值。開始，這些值代表最初的估計(jì)值或上一次迭代得到的值，在訪問每一個(gè)網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)時(shí)，在計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)中相應(yīng)的T值交替改變。 這種方法不是總可以得到收斂解的。斯卡巴勒準(zhǔn)則：高斯-賽德爾法收斂的充分條件是： 中，這種方法的主要缺點(diǎn)是收斂速度太慢，特別是網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)很大時(shí)。 PnbnbPabTaT11對(duì)所有的方程 對(duì)其中至少一個(gè)方程nbPaa 逐行法 把TDMA和高斯-賽德爾法結(jié)合起來。選擇一條網(wǎng)格行（設(shè)在y方向選取

18、這樣的網(wǎng)格行），假定沿相鄰的行上的T值批最新值構(gòu)成。用TDMA法求得所選行上的T值。將在同一方向的所有行進(jìn)行這種計(jì)算。如果想做的話，再按相同的方法在其他方向重復(fù)上述程序。 以二維為例，如圖所示的情況需要注意： 其它一些迭代方法ADI（方向交替的隱式）的逐行求解法；解多維離散化方程的強(qiáng)隱式法（SIP） 依前后二次迭代之間因變量的變化究竟是被加速還是被減慢的過程稱為超松弛或欠松弛。超松弛常用于和高斯-賽德爾法相結(jié)合，叫做持續(xù)超松弛（SOR）；欠松弛在強(qiáng)烈非線性方程組的迭代求解中用來避免發(fā)散。 取T*p作為前一次迭代所得Tp值。引進(jìn)松弛因子，得到： 可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)以及對(duì)所給定的問題所作的試探性計(jì)算求得

19、一個(gè)合適的值。4-5 超松弛和欠松弛(overrelaxation and underrelaxation)bTaTanbnbPP*PPnbnbPPTabTaTT*PPnbnbPPTabTaTT*11PPnbnbPPTabTaTa 通用慣量進(jìn)行松弛。用下面公式代替離散化方程： 式中i是所謂的慣量。對(duì)于正的i值，方程具有欠松弛作用；對(duì)于負(fù)的i則產(chǎn)生超松弛。*PnbnbPPiTbTaTia 控制容積面的位置 討論控制容積面構(gòu)成的兩種不同的替代形式，并討論它們各自有關(guān)的優(yōu)點(diǎn)。為方便起見，描述針對(duì)二維問題。 方法A：控制容積面放在兩個(gè)網(wǎng)格之間的中點(diǎn)。4-6 某些幾何上的考慮結(jié)果是：一個(gè)典型的網(wǎng)格P并不

20、落在包圍該點(diǎn)得控制容積的幾何中心上。 方法B： 網(wǎng)格點(diǎn)放在控制容積的中心： 克服了A的缺點(diǎn)。 具有方便性。 我們所提出的這種方法不只限于直角坐標(biāo)系，還可以用于任意一種正交坐標(biāo)系。以二維極坐標(biāo)問題為例，與方程 對(duì)應(yīng)的r形式是： 其中的網(wǎng)格與控制容積如圖示： 設(shè)控制容積在z方向厚度為1，方程 兩邊乘以r，并在整個(gè)控制容積范圍 內(nèi)對(duì)r和進(jìn)行積分，得到下面的離散 化方程：4-6 其它坐標(biāo)系()()TTTckkStxxyy11()()TTkTcrkStrrrr由一個(gè)新的坐標(biāo)系引入的補(bǔ)充特征主要是幾何上的特征。0000()()()()PPEEWWNNSSewEWeewwn ns sNSnsPCPPPEWN

21、SPPa Ta Ta Ta Ta Tbkrkraarrk rk raarrc VabSVa TtaaaaaaSV 5-1 任務(wù) 在通用微分方程中將對(duì)流項(xiàng)考慮進(jìn)去，只要對(duì)流項(xiàng)的加入不改變離散化的形式，同樣的處理方法仍然適用。 本章任務(wù)是：在已知的流場（即速度分量和密度）的情況下，求得對(duì)的解。 已知流場必須滿足連續(xù)性方程：第五章 對(duì)流與擴(kuò)散通用微分方程也可以改寫為：對(duì)于已知的、uj、以及S的分布，任何解及其變體（ 加一常量）將同時(shí)滿足方程，關(guān)于系數(shù)和的基本原則仍然適用。Sxxuxtjjjj0jjuxtjjjjuStxxx 討論只有對(duì)流與擴(kuò)散這兩項(xiàng)存在的情況下的一維穩(wěn)態(tài)問題。 控制微分方程： 應(yīng)用圖

22、示三網(wǎng)點(diǎn)群：5-2 一維穩(wěn)態(tài)對(duì)流與擴(kuò)散ddd(5.4)ddduxxx - 預(yù)備性的推導(dǎo)在整個(gè)控制容積內(nèi)對(duì)方程（5.4）積分：由對(duì)的一個(gè)分段線性分布表示項(xiàng)d/dx。結(jié)果是：因子1/2出自界面位于中點(diǎn)的假設(shè)；對(duì)不同的界面位置要采用其它內(nèi)插因子。則方程（5.6）寫成：net convectionnet diffusionddddewewuuxx 1122eEPwPWF FpF FwF FE1122EPPWeweEPwPWewuuxx定義兩個(gè)新的符號(hào)： 兩者具有相同因次， F表示對(duì)流或流動(dòng)的強(qiáng)度；D是擴(kuò)散傳導(dǎo)性。（注意，D永遠(yuǎn)為正，而F不同）離散化方程變?yōu)?FuDx/2/2/2/2()PPEEWWEe

23、eWwwPeewwEWewaaaaDFaDFaDFDFaaFF討 論 由于連續(xù)性Fe=Fw，得到ap=aE+aW 上述離散化方程隱含著分段線性分布中心差分 假定De=Dw=1及Fe=Fw4，則若E200及W100，P50若E100及W200，P250 方程（5.11)表明系數(shù)可能出現(xiàn)負(fù)值。 當(dāng)|F|小于2D時(shí)，系數(shù)才可能始終為正，即中心差分只能限于低Reynold數(shù)流動(dòng)。 若擴(kuò)散項(xiàng)為零，則中心差分格式導(dǎo)致ap=0，無法使用逐點(diǎn)法求解- 上風(fēng)方案亦稱為上風(fēng)差分格式、迎風(fēng)格式、上游差分格式以及供體（施主）室法等。方案認(rèn)為預(yù)備性公式的弱點(diǎn)在于假設(shè)：界面上的對(duì)流性質(zhì)e 是E和P的平均值。提出：保留擴(kuò)散

24、項(xiàng)的公式不變，而對(duì)流項(xiàng)則按下列假設(shè)計(jì)算： 界面上的值等于界面上風(fēng)側(cè)網(wǎng)格點(diǎn)上的值。于是 類似方法可確定w值。 定義 代表A，B中大者。則上風(fēng)方案意味： 離散化方程可寫為： 0 0 0 0eePeeEwwWwwPuuuu如果；如果如果； 如果BA,0,0PeEeeuFF ,0,0WwPwwuFF 不會(huì)產(chǎn)生負(fù)的系數(shù)；可以把這個(gè)方案說成是建立在“槽與管”的模型基礎(chǔ)上，管內(nèi)的流體不會(huì)“知道”將要流入那個(gè)槽內(nèi)的任何情況，但它卻攜帶了它所來自那個(gè)槽內(nèi)的全部信息。這就是上風(fēng)方案的本質(zhì)。PPEEWWaaa,0,0,0,0eEewWwewPewEWewaFxaFxaFFaaFFxx 精確解(Exact solut

25、ion) 如果取作常數(shù)，且邊界條件為：則其中 為貝克列數(shù)（ Number）， 是對(duì)流與擴(kuò)散強(qiáng)度之比。Pecletddddduxdxx 0oLxxLexp1exp1oLoxPLPuLP不同的貝克列數(shù)時(shí)的x變化如圖 P為0的極限條件下，問題成了純擴(kuò)散（或熱傳導(dǎo)）問題。 除非lPl lPl值非常小，曲線均偏離線性很遠(yuǎn)。 當(dāng)lPl值很大時(shí)，符合上風(fēng)方案假設(shè)，但上風(fēng)方案假設(shè)用于所有l(wèi)Pl。 當(dāng)lPl值很大時(shí)，x=L/2處d/dx幾乎為0，擴(kuò)散幾乎不存在。上風(fēng)方案總是由一線性的x分布計(jì)算擴(kuò)散項(xiàng)，從而在大的lPl值條件下過高估計(jì)了擴(kuò)散項(xiàng)。xFFLFoLP1P=-1- 指數(shù)方案由對(duì)流流量密度和擴(kuò)散流量密度所組

26、成的總流量密度由dJ/dx = 0，在整個(gè)控制容積內(nèi)積分，得到：可推得Je表達(dá)式：同理得到Jw表達(dá)式代入 ，寫成標(biāo)準(zhǔn)形式： 在應(yīng)用于一維穩(wěn)態(tài)問題時(shí)，該指數(shù)方案保證得到精確解。但：費(fèi)時(shí)；對(duì)于二維、三維及源項(xiàng)不為零時(shí)，不準(zhǔn)確。ddJux 0ewJJexp()1() ()PEeePeeeeeeeJFPuxFPDexp(/)exp(/)1exp(/)1()PPEEWWewwwEWeewwPEWewaaaFFFDaaFDFDaaaFF0ewJJ- 混合方案由 可以看到aE/De準(zhǔn)確變化的某些特殊性質(zhì)：代表這些極限情況的三條直線如圖中所示，它們構(gòu)成準(zhǔn)確曲線的一根包絡(luò)，并代表著這一準(zhǔn)確曲線的合理近似?；旌戏?/p>

27、案實(shí)際就是有著三條直線組成。exp()1EeeeaPDP1.02.3.012EeeEeeeEeeeaPDaPPDaPPD 對(duì)對(duì)在處，切線是用特殊符號(hào) 代表其中包含的所有量的最大值。于是 在貝克列數(shù)為-2 Pe2時(shí)，混合方案同中心差分格式一致；在該范圍之外，混合方案簡化為上風(fēng)方案?？砂鸦旌戏桨傅膶?duì)流-擴(kuò)散離散化方程寫成：BA,1,02,02eEeeeEeePaDPFaF D 或,02,02()PPEEWWeEeewWwwPEWewaaaFaF DFaF DaaaFF - 冪函數(shù)方案在Pe=2時(shí)，混合方案偏離準(zhǔn)確曲線相當(dāng)大，一個(gè)更好的近似由冪函數(shù)方案給定。aE的冪函數(shù)表達(dá)式可以寫成：緊湊形式可以寫

28、作：冪函數(shù)與準(zhǔn)確的指數(shù)方案之間的差異非常小。5e5e1010P0(10.1)P10(10.1)P100EeeeEeeEeeEeeaPPDaPePDaPDaD 對(duì)于對(duì)于對(duì)于0對(duì)于50.10,(1)0.eEeeeFaDFD- 一個(gè)通用化的公式討論圖中所示由距離分開的網(wǎng)格點(diǎn)i和i+1。有：建議：、是與P有關(guān)的無因次乘數(shù)，這樣，就有：其中A、B是無因次系數(shù)。它們是貝克列數(shù)的函數(shù)。*dd( / )JJPx*1(1)()iiiiJP *1iiJBA如果i和i+1相等，擴(kuò)散流為0，就有B=A+P。如果將坐標(biāo)軸方向反轉(zhuǎn)，有A(-P)=B(P)或B(-P)=A(P)。A和B隨貝克列數(shù)P的準(zhǔn)確變化如圖所示。應(yīng)用流

29、量關(guān)系式（5.37）于界面e和w，并利用方程得到通用的對(duì)流擴(kuò)散公式：于是可以把前面所推得的各種方案看成是選擇不同的函數(shù)A(lPl)而已。如圖、表所示：( )(),0( )(),0A PA PPB PA PP (),0(),0()EPPEEWWEeeeWwwwPWewaaaaD A PFaD A PFaaaFF 5()()10.510,10.50,(10.5)/ exp()1A PA PPPPPP各種不同方案（格式）的函數(shù)方案 對(duì)的公式中心差分 上 風(fēng) 混 合 冪 函 數(shù) 指數(shù)（精確解）- 各種方案（格式）的結(jié)果在結(jié)束一維問題的討論之前，檢查一下對(duì)于E和W由各個(gè)方案所計(jì)算出來的P值。令E=1，W

30、=0，(x)e與(x)w相等，于是P將是P的函數(shù)。如圖所示： 討論圖中的控制容積。5-3 二維問題的離散化方程 推導(dǎo)的細(xì)節(jié)方程（5.2）的二維形式： 其中在控制容積內(nèi)對(duì)方程（5.48）積分，得到：()yxJJStxyxyJuxJvy 00()()PPPPewnscPPx yJJJJSSx yt 類似積分連續(xù)性方程得到： 后面四項(xiàng)示通過控制容積面的質(zhì)量流量。以P乘以方程（5.51）并從方程（5.50）中減去所乘結(jié)果，得：在控制容積面上均勻性的假設(shè)使我們可以利用一維做法解決二維問題，有：0()0PPewnsx yFFFFt 00()()()()()()PPPeePwwPnnPssPcPPx yJF

31、JFtJFJFSSx y ()()(),0(),0eePEPEwwPWWPEeeeWwwwJFaJFaaD A PFaD A PF - 最終的離散化方程二維的離散化方程寫成：相應(yīng)的傳導(dǎo)性定義為：貝克列數(shù)定義為：冪函數(shù)方案是推薦的，有：5()0,(10.1)A PP00000,0,0,0,0PPEEWWNNSSEeeeWwwwNnnnSsssPPCPPPEWNSPPaaaaabaD A PFaD A PFaD A PFaD A PFx yabSx yataaaaaaSx y ()()()()eeewwwnnnsssyDxyDxxDyxDy ,ewnsewnsewnsFFFFPPPPDDDD5-4

32、 三維問題的離散化方程00000,0,0,0,0,0,0PPEEWWNNSSTTBBEeeeWwwwNnnnSsssTtttBbbbPPCPPPEWNSTBPPaaaaaaabaD A PFaD A PFaD A PFaD A PFaD A PFaD A PFx y zatbSx y zaaaaaaaaaSx y z 流量與傳導(dǎo)性定義為：貝克列數(shù)取為F/D，于是Pe=Fe/De，依此類推。冪函數(shù)公式為：()()()()()()()()()()()()eeeeewwwwwnnnnnssssstttttbbbbby zFuy zDxy zFuy zDxz xFuz xDxz xFuz xDxx yFux yDxx yFux yDx 5()0,(10.1)A PP5-5 單向空間坐標(biāo) 使空間坐標(biāo)成為單向坐標(biāo)的條件當(dāng)貝克列數(shù)大時(shí)，下游相鄰點(diǎn)的系數(shù)變小，當(dāng)貝克列數(shù)超過10時(shí)，冪函數(shù)方案將取下游相鄰點(diǎn)系數(shù)為0。這樣，由于在任何點(diǎn)上的值將不受x方向下游值的影響，x就成為一個(gè)單向的坐標(biāo)。即便一個(gè)空間坐標(biāo)就整個(gè)計(jì)算域而言并不是單向的，但在實(shí)際處理邊界條件時(shí)，往往應(yīng)用其局部的單向特性。出流邊界條件 在流動(dòng)出口的邊界上，不需要有關(guān)邊界條件的任