第一輪總復(fù)習(xí)課件(理數(shù))：第56講復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)

1、知識(shí)體系考綱解讀1.理解復(fù)數(shù)的基本概念理解復(fù)數(shù)的基本概念,理解復(fù)數(shù)相等的充理解復(fù)數(shù)相等的充要條件要條件,了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.2.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義，會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算意義，會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.3.了解算法的含義，了解算法的思想了解算法的含義，了解算法的思想.理解理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序、條件分程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序、條件分支、循環(huán)支、循環(huán).4.理解幾種基本算法語句理解幾種基本算法語句輸入語句、輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句的輸出語句、賦

2、值語句、條件語句、循環(huán)語句的含義含義.1.理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，以及復(fù)數(shù)相理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，以及復(fù)數(shù)相等的充要條件等的充要條件.2.會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算.3.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的幾何意義及復(fù)了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的幾何意義及復(fù)數(shù)的加、減法的幾何意義數(shù)的加、減法的幾何意義.1.如果用如果用C、R和和I分別表示復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)分別表示復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集和純虛數(shù)集，其中集和純虛數(shù)集，其中C為全集，則下列為全集，則下列關(guān)系正確的是（關(guān)系正確的是（ ）DA.C=RI B.RI=0C. CR=CI D.RI=由復(fù)數(shù)的分類可知應(yīng)選由復(fù)數(shù)的分類可知應(yīng)選D.2.已知向量已知向量 對(duì)應(yīng)的復(fù)

3、數(shù)為對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3-2i， 對(duì)應(yīng)的復(fù)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為數(shù)為-4-i，則，則 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（ ）OA OB AB CA.-1-i B.7-3iC.-7+i D.1+i 由復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義，由復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義， = - =（-4-i)-(3-2i)=-7+i，故選故選C.AB OB OA 3.復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z1=3+i，z2=1-i，則，則z=z1z2在復(fù)平面在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ） DA.第一象限第一象限 B.第二象限第二象限C.第三象限第三象限 D.第四象限第四象限 z=z1z2=(3+i)(1-i)=31+i(-i)+i-3i=4-2i,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（4，

4、-2），位于第四象限），位于第四象限.4.已知復(fù)數(shù)已知復(fù)數(shù)z1=a+2i，z2=-2+i，且，且|z1|=|z2|,則則實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)a= .1 由已知可得由已知可得 = ，則則a=1.222a 22( 2)15.若復(fù)數(shù)若復(fù)數(shù) 為純虛數(shù)為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位為虛數(shù)單位,a為實(shí)為實(shí)數(shù)數(shù))，則實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a= .1aii-1 因?yàn)橐驗(yàn)?= = = + 為純虛數(shù)為純虛數(shù),所以所以 =0，且，且 0，所以，所以a=-1.1aii()(1)(1)(1)aiiii1(1)2aa i 12a 12ai12a 12a1.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：z=a+bi(a,bR),其中其中i2=-1,a為實(shí)部為實(shí)部,b

5、為虛部為虛部.2.復(fù)數(shù)的分類：復(fù)數(shù)的分類： 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) (b=0) 虛數(shù)虛數(shù) (b0); 純虛數(shù)純虛數(shù) (a=0) 非純虛數(shù)（非純虛數(shù)（a0).復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)a+bi虛數(shù)虛數(shù)a+bi(b0)3.復(fù)數(shù)相等的充要條件：復(fù)數(shù)相等的充要條件：a+bi=c+di .4.復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的模：|a+bi|= = .5.共軛復(fù)數(shù)：共軛復(fù)數(shù)：a+bi與與a-bi互為互為 .顯然，任一實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它自己顯然，任一實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它自己.a=cb=d22ab|OZ 共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)6.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的幾何意義復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的幾何意義復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR)可用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)可用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)以及以及 表

6、表示示,且三者之間為一一對(duì)應(yīng)關(guān)系且三者之間為一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.規(guī)定規(guī)定:相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù)相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù).7.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算：若若a、b、c、dR,則：則：(a+bi)(c+di)= ；(a+bi)(c+di)= ； = = ；其中其中c、d不同時(shí)為不同時(shí)為0.以原點(diǎn)為起點(diǎn)以原點(diǎn)為起點(diǎn),點(diǎn)點(diǎn)Z(a,b)為終點(diǎn)的向量為終點(diǎn)的向量OZ (ac)+(bd)i(ac-bd)+(ad+bc)iabicdi22()()abicdicd2222acbdbcadcdcd8.復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離：復(fù)平面內(nèi)兩復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離：復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)點(diǎn)Z1、Z2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分

7、別為對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1、z2,則則| |= = ,其中其中O為原點(diǎn)為原點(diǎn).9.復(fù)數(shù)的加、減法的幾何意義：復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)的加、減法的幾何意義：復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算滿足向量加、減法的平行四邊加、減運(yùn)算滿足向量加、減法的平行四邊形法則形法則(或三角形法則或三角形法則).12Z Z12|OZOZ |z2-z1|例例1 已知復(fù)數(shù)已知復(fù)數(shù)z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)I,當(dāng)實(shí)數(shù)當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，為何值時(shí)，（1）z為純虛數(shù)；為純虛數(shù)；（2）z為實(shí)數(shù)；為實(shí)數(shù)；（3）z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第二象限對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第二象限. 依據(jù)復(fù)數(shù)分類的條件和代數(shù)形依據(jù)復(fù)數(shù)分類的條件和代數(shù)形式的幾何意義求解式的幾何意

8、義求解. （1）當(dāng)當(dāng)m=3時(shí)，時(shí)，z為純虛數(shù)為純虛數(shù). lg(m2-2m-2)=0 m=3或或m=-1 m2+3m+20 m-2或或m-1m=3.z為純虛數(shù)為純虛數(shù)(2)當(dāng)當(dāng)m=-2或或m=-1時(shí)，為實(shí)數(shù)時(shí)，為實(shí)數(shù). m2+3m+2=0 m=-2或或m=-1 m2-2m-20 m1+3m=-2或或m=-1.(3)當(dāng)當(dāng)m(-1,3)時(shí)時(shí),z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第二象限對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第二象限. lg(m2-2m-2)0 m2-2m-30 m2+3m+20, -1m3 m-1z為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)由由,得得解得解得，即，即-1m3. 復(fù)數(shù)為何屬性的數(shù)的問題復(fù)數(shù)為何屬性的數(shù)的問題通?？赊D(zhuǎn)化為其實(shí)數(shù)、虛部應(yīng)通

9、?？赊D(zhuǎn)化為其實(shí)數(shù)、虛部應(yīng)滿足的條件，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位滿足的條件，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的什么位置也取決于于復(fù)平面的什么位置也取決于實(shí)部和虛部的取值實(shí)部和虛部的取值.例例2 計(jì)算：計(jì)算：(1) ; (2) .2(1)(1)1iii2232()1123iii (1)原式原式=i(-2i)=-2i2=2.(2)原式原式= =i+ =i+-i=0.2232()1123iii1i 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的四則復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算運(yùn)算,此時(shí)含有虛數(shù)單位此時(shí)含有虛數(shù)單位“i”的看作一類同類的看作一類同類項(xiàng)項(xiàng),不含不含i的看作另一類同類項(xiàng)的看作另一類同類項(xiàng),分別合并即可分別合并即可.例例3

10、已知關(guān)于已知關(guān)于x的方程的方程x2-(tan+i)x-(2+i)=0有實(shí)數(shù)根有實(shí)數(shù)根,求銳角求銳角的值及實(shí)數(shù)根的值及實(shí)數(shù)根. 由題設(shè)解是有實(shí)根，設(shè)其實(shí)根由題設(shè)解是有實(shí)根，設(shè)其實(shí)根為為x0，代入方程，由復(fù)數(shù)相等的充，代入方程，由復(fù)數(shù)相等的充要條件即可求解要條件即可求解. 設(shè)原方程的實(shí)根為設(shè)原方程的實(shí)根為x0,則則x02-(tan+i)x0-(2+i)=0,即即(x02-tanx0-2)-(x0+1)i=0， x02-tanx0-2=0 x0+1=0，求得求得x0=-1,tan=1，又，又(0, )，所以所以= .故故= ，實(shí)根為，實(shí)根為-1.由復(fù)數(shù)相等的充要條件得由復(fù)數(shù)相等的充要條件得244 設(shè)

11、設(shè)z的共軛復(fù)數(shù)為的共軛復(fù)數(shù)為 ，若，若z+ =4，z =8，求，求 的值的值.zzz 設(shè)設(shè)z=x+yi（x、yR)，則，則 =x-yi,所以所以z+ =2x=4，所以，所以x=2,又又z =x2+y2=8,所以所以y=2,所以所以z=22i,所以所以 = = 或或 ,即即z=i或或-i.zzzzz2( )zz z2(22 )8i2(22 )8i 涉及復(fù)數(shù)方程問題一般轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)涉及復(fù)數(shù)方程問題一般轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)相等的充要條件問題求解相等的充要條件問題求解.zz例例4 若復(fù)數(shù)若復(fù)數(shù)z滿足滿足|z+2|+|z-2|=8,求求|z+2|的的最大值和最小值最大值和最小值. 在復(fù)平面內(nèi)滿足在復(fù)平面內(nèi)滿足|z+

12、2|+|z-2|=8的的復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)(-2,0)和和(2,0)為焦點(diǎn)，為焦點(diǎn)，8為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓.|z+2|表示橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)表示橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)(-2,0)的距離的距離.橢圓長(zhǎng)軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離分別橢圓長(zhǎng)軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離分別是最大值和最小值是最大值和最小值.因此，當(dāng)因此，當(dāng)z=4時(shí)，時(shí)，|z+2|有最大值有最大值6；當(dāng)當(dāng)z=-4時(shí)時(shí) ,|z+2|有最小值有最小值2. 此題若令此題若令z=x+yi,問題的條件和結(jié)論問題的條件和結(jié)論都是較復(fù)雜的式子，不好處理都是較復(fù)雜的式子，不好處理.從復(fù)數(shù)的加、從復(fù)數(shù)的加、減法的幾何意義去理

13、解，則是一道簡(jiǎn)單的減法的幾何意義去理解，則是一道簡(jiǎn)單的幾何問題幾何問題. 若復(fù)數(shù)若復(fù)數(shù)z滿足滿足|z+2-2i|=1,求求|z-2-2i|的的最小值最小值. (方法一方法一)一般的，滿足一般的，滿足|z-z0|=r的復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以z0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓為半徑的圓. 因?yàn)閳A因?yàn)閳A|z+2-2i|=1的圓心為的圓心為C(-2,2),半徑半徑r=1,而而|z-2-2i|表示圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)表示圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)A(2，2)的距離的距離,故其最小值為故其最小值為|CA|-r=4-1=3.(方法二方法二)因?yàn)橐驗(yàn)閨z-2-2i|=|z+2-2i-4|

14、z+2-2i|-4|=3，故故|z-2-2i|min=3.(方法三方法三)設(shè)設(shè)z=x+yi(x,yR)，因此有因此有|x+2+(i-2)i|=1,即即(x+2)2+(y-2)2=1.又又|z-2-2i|= = = ,而而|x+2|= 1,即即-3x-1，所以當(dāng)所以當(dāng)x=-1時(shí)，時(shí)，|z-2-2i|取得最小值取得最小值3.22(2)(2)xy22(2)1(2)xx 18x21(2)y 方法一是一種常規(guī)方法，注意方法一是一種常規(guī)方法，注意z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓上這一約束條件；方法對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓上這一約束條件；方法二是幾何法，以數(shù)尋形，有明顯的幾二是幾何法，以數(shù)尋形，有明顯的幾何特征，再由形解數(shù)，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的

15、何特征，再由形解數(shù)，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的互化；方法三利用的是復(fù)數(shù)模的運(yùn)算互化；方法三利用的是復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)，體現(xiàn)了解題的靈活性性質(zhì)，體現(xiàn)了解題的靈活性.在復(fù)數(shù)集在復(fù)數(shù)集C內(nèi)解一元二次方程內(nèi)解一元二次方程x2-4x+5=0. 由于由于=b2-4ac=16-20=-40,所以所以x= =2i.442i 實(shí)數(shù)集擴(kuò)充為復(fù)數(shù)集后，解決了實(shí)數(shù)集擴(kuò)充為復(fù)數(shù)集后，解決了實(shí)系數(shù)一元二次方程在實(shí)數(shù)集中無解的實(shí)系數(shù)一元二次方程在實(shí)數(shù)集中無解的問題，即在復(fù)數(shù)集中，實(shí)系數(shù)的一元二問題，即在復(fù)數(shù)集中，實(shí)系數(shù)的一元二次方程總有解次方程總有解.當(dāng)當(dāng)0時(shí)，實(shí)系數(shù)的一元時(shí)，實(shí)系數(shù)的一元二次方程有成對(duì)共軛虛數(shù)根二次方程有成對(duì)共軛虛數(shù)根.

16、1.設(shè)設(shè)z=a+bi(a,bR),利用復(fù)數(shù)相等的利用復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題是求解復(fù)數(shù)常用充要條件轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題是求解復(fù)數(shù)常用的方法的方法.2.實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，兩個(gè)純實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，兩個(gè)純虛數(shù)的積是實(shí)數(shù)虛數(shù)的積是實(shí)數(shù).3.復(fù)數(shù)問題幾何化，利用復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)問題幾何化，利用復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義，轉(zhuǎn)化條件和的模、復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義，轉(zhuǎn)化條件和結(jié)論，有效利用數(shù)和形的結(jié)合，取得事半結(jié)論，有效利用數(shù)和形的結(jié)合，取得事半功倍的效果功倍的效果.學(xué)例1 (2008遼寧卷遼寧卷)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 的的虛部是虛部是( )B11212ii A. i B. C.- i D.-15151515