清華智能控制課件2-6 完

1、Zhidong DENGDepartment of Computer ScienceTsinghua University鄧志東鄧志東 清華大學計算機系清華大學計算機系建議參考如下文獻：建議參考如下文獻：1 X. J. Ma, et al., Analysis and Design of Fuzzy Controller and Fuzzy Observer, IEEE Trans. on Fuzzy Systems, vol.6, no.1, 1998, pp.41-51. 2 X. J. Ma, et al., Output Tracking and Regulation of Nonli

2、near System Based on Takagi-Sugeno Fuzzy Model, IEEE Transaction on systems,Man and Cybernetics-Part B: Cybernetics, vol.30, no.1, 2000, pp.77-89.3 X. J. Ma, et al., Analysis and Design of Fuzzy Reduced Dimensional Observer and Fuzzy Functional Observer, Fuzzy Sets and Systems, vol.120, 2001, pp.35-

3、63.2.7.5 2.7.5 基于模糊狀態(tài)方程模型的系統(tǒng)分析和設計基于模糊狀態(tài)方程模型的系統(tǒng)分析和設計對離散被控對象對離散被控對象 :若 是 and and 是 ，則Mi1)(kzgigM kz1iR(1)( )( )( )( )( )iiiikFkGkkCkDkxxuyxuil1 2, )()()()(21kzkzkzkzg )()()()(u21kukukukm )()()()(y21kykykykr其中，其中，z是可測變量，是狀態(tài)是可測變量，是狀態(tài)x的函數。的函數。 )()()()(x21kxkxkxknigiiMMM 1定義定義上述模糊模型可以改寫為：上述模糊模型可以改寫為： iR:

4、若 是 ，則Mi(1)( )( )( )( )( )iiiikFkGkkCkDkxxuyxu若設若設 表示表示z屬于屬于 的隸屬函數，若直積運算采用求積的隸屬函數，若直積運算采用求積法，則法，則表示表示z屬于屬于 的隸屬函數，同時它也表示第的隸屬函數，同時它也表示第i條規(guī)則的適用條規(guī)則的適用度。度。)(zMijMjigjijizMzM1)()(Mi( )z k若模糊化采用單點模糊集合，清晰化采用加權平均法，則可若模糊化采用單點模糊集合，清晰化采用加權平均法，則可得整個系統(tǒng)狀態(tài)方程為得整個系統(tǒng)狀態(tài)方程為 )(u)(x )(u)(x)()()(u)(x)()1(x111kGkFkGkFzzMkGk

5、FzMkiiliiljjliiii )(u)(x )(u)(x )()()(u)(x )()(y111kDkCkDkCzzMkDkCzMkiiliiljjiilii ljjiizMzMz1)()()( liiiFzF1)( liiiGzG1)( 0)( zMi1( )0liiMz1)(0 zi 1)(1 liiz )(zi 第第i條規(guī)則的歸一化后的適用度條規(guī)則的歸一化后的適用度 物理解釋：物理解釋：將整個將整個n維狀態(tài)空間分為維狀態(tài)空間分為l個模糊子空間集合個模糊子空間集合 ( )( )。對于每個模糊子空間，系統(tǒng)的動力學特性。對于每個模糊子空間，系統(tǒng)的動力學特性可用一個局部線性狀態(tài)方程來描述。

6、整個系統(tǒng)動力學特性則可用一個局部線性狀態(tài)方程來描述。整個系統(tǒng)動力學特性則是這些局部線性模型的加權和。換句話說，該模糊建模方法是這些局部線性模型的加權和。換句話說，該模糊建模方法的本質在于：的本質在于：一個整體非線性的動力學模型可以看成是許多一個整體非線性的動力學模型可以看成是許多個局部線性模型的模糊逼近。個局部線性模型的模糊逼近。 Miil1 2, 狀態(tài)方程形式上是線性模型，而實質上是非線性模型！狀態(tài)方程形式上是線性模型，而實質上是非線性模型！ )(u)x()(x)x()(y)(u)x()(x)x()1(xkDkCkkGkFk常規(guī)的線性模型可看成為上述模糊模型的一個特例常規(guī)的線性模型可看成為上

7、述模糊模型的一個特例( )( )。 l 1對連續(xù)被控對象對連續(xù)被控對象 iR: 若若 是是 則則Mi )(u)(x)(y)(u)(x)(xtDtCttBtAtiiiiil1 2, 整個系統(tǒng)的狀態(tài)方程為整個系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 )(u)(x)(y)(u)(x)(xtDtCttBtAt( )z t ljjiizMzMz1)()()( liiiAzA1)( liiiBzB1)( liiiCzC1)( liiiDzD1)( njijizMzM1)()(0)( zMi1( )0ljjMz1)(0 zi 1)(1 liiz 上面所介紹的方法將整個系統(tǒng)的控制取為各個子系統(tǒng)上面所介紹的方法將整個系統(tǒng)的控制取為各個

8、子系統(tǒng)局部反饋控制的加權和局部反饋控制的加權和, 即即 ， 。ux( )( )tL tLLiiil( )x1 穩(wěn)定性分析需要尋找一個共同的正定矩陣穩(wěn)定性分析需要尋找一個共同的正定矩陣P。這常。這常常是一件比較困難的工作。常是一件比較困難的工作。 下面介紹另外一種模糊控制器設計方法，其全局控制下面介紹另外一種模糊控制器設計方法，其全局控制采用起主導作用的子系統(tǒng)的局部控制，所謂主導作用的采用起主導作用的子系統(tǒng)的局部控制，所謂主導作用的子系統(tǒng)是指其隸屬函數取最大值。子系統(tǒng)是指其隸屬函數取最大值。 對于對于離散系統(tǒng)：離散系統(tǒng)： ：若：若 是是 ，則，則icR)(kxiM)(x)(ukLki il1 2

9、, 取整個系統(tǒng)的控制為取整個系統(tǒng)的控制為)(x)(ukLkk kiiil( )max( ), xx 1 2 將該控制律代入被控對象的模糊模型，可得將該控制律代入被控對象的模糊模型，可得xxxxxxxxx()( )( )() ( )( )( ) ( )( )() ( )kFkGLkFGLkFG LkFG Lkkkiiiliikiliiikil1111 yxux( )( )( )() ( )kCkDkCDLkk其中其中 是起主導作用子系統(tǒng)的反饋控制增益陣，即是起主導作用子系統(tǒng)的反饋控制增益陣，即kL系統(tǒng)穩(wěn)定性檢驗系統(tǒng)穩(wěn)定性檢驗 設每個模糊子系統(tǒng)設每個模糊子系統(tǒng) 是局部能控的，則一定可以設是局部能控

10、的，則一定可以設計出局部反饋控制計出局部反饋控制 ，以使得，以使得 的特征根均在的特征根均在單位圓內，即一定存在正定對稱陣單位圓內，即一定存在正定對稱陣 和和 ，滿足如下的，滿足如下的Lyapunov方程方程(,)FGii LiHFG LiiiiPiQiH PHPQiiiiiT 取取PPiil1并令并令QFG LP FG LPkiiikiik()()T定義定義kikiQmax()為為 的最大特征值，則可給出如下穩(wěn)定性定理：的最大特征值，則可給出如下穩(wěn)定性定理：Qki對于上面所描述的離散模糊系統(tǒng)，如果對于對于上面所描述的離散模糊系統(tǒng)，如果對于 均有均有kl1 2, ijkijlil( )( )x

11、x110即即ijkijj klii klkkk( )( )( )xxx 112則整個閉環(huán)系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的。則整個閉環(huán)系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的。 可以看出，為了盡可能比較容易地滿足上述定理的條可以看出，為了盡可能比較容易地滿足上述定理的條件，當第件，當第k條規(guī)則起主要作用（即第條規(guī)則起主要作用（即第k個模糊子系統(tǒng)為個模糊子系統(tǒng)為主導子系統(tǒng)）時，其它規(guī)則的作用應盡可能地小。主導子系統(tǒng)）時，其它規(guī)則的作用應盡可能地小。對于對于連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)，可采用類似方法來設計模糊控制器，即，可采用類似方法來設計模糊控制器，即：若：若 是是 ，則，則icR)(txiM)(x)(utLti il1 2, 取整個系統(tǒng)

12、的控制為取整個系統(tǒng)的控制為)(x)(utLtk 其中是起主導作用子系統(tǒng)的反饋控制律，即其中是起主導作用子系統(tǒng)的反饋控制律，即kiiil( )max( ), xx 1 2 將該控制律代入被控對象的模糊模型，可得將該控制律代入被控對象的模糊模型，可得( )( )( )() ( )( )( ) ( )( )() ( )xxxxxxxxxtAtBLtABLtAB LtAB Ltkkiiiliikiliiikil111 yxux( )( )( )() ( )tCtDtCDLtk設每個模糊子系統(tǒng)設每個模糊子系統(tǒng) 是局部能控的，則一定可以設是局部能控的，則一定可以設計出局部反饋控制計出局部反饋控制 ，以使得

13、以使得 是穩(wěn)定的，即是穩(wěn)定的，即一定存在正定對稱陣一定存在正定對稱陣 和和 ，滿足如下的，滿足如下的Lyapunov方程方程:(,)ABii LiHABLiiiiPiQiH PPHQiiiiiT 取取PPiil1并令并令)()(TkiikiikiLBAPPLBAQ 定義定義kikiQmax()為為 的最大特征值。的最大特征值。Qki對于上面所描述的連續(xù)模糊系統(tǒng)，如果對于對于上面所描述的連續(xù)模糊系統(tǒng)，如果對于 均有均有kl1 2, ikiil( )x10即即ikiii klkkk( )( )xx 1則整個閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。則整個閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。這時可給出如下的穩(wěn)定性定理：這時可給出如下

14、的穩(wěn)定性定理： 模糊觀測器的設計方法之一，是將整個系統(tǒng)的模糊模糊觀測器的設計方法之一，是將整個系統(tǒng)的模糊觀測器增益矩陣取為各局部子系統(tǒng)的增益矩陣的加權觀測器增益矩陣取為各局部子系統(tǒng)的增益矩陣的加權和。但與上述模糊控制器設計方法類似，其穩(wěn)定性分和。但與上述模糊控制器設計方法類似，其穩(wěn)定性分析需要尋找一個共同的正定矩陣析需要尋找一個共同的正定矩陣P。 下面介紹另外一種模糊觀測器的設計方法，整個系下面介紹另外一種模糊觀測器的設計方法，整個系統(tǒng)的觀測器增益矩陣采用起主導作用的局部子系統(tǒng)的統(tǒng)的觀測器增益矩陣采用起主導作用的局部子系統(tǒng)的增益矩陣。增益矩陣。 以以離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)為例，利用模糊模型表示即為為

15、例，利用模糊模型表示即為 ：若：若 是是 ，則，則ioR)(kxiM)(y )(y)(u)(x )1(x kkKkGkFkiii il1 2, 取整個系統(tǒng)的模糊觀測器方程為取整個系統(tǒng)的模糊觀測器方程為)(y )(y)(u)(x )1(x kkKkGkFkk kiiil( )max( ), xx 1 2 容易求得狀態(tài)估計的誤差方程為容易求得狀態(tài)估計的誤差方程為()() ( )( )( )( )( )() ( )xxxxxxxkFK CkFKCkFK Ckkiilikiiliiiliki1111 其中其中 是起主導作用的局部子系統(tǒng)的觀測器增益矩陣，即是起主導作用的局部子系統(tǒng)的觀測器增益矩陣，即kK

16、設每個模糊子系統(tǒng)設每個模糊子系統(tǒng) 是局部能觀的，則一定可設計是局部能觀的，則一定可設計出局部的觀測器增益矩陣出局部的觀測器增益矩陣 ，以使得，以使得 的特征的特征根均在單位圓內，即一定存在正定對稱陣根均在單位圓內，即一定存在正定對稱陣 和和 ，滿足，滿足如下的如下的Lyapunov方程方程(,)FCii SFK GiiiiPiQiS PSPQiiiiiT 取取PPiil1并令并令QFK CP FK CPkiikiiki()()T定義定義kikiQmax()為為 的最大特征值，則可給出如下的穩(wěn)定性定理：的最大特征值，則可給出如下的穩(wěn)定性定理：QkiiK對于上面所描述的離散模糊觀測器系統(tǒng)，如果對于

17、對于上面所描述的離散模糊觀測器系統(tǒng)，如果對于 ，均有，均有kl1 2, ijkijlil( )( )xx110即即ijkijj klii klkkk( )( )( )xxx 112則整個模糊觀測器系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的。則整個模糊觀測器系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的。對于對于連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)，可采用類似的方法來設計模糊觀測器，即，可采用類似的方法來設計模糊觀測器，即：若：若 是是 ，則，則ioR)(txiM)(y )(y)(u)(x )(x ttKtGtFtiii il1 2, 取整個系統(tǒng)的觀測器方程為取整個系統(tǒng)的觀測器方程為( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )xxuyyxuyytA

18、tBtKttAtBtKttiiliiiliiilkk111 其中其中 是起主導作用的局部子系統(tǒng)的觀測器增益矩陣，即是起主導作用的局部子系統(tǒng)的觀測器增益矩陣，即Kkkiiil( )max( ), xx 1 2 狀態(tài)估計的誤差方程為狀態(tài)估計的誤差方程為( )() ( )( )() ( )xxxxtAK CkAK Ctkiiliki1設每個模糊子系統(tǒng)設每個模糊子系統(tǒng) 是局部能觀的，則一定可設計是局部能觀的，則一定可設計出局部的觀測器增益矩陣出局部的觀測器增益矩陣 ，以使得，以使得 的特征的特征根均在左半平面，即一定存在正定對稱陣根均在左半平面，即一定存在正定對稱陣 和和 ，滿足，滿足如下的如下的Ly

19、apunov方程方程(,)ACii KiPiQiSAK CiiiiS PPSQiiiiiT 取取PPiil1并令并令)()(TikiikikiCKAPPCKAQ定義定義kikiQmax()為為 的最大的特征值，則可給出如下的穩(wěn)定性定理：的最大的特征值，則可給出如下的穩(wěn)定性定理：kiQ對于上面所描述的連續(xù)模糊觀測器系統(tǒng)，如果對于對于上面所描述的連續(xù)模糊觀測器系統(tǒng)，如果對于 均有均有il1 2, ikiil( )x10即即ikiii klkkk( )( )xx 1則整個模糊觀測器系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的。則整個模糊觀測器系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的。 下面舉兩個例子來說明前面介紹的第下面舉兩個例子來說明前面介

20、紹的第種模糊控制器種模糊控制器設計方法設計方法【例例2.15 Very Important!pp.104-107】。例例 設已知模糊被控對象為設已知模糊被控對象為：若：若 是是N(負負)，則，則y( ) tRp1 xyuxx111CBA：若：若 是是P(正正)，則，則y( ) t2pR xyuxx222CBA其中其中 391. 2484. 2101A 101B 0227. 11 C 722. 4425. 415 . 02A 102B 0025. 22 C其歸一化隸屬函數分別為其歸一化隸屬函數分別為)5 . 0(2N1111)()( yeyy )5 . 0(2P211)()( yeyy 注意在該

21、例中的模糊分割是對輸出空間而非前面介紹注意在該例中的模糊分割是對輸出空間而非前面介紹的狀態(tài)空間。這一點不影響前述設計方法的應用。的狀態(tài)空間。這一點不影響前述設計方法的應用。 設選擇兩個子系統(tǒng)的期望閉環(huán)特征方程為設選擇兩個子系統(tǒng)的期望閉環(huán)特征方程為ss27 07250.則可分別求得各自的狀態(tài)反饋控制增益向量為則可分別求得各自的狀態(tài)反饋控制增益向量為461.9 ,516.221 L848.2 ,36.242 L求解如下的求解如下的Lyapunov方程方程iiiiiQHPPH T其中其中 ， 。取。取 (單位陣單位陣)，則，則可得可得iiiiLBAH 2 , 1 iQQI12 0736. 00200

22、. 00200. 09802. 11P 0743. 00621. 00621. 05767. 22P取取 ，計算，計算21PPP )()(TkiikiikiLBAPPLBAQ )(maxkikiQ 其中其中 及及 ，最后算得，最后算得2 , 1 i2 , 1k111 8911 .1309. 0220963. 0212032. 012檢驗定理條件以判斷穩(wěn)定性，當檢驗定理條件以判斷穩(wěn)定性，當 時時k 112()0 20321891121.成立。當成立。當 時時k 221()0 09630 130912.成立。成立。因而滿足定理條件，說明整個閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。因而滿足定理條件，說明整個閉環(huán)系統(tǒng)是

23、漸近穩(wěn)定的。 為了進行比較為了進行比較，圖，圖2.37 (p.105) 給出了只用狀態(tài)反饋給出了只用狀態(tài)反饋增益增益 時時的系統(tǒng)的響應。的系統(tǒng)的響應。 通過比較可以看出，模糊控制器設計方法給出了較好通過比較可以看出，模糊控制器設計方法給出了較好的結果。的結果。 該例中設兩個狀態(tài)均可測，因而不需要觀測器。圖該例中設兩個狀態(tài)均可測，因而不需要觀測器。圖2.36 (p.105)給出了當給出了當x(0) = 1.0 1.0T時采用模糊切換控時采用模糊切換控制器的制器的仿真結果。仿真結果。2L 將將n維非線性狀態(tài)空間模糊分割為維非線性狀態(tài)空間模糊分割為l個線性子空間。個線性子空間。對每個線性子空間，分別

24、設計一個基于對每個線性子空間，分別設計一個基于特征建模的黃特征建模的黃金分割控制器金分割控制器，然后將整個非線性系統(tǒng)的控制取為各，然后將整個非線性系統(tǒng)的控制取為各個線性子系統(tǒng)局部黃金分割控制的加權和個線性子系統(tǒng)局部黃金分割控制的加權和, 即即1 1、基本思想：、基本思想： 1( )likikiux u補充：模糊黃金分割控制器設計補充：模糊黃金分割控制器設計11101110( )mmmmnnnb sbsbsbG ssasa sa 對如下的線性定常高階被控系統(tǒng)：對如下的線性定常高階被控系統(tǒng)：相應的黃金分割控制器設計為：相應的黃金分割控制器設計為：可以利用一個二階的慢時變差分方程來近似，即可以利用一

25、個二階的慢時變差分方程來近似，即2 2、特征建模方法：、特征建模方法： 11,2,10,kkkkkkkyfyfygu1 1,22,10,kkkkkkkL fyL fyug 補充：模糊黃金分割控制器設計補充：模糊黃金分割控制器設計 其中其中則則令令2 2、特征建模方法：、特征建模方法： 11,2,0,TkkkkTkkkkyyuffg12,0.382,0.618,kkdkyyyLL 為一個小正數為一個小正數dy 為期望輸出，且為期望輸出，且1,2,0,kkkffg 分別分別1,2,0,kkkffg 為為 的遞推最小二乘估計。的遞推最小二乘估計。1Tkkky 補充：模糊黃金分割控制器設計補充：模糊黃

26、金分割控制器設計（避免分母為（避免分母為0），），其中其中2 2、特征建模方法：、特征建模方法： 1111111111()()kkkTkkkTkkkkkkTkkkkPKPKyPIKP 遞推最小二乘法：遞推最小二乘法：(0)P為給定的正定對角矩陣。為給定的正定對角矩陣。 事實上，我們也可利用遞推投影法進行估計。事實上，我們也可利用遞推投影法進行估計。補充：模糊黃金分割控制器設計補充：模糊黃金分割控制器設計 利用利用l 條條T-S模糊規(guī)則，被控對象的模糊特征模型可以模糊規(guī)則，被控對象的模糊特征模型可以表示為：表示為：3 3、模糊黃金分割控制器設計：、模糊黃金分割控制器設計： 補充：模糊黃金分割控制器設計補充：模糊黃金分割控制器設計 : 若若 是是 AND AND 是是 ，則，則Mi1)(kzgigM kz1iR11,2,10,iiiikkkkkkkyfyfygu其中，其中，zi是是可測變量可測變量，