有限元法剪切鎖閉現(xiàn)象的研究論文答辯

1、有限元法剪切鎖閉現(xiàn)象的研究有限元法剪切鎖閉現(xiàn)象的研究專 業(yè)：工程力學(xué)答辯人：徐 鵬導(dǎo) 師：李欣宇武漢科技大學(xué)理學(xué)院武漢科技大學(xué)理學(xué)院2007年年6月月16日日論文題目：論文題目：2答辯提綱答辯提綱v課題背景及任務(wù)v有限元分析的誤差v有限單元特征及剪切閉鎖產(chǎn)生v剪切閉鎖的對(duì)策v結(jié)論及下一步工作v致謝3課題背景及任務(wù)課題背景及任務(wù) 當(dāng)梁不是細(xì)長(zhǎng)梁時(shí)，梁變形后的橫截面垂直于中面的假設(shè)不再成（Kirchhoff假設(shè)）立，需考慮剪切變形的影響，于是Timoshenko提出了剪切變形的梁理論，如果對(duì)擾度函數(shù)與轉(zhuǎn)角函數(shù)進(jìn)行獨(dú)立插值，且考慮剪切變形的影響，構(gòu)造出的單元為Timoshenko梁?jiǎn)卧═imosh

2、enko beam element）。此單元在退化為細(xì)長(zhǎng)梁?jiǎn)卧獣r(shí)，會(huì)導(dǎo)致剪切閉鎖現(xiàn)象。經(jīng)典薄板理論以Kirchhof假設(shè)為基礎(chǔ)，忽略了橫向剪切的影響，故計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值相比，總是低估了撓度，高估了自然頻率。由于橫向剪切變形對(duì)厚板及復(fù)合材料的板單元影響較大，故忽略剪切變形的薄板理論已不再適用，于是Mindlin等人提出了板的剪切變形理論,以此構(gòu)造出的為Mindlin板單元（Mindlin plate element）。與Timoshenko梁?jiǎn)卧愃?，?dāng)板很薄時(shí)，會(huì)發(fā)生剪切閉鎖與零能模式。對(duì)于塊體，由于形函數(shù)的階數(shù)過(guò)低，而單元受到復(fù)雜應(yīng)力作用，如產(chǎn)生彎曲扭轉(zhuǎn)等，導(dǎo)致形函數(shù)不能真實(shí)表達(dá)。本文討論剪

3、切閉鎖產(chǎn)生的原因，與對(duì)策。4有限元分析的誤差有限元分析的誤差v 結(jié)構(gòu)體由于本身存在有自然的連接關(guān)系即自然節(jié)點(diǎn),所以它們的離散化叫自然離散自然離散v 人為的在連續(xù)體內(nèi)部與邊界上劃分節(jié)點(diǎn),以單元連續(xù)的形式來(lái)逼近原來(lái)復(fù)雜的幾何形狀,這種過(guò)程叫逼近性離散逼近性離散(approximated discretization)v 控制誤差的h方法（h-version ,h-method）和p方法(p-version ,p-method)。52.1 2.1 求解精度的估計(jì)求解精度的估計(jì)v 在這里我們考察平面單元的求解精度與收斂速度，單元的位移場(chǎng) 可以展開(kāi)為以下級(jí)數(shù)： (2.1) 對(duì)于滿足完備性（complet

4、eness）和協(xié)調(diào)性（compatibility）要求的協(xié)調(diào)元，當(dāng) 時(shí)，有限元分析的結(jié)果是單調(diào)收斂的如圖(2.1) 圖2.1 有限元分析結(jié)果的收斂情況（縱坐標(biāo)是總勢(shì)能） ()()iiiuuuuxyxy 6v 還可以就兩次網(wǎng)格劃分所計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行外推以估計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確值如第一次網(wǎng)格劃分的結(jié)果是 ,然后進(jìn)一步將各單元尺寸減半進(jìn)行網(wǎng)格劃分,得到結(jié)果為 .假設(shè)該單元的收斂速度是 ,則其準(zhǔn)確解可以按如下方法估計(jì):v (2.2)v 具體對(duì)平面3節(jié)點(diǎn)三角形單元有s=2，上式可化為： （2.3）v 可由此估計(jì)出準(zhǔn)確解： (2.4)v 由有限個(gè)單元的試函數(shù)來(lái)逼近整體域的場(chǎng)函數(shù)所引起的誤差，即離散誤差。v (1)(

5、 2 )()(/ 2) )siisiiuuOhuuOh(1)2(2)2()4( /2) )iiiiuuO huuO h(2)1(4)3iiiuuu72.22.2提高精度的方法和方法提高精度的方法和方法v（）方法方法（h-version）:不改變各單元上的形狀函數(shù)，只通過(guò)漸漸加密有限元的網(wǎng)格使結(jié)果趨于準(zhǔn)確解v（）方法方法（p-version）:同方法相反，它是不改變單元網(wǎng)格，而采用較高階的多項(xiàng)式來(lái)進(jìn)行插值。83.3.有限元的單元特征及剪切閉鎖的產(chǎn)生有限元的單元特征及剪切閉鎖的產(chǎn)生vTimoshenko梁?jiǎn)卧募羟虚]鎖現(xiàn)象vMindlin板單元的剪切閉鎖現(xiàn)象v塊體單元的閉鎖現(xiàn)象93.1 Timos

6、henko3.1 Timoshenko梁?jiǎn)卧簡(jiǎn)卧?當(dāng)梁不是細(xì)長(zhǎng)梁時(shí)，梁變形后的橫截面垂直于中性層的假設(shè)不再成立（Kirchhoff假設(shè)）這時(shí)需要考慮梁的剪切變形，考慮剪切變形的幾何描述如圖3.1所示。 圖3.1 具有剪切變形影響的梁變形10v 設(shè)剪切變形為 ，則 （3.1）v 設(shè)單元的總撓度函數(shù) 和截面轉(zhuǎn)角函數(shù) 的單元插值模式為（線性插值）： （3.2） （3.3）其中 ， 分別為單元節(jié)點(diǎn)1和2的撓則 （3.4）由（3.1）可得到剪應(yīng)變?yōu)椋?（3.5） ddx1122( )( )( )xN xNx1122( )( )( )xN xNx12()(1),()xxNxNxll( )x( )x121

7、2( )11( )()( )(1)( )dxxxxdxllll 11v 曲率為： (3.6)v 將節(jié)點(diǎn)的位移列陣記為： (3.7)則（3.5）化為： (3.8) (3.9) 曲率為： (3.10) 為曲率幾何矩陣 (3.11) 12( )11( )( )dxdxll 1122Teq( )seBxq1100bBll( )beBxqbB1100bBll12v 將上式代入得到單元?jiǎng)菽芊汉簐 (3.12)v 其中單元的剛度陣由剪切和彎曲變形剛度陣組成v (3.13)1122eeTbeeTseeTeq K qq K qP q 12eTeeeTeqK qPqesbKKK13143.2Mindlin板單元

8、22rGAdx15163.3 3.3 塊體單元塊體單元v 以如圖3.2懸臂梁的靜力分析為例來(lái)說(shuō)明塊體的剪切閉鎖現(xiàn)象 圖3.2 在自由端受到點(diǎn)載荷P的懸臂梁17v 梁為150mm長(zhǎng)， 2.5mm寬， 5mm高；一端固定；自由端承受5N的末端荷載。材料的楊氏模量E為70GPa，泊松比為0.0。采用梁的理論，在給定載荷P作用下，梁末端的撓度為v (3.22)v 其中I = bd3/12， 是長(zhǎng)度，b是寬度，d是梁的高度。P = 5N時(shí)末端撓度是3.09mm。3,3tipPlEI18v 如圖3.4所示，使用幾種不同的單元網(wǎng)格劃分對(duì)懸臂梁?jiǎn)栴}進(jìn)行模擬。模擬既采用線性又采用二次的完全積分單元，并說(shuō)明了單元

9、階數(shù)(一階與二階)和網(wǎng)格密度對(duì)結(jié)果精度的影響。 v 圖3.4 用于懸臂梁模擬的網(wǎng)格劃分 19v 由上知道四節(jié)點(diǎn)的線性單元（CPS4）與8節(jié)點(diǎn)的六面體單元預(yù)測(cè)的撓度值基本上是不可以用的。20v 圖3.6 8節(jié)點(diǎn)的六面體單元214 4 剪切閉鎖的對(duì)策剪切閉鎖的對(duì)策v1.板（梁）問(wèn)題v 厚板理論撓度和轉(zhuǎn)角是獨(dú)立位移 v 而剪應(yīng)變xy00 xyyx 22v 方法方法I 從假設(shè)從假設(shè) 入手入手v 方法方法II 從假設(shè)從假設(shè) 入手入手v 方法方法 從假設(shè)從假設(shè) 入手入手v2.塊體問(wèn)題v將在縮減積分詳細(xì)介紹( , ) ( , ) ( , ) 234.1 縮減積分法、選擇性縮減積分法、非協(xié)調(diào)元v (4.1)v

10、 (4.2)000000101()00000101lbb TbEIKBEIB dxl2202211222326()11022623lssTsllllllGAGAKBB dxllllll24v 剪切應(yīng)變能的表達(dá)式:v (4.3)具體的有一點(diǎn)積分得到的v (4.4)12eTserUqKq22221122242411022424sllllllGAKllllll25v 圖4.1 26v v 將(4.6)代入（4.5）的到v (4.7)10seK q 2728 圖.2 使用縮減積分的二維單元中的積分點(diǎn)29v 表4.1 使用縮減積分單元的梁撓度的歸一化結(jié)果單元單元網(wǎng)格尺寸網(wǎng)格尺寸 (高度高度 x 長(zhǎng)度長(zhǎng)度

11、)1x61x62x122x124x124x128x248x24CPS4R20.3*1.3081.0511.012CPS8R1.0001.0001.0001.000C3D8R70.1*1.3231.0631.015C3D20R0.999*1.0001.0001.000注：* 沒(méi)有剛度抵抗所加載荷, * 在寬度方面使用了兩個(gè)單元。30v 圖4.3 承受彎矩M的使用縮減積分的線性單元的變形314.1.2 選擇性縮減積分v 實(shí)質(zhì)上同縮減積分沒(méi)有區(qū)別，只是在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)加以改善了，對(duì)于可能會(huì)發(fā)生鎖閉的局部采用縮減積分，減少計(jì)算量。324.1.3 4.1.3 非協(xié)調(diào)元非協(xié)調(diào)元v 非協(xié)調(diào)元是為克服完全積分

12、的，一階線性單元的剪切閉鎖問(wèn)題的一種嘗試。由于剪切閉鎖是單元的位移場(chǎng)不能模擬與彎曲相關(guān)的變形而引起的，所以在一階單元中引入一個(gè)增強(qiáng)單元變形梯度的附加自由度。這種對(duì)變形梯度的增強(qiáng)可以允許變形梯度在一階單元的單元域上有一個(gè)線性變化，如圖4.4(a) 所示，而標(biāo)準(zhǔn)的單元數(shù)學(xué)公式在單元中只能得到一個(gè)常數(shù)變形梯度，如圖4.4（b）所示，這導(dǎo)致與剪力閉鎖相關(guān)的非零剪切應(yīng)力。v 在彎曲問(wèn)題中，非協(xié)調(diào)元可能產(chǎn)生與二次單元相當(dāng)精度的結(jié)果，但計(jì)算成本卻明顯的下降。然而，它們對(duì)單元的扭曲很是敏感。v 圖4.4 變形梯度的變化33圖4.5使用位移場(chǎng)增強(qiáng)而非變形梯度增強(qiáng)非協(xié)調(diào)模式單元間潛在的運(yùn)動(dòng)非協(xié)調(diào)性，ABAQUS/

13、Standard使用后一表達(dá)式為其非協(xié)調(diào)模式單元v 圖4.6 非協(xié)調(diào)模式單元的扭曲網(wǎng)格34 圖4.7 平行和交錯(cuò)扭曲對(duì)非協(xié)調(diào)元的影響354.2 4.2 厚板單元解析試函數(shù)法厚板單元解析試函數(shù)法v 在有限元的離散法中吸取解析法的優(yōu)點(diǎn)并加以利用，很早就有文獻(xiàn)論述。利用基本解析解作為試函數(shù)而構(gòu)造出的廣義協(xié)調(diào)元v 在厚板平衡微分方程中，如果將內(nèi)力改用位移表示，就得到厚板位移法的基本微分方程。考慮載荷為零時(shí)的齊次問(wèn)題，則有：v (4.8)2222222222222211()()02211()()022()0yxxxyyxyDCxyx yxDCx yxyyCxyxy 36v 設(shè)F(x,y)是雙調(diào)和函數(shù)，滿

14、足雙調(diào)和方程：v (4.9)v 其中：v (4.10)v 則下列為上式微分方程的解：v (4.11)v 設(shè) 是一個(gè)特征長(zhǎng)度。引入無(wú)量綱坐標(biāo) ， ：v (4.12)220F 22222xy 2,xyDFFFFCxyl,xyll37v (4.13)v 代入得到:v (4.14)v 如果 ,則厚板理論的解析解退化為薄板理論的解析解：v v (4.15)v (4.16)2225(1)DhCll2222FF0lh0 xy=F,FFxy0 xyxx0yzyy38結(jié)論結(jié)論v 在有限元分析中，不能忽視切應(yīng)力的影響，需要對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行必要的分析，若不當(dāng)，則會(huì)產(chǎn)生很大的誤差，如把厚板元用于薄板時(shí)，其結(jié)果誤差太大，遠(yuǎn)不能夠滿足工程上的需要，如表4.1所示。若結(jié)構(gòu)受到彎曲或扭曲時(shí)，需要充分考慮切應(yīng)力的影響；在確定可能會(huì)發(fā)生剪切閉鎖的情況下，一方面可以采取適當(dāng)?shù)募?xì)分網(wǎng)格，但同時(shí)必須考察剪切閉鎖的情況，針對(duì)不同的問(wèn)題采用不同的解決方法，對(duì)于一般問(wèn)題可以采用縮減積分，選擇性縮減積分法，當(dāng)然，我們必須認(rèn)識(shí)到這兩種方法本質(zhì)上的缺陷，只是減輕，不能根除，而且還有可能引入新的問(wèn)題零能模式。