《第六章近獨立粒子的最概然分布》作業(yè)評講

1、第六章 近獨立粒子的最概然分布作業(yè)評講習題6.1試證明，在體積V內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，三維自由粒子的量子態(tài)數(shù)為：證明：三維粒子局域于宏觀體積下運動，其能量值和動量值是準連續(xù)的。在六維相空間，相體積元內(nèi)的微觀量子態(tài)為：體積內(nèi)，動量在范圍的自由粒子量子態(tài)數(shù)。對積分,可得體積內(nèi)自由粒子動量大小在范圍的量子態(tài)由進行變量代換：，代入上式可得：在體積V內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，三維自由粒子的量子態(tài)數(shù)為：其中為在到的能量范圍內(nèi)單位能量間隔的量子態(tài)數(shù)，稱為量子態(tài)密度 證畢。習題6.2 試證明，對子一維自由粒子，在長度L內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，量子態(tài)數(shù)為：證明：一維粒子局域于宏觀長度L內(nèi)運動，其能量值和動量值是準連續(xù)

2、的。在二維相空間，相體積元內(nèi)的微觀量子態(tài)為：在長度內(nèi)，動量在范圍的自由粒子量子態(tài)數(shù)。對在范圍及積分,可得在長度內(nèi)，自由粒子動量大小在范圍的量子態(tài)由進行變量代換：，代入上式可得：長度內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，一維自由粒子的量子態(tài)數(shù)為： 習題6.3試證明，對于二維自由粒子，在面積L2內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，量子態(tài)數(shù)為證明：二維粒子局域于宏觀面積L2內(nèi)運動，其能量值和動量值是準連續(xù)的。在四維相空間，相體積元內(nèi)的微觀量子態(tài)為：面積內(nèi)，動量在范圍的自由粒子量子態(tài)數(shù)。對積分,可得在面積L2內(nèi)，自由粒子動量大小在范圍的量子態(tài)由進行變量代換：，代入上式可得：面積內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi),二維自由粒子的量子態(tài)數(shù)為： 習題

3、6.4在極端相對論情形下，粒子的能量動量關(guān)系為。試求在體積V內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)能量范圍內(nèi)三維粒子的量子態(tài)數(shù)。解：三維粒子局域于宏觀體積下運動，其能量值和動量值是準連續(xù)的。在六維相空間，相體積元內(nèi)的微觀量子態(tài)為：體積內(nèi)，動量在范圍的自由粒子量子態(tài)數(shù)。對積分,可得體積內(nèi)自由粒子動量大小在范圍的量子態(tài)由粒子的能量動量關(guān)系為進行變量代換：， 代入上式可得：在極端相對論情形下,在體積V內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，三維自由粒子的量子態(tài)數(shù)為：于是， 第六章 近獨立粒子的最概然分布(補充例題) 例1：（1）假設某種類型分子的許可能級為0、，而且都是非簡并的，如果體系含有6個分子，問與總能量相聯(lián)系的是什么樣的分布？

4、并根據(jù)公式計算每種分布的微觀態(tài)數(shù),并由此確定各種分布的幾率（設各種微觀態(tài)出現(xiàn)的幾率相等）。（2）、在題（1）中，如0和兩能級是非簡并的，而和兩個能級分別是6度和10度簡并。試重復上面的計算。解：（1）粒子的在各能級的分布可以描述如下：能 級 能量值 簡并度 分布數(shù) 分布要滿足的條件是： ， 滿足上述限制條件的分布可以有： 則各分布所對應的微觀態(tài)數(shù)為： 所以此種情況下體系的總的微觀狀態(tài)數(shù)為各分布的幾率為： （2）粒子的在各能級的分布可以描述如下：能 級 能量值 簡并度 分布數(shù) 分布要滿足的條件是： ， 滿足上述限制條件的分布可以有： 則各分布所對應的微觀態(tài)數(shù)為： 所以此種情況下體系的總的微觀狀態(tài)

5、數(shù)為各分布的幾率為： 例2：設系統(tǒng)含有兩種粒子，其粒子數(shù)分別為N和N.粒子間的相互作用很弱，可看作是近獨立的。假設粒子可分辨，處在一個個體量子態(tài)的粒子數(shù)不受限制。試證明，在平衡態(tài)下兩種粒子的最概然分布分別為：和其中和是兩種粒子的能級，和是能級簡并度。證： 粒子A能級，粒子數(shù)分布：al簡并度 粒子B能級，粒子數(shù)分布：al簡并度體系兩種粒子分布要滿足的條件為： ， 分布，對應的微觀狀態(tài)數(shù)為                  

6、60;        分布，對應的微觀狀態(tài)數(shù)為                           則系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)為 上式表明：當?shù)谝活惲Ｗ拥姆植紴閍l，而同時第二類粒子的分布為al時系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)。在平衡下兩種粒子的最可幾分布是對應于在限制條件， 下使為極大的分布。利用斯特林

7、公式可得：由，得而由限制條件可得：， 引入拉氏不定乘子，得根據(jù)拉格朗日未定乘子法原理，每個及的系數(shù)都等于零，所以得：討論：（1）、上面的推導表明，兩種粒子各自遵從玻耳茲曼分布，兩分布的，不同，但有共同的，原因在于開始就假設兩種粒子的粒子數(shù)和能量具有確定值，這意味著在相互作用中兩粒子可以交換能量，但不會相互轉(zhuǎn)化。從上述結(jié)果還可看出，由兩個弱相互作用的子系統(tǒng)構(gòu)成的系統(tǒng)達到平衡時，兩子系統(tǒng)有相同的（2）、如果把每一種粒子看作是一個子系統(tǒng)，則總系統(tǒng)是由兩個子系統(tǒng)組成，在熱平衡時，兩子系統(tǒng)的溫度相等。由于在熱平衡時，兩子系統(tǒng)的溫度相等。從上面打推導中可看出，在熱平衡時，兩子系統(tǒng)的是相同的，由此可見，參數(shù)

8、是一個與溫度有關(guān)的量。例3：設系統(tǒng)含有兩種粒子，其粒子數(shù)分別為N和N.粒子間的相互作用很弱，可看作是近獨立的。如果粒子玻色子或費米子。試導出，在平衡態(tài)下兩種粒子的最概然分布分別。解： 考慮一般性，系統(tǒng)由N個玻色子和N.個費米子組成，總能量為，體積為時，粒子的分布和必須滿足， 才有可能實現(xiàn)。玻粒子A能級，粒子數(shù)分布：al簡并度費米粒子B能級，粒子數(shù)分布：al簡并度玻色子處于分布時，對應的微觀狀態(tài)數(shù)為                           費米子處于分布時，對應的微觀狀態(tài)數(shù)為                           則系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)為 上式表明：當?shù)谝活惲Ｗ拥姆植紴閍l，而同時第二類粒子的分布為al時系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)。在平衡下兩種