2004年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案

1、2004年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題第 一 試 時(shí)間：10月16日一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1、設(shè)銳角使關(guān)于x的方程有重根，則的弧度數(shù)為（ ）a. b. c. d. 2、已知。若對(duì)所有，則b的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 3、不等式的解集為（ ）a. b. c. d. 4、設(shè)o點(diǎn)在內(nèi)部，且有，則的面積與的面積的比為（ ）a. 2b. c. 3d. 5、設(shè)三位數(shù)，若以a，b，c為三條邊的長(zhǎng)可以構(gòu)成一個(gè)等腰（含等邊）三角形，則這樣的三位數(shù)n有（ ）a. 45個(gè)b. 81個(gè)c. 165個(gè)d. 216個(gè)6、頂點(diǎn)為p的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，a是底面圓周上的點(diǎn)，b是底面圓內(nèi)的

2、點(diǎn)，o為底面圓的圓心，垂足為b，垂足為h，且pa=4，c為pa的中點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐ohpc的體積最大時(shí)，ob的長(zhǎng)是（ ）a. b. c. d. 二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）7、在平面直角坐標(biāo)系xoy中，函數(shù)在一個(gè)最小正周期長(zhǎng)的區(qū)間上的圖像與函數(shù)的圖像所圍成的封閉圖形的面積是_。8、設(shè)函數(shù)，且對(duì)任意，則=_。9、如圖、正方體中，二面角的度數(shù)是_。10、設(shè)p是給定的奇質(zhì)數(shù)，正整數(shù)k使得也是一個(gè)正整數(shù)，則k=_。11、已知數(shù)列滿足關(guān)系式，則的值是_。12、在平面直角坐標(biāo)系xoy中，給定兩點(diǎn)m（1，2）和n（1，4），點(diǎn)p在x軸上移動(dòng)，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為_(kāi)。三、解答題（本題滿分60

3、分，每小題20分）13、一項(xiàng)“過(guò)關(guān)游戲”規(guī)則規(guī)定：在第n關(guān)要拋擲一顆骰子n次，如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于，則算過(guò)關(guān)。問(wèn)：（）某人在這項(xiàng)游戲中最多能過(guò)幾關(guān)？（）他連過(guò)前三關(guān)的概率是多少？（注：骰子是一個(gè)在各面上分別有1，2，3，4，5，6點(diǎn)數(shù)的均勻正方體。拋擲骰子落地靜止后，向上一面的點(diǎn)數(shù)為出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)。）14、在平面直角坐標(biāo)系xoy中，給定三點(diǎn)，點(diǎn)p到直線bc的距離是該點(diǎn)到直線ab，ac距離的等比中項(xiàng)。（）求點(diǎn)p的軌跡方程；（）若直線l經(jīng)過(guò)的內(nèi)心（設(shè)為d），且與p點(diǎn)的軌跡恰好有3個(gè)公共點(diǎn)，求l的斜率k的取值范圍。15、已知是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，函數(shù)的定義域?yàn)?。（）求；（）證明：對(duì)于，若 。

4、二四年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：1、評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)。選擇題只設(shè)6分和0分兩檔，填空題只設(shè)9分和0分兩檔；其他各題的評(píng)閱，請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評(píng)分檔次給分，不要再增加其他中間檔次。2、如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分，5分為一個(gè)檔次，不要再增加其他中間檔次。一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1、解：因方程有重根，故 得，于是。 故選b。2、解：相當(dāng)于點(diǎn)（0，b）在橢圓上或它的內(nèi)部。故選a。3、解：原不等式等價(jià)于設(shè)解得。即。故選c。4、解：如圖，設(shè)d，e分別是ac，bc邊的中點(diǎn)，則由（1

5、）（2）得，即共線，且， 故選c。解法2 如圖建立坐標(biāo)系，分別設(shè)，則 由得， 故選c5、解：a，b，c要能構(gòu)成三角形的邊長(zhǎng)，顯然均不為0。即（1）若構(gòu)成等邊三角形，設(shè)這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為，由于三位數(shù)中三個(gè)數(shù)碼都相同，所以，。（2）若構(gòu)成等腰（非等邊）三角形，設(shè)這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為，由于三位數(shù)中只有2個(gè)不同數(shù)碼。設(shè)為a、b，注意到三角形腰與底可以置換，所以可取的數(shù)碼組（a，b）共有。但當(dāng)大數(shù)為底時(shí)，設(shè)a>b，必須滿足。此時(shí)，不能構(gòu)成三角形的數(shù)碼是a987654321b4，32，14，32，13，213，211，21，211共20種情況。同時(shí)，每個(gè)數(shù)碼組（a，b）中的二個(gè)數(shù)碼填上三個(gè)數(shù)位，有

6、種情況。故。綜上，。6、解：。c是pa中點(diǎn)，最大，也即最大。此時(shí)，故選d。二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）7、解：，它的最小正周期為，振幅為。由的圖像與的圖像圍成的封閉圖形的對(duì)稱性，可將這圖形割補(bǔ)成長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形，故它的面積是。8、解：=即。9、解：連結(jié)，垂足為e，延長(zhǎng)ce交于f，則，連結(jié)ae，由對(duì)稱性知是二面角的平面角。連結(jié)ac，設(shè)ab=1，則中，在的補(bǔ)角，。10、解：設(shè)，從而是平方數(shù)，設(shè)為。（負(fù)值舍去）11、解：設(shè)即故數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，。12、解：經(jīng)過(guò)m、n兩點(diǎn)的圓的圓心在線段mn的垂直平分線y=3x上，設(shè)圓心為s（a，3a），則圓s的方程為：對(duì)于定長(zhǎng)的弦在優(yōu)弧上所對(duì)的

7、圓周角會(huì)隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當(dāng)取最大值時(shí)，經(jīng)過(guò)m，n，p三點(diǎn)的圓s必與x軸相切于點(diǎn)p，即圓s的方程中的a值必須滿足解得 a=1或a=7。即對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)分別為，而過(guò)點(diǎn)m，n，的圓的半徑大于過(guò)點(diǎn)m，n，p的圓的半徑，所以，故點(diǎn)p（1，0）為所求，所以點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為1。三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）13、解：由于骰子是均勻的正方體，所以拋擲后各點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的可能性是相等的。（）因骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)最大為6，而，因此，當(dāng)時(shí)，n次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于已不可能。即這是一個(gè)不可能事件，過(guò)關(guān)的概率為0。所以最多只能連過(guò)4關(guān)。.5分（）設(shè)事件為“第n關(guān)過(guò)關(guān)失敗”，則對(duì)立事件為“第n關(guān)過(guò)關(guān)成功”。第

8、n關(guān)游戲中，基本事件總數(shù)為個(gè)。第1關(guān)：事件所含基本事件數(shù)為2（即出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1和2這兩種情況），過(guò)此關(guān)的概率為：。第2關(guān)：事件所含基本事件數(shù)為方程當(dāng)a分別取2，3，4時(shí)的正整數(shù)解組數(shù)之和。即有（個(gè)）。過(guò)此關(guān)的概率為：。 .10分第3關(guān)：事件所含基本事件為方程當(dāng)a分別取3，4，5，6，7，8時(shí)的正整數(shù)解組數(shù)之和。即有（個(gè)）。過(guò)此關(guān)的概率為：。.15分故連過(guò)前三關(guān)的概率為：。.20分（說(shuō)明：第2，3關(guān)的基本事件數(shù)也可以列舉出來(lái)）14、解：（）直線ab、ac、bc的方程依次為。點(diǎn)到ab、ac、bc的距離依次為。依設(shè)，即，化簡(jiǎn)得點(diǎn)p的軌跡方程為圓s：.5分（）由前知，點(diǎn)p的軌跡包含兩部分圓s： 與雙曲線

9、t：因?yàn)閎（1，0）和c（1，0）是適合題設(shè)條件的點(diǎn)，所以點(diǎn)b和點(diǎn)c在點(diǎn)p的軌跡上，且點(diǎn)p的軌跡曲線s與t的公共點(diǎn)只有b、c兩點(diǎn)。的內(nèi)心d也是適合題設(shè)條件的點(diǎn)，由，解得，且知它在圓s上。直線l經(jīng)過(guò)d，且與點(diǎn)p的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)，所以，l的斜率存在，設(shè)l的方程為（i）當(dāng)k=0時(shí)，l與圓s相切，有唯一的公共點(diǎn)d；此時(shí)，直線平行于x軸，表明l與雙曲線有不同于d的兩個(gè)公共點(diǎn)，所以l恰好與點(diǎn)p的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)。.10分（ii）當(dāng)時(shí)，l與圓s有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。這時(shí)，l與點(diǎn)p的軌跡恰有3個(gè)公共點(diǎn)只能有兩種情況：情況1：直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)b或點(diǎn)c，此時(shí)l的斜率，直線l的方程為。代入方程得，解得。表明直線bd與曲線

10、t有2個(gè)交點(diǎn)b、e；直線cd與曲線t有2個(gè)交點(diǎn)c、f。故當(dāng)時(shí)，l恰好與點(diǎn)p的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)。.15分情況2：直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)b和c（即），因?yàn)閘與s有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以l與雙曲線t有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。即方程組有且只有一組實(shí)數(shù)解，消去y并化簡(jiǎn)得該方程有唯一實(shí)數(shù)解的充要條件是或解方程得，解方程得。綜合得直線l的斜率k的取值范圍是有限集。.20分15、解：（）設(shè)則又故在區(qū)間上是增函數(shù)。.5分.10分（）證：.15分，而均值不等式與柯西不等式中，等號(hào)不能同時(shí)成立，.20分.2004年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試試卷考生注意：1、本試卷共三大題，全卷滿分150分2、卷面的第1頁(yè)、第3頁(yè)、第5頁(yè)印有試題，第2頁(yè)、第4頁(yè)、第6頁(yè)是空白頁(yè)，留作答題用3、用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答4、解題書(shū)寫(xiě)不要超出裝訂線一（本題滿分50分）在銳角三角形中，上的高與上的高相交于點(diǎn)，以為直徑的圓分別交、