橋梁模態(tài)頻率異常變化的概率檢測(cè)方法及例證

1、橋梁模態(tài)頻率異常變化的概率檢測(cè)方法及例證鄧 揚(yáng)1, 2，李愛群3，劉 揚(yáng)1, 2（1.長沙理工大學(xué)土木與建筑學(xué)院，湖南 長沙410004；2. 現(xiàn)代公路交通基礎(chǔ)設(shè)施先進(jìn)建養(yǎng)技術(shù)湖南省協(xié)同創(chuàng)新中心, 湖南 長沙 410004; 3. 東南大學(xué)土木工程學(xué)院，江蘇 南京210096）摘要：針對(duì)實(shí)測(cè)模態(tài)頻率的隨機(jī)性，提出基于概率統(tǒng)計(jì)理論的橋梁結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率異常變化的檢測(cè)方法。建立橋梁實(shí)測(cè)模態(tài)頻率與結(jié)構(gòu)溫度的bp神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，進(jìn)而消除溫度對(duì)模態(tài)頻率的影響，在此基礎(chǔ)上采用核密度估計(jì)方法得到消除溫度影響模態(tài)頻率的累積分布函數(shù)，然后采用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的逆函數(shù)將累積分布函數(shù)轉(zhuǎn)換為q統(tǒng)計(jì)量，最后利用q統(tǒng)計(jì)量建立用于頻

2、率異常檢測(cè)的均值控制圖。假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果表明，q統(tǒng)計(jì)量服從正態(tài)分布，從而解決了消除溫度影響后的模態(tài)頻率仍非正態(tài)的問題，滿足了控制圖對(duì)隨機(jī)變量正態(tài)性的要求。分析結(jié)果表明，基于控制圖的概率檢測(cè)方法對(duì)橋梁模態(tài)頻率的異常數(shù)據(jù)具有良好的敏感性。該方法可為大跨度橋梁健康監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的分析與應(yīng)用提供參考。關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)；模態(tài)頻率；橋梁結(jié)構(gòu)；控制圖；核密度估計(jì)中圖分類號(hào)：u441 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：a 文章編號(hào):收稿日期: 修訂日期: (日期待編輯部填寫) 基金項(xiàng)目: 國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃（973計(jì)劃）（2015cb057705），國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51308073，51378081），湖南省自然科學(xué)青年

3、基金項(xiàng)目（14jj3087），湖南省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目（13c1017），長沙理工大學(xué)土木工程重點(diǎn)學(xué)科創(chuàng)新性項(xiàng)目（13zdxk03）引言多自由度結(jié)構(gòu)體系的無阻尼頻率方程為： (1)式中，m、k分別為質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，為結(jié)構(gòu)頻率。從式（1）可以看出，只要體系的剛度與質(zhì)量不變，結(jié)構(gòu)體系的頻率始終為一常量。若從隨機(jī)的角度看這一問題，即考慮結(jié)構(gòu)體系物理、幾何等參數(shù)的隨機(jī)性，那么結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性（自振頻率、振型等）將是服從某一分布的隨機(jī)變量，目前，國內(nèi)外關(guān)于隨機(jī)參數(shù)結(jié)構(gòu)的特征值問題已開展了大量研究1-4。對(duì)于已投入運(yùn)營的某座橋梁，由于其物理、幾何等參數(shù)已確定，因此，動(dòng)力特性應(yīng)保持不變，但是大量的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)

4、分析表明，橋梁結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析數(shù)據(jù)會(huì)在某一個(gè)范圍內(nèi)隨機(jī)變化5-7。導(dǎo)致這種變化的因素極為復(fù)雜，可能來自于環(huán)境荷載條件變化7-9、邊界條件改變10、結(jié)構(gòu)材料性能退化11以及結(jié)構(gòu)損傷12等方面。橋梁結(jié)構(gòu)模態(tài)識(shí)別的目的是為了檢測(cè)出模態(tài)參數(shù)的異常變化，并以此反演和評(píng)估結(jié)構(gòu)的狀態(tài)，這種異常變化通常是由邊界條件改變、材料劣化和構(gòu)件損傷等引起，且不能自動(dòng)恢復(fù)。而環(huán)境荷載條件導(dǎo)致的模態(tài)參數(shù)變化是可恢復(fù)的。借鑒隨機(jī)參數(shù)結(jié)構(gòu)特征值問題的研究思想，可以認(rèn)為在環(huán)境荷載激勵(lì)下，橋梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率實(shí)測(cè)值也是隨機(jī)變量，在此基礎(chǔ)上采用概率統(tǒng)計(jì)的方法對(duì)其異常變化進(jìn)行檢測(cè)。首先，應(yīng)盡可能消除環(huán)境荷載條件對(duì)結(jié)構(gòu)頻率實(shí)測(cè)值的影響。

5、研究表明，溫度、風(fēng)和車輛荷載都會(huì)橋梁結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率產(chǎn)生影響，總的來說，溫度是引起橋梁模態(tài)頻率實(shí)測(cè)變異性的關(guān)鍵因素，而風(fēng)和車輛荷載對(duì)頻率的影響很小8。因此，首先應(yīng)根據(jù)長期累積的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)建立溫度與頻率的相關(guān)模型，在此基礎(chǔ)上得到消除溫度影響的橋梁結(jié)構(gòu)頻率。例如，liu13采用1年的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)建立了曲線預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁橋前三階頻率和溫度的線性回歸模型，孫君14采用6次多項(xiàng)式建立了懸索橋頻率與溫度的相關(guān)性模型，moser15采用多種解析模型建立了一座人行天橋頻率與溫度的關(guān)系。由于逐漸認(rèn)識(shí)到溫度和橋梁頻率關(guān)系的復(fù)雜性，許多學(xué)者開始嘗試采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)等來分析兩者之間的關(guān)系6, 16-18，分析表明

6、，作為一種具有較強(qiáng)容錯(cuò)性的非線性映射工具，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)適合于建立橋梁結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率與溫度的相關(guān)性模型。接下來，對(duì)頻率的異常變化進(jìn)行概率檢測(cè)。由于測(cè)試噪聲等因素的影響，消除溫度影響后的頻率仍存在一定的隨機(jī)性。除非橋梁動(dòng)力特性由于某些突發(fā)狀況（地震、船撞等）發(fā)生大幅度的變化，很難從模態(tài)頻率的實(shí)測(cè)值來判斷結(jié)構(gòu)是否異常。因此，必須從概率的角度去檢測(cè)橋梁模態(tài)頻率的異常變化。統(tǒng)計(jì)過程控制是一種借助于數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論對(duì)生產(chǎn)過程的各個(gè)階段進(jìn)行監(jiān)控以及發(fā)現(xiàn)異?，F(xiàn)象的方法，控制圖是統(tǒng)計(jì)過程控制中發(fā)展較為成熟的控制理論19。目前，國內(nèi)外已有學(xué)者開始運(yùn)用控制圖對(duì)結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)開展異常檢測(cè)14, 20, 21。由于控制圖是

7、以變量服從正態(tài)分布為前提的，因此，在采用控制圖進(jìn)行結(jié)構(gòu)頻率異常檢測(cè)之前需要對(duì)頻率實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，若不服從正態(tài)分布，還需對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)一步的處理。文獻(xiàn)14定義了基于模態(tài)頻率的潤揚(yáng)大橋懸索橋結(jié)構(gòu)異常變化指標(biāo)，在此基礎(chǔ)上采用均值控制圖對(duì)指標(biāo)的異常變化進(jìn)行了識(shí)別，然而并未對(duì)指標(biāo)的正態(tài)性進(jìn)行檢驗(yàn)。在已有研究成果的基礎(chǔ)上，本文提出一種頻率異常變化的概率檢測(cè)方法。采用bpnn（back propagation neural networks，簡(jiǎn)稱bpnn）建立頻率與溫度的相關(guān)性模型，繼而得到消除溫度影響的模態(tài)頻率。針對(duì)消除溫度影響后的頻率不服從正態(tài)分布的情況，采用核密度估計(jì)的方法獲取其概率分布函數(shù)，進(jìn)

8、而將其轉(zhuǎn)換為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的q統(tǒng)計(jì)量，在此基礎(chǔ)上采用均值控制圖對(duì)模態(tài)頻率的異常變化進(jìn)行檢測(cè)。最后采用這一方法對(duì)某大跨度懸索橋的模態(tài)頻率實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析。1 概率檢測(cè)方法1.1 頻率與溫度相關(guān)性模型若正常狀態(tài)下橋梁結(jié)構(gòu)的某階頻率實(shí)測(cè)向量為fi（i為頻率階次），結(jié)構(gòu)溫度的實(shí)測(cè)向量為t，設(shè)fi和t的長度為l。模態(tài)頻率為等時(shí)間間距分析得出，然后依時(shí)間先后順序組成頻率的實(shí)測(cè)向量fi。選擇頻率識(shí)別的時(shí)間間距應(yīng)考慮采樣頻率、檢測(cè)時(shí)效性等各方面的因素。為增強(qiáng)異常檢測(cè)的時(shí)效性，分析時(shí)間間距應(yīng)盡量小，但是這樣頻率的識(shí)別結(jié)果會(huì)過于離散，影響異常檢測(cè)的效果。文獻(xiàn)14先識(shí)別出10分鐘模態(tài)頻率值，在此基礎(chǔ)上取頻率日平

9、均值與溫度建立相關(guān)性模型，這樣雖然減小了數(shù)據(jù)的離散性，但檢測(cè)時(shí)效性不足。本文取10分鐘為頻率識(shí)別時(shí)間間距。關(guān)于模態(tài)頻率的識(shí)別方法，國內(nèi)外的學(xué)者對(duì)此開展很多研究22，本文認(rèn)為頻域方法更適于快速地對(duì)現(xiàn)場(chǎng)大量的振動(dòng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。將t作為bpnn的訓(xùn)練輸入向量，fi為網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的輸出向量?？傻谜顟B(tài)下第i階頻率與溫度的bpnn相關(guān)性模型 (2)式中，bpfi為因變量，表示第i階模態(tài)頻率，t為自變量，表示結(jié)構(gòu)溫度，i為模態(tài)頻率階次。消除溫度影響的模態(tài)頻率向量fit為 (3) (4)式中，bpfi(t)為溫度向量t帶入式（2）得到的頻率網(wǎng)絡(luò)仿真向量，fir為第i階參考頻率，tr為參考溫度。1.2 概率

10、模型與正態(tài)化在應(yīng)用控制圖對(duì)向量fit進(jìn)行異常檢測(cè)之前，需對(duì)其進(jìn)行正態(tài)性的假設(shè)檢驗(yàn)。若向量fit不服從正態(tài)分布，應(yīng)將其轉(zhuǎn)換為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。由概率積分變換定理可知，設(shè)隨機(jī)變量x具有連續(xù)分布函數(shù)f(x)，則其變換的隨機(jī)變量u=f(x)在單位區(qū)間(0,1)上服從均勻分布?？梢圆捎胵統(tǒng)計(jì)量的概念解決向量fit的非正態(tài)性問題23，即u有分布函數(shù)f，則f服從在單位區(qū)間(0, 1)上的均勻分布，采用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的逆變換將f轉(zhuǎn)換為q，q服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，在進(jìn)行轉(zhuǎn)換時(shí)需要預(yù)先知道x的概率分布函數(shù)f(x)。本文采用核密度估計(jì)（kernel density estimate）這一概率論中常用的非參數(shù)密度

11、估計(jì)方法來建立向量fit的概率分布模型24。首先，計(jì)算向量fit的核密度估計(jì)向量pdf(fit)，即 (j, k=1, 2, , l) (5)式中，l為正常狀態(tài)的數(shù)據(jù)長度，f ti, j表示消除溫度影響后頻率向量fit的第j個(gè)數(shù)據(jù)，k( . )稱為核函數(shù)（kernel function），h為窗寬，核函數(shù)k( . )為某個(gè)分布的密度函數(shù)，本文取gaussian核函數(shù)（即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)）和最佳窗寬。繼而得到向量fit的累積概率估計(jì)向量cdf(fit)25，即 (j, k=1, 2, , l) (6)采用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的逆變換將累積概率估計(jì)向量cdf(fit)轉(zhuǎn)換為q統(tǒng)計(jì)量，即 (7)式中，q

12、i為正常狀態(tài)下第i階模態(tài)頻率的q統(tǒng)計(jì)向量，-1( . )為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù)。1.3 基于正常狀態(tài)的均值控制圖由于向量qi服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，就可輸入控制圖中進(jìn)行異常檢測(cè)。采用控制圖理論中常用的均值控制圖19，其基本原理是對(duì)正態(tài)分布中的小概率事件，制定異常警戒限值。當(dāng)隨機(jī)變量處于穩(wěn)態(tài)時(shí)其基本服從正態(tài)分布，即xn(, 2)，設(shè)顯著性水平為時(shí)，總體均值不發(fā)生顯著性變化即認(rèn)為狀態(tài)正常，當(dāng)樣本數(shù)量為n時(shí)，樣本均值，其概率為 (8)式中，為總體均值，為總體標(biāo)準(zhǔn)差，為顯著性水平，z/2為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上/2分位點(diǎn)。當(dāng)顯著性水平為時(shí)，樣本均值取值范圍為(-z/2/, +z/2/)，當(dāng)取不同值時(shí)，可得到不同

13、的控制限值。具體到向量qi，控制圖的上控制限ucl、中心線cl和下控制限lcl可以表示為 (9a) (9b) (9c)式中，mean(qi)和std(qi)分別表示qi的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。由于每階模態(tài)頻率的測(cè)試樣本數(shù)量均為1，因此，式中n等于1。1.4 未知狀態(tài)的頻率檢測(cè)若未知狀態(tài)下的頻率測(cè)試向量為ufi，對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)溫度向量為ut，兩者長度均為m。首先，將向量ut輸入bpnn模型（即式（2），得到未知狀態(tài)下的頻率仿真向量bpfi(ut)，再利用式（3）消除頻率向量ufi中的溫度影響，即 (10)式中，ufit為消除溫度影響后未知狀態(tài)下的第i階模態(tài)頻率向量。計(jì)算向量ufit的核密度估計(jì)向量pdf(u

14、fit) (k=1, 2, , l) (s=1, 2, , m) (11)式中，l和m分別為正常狀態(tài)下和未知狀態(tài)下的數(shù)據(jù)長度，uf ti, s為向量ufit的第s個(gè)數(shù)據(jù)。繼而可以計(jì)算向量ufit的累積概率估計(jì)向量cdf(ufit)，即 (k=1, 2, , l) (s=1, 2, , m) (12)同樣將累積概率估計(jì)向量cdf(ufit)轉(zhuǎn)換為q統(tǒng)計(jì)量，即 (13)式中，uqi為未知狀態(tài)下第i階模態(tài)頻率的q統(tǒng)計(jì)向量。接下來，將uqi輸入式（9）中ucl和lcl構(gòu)成的均值控制圖中，若向量uqi中有數(shù)據(jù)點(diǎn)超出控制限ucl和lcl，說明檢測(cè)出了橋梁模態(tài)頻率的異常變化。綜上所述，圖1給出了橋梁結(jié)構(gòu)異常

15、模態(tài)頻率的概率檢測(cè)流程。2 實(shí)例分析2.1 原始數(shù)據(jù)分析對(duì)國內(nèi)某座大跨度懸索橋投入運(yùn)營后動(dòng)力響應(yīng)的長期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，共分析圖1 橋梁異常模態(tài)頻率的概率檢測(cè)流程圖fig.1 flow chart of probabilistic detection for the abnormal modal frequencies of bridges了一年215天的加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)，在這一年中懸索橋經(jīng)歷了四季的溫度變化。模態(tài)頻率識(shí)別采用的是最大熵譜方法26，得到了懸索橋主梁豎向的前7階模態(tài)頻率，由于高階模態(tài)頻率對(duì)結(jié)構(gòu)損傷更為敏感，本文選取第5階（四階反對(duì)稱豎彎振型）和第6階（五階對(duì)稱豎彎振型）的模態(tài)頻率進(jìn)

16、行分析。頻率識(shí)別的時(shí)間間距為10分鐘，而后每6小時(shí)提取一個(gè)數(shù)據(jù)，得到860個(gè)頻率原始測(cè)試值。結(jié)構(gòu)溫度數(shù)據(jù)來自于主梁所有溫度傳感器測(cè)試值的平均值，也得到了860個(gè)結(jié)構(gòu)溫度原始測(cè)試值，圖2給出了模態(tài)頻率和結(jié)構(gòu)溫度的原始測(cè)試數(shù)據(jù)。實(shí)際上，由于大橋投入運(yùn)營時(shí)間較短，圖2中的數(shù)據(jù)都應(yīng)視為來自于正常狀態(tài)。為演示異常頻率的概率檢測(cè)方法，將圖2中的原始測(cè)試數(shù)據(jù)分為兩本部分，其中的第301號(hào)數(shù)據(jù)至350號(hào)數(shù)據(jù)作為未知狀態(tài)數(shù)據(jù)，未知狀態(tài)的模態(tài)頻率向量為uf5和uf6，結(jié)構(gòu)溫度向量為ut，向量長度m為50。其余的數(shù)據(jù)則組成了正常狀態(tài)下的頻率向量f5、f6和結(jié)構(gòu)溫度向量t，向量長度l為810。從圖2可以看出，雖然圖中

17、模態(tài)頻率的絕對(duì)變化較小，但是仍表現(xiàn)出顯著的規(guī)律性，特別是與溫度具有明顯的相關(guān)性，目前，關(guān)于溫度對(duì)模態(tài)頻率影響規(guī)律的研究已較多5, 6, 8, 9, 13-18，本文不再贅述。首先，圖3給出了正常狀態(tài)下的模態(tài)頻率向量f5和f6的統(tǒng)計(jì)直方圖，從中可以看出f5和f6表現(xiàn)出明顯的雙峰分布特點(diǎn)，此時(shí)，難以采用常用的概率分布模型對(duì)其進(jìn)行描述，而造成這一現(xiàn)象的原因應(yīng)是環(huán)境溫度變化，因此，在進(jìn)行頻率異常檢測(cè)之前的主要工作是通過建立頻率與溫度的相關(guān)性模型來消除溫度對(duì)頻率的影響。采用bpnn分別建立第5、6階模態(tài)頻率與溫度的相關(guān)性模型，本文借鑒文獻(xiàn)17的方法，采用聯(lián)合貝葉斯正則化技術(shù)和levenberg-marq

18、uardt算法的網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練方法，可以使得在網(wǎng)絡(luò)參數(shù)取較小值的情況下保證網(wǎng)絡(luò)的輸出更加光滑并防止出現(xiàn)“過擬合”的現(xiàn)象，從而使得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有較好的訓(xùn)練效果。bpnn的具體結(jié)構(gòu)是采用單隱層結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)溫度向量t作為輸入向量，頻率向量fi作為輸出向量，隱層神經(jīng)元數(shù)量為2個(gè)。圖4給出了bpnn的建模結(jié)果，圖中包含了fi和t的數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖和網(wǎng)絡(luò)仿真曲線，從中可以看出，網(wǎng)絡(luò)仿真曲線與原始數(shù)據(jù)吻合良好，基本反映了溫度變化對(duì)模態(tài)頻率的影響規(guī)律，說明采用bpnn可以獲得較為準(zhǔn)確的頻率-溫度相關(guān)性模型。據(jù)此，可以采用式（3）消除頻率向量fi中的溫度影響，得到向量fit（分別是f5t和f6t）。需要說明的是，參考溫度t r

19、取為20。對(duì)圖2中未知狀態(tài)下的頻率向量uf5、uf6進(jìn)行處理，將未知狀態(tài)的結(jié)構(gòu)溫度向量ut代入式（2），得到頻率的仿真向量bpf5 (ut)和bpf6 (ut)，圖5給出了未知狀態(tài)下頻率原始向量uf5、uf6和頻率仿真向量bpf5 (ut)、bpf6 (ut)的對(duì)比結(jié)果。計(jì)算結(jié)果表明，原始值與仿真值吻合良好，說明本文所建立的頻率與溫度的bpnn相關(guān)性模型具有較強(qiáng)的預(yù)測(cè)能力。在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用式（3）將得到消除溫度影響的未知狀態(tài)頻率向量uf5t和uf6t。2.2 異常檢測(cè)根據(jù)正常狀態(tài)下的數(shù)據(jù)來建立異常檢測(cè)所需要的均值控制圖。首先，需要對(duì)消除溫度影響的頻率向量fit進(jìn)行是否服從正態(tài)分布的假設(shè)檢驗(yàn)，表

20、1給出了f5t和f6t的檢驗(yàn)結(jié)果，采用了2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、(a) 第5階模態(tài)頻率(a) the 5th modal frequency(b) 第6階模態(tài)頻率(b) the 6th modal frequency(c) 結(jié)構(gòu)溫度(c) structural temperature圖2 原始測(cè)試數(shù)據(jù)fig.2 original test data (a) 第5階模態(tài)頻率 (b) 第6階模態(tài)頻率(a) the 5th modal frequency (b) the 6th modal frequency圖3 正常狀態(tài)下模態(tài)頻率原始測(cè)試值fi的統(tǒng)計(jì)直方圖fig.3 histograms of origi

21、nal test frequencies fi in health state (a) 第5階模態(tài)頻率 (b) 第6階模態(tài)頻率 (a) the 5th modal frequency (b) the 6th modal frequency圖4 正常狀態(tài)下模態(tài)頻率原始測(cè)試值fi與結(jié)構(gòu)溫度t的關(guān)系fig.4 correlations between original test frequencies and structural temperature in health state (a) 第5階模態(tài)頻率 (b) 第6階模態(tài)頻率 (a) the 5th modal frequency (b) t

22、he 6th modal frequency圖5 未知狀態(tài)下模態(tài)頻率ufi基于bpnn的仿真結(jié)果fig.5 bpnn-based simulated results of modal frequencies ufi in unknown statekolmogorov-smirnov檢驗(yàn)、lilliefors檢驗(yàn)及jarque-bera檢驗(yàn)4種方法。表中4種檢驗(yàn)結(jié)果均表明fit不服從正態(tài)分布，因此，需要將fit轉(zhuǎn)化為服從正態(tài)分布的q統(tǒng)計(jì)量。采用核密度估計(jì)方法得到fit的概率密度估計(jì)pdf(fit)和累積密度估計(jì)cdf(fit)，然后采用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布逆變換得到正常狀態(tài)下的q統(tǒng)計(jì)量q5和q6。接下

23、來，同樣采用4種假設(shè)檢驗(yàn)方法來判斷q統(tǒng)計(jì)量是否服從正態(tài)分布，表2給出了假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果，表中結(jié)果表明q統(tǒng)計(jì)量qi服從正態(tài)分布，圖6給出了qi的正態(tài)分布概率函數(shù)擬合結(jié)果。表1 fit正態(tài)分布假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果table 1 hypothesis testing results of normal distribution of fit f5tf6t2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)h11p5.16e-0040.003kolmogorov-smirnov檢驗(yàn)h11p1.73e-2963.85e-322lilliefors檢驗(yàn)h11p0.0010.0084jarque-bera檢驗(yàn)h11p0.0010.001表2 qi正態(tài)分布假

24、設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果table 2 hypothesis testing results of normal distribution of qiq5q62(卡方)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)h00p0.720.99kolmogorov-smirnov檢驗(yàn)h00p0.730.72lilliefors檢驗(yàn)h00p0.500.50jarque-bera檢驗(yàn)h00p0.500.50注：表1和表2中假設(shè)檢驗(yàn)的顯著性水平為0.05；表中參數(shù)h和p為假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果，h=0時(shí)，認(rèn)為統(tǒng)計(jì)量服從正態(tài)分布，h=1時(shí)，認(rèn)為統(tǒng)計(jì)量不服從正態(tài)分布；當(dāng)p大于顯著性水平時(shí)，認(rèn)為統(tǒng)計(jì)量服從正態(tài)分布，否則認(rèn)為不服從正態(tài)分布。在建立控制圖之前，采用式（10

25、）至式（13）將未知狀態(tài)下的頻率向量uf5和uf6轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的q統(tǒng)計(jì)量uq5和uq6。然后，就可以根據(jù)正常狀態(tài)下的q統(tǒng)計(jì)量qi來建立檢測(cè)控制圖。表3給出了正常狀態(tài)下頻率測(cè)試向量fi、消除溫度影響的頻率向量fit和統(tǒng)計(jì)量qi的統(tǒng)計(jì)特性。根據(jù)表3中qi的均值和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算控制限時(shí)，首先需要確定控制圖的顯著性水平，繼而找到對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上/2分位點(diǎn)z/2，在此基礎(chǔ)上采用式（9）計(jì)算上控制限ucl和下控制限lcl。關(guān)于顯著性水平，有些學(xué)者取為0.27%20, 21。本文認(rèn)為應(yīng)從避免控制圖發(fā)生錯(cuò)誤的角度去確定合適的顯著性水平。第一類錯(cuò)誤是將正常數(shù)據(jù)誤判為異常數(shù)據(jù)，第二類錯(cuò)誤是把異常數(shù)據(jù)誤判為正常數(shù)據(jù)。

26、由于本文所謂的正常狀態(tài)數(shù)據(jù)和未知狀態(tài)數(shù)據(jù)均來自于結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)，都應(yīng)視為正常數(shù)據(jù)，因此，確定顯著性水平時(shí)應(yīng)主要考慮避免產(chǎn)生第一類錯(cuò)誤。經(jīng)計(jì)算，顯著性水平為0.06%時(shí)，/2為3.4，此時(shí)正常狀態(tài)的qi和未知狀態(tài)的uqi均處于控制限以內(nèi)，結(jié)果見圖7。從圖7可以看出，若本文取顯著性水平為0.27%，此時(shí)z/2的值為3，那么ucl和lcl的控制范圍將大為減小，一些數(shù)據(jù)點(diǎn)將超出控制范圍，即發(fā)生第一類錯(cuò)誤。 (a) 第5階模態(tài)頻率 (b) 第6階模態(tài)頻率 (a) the 5th modal frequency (b) the 6th modal frequency圖6 正常狀態(tài)下qi的概率密度擬合結(jié)果fi

27、g.6 pdf fitting results of qi in health state表3 正常狀態(tài)下模態(tài)頻率的統(tǒng)計(jì)特性table 3 statistical properties of modal frequencies in health state統(tǒng)計(jì)特征fifitqif5f6f5tf6tq5q6均值0.3780.4530.3780.453-0.0020-8.615e-004標(biāo)準(zhǔn)差0.00260.00224.361e-0043.597e-0040.9700.970(a) 第5階模態(tài)頻率(a) the 5th modal frequency(b) 第6階模態(tài)頻率(b) the 6th

28、modal frequency圖7 正常狀態(tài)下的控制圖fig.7 the control charts in health state(a) 第5階模態(tài)頻率 (b) 第6階模態(tài)頻率(a) the 5th modal frequency (b) the 6th modal frequency圖8 異常狀態(tài)下的控制圖fig.8 the control charts in abnormal state第二類錯(cuò)誤發(fā)生的概率直接反映了控制圖對(duì)異常數(shù)據(jù)的敏感性，控制圖越敏感，則發(fā)生第二類錯(cuò)誤的概率就越小，控制圖越不敏感，則發(fā)生第二類錯(cuò)誤的概率就越大。通過對(duì)未知狀態(tài)下的頻率測(cè)試向量ufi施加一定的變化來模擬

29、結(jié)構(gòu)的異常狀態(tài)，來考察圖7中的控制圖對(duì)異常數(shù)據(jù)的敏感性。由于各種外界及自身不利的因素（如地震、船撞、火災(zāi)、材料劣化、銹蝕等）常常使得結(jié)構(gòu)或構(gòu)件剛度降低，橋梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率隨之減小，因此，異常狀態(tài)的模擬頻率向量ufi, 為 (14)式中，為異常變化百分比，mean(fi)表示fi的均值，對(duì)于第5階和第6階模態(tài)，由表3可知，mean(fi)分別為0.378和0.453。在此基礎(chǔ)上，同樣應(yīng)用式（10）至式（13）將ufi, 轉(zhuǎn)化為q統(tǒng)計(jì)量uqi, ，然后將uqi, 輸入已建立的控制限中，得到了如圖8所示的異常狀態(tài)下的控制圖。從中可以看出，對(duì)于第5階模態(tài)，當(dāng)為0.15%時(shí)，q統(tǒng)計(jì)量uq5, 0.15%

30、全部都在控制限之內(nèi)，這時(shí)控制圖還不能檢出頻率異常變化，此時(shí)認(rèn)為結(jié)構(gòu)仍處于正常狀態(tài)，當(dāng)增大至0.3%時(shí)，q統(tǒng)計(jì)量uq5, 0.3%有5個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)越過下控制限lcl，說明這時(shí)控制圖能檢出頻率的異常變化，類似的，當(dāng)增大至0.35%時(shí)，q統(tǒng)計(jì)量uq6, 0.35%有6個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)越過下控制限lcl。以上分析結(jié)果表明，只有當(dāng)橋梁結(jié)構(gòu)由于某種原因?qū)е缕淠B(tài)頻率的變化達(dá)到一定程度之后，均值控制圖才能檢出異常頻率變化，而在這之前，即使模態(tài)頻率發(fā)生異常變化，控制圖也不能檢出，這表明當(dāng)頻率的異常變化較小時(shí)，第二類錯(cuò)誤不可避免的。然而，從圖8可以發(fā)現(xiàn)，控制圖對(duì)該座懸索橋結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的異常變化具有良好的敏感性，能夠成功檢出

31、結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的微小的異常變化。3 結(jié)論建立了基于概率統(tǒng)計(jì)理論的橋梁結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率異常變化的檢測(cè)方法，并以國內(nèi)某座懸索橋的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)為對(duì)象開展了分析與討論，驗(yàn)證了本文方法的有效性，得到以下結(jié)論：（1）由于控制圖理論對(duì)隨機(jī)變量正態(tài)性的要求，使得頻率原始測(cè)試值、消除溫度影響的頻率值都不能直接輸入控制圖中進(jìn)行異常檢測(cè)，本文通過核密度估計(jì)與正態(tài)化的方法有效地解決了這一問題。而控制圖的結(jié)果也表明橋梁模態(tài)頻率的異常變化能通過q統(tǒng)計(jì)量實(shí)時(shí)反映出來。（2）由于環(huán)境溫度變化的影響，橋梁模態(tài)頻率的實(shí)測(cè)值表現(xiàn)出明顯的雙峰分布特征，不能直接采用概率的方法對(duì)其進(jìn)行異常檢測(cè)，需要先去除溫度的影響。對(duì)消除溫度影響的模態(tài)頻率以及模

32、態(tài)頻率的q統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行了假設(shè)檢驗(yàn)，結(jié)果表明，消除溫度影響的模態(tài)頻率不服從正態(tài)分布，而模態(tài)頻率的q統(tǒng)計(jì)量服從正態(tài)分布。（3）選擇該懸索橋第5階和第6階模態(tài)頻率進(jìn)行分析，模擬分析結(jié)果表明，控制圖的敏感性較好，可以檢出模態(tài)頻率的微小異常變化，當(dāng)異常變化分別達(dá)到正常狀態(tài)頻率均值的0.3%和0.35%時(shí)，第5階和第6階頻率的數(shù)據(jù)點(diǎn)越過控制限，模態(tài)頻率的異常變化被檢出。參考文獻(xiàn)：1 程進(jìn), 肖汝誠. 軸向荷載作用下梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的隨機(jī)分析 j. 土木工程學(xué)報(bào), 2006, 39(4): 54-57.cheng jin, xiao rucheng. stochastic analysis of the dyn

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