精品標(biāo)準(zhǔn)偏差與相對標(biāo)準(zhǔn)偏差公式

1、標(biāo)準(zhǔn)偏差出自 mba智庫百科()數(shù)學(xué)表達(dá)式： · s-標(biāo)準(zhǔn)偏差（%） · n-試樣總數(shù)或測量次數(shù)，一般n值不應(yīng)少于20-30個 · i-物料中某成分的各次測量值，1n； 標(biāo)準(zhǔn)偏差的使用方法 六個計算標(biāo)準(zhǔn)偏差的公式1標(biāo)準(zhǔn)偏差的理論計算公式設(shè)對真值為x的某量進(jìn)行一組等精度測量, 其測得值為l1、l2、ln。令測得值l與該量真值x之差為真差占, 則有1 = li x 2 = l2 x n = ln x 我們定義標(biāo)準(zhǔn)偏差(也稱標(biāo)準(zhǔn)差)為 （1） 由于真值x都是不可知的, 因此真差占也就無法求得, 故式只有理論意義而無實用價值。 標(biāo)準(zhǔn)偏差的常用估計貝塞爾公式由于真值是不可知

2、的, 在實際應(yīng)用中, 我們常用n次測量的算術(shù)平均值來代表真值。理論上也證明, 隨著測量次數(shù)的增多, 算術(shù)平均值最接近真值, 當(dāng)時, 算術(shù)平均值就是真值。 于是我們用測得值li與算術(shù)平均值之差剩余誤差（也叫殘差）vi來代替真差 , 即 設(shè)一組等精度測量值為l1、l2、ln 則 通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得真差與剩余誤差v的關(guān)系為 將上式代入式(1)有 (2) 式(2)就是著名的貝塞爾公式(bessel)。 它用于有限次測量次數(shù)時標(biāo)準(zhǔn)偏差的計算。由于當(dāng)時，,可見貝塞爾公式與的定義式(1)是完全一致的。 應(yīng)該指出, 在n有限時, 用貝塞爾公式所得到的是標(biāo)準(zhǔn)偏差的一個估計值。它不是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差。因此, 我們稱式(

3、2)為標(biāo)準(zhǔn)偏差的常用估計。為了強(qiáng)調(diào)這一點, 我們將的估計值用“s ” 表示。于是, 將式(2)改寫為 (2') 在求s時, 為免去求算術(shù)平均值的麻煩, 經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)(過程從略)有 于是, 式(2')可寫為 (2") 按式(2")求s時, 只需求出各測得值的平方和和各測得值之和的平方藝 , 即可。 標(biāo)準(zhǔn)偏差的無偏估計數(shù)理統(tǒng)計中定義s2為樣本方差 數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明s2是總體方差2的無偏估計。即在大量重復(fù)試驗中, s2圍繞2散布, 它們之間沒有系統(tǒng)誤差。而式(2')在n有限時,s并不是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的無偏估計, 也就是說s和之間存在系統(tǒng)誤差。概率統(tǒng)計告訴我們,

4、對于服從正態(tài)分布的正態(tài)總體, 總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的無偏估計值為 (3) 令 則 即s1和s僅相差一個系數(shù)k,k是與樣本個數(shù)測量次數(shù)有關(guān)的一個系數(shù), k值見表。 計算k時用到 (n + 1) = n(n) (1) = 1 由表1知, 當(dāng)n>30時, 。因此, 當(dāng)n>30時, 式(3')和式(2')之間的差異可略而不計。在n=3050時, 最宜用貝塞爾公式求標(biāo)準(zhǔn)偏差。當(dāng)n<10時, 由于k值的影響已不可忽略, 宜用式(3'), 求標(biāo)準(zhǔn)偏差。這時再用貝塞爾公式顯然是不妥的。 標(biāo)準(zhǔn)偏差的最大似然估計將的定義式(1)中的真值x用算術(shù)平均值代替且當(dāng)n有限時就得到 (4)

5、 式(4)適用于n>50時的情況, 當(dāng)n>50時,n和(n-1)對計算結(jié)果的影響就很小了。 2.5標(biāo)準(zhǔn)偏差的極差估計由于以上幾個標(biāo)準(zhǔn)偏差的計算公式計算量較大, 不宜現(xiàn)場采用, 而極差估計的方法則有運(yùn)算簡便, 計算量小宜于現(xiàn)場采用的特點。 極差用"r"表示。所謂極差就是從正態(tài)總體中隨機(jī)抽取的n個樣本測得值中的最大值與最小值之差。 若對某量作次等精度測量測得l1、，且它們服從正態(tài)分布, 則 r = lmax lmin 概率統(tǒng)計告訴我們用極差來估計總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的計算公式為 (5) s3稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差的無偏極差估計, d2為與樣本個數(shù)n(測得值個數(shù))有關(guān)的無偏極差系數(shù),

6、其值見表2 由表2知, 當(dāng)n15時, 因此, 標(biāo)準(zhǔn)偏差更粗略的估計值為 (5') 還可以看出, 當(dāng)200n1000時，因而又有 (5") 顯然, 不需查表利用式(5')和(5")了即可對標(biāo)準(zhǔn)偏差值作出快速估計, 用以對用貝塞爾公式及其他公式的計算結(jié)果進(jìn)行校核。 應(yīng)指出,式(5)的準(zhǔn)確度比用其他公式的準(zhǔn)確度要低, 但當(dāng)5n15時,式(5)不僅大大提高了計算速度, 而且還頗為準(zhǔn)確。當(dāng)n>10時, 由于舍去數(shù)據(jù)信息較多, 因此誤差較大, 為了提高準(zhǔn)確度, 這時應(yīng)將測得值分成四個或五個一組, 先求出各組的極差r1、, 再由各組極差求出極差平均值。 極差平均值和

7、總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的關(guān)系為 需指出, 此時d2大小要用每組的數(shù)據(jù)個數(shù)n而不是用數(shù)據(jù)總數(shù)n(=nk)去查表2。再則, 分組時一定要按測得值的先后順序排列,不能打亂或顛倒。 標(biāo)準(zhǔn)偏差的平均誤差估計平均誤差的定義為 誤差理論給出 (a) 可以證明與的關(guān)系為 (證明從略) 于是(b) 由式(a)和式(b)得 從而有 式(6)就是佩特斯(c.a.f.peters.1856)公式。用該公式估計值, 由于right|vright|不需平方,故計算較為簡便。但該式的準(zhǔn)確度不如貝塞爾公式。該式使用條件與貝塞爾公式相似。標(biāo)準(zhǔn)偏差的應(yīng)用實例1對標(biāo)稱值ra = 0.160 < math > m < mat

8、h > 的一塊粗糙度樣塊進(jìn)行檢定, 順次測得以下15個數(shù)據(jù):1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1.74和1.63m, 試求該樣塊rn的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差并判斷其合格否。 解：1)先求平均值 2)再求標(biāo)準(zhǔn)偏差s 若用無偏極差估計公式式(5)計算, 首先將測得的, 15個數(shù)據(jù)按原順序分為三組, 每組五個, 見表3。 表3 組號l_1l_5r 11.481.651.601.671.520.19 21.461.721.691.771.640.31 31.561.501.641.741.630.24 因每

9、組為5個數(shù)據(jù), 按n=5由表2查得 故 若按常用估計即貝塞爾公式式(2') , 則 若按無偏估計公式即式(3')計算, 因n=15，由表1查得k = 1.018, 則 若按最大似然估計公式即式(4')計算, 則 = 0.09296( < math > m < math > ) 若按平均誤差估計公式即式(6), 則 現(xiàn)在用式(5')對以上計算進(jìn)行校核 可見以上算得的s、s1、s2、s3和s4沒有粗大誤差。 由以上計算結(jié)果可知0.09296<0.0962<0.0979<0.1017<0.1062 即s2 < s

10、< s1 < s4 < s3 可見, 最大似然估計值最小, 常用估計值s稍大, 無偏估計值s1又大, 平均誤差估計值s4再大, 極差估計值s3最大?？v觀這幾個值, 它們相當(dāng)接近, 最大差值僅為0.01324m。從理論上講, 用無偏估計值和常用估計比較合適, 在本例中, 它們僅相差0.0017m。可以相信, 隨著的增大, s、s1、s2、s3和s4之間的差別會越來越小。 就本例而言, 無偏極差估計值s3和無偏估計值s1僅相差0.0083m, 這說明無偏極差估計是既可以保證一定準(zhǔn)確度計算又簡便的一種好方法。 jjg102-89表面粗糙度比較樣塊規(guī)定ra的平均值對其標(biāo)稱值的偏離不應(yīng)

11、超過+12%17%, 標(biāo)準(zhǔn)偏差應(yīng)在標(biāo)稱值的4%12%之間。已得本樣塊二產(chǎn),產(chǎn)均在規(guī)定范圍之內(nèi), 故該樣塊合格。 標(biāo)準(zhǔn)偏差與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation)各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的距離（離均差）的平均數(shù)，它是離差平方和平均后的方根。用表示。因此，標(biāo)準(zhǔn)差也是一種平均數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根。標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標(biāo)準(zhǔn)差未必相同。 例如，a、b兩組各有6位學(xué)生參加同一次語文測驗，a組的分?jǐn)?shù)為95、85、75、65、55、45，b組的分?jǐn)?shù)為73、72、71、69、68、67。這兩組的平均數(shù)都是70，但a組的標(biāo)準(zhǔn)差為17.08分，b組的標(biāo)準(zhǔn)差為2.16分

12、，說明a組學(xué)生之間的差距要比b組學(xué)生之間的差距大得多。 標(biāo)準(zhǔn)偏差(std dev,standard deviation) - 統(tǒng)計學(xué)名詞。一種量度數(shù)據(jù)分布的分散程度之標(biāo)準(zhǔn)，用以衡量數(shù)據(jù)值偏離算術(shù)平均值的程度。標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，這些值偏離平均值就越少，反之亦然。標(biāo)準(zhǔn)偏差的大小可通過標(biāo)準(zhǔn)偏差與平均值的倍率關(guān)系來衡量。 有人經(jīng)常混用均方根誤差（rmse）與標(biāo)準(zhǔn)差（standard deviation），實際上二者并不是一回事。1.均方根誤差均方根誤差為了說明樣本的離散程度。均方根誤差（root-mean-square error ）亦稱標(biāo)準(zhǔn)誤差，其定義為 ，i1，2，3，n。在有限測量次數(shù)中，均方根誤差

13、常用下式表示：，式中，n為測量次數(shù)；di為一組測量值與平均值的偏差。如果誤差統(tǒng)計分布是正態(tài)分布，那么隨機(jī)誤差落在土以內(nèi)的概率為68。2.標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根。標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標(biāo)準(zhǔn)差未必相同。標(biāo)準(zhǔn)差也被稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，或者實驗標(biāo)準(zhǔn)差。均方根值也稱作為效值，它的計算方法是先平方、再平均、然后開方。比如幅度為100v而占空比為0.5的方波信號，如果按平均值計算，它的電壓只有50v，而按均方根值計算則有70.71v。這是為什么呢？舉一個例子，有一組100伏的電池組，每次供電10分鐘之后停10分鐘，也就是說占空比為一半。如果這組電池帶動的是10電阻，供電的10分鐘

14、產(chǎn)生10a的電流和1000w的功率，停電時電流和功率為零。那么在20分鐘的一個周期內(nèi)其平均功率為500w，這相當(dāng)于70.71v的直流電向10電阻供電所產(chǎn)生的功率。而50v直流電壓向10電阻供電只能產(chǎn)生的250w的功率。對于電機(jī)與變壓器而言，只要均方根電流不超過額定電流，即使在一定時間內(nèi)過載，也不會燒壞。 pmts1.0抽油機(jī)電能圖測試儀對電流、電壓與功率的測試計算都是按有效值進(jìn)行的，不會因為電流電壓波形畸變而測不準(zhǔn)。這一點對于測試變頻器拖動的電機(jī)特別有用。均方根誤差為了說明樣本的離散程度。對于n1,.nm,設(shè)n=(n1+.+nm)/m;則均方根誤差記作： .f6f!m n+t8q5i.y-mt

15、=sqrt(n2-n12)+.+(n2-nm2)/(m(m-1)；比如兩組樣本：第一組有以下三個樣本：3，4，5第二組有一下三個樣本：2，4，6這兩組的平均值都是4，但是第一組的三個數(shù)值相對更靠近平均值，也就是離散程度小，均方差就是表示這個的。同樣，方差、標(biāo)準(zhǔn)差(方差開根,因為單位不統(tǒng)一)都是表示數(shù)據(jù)的離散程度的。幾種典型平均值的求法     （1）算術(shù)平均值這種平均值最常用。設(shè)x1、x2、 、x n為各次的測量值，n代表測量次數(shù)，則算術(shù)平均值為     （2）均方根平均值   

16、60; （3）幾何平均值     （4）對數(shù)平均值     （5）加權(quán)平均值相對標(biāo)準(zhǔn)方差的計算公式準(zhǔn)確度：測定值與真實值符合的程度絕對誤差：測量值（或多次測定的平均值）與真（實）值之差稱為絕對誤差，用表示。相對誤差：絕對誤差與真值的比值稱為相對誤差。常用百分?jǐn)?shù)表示。絕對誤差可正可負(fù)，可以表明測量儀器的準(zhǔn)確度，但不能反映誤差在測量值中所占比例，相對誤差反映測量誤差在測量結(jié)果中所占的比例，衡量相對誤差更有意義。例：用刻度0.5cm的尺測量長度，可以讀準(zhǔn)到0.1cm，該尺測量的絕對誤差為0.1cm；用刻度1mm的尺測量長

17、度，可以讀準(zhǔn)到0.1mm，該尺測量的絕對誤差為0.1mm。例：分析天平稱量誤差為0.1mg, 減重法需稱2次，可能的最大誤差為0.2mg, 為使稱量相對誤差小于0.1%，至少應(yīng)稱量多少樣品？ 答：稱量樣品量應(yīng)不小于0.2g。真值（）：真值是客觀存在的，但任何測量都存在誤差，故真值只能逼近而不可測知，實際工作中，往往用“標(biāo)準(zhǔn)值”代替“真值”。標(biāo)準(zhǔn)值：采用多種可靠的分析方法、由具有豐富經(jīng)驗的分析人員經(jīng)過反復(fù)多次測定得出的結(jié)果平均值。精密度：幾次平行測定結(jié)果相互接近的程度。各次測定結(jié)果越接近，精密度越高，用偏差衡量精密度。偏差：單次測量值與樣本平均值之差： 平均偏差：各次測量偏差絕對值的平均值。相對平均偏差：平均偏差與平均值的比值。標(biāo)準(zhǔn)偏差：各次測量偏差的平方和平均值再開方，比平均偏差更靈敏的反映較大偏差的存在，在統(tǒng)計學(xué)上更有意義。相對標(biāo)準(zhǔn)偏差（變異系數(shù)）例