必修二第一章 《空間幾何體的表面積和體積》一校蔡遠(yuǎn)方

1、精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義講義編號 學(xué)員編號： 年 級： 課時數(shù)： 3 學(xué)員姓名： 輔導(dǎo)科目： 學(xué)科教師： 課 題空間幾何體的表面積和體積授課日期及時段 教學(xué)目的（1）通過對柱、錐、臺體、球的研究，了解柱、錐、臺、球的表面積和體積的求法。（2）能運(yùn)用公式求解柱體、錐體、臺體、球的全積，并且熟悉臺體與柱體和錐體之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。教學(xué)內(nèi)容1、 課前檢測1已知圓錐的底面半徑為2cm，高為2cm，則該圓錐的側(cè)面積為_DCMEBAN2把一個周長為12 cm的長方形圍成一個圓柱，當(dāng)圓柱的體積最大時，該圓柱的底面周長與高的比為 3如圖是一個正方體的平面展開圖，在這個正方體中，BM與ED平行；CN與BE是異面直線

2、；CN與 BM成60o角；DM與NB垂直以上四個命題中，正確命題的序號是 4正四棱錐的底面邊長為4，側(cè)棱長為3，則其體積為 5已知某個幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出2020正視圖20側(cè)視圖101020俯視圖的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積是 2、 知識梳理一、空間幾何體的表面積問題1：有一只螞蟻從圓柱的下底面圓周上一點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱側(cè)面爬行一周，到達(dá)上底面圓周上一點(diǎn)B（線段AB是圓柱的一條母線），問螞蟻爬行的最短路線是多長？平面展開圖：沿著多面體的某些棱將它們展開成平面圖形，這個平面圖形叫做該幾何體的平面展開圖。（一）棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積1、直棱柱：側(cè)棱和底面垂直的棱柱叫做直

3、棱柱。其側(cè)面展開圖是一個矩形。正棱柱：底面為正多邊形的直棱柱叫做正棱柱。S直棱柱側(cè)ch其中c為棱柱的底面周長，h直棱柱的高。2、正棱錐定義：如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的正投影是底面中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。性質(zhì)：（1）正棱錐的側(cè)棱長相等。（2）側(cè)棱和底面所成的角相等。棱錐的側(cè)面展開圖是由各個側(cè)面組成的。S正棱錐側(cè)ch´（其中c為棱錐底面周長，h為側(cè)面等腰三角形底邊上的高斜高）3、正棱臺定義：正棱錐被平行于底面的平面所截，截面與底面之間的部分叫做正棱臺。側(cè)面展開圖是由各個側(cè)面組成的。S正棱臺側(cè)（c c）h（其中c，c為棱臺上下底面的周長，h為各個等腰梯形的高，即棱臺

4、的斜高）。（二）、圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積把圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面沿著它們的一條母線剪開后展在平面上，展開圖的面積就是它們的側(cè)面積。1、圓柱的側(cè)面積如果圓柱底面半徑是r，周長是c，側(cè)面母線長是l，那么它的側(cè)面積是2、圓錐的側(cè)面積如果圓錐底面半徑是r，周長是c，側(cè)面母線長是l，那么它的側(cè)面積是3、圓臺的側(cè)面積如果圓臺的上、下面半徑是周長分別是側(cè)面母線長是，那么它的側(cè)面積是二、柱錐臺的體積公式長方體的體積公式是什么？如：某長方體的長寬高分別是7cm,5cm，4cm，其體積為多少，即為多少個正方體？1、祖暅原理兩等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等。2、柱體的體積

5、公式3、錐體的體積公式4、臺體的體積計(jì)算公式柱體，錐體，臺體之間的關(guān)系：5、球體的體積公式與表面積公式（1）利用祖暅原理可得（2）利用極限的思想推導(dǎo)出球的表面積公式：S球面4R23、 重難點(diǎn)突破 1. 有一根長為5 cm，底面半徑為1 cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞4圈，并使鐵絲的兩個端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為多少厘米？（精確到0.1 cm）解：由題意知：BC5 cm，AB8，點(diǎn)A與點(diǎn)C就是鐵絲的起止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度。AC2. 如圖是一個獎杯的三視圖，（單位：cm）試計(jì)算這個獎杯的體積（精確到0.01cm3）。解：V正四棱臺V長方體686

6、4V球 V V正四棱臺 V長方體 V球3、一塊邊長為10cm的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，試建立容器的容積V與底邊邊長x的函數(shù)關(guān)系式. 解：如圖，在中，所以，.4、有一種空心鋼球，質(zhì)量為142g，測得外徑等于5cm，求它的內(nèi)徑.(鋼的密度為，精確到)解：設(shè)空心球內(nèi)徑(直徑)為，則鋼球質(zhì)量為， ， ， 直徑，即空心鋼球的內(nèi)徑約為4.5cm.5、表面積為324的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是14，求這個正四棱柱的表面積. 解：設(shè)球半徑為R，正四棱柱底面邊長為a，則作軸截面如圖， 又 ， ， 4、 課堂練習(xí)1.如果棱臺的兩底面積分別是S、S

7、，中截面的面積是S0，那么（ ）A B C2S0SS DS022SS2、已知正六棱臺的上、下底面邊長分別為2和4，高為2，則其體積為（ ）A32 B28 C24 D20解析：1、解析：設(shè)該棱臺為正棱臺來解即可，答案為A；2、正六棱臺上下底面面積分別為：S上6··226，S下6··4224，V臺，答案B。點(diǎn)評：本題考查棱臺的中截面問題。根據(jù)選擇題的特點(diǎn)本題選用“特例法”來解，此種解法在解選擇題時很普遍，如選用特殊值、特殊點(diǎn)、特殊曲線、特殊圖形等等。3、一個圓柱的側(cè)面積展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（ ）A B C D解析：設(shè)圓柱的底面半

8、徑為r，高為h，則由題設(shè)知h=2r.S全=2r2+（2r）2=2r2（1+2）.S側(cè)=h2=42r2，。答案為A。點(diǎn)評：本題考查圓柱的側(cè)面展開圖、側(cè)面積和全面積等知識。4、如圖99，一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個半徑為r的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高r，則= 。解析：水面高度升高r，則圓柱體積增加R2·r。恰好是半徑為r的實(shí)心鐵球的體積，因此有r3=R2r。故。答案為。點(diǎn)評：本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)知識以及計(jì)算能力和分析、解決問題的能力。5、在ABC中，AB=2，BC=1.5，ABC=120°（如圖所示），若將ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體

9、的體積是（ ）A BC D6、若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個圓錐的全面積是（ ）圖A3 B3 C6 D9解析：5、如圖所示，該旋轉(zhuǎn)體的體積為圓錐CADE與圓錐BADE體積之差，又求得AB=1。，答案D。6、Sabsin，a2sin60°，a24，a2，a=2r，r1，S全2rr223，答案A。點(diǎn)評：通過識圖、想圖、畫圖的角度考查了空間想象能力。而對空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標(biāo)志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向。7、如圖所示，OA是圓錐底面中心O到母線的垂線，OA繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成相等的兩部分，則母線與軸的夾角的余弦值為（ ）A B C

10、 D解析：如圖所示，由題意知，r2hR2h，圖r 又ABOCAO，OA2r·R，cos，答案為D。點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查柱體、錐體的體積公式及靈活的運(yùn)算能力。8、已知過球面上三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且，求球的表面積。解：設(shè)截面圓心為，連結(jié)，設(shè)球半徑為，則，在中，五、課堂小結(jié)1.柱體的表面積和體積：柱體的表面積是側(cè)面積與上、下底面面積之和.直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形，上下底面面積相同；圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，上下底面面積相同；設(shè)柱體的底面周長為，高為，則側(cè)面積為；柱體的體積為；2. 錐體的表面積和體積：棱錐的側(cè)面展開圖是由若干個三角形組成的，因此側(cè)面積為各個三角形面積之和，所以

11、表面積公式為；體積公式為；一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，母線為，則圓錐的側(cè)面積，圓錐的表面積；圓錐的體積為；3.臺體的表面積和體積：棱臺的側(cè)面展開圖是由若干個梯形組成的，因此側(cè)面積為各個梯形面積之和，一個圓臺的側(cè)面展開圖是一個扇環(huán)，其側(cè)面積可由大扇形的面積減去小扇形的面積，所以它們的表面積為；圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，則圓臺的側(cè)面積為，圓臺的表面積為：；臺體的體積為，其中為臺體的上底面積，為臺體的下底面積；4.球體的表面積和體積：半徑為的球體的表面積為，體積為；若兩個球體的半徑為和，則球體的表面積之比為；體積之比為.注：1.圓錐的底面半徑、高和母線的關(guān)系為；

12、2.解題時注意區(qū)分所求的是側(cè)面積還是表面積；3.認(rèn)清所求的幾何體是柱、錐、臺中的哪一類，是“棱”還是“圓”.【方法指導(dǎo)】1.柱體、錐體和臺體的體積公式有何聯(lián)系？柱、錐、臺之間，可以看成一個臺體進(jìn)行變化，當(dāng)臺體的上底面逐漸收縮為一個點(diǎn)時，它就成了錐體；當(dāng)臺體的上底面逐漸擴(kuò)展到與下底面全等時，它就成了柱體，因而體積會有以下的關(guān)系：2.圓柱、圓錐和圓臺的側(cè)面積公式有何聯(lián)系？圓柱和圓錐都可以看作是圓臺退化而成的幾何體.圓柱可以看作是上、下底面全等的圓臺，圓錐可以看作是上底面退化成一點(diǎn)的圓臺，因而它們的側(cè)面積有以下關(guān)系：六、課后作業(yè) 一、選擇題 1正四棱柱的對角線長是9cm，全面積是144cm2，則滿足

13、這些條件的正四棱柱的個數(shù)是（ ） A0個 B1個 C2個 D無數(shù)個 2三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，且側(cè)面A1ABB1與側(cè)面A1ACCl的面積相等，則BB1C1等于（ ） A45° B60° C90° D120° 3邊長為5cm的正方形EFGH是圓柱的軸截面，則從正點(diǎn)沿圓柱的側(cè)面到相對頂點(diǎn)G的最短距離是（ ） A10cm B5cm C5cm Dcm 4中心角為，面積為B的扇形圍成一個圓錐，若圓錐的全面積為A，則AB等于（ ） A118 B38 C83 D138 5正六棱臺的上、下底面的邊長分別為a、b（a<b），側(cè)面和底面所成的二面角為60

14、°，則它的側(cè)面積是（ ） A3（b2a2） B2（b2a2） C（b2a2） D（b2a2） 6過圓錐的高的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面，它們把圓錐的側(cè)面分成的三部分的面積之比為（ ） A123 B135 C124 D139 7若圓臺的上、下底面半徑的比為35，則它的中截面分圓臺上、下兩部分面積之比為（ ） A35 B925 C5 D79 8一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（ ） A B C D 9已知正四面體ABCD的表面積為S，其四個面的中心分別為E、F、G、H，設(shè)四面體EFGH的表面積為T，則等于（ ） A B C D 10一個斜三棱柱，底面是邊長

15、為5的正三角形，側(cè)棱長為4，側(cè)棱與底面三角形兩邊所成的角都是60°，則這個斜三棱柱的側(cè)面積是（ ） A40 B C D30 二、填空題 11長方體的高為h，底面面積是M，過不相鄰兩側(cè)棱的截面面積是N，則長方體的側(cè)面積是_ 12正四棱臺上、下底面的邊長為b、a（ab）且側(cè)面積等于兩底面面積之和，則棱臺的高是_ 13圓錐的高是10 cm，側(cè)面展開圖是半圓，此圓錐的側(cè)面積是_；軸截面等腰三角形的頂角為_ 14圓臺的母線長是3 cm，側(cè)面展開后所得扇環(huán)的圓心角為180°，側(cè)面積為10cm2，則圓臺的高為_；上下底面半徑為_ 三、解答題 15已知正三棱臺的側(cè)面和下底面所成的二面角為6

16、0°，棱臺下底面的邊長為a，側(cè)面積為S，求棱臺上底面的邊長 16圓錐的底面半徑為5 cm，高為12 cm，當(dāng)它的內(nèi)接圓柱的底面半徑為何值時，圓錐的內(nèi)接圓柱全面積有最大值？最大值是多少? 17圓錐底面半徑為r，母線長是底面半徑的3倍，在底面圓周上有一點(diǎn)A，求一個動點(diǎn)P自A出發(fā)在側(cè)面上繞一周到A點(diǎn)的最短路程 參考答案 一、選擇題1C 設(shè)正四棱柱的底面邊長為a，高為c，由題意2a2c2812a24ac2144 即a22ac272×8×9得7a218ac8c20即（7a4c）（a2c）0，因此7a4c0或a2c，由此可見由構(gòu)成方程組有兩組滿足條件的解，

17、故正確答案選C2C 3D 4A 5A 6B 7D8A設(shè)底面圓半徑為r，母線即高為hh2r應(yīng)選A9A10B 可計(jì)算出直截面的周長為5，則S側(cè)4（5）20（1）另解：如圖，若A1ACA1AB60°，則可證明BB1C1C為矩形，因此，S側(cè)2S2×4×5×sin60°4×520（1）二、填空題11設(shè)長方體的長和寬分別為a，b則有a·bM，·hN，2（ab）h2·h·h12 13；60° 14cm；cm，cm三、解答題15設(shè)O，O1分別為下，上底面中心，連接OO1，則OO1平面ABC，上底面邊長為x，連接AO，A1O1并延長交BC，B1C1分別于D、D1兩點(diǎn)則ADBC，連接DD1，則DD1BC，ADD1為二面角ABCD1的平面角，即ADD160°，過D1作D1EOO1交AD于E，則D1E平面ABC在正ABC，A1B1C1中，AD，