2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.4拋物線2.4.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)優(yōu)化練習(xí)新人教A版選修2經(jīng)典實(shí)用

1、2.4.2 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課時(shí)作業(yè)a組基礎(chǔ)鞏固1已知拋物線的對(duì)稱軸為x軸，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在直線2x4y110上，則此拋物線的方程是()ay211x by211xcy222x dy222x解析：在方程2x4y110中，令y0得x，拋物線的焦點(diǎn)為f，即，p11，拋物線的方程是y222x，故選c.答案：c2已知直線ykxk及拋物線y22px(p>0)，則()a直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)b直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)c直線與拋物線有一個(gè)或兩個(gè)公共點(diǎn)d直線與拋物線可能沒(méi)有公共點(diǎn)解析：直線ykxkk(x1)，直線過(guò)點(diǎn)(1,0)又點(diǎn)(1,0)在拋物線y22px的內(nèi)部當(dāng)k0時(shí)，直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)

2、；當(dāng)k0時(shí)，直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)答案：c3過(guò)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)作一直線交拋物線于a(x1，y1)，b(x2，y2)兩點(diǎn)，則koa·kob的值為()a4 b4 cp2 dp2解析：koa·kob·，根據(jù)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)x1x2，y1y2p2，故koa·kob4.答案：b4已知直線l：yk(x2)(k>0)與拋物線c：y28x交于a，b兩點(diǎn)，f為拋物線c的焦點(diǎn)，若|af|2|bf|，則k的值是()a. b. c2 d.解析：根據(jù)題意畫(huà)圖，如圖所示，直線m為拋物線的準(zhǔn)線，過(guò)點(diǎn)a作aa1m，過(guò)點(diǎn)b作bb1m，垂足分別為a1，b1，過(guò)點(diǎn)b

3、作bdaa1于點(diǎn)d，設(shè)|af|2|bf|2r，則|aa1|2|bb1|2|a1d|2r，所以|ab|3r，|ad|r，則|bd|2r.所以ktan bad2.選c.答案：c5已知f為拋物線y2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)a，b在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，·2(其中o為坐標(biāo)原點(diǎn))，則abo與afo面積之和的最小值是()a2 b3c. d.解析：設(shè)直線ab的方程為xnym(如圖)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，·2，x1x2y1y22.又yx1，yx2，y1y22.聯(lián)立得y2nym0，y1y2m2，m2，即點(diǎn)m(2,0)又sabosamosbmo|om|y1|om|y2|y1y2，sa

4、fo|of|·|y1|y1，sabosafoy1y2y1y123，當(dāng)且僅當(dāng)y1時(shí)，等號(hào)成立答案：b6直線yx1被拋物線y24x截得的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是_解析：將yx1代入y24x，整理，得x26x10.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x26，3，2.所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,2)答案：(3,2)7過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)a(x1，y1)，b(x2，y2)，若|ab|7，則ab的中點(diǎn)m到拋物線準(zhǔn)線的距離為_(kāi)解析：拋物線的焦點(diǎn)為f(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1.由拋物線的定義知|ab|af|bf|x1x2x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦ab的中點(diǎn)m的橫坐標(biāo)為.因此，點(diǎn)m到拋物

5、線準(zhǔn)線的距離為1.答案：8已知點(diǎn)a(2,3)在拋物線c：y22px的準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)a的直線與c在第一象限相切于點(diǎn)b，記c的焦點(diǎn)為f，則直線bf的斜率為_(kāi)解析：拋物線y22px的準(zhǔn)線為直線x，而點(diǎn)a(2,3)在準(zhǔn)線上，所以2，即p4，從而c：y28x，焦點(diǎn)為f(2,0)設(shè)切線方程為y3k(x2)，代入y28x得y2y2k30(k0)，由于14×(2k3)0，所以k2或k.因?yàn)榍悬c(diǎn)在第一象限，所以k.將k代入中，得y8，再代入y28x中得x8，所以點(diǎn)b的坐標(biāo)為(8,8)，所以直線bf的斜率為.答案：9已知拋物線y26x，過(guò)點(diǎn)p(4,1)引一弦，使它恰在點(diǎn)p被平分，求這條弦所在的直線方程解析

6、：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為p1(x1，y1)，p2(x2，y2)p1，p2在拋物線上，y6x1，y6x2.兩式相減得(y1y2)(y1y2)6(x1x2)y1y22，代入得k3.直線的方程為y13(x4)，即3xy110.10已知拋物線y24x截直線y2xm所得弦長(zhǎng)ab3，(1)求m的值；(2)設(shè)p是x軸上的一點(diǎn)，且abp的面積為9，求p點(diǎn)的坐標(biāo)解析：(1)由4x24(m1)xm20，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x21m，x1·x2，|ab|··.由|ab|3，即3m4.(2)設(shè)p(a,0)，p到直線ab的距離為d，則d，又sabp|ab|·d，則d，|a2|3a5或

7、a1，故點(diǎn)p的坐標(biāo)為(5,0)或(1,0)b組能力提升1若拋物線y2x上一點(diǎn)p到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，則點(diǎn)p的坐標(biāo)為()a. b.c. d.解析：設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為f，因?yàn)辄c(diǎn)p到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，所以點(diǎn)p為線段of的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn)，易求點(diǎn)p的坐標(biāo)為.答案：b2設(shè)拋物線c：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為f，點(diǎn)m在c上，|mf|5.若以mf為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,2)，則c的方程為()ay24x或y28x by22x或y28xcy24x或y216x dy22x或y216x解析：由已知得拋物線的焦點(diǎn)f，設(shè)點(diǎn)a(0,2)，拋物線上點(diǎn)m(x0，y0)，則，.由已知得，

8、3;0，即y8y0160，因而y04，m.由|mf|5得，5，又p>0，解得p2或p8，故選c.答案：c3已知拋物線y24x，過(guò)點(diǎn)p(4,0)的直線與拋物線相交于a(x1，y1)，b(x2，y2)兩點(diǎn)，則yy的最小值是_解析：設(shè)ab的方程為xmy4，代入y24x得y24my160，則y1y24m，y1y216，yy(y1y2)22y1y216m232當(dāng)m0時(shí)，yy最小值為32.答案：324如圖，拋物線c1：y22px和圓c2：(x)2y2，其中p0，直線l經(jīng)過(guò)c1的焦點(diǎn)，依次交c1，c2于a，b，c，d四點(diǎn)，則·的值為_(kāi)解析：易知·|ab|·|cd|，圓c2

9、的圓心即為拋物線c1的焦點(diǎn)f.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x，所以a(，p)，b(，)，c(，)，d(，p)，|，所以··；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)a(x1，y1)，d(x2，y2)，則|ab|fa|fb|x1x1，同理|cd|x2，設(shè)l的方程為yk(x)，由，可得k2x2(pk22p)x0，則·|ab|·|cd|x1·x2.綜上，·.答案：5.如圖，過(guò)拋物線y2x上一點(diǎn)a(4,2)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線ab，ac交拋物線于b，c兩點(diǎn)，求證：直線bc的斜率是定值證明：設(shè)kabk(k0)，直線ab，ac的傾斜角互補(bǔ)，kack(k0

10、)，ab的方程是yk(x4)2.聯(lián)立方程組消去y后，整理得k2x2(8k24k1)x16k216k40.a(4,2)，b(xb，yb)是上述方程組的解4·xb，即xb，以k代換xb中的k，得xc，kbc.直線bc的斜率為定值6(2020·高考全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l：yt(t0)交y軸于點(diǎn)m，交拋物線c：y22px(p0)于點(diǎn)p，m關(guān)于點(diǎn)p的對(duì)稱點(diǎn)為n，連接on并延長(zhǎng)交c于點(diǎn)h.(1)求；(2)除h以外，直線mh與c是否有其他公共點(diǎn)？說(shuō)明理由解析：(1)如圖，由已知得m(0，t)，p.又n為m關(guān)于點(diǎn)p的對(duì)稱點(diǎn)，故n，故直線on的方程為yx，將其代入y22px整理得px22t2x0，解得x10，x2.