法拉第電磁感應(yīng)定律動(dòng)力學(xué)、能量、電荷量的求法

1、第二講 法拉第電磁感應(yīng)定律的綜合應(yīng)用一、電磁感應(yīng)中的動(dòng)力學(xué)問題F=BIL界狀態(tài)v與a方向關(guān)系運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的分析a變化情況F=ma合外力運(yùn)動(dòng)導(dǎo)體所受的安培力感應(yīng)電流確定電源（E，r）這類問題覆蓋面廣，題型也多種多樣；但解決這類問題的關(guān)鍵在于通過運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的分析來尋找過程中的臨界狀態(tài)，如速度、加速度取最大值或最小值的條件等，基本思路是： 【例1】如圖所示，AB、CD是兩根足夠長的固定平行金屬導(dǎo)軌，兩導(dǎo)軌間的距離為L，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角為，在整個(gè)導(dǎo)軌平面內(nèi)都有垂直于導(dǎo)軌平面斜向上方的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在導(dǎo)軌的 AC端連接一個(gè)阻值為 R的電阻，一根質(zhì)量為m、垂直于導(dǎo)軌放置的金屬棒ab，從靜止開始

2、沿導(dǎo)軌下滑，求此過程中ab棒的最大速度。已知ab與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，導(dǎo)軌和金屬棒的電阻都不計(jì)?！窘馕觥縜b沿導(dǎo)軌下滑過程中受四個(gè)力作用，即重力mg，支持力FN 、摩擦力Ff和安培力F安，如圖所示，ab由靜止開始下滑后，將是（為增大符號），所以這是個(gè)變加速過程，當(dāng)加速度減到a=0時(shí)，其速度即增到最大v=vm，此時(shí)必將處于平衡狀態(tài)，以后將以vm勻速下滑ab下滑時(shí)因切割磁感線，要產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢，根據(jù)電磁感應(yīng)定律： E=BLv 閉合電路AC ba中將產(chǎn)生感應(yīng)電流，根據(jù)閉合電路歐姆定律： I=E/R 據(jù)右手定則可判定感應(yīng)電流方向?yàn)閍AC ba，再據(jù)左手定則判斷它受的安培力F安方向如圖示，其大小為：F

3、安=BIL 取平行和垂直導(dǎo)軌的兩個(gè)方向?qū)b所受的力進(jìn)行正交分解，應(yīng)有： FN = mgcos Ff= mgcos由可得以ab為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律應(yīng)有：mgsin mgcos-=maab做加速度減小的變加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)a=0時(shí)速度達(dá)最大因此，ab達(dá)到vm時(shí)應(yīng)有：mgsin mgcos-=0 由式可解得【例2】如圖，兩根足夠長的金屬導(dǎo)軌ab、cd豎直放置，導(dǎo)軌間距離為L，電阻不計(jì)。在導(dǎo)軌上端并接兩個(gè)額定功率均為P、電阻均為R的小燈泡。整個(gè)系統(tǒng)置于勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度方向與導(dǎo)軌所在平面垂直?，F(xiàn)將一質(zhì)量為m、電阻可以忽略的金屬棒MN從圖示位置由靜止開始釋放。金屬棒下落過程中保持水平，且與導(dǎo)軌接

4、觸良好。已知某時(shí)刻后兩燈泡保持正常發(fā)光。重力加速度為g。求： （1）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大??； （2）燈泡正常發(fā)光時(shí)導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)速率。【解析】（1）設(shè)小燈泡的額定電流為I0，有由題意，在金屬棒沿導(dǎo)軌豎直下落的某時(shí)刻后，小燈泡保持正常發(fā)光，流經(jīng)MN的電流為此時(shí)金屬棒MN所受的重力和安培力相等，下落的速度達(dá)到最大值，有聯(lián)立式得 （2）設(shè)燈泡正常發(fā)光時(shí)，導(dǎo)體棒的速率為v，由電磁感應(yīng)定律與歐姆定律得聯(lián)立式得【答案】（1） （2）【例3】如圖所示，長平行導(dǎo)軌PQ、MN光滑，相距m，處在同一水平面中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.8T的勻強(qiáng)磁場豎直向下穿過導(dǎo)軌面橫跨在導(dǎo)軌上的直導(dǎo)線ab的質(zhì)量m =0.1kg、電阻R =0.8

5、，導(dǎo)軌電阻不計(jì)導(dǎo)軌間通過開關(guān)S將電動(dòng)勢E =1.5V、內(nèi)電阻r =0.2的電池接在M、P兩端，試計(jì)算分析：（1）在開關(guān)S剛閉合的初始時(shí)刻，導(dǎo)線ab的加速度多大？隨后ab的加速度、速度如何變化？（2）在閉合開關(guān)S后，怎樣才能使ab以恒定的速度 =7.5m/s沿導(dǎo)軌向右運(yùn)動(dòng)？【解析】（1）在S剛閉合的瞬間，導(dǎo)線ab速度為零，沒有電磁感應(yīng)現(xiàn)象，由a到b的電流，ab受安培力水平向右，此時(shí)瞬時(shí)加速度 ab運(yùn)動(dòng)起來且將發(fā)生電磁感應(yīng)現(xiàn)象ab向右運(yùn)動(dòng)的速度為時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢，根據(jù)右手定則，ab上的感應(yīng)電動(dòng)勢（a端電勢比b端高）在閉合電路中與電池電動(dòng)勢相反電路中的電流（順時(shí)針方向，）將減小（小于I0=1.5A），

6、ab所受的向右的安培力隨之減小，加速度也減小盡管加速度減小，速度還是在增大，感應(yīng)電動(dòng)勢E隨速度的增大而增大，電路中電流進(jìn)一步減小，安培力、加速度也隨之進(jìn)一步減小，當(dāng)感應(yīng)電動(dòng)勢與電池電動(dòng)勢E相等時(shí)，電路中電流為零，ab所受安培力、加速度也為零，這時(shí)ab的速度達(dá)到最大值，隨后則以最大速度繼續(xù)向右做勻速運(yùn)動(dòng)設(shè)最終達(dá)到的最大速度為m，根據(jù)上述分析可知：所以m/s=3.75m/s（2）如果ab以恒定速度m/s向右沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)，則ab中感應(yīng)電動(dòng)勢V=3V由于，這時(shí)閉合電路中電流方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，大小為：A=1.5A直導(dǎo)線ab中的電流由b到a，根據(jù)左手定則，磁場對ab有水平向左的安培力作用，大小為N=0.6N

7、所以要使ab以恒定速度m/s向右運(yùn)動(dòng)，必須有水平向右的恒力N作用于ab二、電磁感應(yīng)中的能量問題無論是使閉合回路的磁通量發(fā)生變化，還是使閉合回路的部分導(dǎo)體切割磁感線，都要消耗其它形式的能量，轉(zhuǎn)化為回路中的電能。這個(gè)過程不僅體現(xiàn)了能量的轉(zhuǎn)化，而且保持守恒，使我們進(jìn)一步認(rèn)識包含電和磁在內(nèi)的能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律的普遍性。分析問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)牢牢抓住能量守恒這一基本規(guī)律，分析清楚有哪些力做功，就可知道有哪些形式的能量參與了相互轉(zhuǎn)化，如有摩擦力做功，必然有內(nèi)能出現(xiàn)；重力做功，就可能有機(jī)械能參與轉(zhuǎn)化；安培力做負(fù)功就將其它形式能轉(zhuǎn)化為電能，做正功將電能轉(zhuǎn)化為其它形式的能；然后利用能量守恒列出方程求解?！纠?】如圖

8、所示，兩根足夠長的光滑平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ間距離為l =0.5m，其電阻不計(jì)，兩導(dǎo)軌及其構(gòu)成的平面均與水平面成30°角。完全相同的兩金屬棒ab、cd分別垂直導(dǎo)軌放置，每棒兩端都與導(dǎo)軌始終有良好接觸，已知兩棒質(zhì)量均為m=0.02kg，電阻均為R=0.1，整個(gè)裝置處在垂直于導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.2T，棒ab在平行于導(dǎo)軌向上的力F作用下，沿導(dǎo)軌向上勻速運(yùn)動(dòng)，而棒cd恰好能夠保持靜止。取g=10m/s2，問：（1）通過棒cd的電流I是多少，方向如何？（2）棒ab受到的力F多大？（3）棒cd每產(chǎn)生Q=0.1J的熱量，力F做的功W是多少？ 【解析】（1）棒cd受到的安培力

9、棒cd在共點(diǎn)力作用下平衡，則由式，代入數(shù)據(jù)得I=1A根據(jù)楞次定律可知，棒cd中的電流方向由d至c（2）棒ab與棒cd受到的安培力大小相等Fab=Fcd 對棒ab，由共點(diǎn)力平衡知代入數(shù)據(jù)解得F=0.2N （3）設(shè)在時(shí)間t內(nèi)棒cd產(chǎn)生Q=0.1J熱量，由焦耳定律知Q=I2Rt設(shè)棒ab勻速運(yùn)動(dòng)的速度大小為v，其產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢E=Blv由閉合電路歐姆定律知I由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式知在時(shí)間t內(nèi)，棒ab沿導(dǎo)軌的位移x=vt力F做的功W=Fx綜合上述各式，代入數(shù)據(jù)解得W=0.4J【答案】（1）1A 由d至c （2）0.2N （3）0.4J【例5】如圖，在水平面上有兩條平行導(dǎo)電導(dǎo)軌、,導(dǎo)軌間距離為，勻強(qiáng)磁場垂直于導(dǎo)軌

10、所在的平面（紙面）向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為，兩根金屬桿1、2擺在導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌垂直，它們的質(zhì)量和電阻分別為和、，兩桿與導(dǎo)軌接觸良好，與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，已知：桿1被外力拖動(dòng)，以恒定的速度沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)；達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，桿2也以恒定速度沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)軌的電阻可忽略，求此時(shí)桿2克服摩擦力做功的功率?！窘馕觥拷夥ㄒ唬涸O(shè)桿2的運(yùn)動(dòng)速度為v，由于兩桿運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩桿間和導(dǎo)軌構(gòu)成的回路中的磁通量發(fā)生變化，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢 感應(yīng)電流 桿2作勻速運(yùn)動(dòng)，它受到的安培力等于它受到的摩擦力，則 導(dǎo)體桿2克服摩擦力做功的功率 解得 解法二：以F表示拖動(dòng)桿1的外力，以I表示由桿1、桿2和導(dǎo)軌構(gòu)成的回路中的電流，達(dá)到穩(wěn)定時(shí)對桿

11、1有 對桿2有 外力F的功率 以P表示桿2克服摩擦力做功的功率，則有 由以上各式得 【答案】三、電磁感應(yīng)中的電量問題根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中，只要穿過閉合電路的磁通量發(fā)生變化，閉合電路中就會產(chǎn)生感應(yīng)電流。設(shè)在時(shí)間內(nèi)通過導(dǎo)線截面的電量為，則根據(jù)電流定義式及法拉第電磁感應(yīng)定律，得：如果閉合電路是一個(gè)單匝線圈（），則.上式中為線圈的匝數(shù)，為磁通量的變化量，R為閉合電路的總電阻?？梢姡陔姶鸥袘?yīng)現(xiàn)象中，只要穿過閉合電路的磁通量發(fā)生變化，閉合電路中就會產(chǎn)生感應(yīng)電流，在時(shí)間內(nèi)通過導(dǎo)線截面的電量僅由線圈的匝數(shù)、磁通量的變化量和閉合電路的電阻R決定，與發(fā)生磁通量的變化量的時(shí)間無關(guān)。因此，要快速

12、求得通過導(dǎo)體橫截面積的電量，關(guān)鍵是正確求得磁通量的變化量。磁通量的變化量是指穿過某一面積末時(shí)刻的磁通量與穿過這一面積初時(shí)刻的磁通量之差，即。在計(jì)算時(shí)，通常只取其絕對值，如果與反向，那么與的符號相反。線圈在勻強(qiáng)磁場中轉(zhuǎn)動(dòng)，產(chǎn)生交變電流，在一個(gè)周期內(nèi)穿過線圈的磁通量的變化量=0，故通過線圈的電量q=0。穿過閉合電路磁通量變化的形式一般有下列幾種情況：（1）閉合電路的面積在垂直于磁場方向上的分量S不變，磁感應(yīng)強(qiáng)度B發(fā)生變化時(shí)，；（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B不變，閉合電路的面積在垂直于磁場方向上的分量S發(fā)生變化時(shí)，；（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B與閉合電路的面積在垂直于磁場方向的分量S均發(fā)生變化時(shí)，。下面舉例說明：【例6】

13、如圖所示，閉合導(dǎo)線框的質(zhì)量可以忽略不計(jì)，將它從如圖所示的位置勻速拉出勻強(qiáng)磁場。若第一次用0.3s時(shí)間拉出，外力所做的功為，通過導(dǎo)線截面的電量為；第二次用時(shí)間拉出，外力所做的功為，通過導(dǎo)線截面的電量為，則（ ）A. B. C. D. 解析：設(shè)線框長為L1，寬為L2，第一次拉出速度為V1，第二次拉出速度為V2，則V1=3V2。勻速拉出磁場時(shí)，外力所做的功恰等于克服安培力所做的功，有，同理 ，故W1>W2；又由于線框兩次拉出過程中，磁通量的變化量相等，即，由，得：故正確答案為選項(xiàng)C?！纠?】如圖所示，空間存在垂直于紙面的均勻磁場，在半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)部及外部，磁場方向相反，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小均為

14、B。一半徑為，電阻為R的圓形導(dǎo)線環(huán)放置在紙面內(nèi)，其圓心與圓形區(qū)域的中心重合。當(dāng)內(nèi)、外磁場同時(shí)由B均勻地減小到零的過程中，通過導(dǎo)線截面的電量_。解析：由題意知：，由【例8】如圖所示，平行導(dǎo)軌置于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中（方向向里），間距為L，左端電阻為R，其余電阻不計(jì)，導(dǎo)軌右端接一電容為C的電容器?，F(xiàn)有一長2L的金屬棒ab放在導(dǎo)軌上，ab以a為軸以角速度順時(shí)針轉(zhuǎn)過90°的過程中，通過R的電量為多少？【解析】（1）由ab棒以a為軸旋轉(zhuǎn)到b端脫離導(dǎo)軌的過程中，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢一直增大，對C不斷充電，同時(shí)又與R構(gòu)成閉合回路。ab產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢的平均值 表示ab掃過的三角形的面積，即 通過R

15、的電量 由以上三式解得 在這一過程中電容器充電的總電量Q=CUm Um為ab棒在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢的最大值。即 聯(lián)立得：（2）當(dāng)ab棒脫離導(dǎo)軌后（電容器對R放電，通過R的電量為 Q2，所以整個(gè)過程中通過 R的總電量為： Q=Q1Q2=四、電磁感應(yīng)中的圖象問題1、定性或定量地表示出所研究問題的函數(shù)關(guān)系2、在圖象中E、I、B等物理量的方向是通過正負(fù)值來反映3、畫圖象時(shí)要注意橫、縱坐標(biāo)的單位長度定義或表達(dá)【例9】勻強(qiáng)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度B = 0.2T，磁場寬度L = 3m，一正方形金屬框邊長ab = l = 1m，每邊電阻r = 0.2， 金屬框以v = 10m/s的速度勻速穿過磁場區(qū)，其平面始

16、終保持與磁感線方向垂直，如圖所示，求：（1）畫出金屬線框穿過磁場區(qū)的過程中，金屬框內(nèi)感應(yīng)電流的I-t圖像。（2）畫出ab兩端電壓的Ut圖像?！窘馕觥浚?）線框進(jìn)入磁場區(qū)時(shí)，方向?yàn)槟鏁r(shí)針，如圖(a)實(shí)線abcd所示，感應(yīng)電流持續(xù)時(shí)間 線框在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，無電流的持續(xù)時(shí)間 線框穿出場區(qū)時(shí)，此電流為順時(shí)針方向，如圖(a)虛線abcd所示。若規(guī)定電流方向逆時(shí)針為正，則I-t圖線如圖(b)所示：（2）線框進(jìn)入磁場區(qū)ab兩端的電壓U1 = I1r = 0.5V，線框在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，ab兩端的電壓等于感應(yīng)電動(dòng)勢U2 = Blv = 2V， 線框出磁場時(shí)ab兩端的電壓，由此得U-I圖線如圖(c)所示?！敬鸢浮?/p>

17、如上圖所示。二、變B型【例9】如圖甲所示，在水平面上固定有長為m、寬為m的金屬“U”型導(dǎo)軌，在“U”型導(dǎo)軌右側(cè)m范圍內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，且磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化規(guī)律如圖乙所示。在時(shí)刻，質(zhì)量為kg的導(dǎo)體棒以v0=1m/s的初速度從導(dǎo)軌的左端開始向右運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒單位長度的電阻均為/m，不計(jì)導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌之間的接觸電阻及地球磁場的影響（取m/s2）。（1）通過計(jì)算分析4s內(nèi)導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)情況；（2）計(jì)算4s內(nèi)回路中電流的大小，并判斷電流方向；（3）計(jì)算4s內(nèi)回路產(chǎn)生的焦耳熱?！窘馕觥浚?）導(dǎo)體棒先在無磁場區(qū)域做勻減速運(yùn)動(dòng)，有 代入數(shù)據(jù)解得 ，導(dǎo)體棒沒有進(jìn)入磁

18、場區(qū)域。導(dǎo)體棒在1s末已停止運(yùn)動(dòng)，以后一直保持靜止，離左端位置仍為 （2）前磁通量不變，回路電動(dòng)勢和電流分別為 后回路產(chǎn)生的電動(dòng)勢為 V回路的總長度為5m，因此回路的總電阻為 電流為 A根據(jù)楞次定律可知在回路中的電流方向是順時(shí)針方向 （3）前2s電流為零，后2s有恒定電流，焦耳熱為 J【答案】（1）導(dǎo)體棒先在無磁場區(qū)域做勻減速運(yùn)動(dòng)，在1s末已停止運(yùn)動(dòng)，以后一直保持靜止，離左端位置仍為0.5m； （2）0.2A 順時(shí)針方向 （3）0.04J【例9】在豎直向上的勻強(qiáng)磁場中，水平放置一個(gè)不變形的單匝金屬圓線圈，規(guī)定線圈中感應(yīng)電流的正方向如圖1所示，當(dāng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t如圖2變化時(shí)，下圖中正確表示線圈中感應(yīng)電動(dòng)勢E變化的是（ ）【答案】A三、轉(zhuǎn)動(dòng)型【例9】如圖所示，一導(dǎo)體圓環(huán)位于