隨機數(shù)學(xué) 概率論 概率1

1、制作人 宋東哲主講人：主講人：黃萬風(fēng) 1 1 隨機試驗隨機試驗 隨機事件隨機事件 2 2 隨機事件的概率隨機事件的概率 3 3 條件概率條件概率 4 4 事件的獨立性事件的獨立性 5 5 伯努利（伯努利（Bernoulli)Bernoulli)概型概型 自然界中各種現(xiàn)象可以區(qū)分為兩種：自然界中各種現(xiàn)象可以區(qū)分為兩種：確定性現(xiàn)象與確定性現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象. . 必然現(xiàn)象：必然現(xiàn)象：在一定條件下必然會出現(xiàn)的現(xiàn)象在一定條件下必然會出現(xiàn)的現(xiàn)象 隨機現(xiàn)象：隨機現(xiàn)象：在一定的條件下，可能出現(xiàn)多種結(jié)果，在一定的條件下，可能出現(xiàn)多種結(jié)果，而在試驗之前無法預(yù)知其確切的結(jié)果，也無法控制而在試驗之前無法預(yù)知其確

2、切的結(jié)果，也無法控制 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律是研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科 1 1 隨機試驗隨機試驗 隨機事件隨機事件 1 1可重復(fù)性可重復(fù)性 試驗可以在相同條件下重復(fù)進行；試驗可以在相同條件下重復(fù)進行； 2 2可觀測性可觀測性 試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果不只一個，在試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果不只一個，在試驗之前知道所有可能的結(jié)果；試驗之前知道所有可能的結(jié)果； 3 3隨機性隨機性 試驗結(jié)束后會出現(xiàn)哪一個結(jié)果是隨試驗結(jié)束后會出現(xiàn)哪一個結(jié)果是隨機的機的( (無法事先知道，也無法控制無法事先知道，也無法控制) ) 通常用字母通常用字母E E表示表示

3、隨機試驗隨機試驗( (以后簡稱以后簡稱試驗試驗). ). 例例1.11.1： E E1 1：拋一枚硬幣，觀察正、反面出現(xiàn)的情況：拋一枚硬幣，觀察正、反面出現(xiàn)的情況 E E2 2：擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)：擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù) E E3 3：向一個靶子發(fā)射一顆子彈，觀察打中的環(huán)數(shù)：向一個靶子發(fā)射一顆子彈，觀察打中的環(huán)數(shù) E E4 4：檢查一大批燈泡的壽命：檢查一大批燈泡的壽命 基本事件基本事件( (樣本點，樣本點， 或或 ) )： 一次試驗可能出現(xiàn)的每一次試驗可能出現(xiàn)的每一個直接的結(jié)果一個直接的結(jié)果. .也就是隨機試驗不能夠再分解的結(jié)果也就是隨機試驗不能夠再分解的結(jié)果e基本空間基本空間(

4、 (樣本空間，或樣本空間，或 或或U U) ): :全體基本事件的集合全體基本事件的集合S 的基本空間為的基本空間為 ；,21ee1E1E1e2e 有兩個基本事件：有兩個基本事件： =出現(xiàn)正面出現(xiàn)正面， =出現(xiàn)反面出現(xiàn)反面.2Eiei6, 2, 1i有六個基本事件：有六個基本事件： =出現(xiàn)出現(xiàn) 點點， . ,654321eeeeee2E1,2,3,4,5,6 的基本空間為的基本空間為 或或例例1.2例例1.3不可能事件不可能事件： 一定不發(fā)生的事件一定不發(fā)生的事件, ,記為記為 “出現(xiàn)奇數(shù)點出現(xiàn)奇數(shù)點”的事件可表示為的事件可表示為 =1,3,5=1,3,5，B而而“出現(xiàn)的點數(shù)不超過出現(xiàn)的點數(shù)不

5、超過3 3”的事件表示為的事件表示為 1,2,3 1,2,3 C 一定會發(fā)生的事件，也就是基本空間一定會發(fā)生的事件，也就是基本空間 必然事件必然事件： 事件發(fā)生事件發(fā)生： 當(dāng)事件當(dāng)事件 所包含的基本事件有一個出現(xiàn)，所包含的基本事件有一個出現(xiàn)，就說事件就說事件 發(fā)生了，否則就說事件發(fā)生了，否則就說事件 未發(fā)生未發(fā)生AAAA2E 中中, ,“出現(xiàn)偶數(shù)點出現(xiàn)偶數(shù)點”的事件可表示為的事件可表示為 2,4,62,4,6， 隨機事件：隨機事件：試驗的每一個可能結(jié)果試驗的每一個可能結(jié)果. 用大寫字母用大寫字母 等表示等表示 CBA, 隨機事件也就是基本空間的子集，即若干基本事件構(gòu)隨機事件也就是基本空間的子集

6、，即若干基本事件構(gòu)成的集合成的集合例例1.41. 隨機事件的關(guān)系隨機事件的關(guān)系 (1) 事件的包含事件的包含： 試驗試驗 的基本空間為的基本空間為 ， 、 ( =1,2, )( =1,2, )為為 中的事件中的事件kAEABkEAB在在 中的基本事件，中的基本事件，一定都含在一定都含在 中中AB對任一事件對任一事件 都有都有 AA ,AB BCAC A B ABABBA且且(2)(2)事件的相等事件的相等 事件事件 發(fā)生必然導(dǎo)致事件發(fā)生必然導(dǎo)致事件 發(fā)生發(fā)生ABBA事件事件 包含事件包含事件 BAAB或或(記 ). （3 3）事件的）事件的互斥互斥( (互不相容互不相容) )A、B不可能同時發(fā)

7、生。不可能同時發(fā)生。A 與與B 互斥（互不相容）互斥（互不相容）ABABA 與與B 互斥互斥A與與B不含有公共不含有公共基本事件基本事件 A 與與B 互斥互斥（4 4）事件的互逆（對立）事件的互逆（對立）每次試驗每次試驗 A、B中有且只有一個中有且只有一個發(fā)生。發(fā)生。A 與與B 互逆（對立）互逆（對立）ABA A與與B互為逆事件。互為逆事件。記為記為 或或 。ABBAA 與與B 互逆互逆,ABABAA例例1.61.6 在在 中，中， =2,4,6, =1,2,3.=2,4,6, =1,2,3.有有 2EACCA(1) (1) 事件的并事件的并( (和和) )事件事件A A與事件與事件B B 至

8、少有一個發(fā)生。至少有一個發(fā)生。 BAAB事件事件 與事件與事件 的和或并的和或并BABA( 記記 ). 與與 包含的基本事件放包含的基本事件放在一起作成的事件在一起作成的事件ABAB1.2. 隨機事件的運算隨機事件的運算,.AAA AA ABBA ,AAAAB BAB ABABB推廣推廣 nAAA,21的和事件的和事件 niiA1,21nAAA的和事件的和事件 1iiA=1,2,3,4,6BC.AB AC,AA AAA ,A （2 2）事件的交）事件的交( (積積) )A 與與B 的交（積）事件的交（積）事件ABAB（記為（記為 或或 ）事件事件A與事件與事件B 同時發(fā)生。同時發(fā)生。B AAB

9、B 把事件把事件 與事件與事件 所公有的基所公有的基本事件放在一起作成的事件本事件放在一起作成的事件 ABAABBAAA ,ABA ABB=2， 例例1.71.7：在：在 中，中， 2EA=2,4,6, =1,2,3.c=1,3,5，B則則.ABABAA與與 互不相容互不相容B.AB nAAA,21的積事件的積事件 1niiA推廣推廣 ,21nAAA的積事件的積事件 1iiA=1，3，44，66 CAAA AA A （3 3）事件的差）事件的差A(yù) 與與B 的差事件的差事件 （記為（記為 ）BA事件事件A發(fā)生，但事件發(fā)生，但事件B不發(fā)生。不發(fā)生。BAB A 的基本事件中去掉含在的基本事件中去掉含

10、在 中的，余下基本事件構(gòu)成的事件中的，余下基本事件構(gòu)成的事件 ABABABA)(ABABABA 例例1.81.8：在：在 中，中， 2EA=2,4,6, =1,2,3.c=1,3,5，B則則BC5AB2，4，6AAABBAB 吸收律吸收律;().AAAAABAB ().AABA冪等律冪等律AAAAAA差化積差化積)(ABABABA 重余律重余律AA運算規(guī)律：運算規(guī)律：對應(yīng)對應(yīng)事事件件運運算算集合集合運算運算 交換律交換律A BBABAAB 結(jié)合律結(jié)合律()()A BCAB C)()(BCACAB 分配律分配律()() ()A BCA CB C()()()ABCAB ACA BABAB A B

11、niiniiAA11niiniiAA11 反演律反演律運算順序： 逆交并差，括號優(yōu)先。 零件是合格品零件是合格品”( =1,2,3)( =1,2,3)，試用，試用 ， ， 表示下列事件：表示下列事件： 例例1.91.9 某工人加工三個零件，設(shè)某工人加工三個零件，設(shè) 表示事件表示事件“第第 個個iAii1A2A3A(1) (1) 只有第一個零件是合格品；只有第一個零件是合格品；(2) (2) 只有一個零件是合格品；只有一個零件是合格品；(3) (3) 至少有一個零件是合格品；至少有一個零件是合格品；(4) (4) 最多有一個零件是合格品；最多有一個零件是合格品；(5) 3(5) 3個零件都是合格

12、品；個零件都是合格品； (6) 至少有一個零件是不合格品至少有一個零件是不合格品(1) (1) ； 321AAAA (2) ;(2) ;321321321AAAAAAAAAB(3) ;(3) ;321AAAC321AAAC (4) (4) BAAAD321321321321321AAAAAAAAAAAA或或 . .121323DA AA AA A解解 六個事件分別設(shè)為六個事件分別設(shè)為 ， ， ， ， ， 則有則有 A BCDGF零件是合格品零件是合格品”( =1,2,3)( =1,2,3)，試用，試用 ， ， 表示下列事件：表示下列事件： 例例1.91.9 某工人加工三個零件，設(shè)某工人加工三個

13、零件，設(shè) 表示事件表示事件“第第 個個iAii1A2A3A(1) (1) 只有第一個零件是合格品；只有第一個零件是合格品；(2) (2) 只有一個零件是合格品；只有一個零件是合格品；(3) (3) 至少有一個零件是合格品；至少有一個零件是合格品；(4) (4) 最多有一個零件是合格品；最多有一個零件是合格品；(5) 3(5) 3個零件都是合格品；個零件都是合格品； (6) 至少有一個零件是不合格品至少有一個零件是不合格品解解(5)123FA A A(6) 123123123GA A AA A AA A A 123123123123A A AA A AA A AA A A或或123123GA A

14、 AAAA例例1.101.10 化簡事件化簡事件ACCBA)(解解 原式原式ACCBAACCBCACBAACCBAACCBA)( CBCCA )(CBA 在一個試驗中，有許多隨機事件一個事件在一次試在一個試驗中，有許多隨機事件一個事件在一次試驗中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生驗中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生.有的事件發(fā)生的可能性大有的事件發(fā)生的可能性大, 有有的事件發(fā)生的可能性小的事件發(fā)生的可能性小. 概率就是用來刻劃事件發(fā)生的可能概率就是用來刻劃事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)量指標(biāo)性大小的數(shù)量指標(biāo)2.1 2.1 頻率頻率 定義定義2.12.1 設(shè)設(shè) 為試驗為試驗 中的一個事件中的一個事件, ,把試驗把試驗 在在

15、相同條件下重復(fù)進行相同條件下重復(fù)進行 次，次，AEEn( ).AnnfAn 2 2 隨機事件的概率隨機事件的概率 如果事件如果事件 發(fā)生的次數(shù)為發(fā)生的次數(shù)為 ，則，則稱稱 為事件為事件 在在 次試驗中發(fā)生的次試驗中發(fā)生的頻數(shù)。頻數(shù)。AAnAnAn，即，即nnA)(Afn稱比值稱比值 為事件為事件 發(fā)生的發(fā)生的頻率，頻率，記為記為 A則由定義則由定義2.12.1易知頻率具有下述易知頻率具有下述性質(zhì)性質(zhì)： （1 1）非負(fù)性非負(fù)性A0( ) 1nf A對于任意事件對于任意事件 ，有，有 。 （2）規(guī)范性規(guī)范性1)(nf對于必然事件對于必然事件 ， 。（3）有限可加性有限可加性mAAA,21對于兩兩互

16、不相容的事件對于兩兩互不相容的事件 （即當(dāng)（即當(dāng) 時，有時，有ij, ,1,2,),ijAAi jm有有11.mmniniiifAfA（4）穩(wěn)定性穩(wěn)定性,n 試驗次數(shù)試驗次數(shù)頻率頻率 穩(wěn)定地穩(wěn)定地( )nfA在某一常數(shù)在某一常數(shù) 附近擺動。附近擺動。p投一枚硬幣觀察正面向上的次數(shù)投一枚硬幣觀察正面向上的次數(shù) n = 4040, = 4040, nH=2048, =2048, f n( H ) = 0.5069 = 0.5069 n =12000, =12000, nH =6019, =6019, f n( H ) = 0.5016 = 0.5016n = 24000, = 24000, nH

17、=12012, =12012, f n( H ) = 0.5005 = 0.5005頻率穩(wěn)定性的實例頻率穩(wěn)定性的實例 蒲豐蒲豐( (BuffonBuffon) )投幣投幣 皮爾森皮爾森( ( Pearson Pearson ) ) 投幣投幣 Dewey G. Dewey G. 統(tǒng)計了約統(tǒng)計了約438023438023個英語單詞中各字母出現(xiàn)的個英語單詞中各字母出現(xiàn)的頻率頻率, , 發(fā)現(xiàn)各字母出現(xiàn)的頻率不同：發(fā)現(xiàn)各字母出現(xiàn)的頻率不同：A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389 E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573 I:

18、0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006 概率的統(tǒng)計定義概率的統(tǒng)計定義在相同條件下重復(fù)進行的在相同條件下重復(fù)進行的 n 次次試驗中試驗中,事件事件 A 發(fā)生發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)常數(shù) p 附近擺動附近擺動, 且隨且隨 n 變大，擺動變大，擺動幅度越幅度越小小, 則稱則

19、稱 p 為事件為事件 A 的的概率概率 , ,記作記作 P(A).對本定義的評價對本定義的評價優(yōu)點：直觀優(yōu)點：直觀 易懂易懂缺點：粗糙缺點：粗糙 模糊模糊不便不便使用使用2.2 2.2 概率概率 定義定義2.22.2 設(shè)設(shè) 是是隨機試驗隨機試驗E 的的樣本空間，若能找到樣本空間，若能找到一個法則，使得對于一個法則，使得對于E 的每一事件的每一事件 A 賦于一個實數(shù)，記賦于一個實數(shù)，記為為P ( A ), 稱之為事件稱之為事件 A 的的概率概率，這種賦值滿足下面的三，這種賦值滿足下面的三條公理：條公理：（1 1）非負(fù)性非負(fù)性：,( ) 0AP A （2 2）規(guī)范性規(guī)范性：1)(P11)(iiii

20、APAP（3 3）可列可加性可列可加性：,21AA其中其中 為兩兩互斥事件。為兩兩互斥事件。 性質(zhì)性質(zhì)1 1 ( )0P0)(P概率的性質(zhì)概率的性質(zhì))()()()(PPPP)(P證證 由由 ，再根據(jù)可列可加性，有，再根據(jù)可列可加性，有 ，又因為，又因為 0，所以必有，所以必有性質(zhì)性質(zhì)2 2 有限可加性有限可加性: :nAAA,21設(shè)設(shè) 兩兩互斥兩兩互斥niiniiAPAP11)( 證證 令令 ，則，則為兩兩互不相容的事件，由可列加性及性質(zhì)為兩兩互不相容的事件，由可列加性及性質(zhì)1 1，有，有21nnAA,2121nnnAAAAA1111()().nniiiiiiiiPAPAP AP A)(1)(

21、APAP性質(zhì)性質(zhì)3()( )( ),P B AP BP A若若 ，則，則AB( )( ).P AP B性質(zhì)性質(zhì)4性質(zhì)性質(zhì)5 證證 由于由于 ，則有，則有 AB)(ABAB)(ABA( )()( )().P BP ABAP AP BA( )( ).P BP A()0P BA由于由于 ，因此，因此 )()()(APBPABP即即( )( )1P AP A 證證 因因 ，則有，則有A( )P A對任一事件對任一事件 ，有，有 1 1AB性質(zhì)性質(zhì)6 對任意兩個事件對任意兩個事件 與與 ，有，有)()()(ABPBPABP 證證 因因 ，且，且 ，可得，可得BABABABB()()( )().P BAP

22、 BABP BP AB（減法公式）（減法公式）)()()()(ABPBPAPBAP對任意兩個事件對任意兩個事件 與與 ，有，有性質(zhì)性質(zhì)7AB()( )( )P ABP AP B,ABB)()()()(ABBPAPABBAPBAP)()()(ABPBPAP()A BAB)(ABBABA 證證 由由 ，且，且 ，可得可得()0P AB 由于由于 ，因此，因此()( )( ).P ABP AP B（加法公式）（加法公式）推廣：推廣：()( )( )( )P ABCP AP BP C()()()P ABP ACP BC()P ABC加法公式的一般形式加法公式的一般形式上式右端共有上式右端共有 項項.

23、.21n1111112()()()()( 1)()nniiijijkii j ni j k ninnPAP AP AAP AA AP AAA 解解13( )1( )1,44P AP A 111()( )( ).3412P BAP BP A 例例2.12.1 設(shè)設(shè) , , , , ,求求BA ( ),P A().P B A41)(AP31)(BP 例例2.22.2 設(shè)設(shè) 解解 32311)(1)(APAP1( )( )( ),3P AP BP C81)()(ACPABP, ()0P BC )(AP)(ABP)(CBP)(CBAP,求求 ， ， ，2458131)()()()(ABPBPABBPA

24、BP3203131)()()()(BCPCPBPCBP)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP3.4由由 ，有，有 BCABC0()()0,P ABCP BC于是由加法公式于是由加法公式 ， 例例2.32.3 設(shè)設(shè) 和和 是同一試驗是同一試驗 的兩個隨機事件，證的兩個隨機事件，證明明 ABE1( )( )()().P AP BP ABP AB證證 因為因為 ，所以，所以()ABAAB()().P ABP AB又又 得得1()()()( )( ),P ABP ABP ABP AP B1( )( )().P AP BP AB證畢。證畢。排列組合有關(guān)知識復(fù)習(xí)排列

25、組合有關(guān)知識復(fù)習(xí) 加法原理加法原理：完成一件事情有：完成一件事情有n 類方法，第類方法，第i 類方法中類方法中有有mi 種具體的方法，則完成這件事情共有種具體的方法，則完成這件事情共有 niim1種不同的方法種不同的方法. . 乘法原理乘法原理：完成一件事情有：完成一件事情有n 個步驟，第個步驟，第i 個步驟個步驟中有中有mi 種具體的方法，則完成這件事情共有種具體的方法，則完成這件事情共有 niim1種不同的方法種不同的方法. . 排列排列 從從 n 個不同的元素中取出個不同的元素中取出 m 個個 ( (不放回地）不放回地）按一定的次序排成一排按一定的次序排成一排, ,不同的排法共有不同的排

26、法共有) 1()2)(1(mnnnnAmn全排列全排列! nAnn 可重復(fù)排列可重復(fù)排列 從從 n 個不同的元素中可重復(fù)地取出個不同的元素中可重復(fù)地取出 m 個個排成一排排成一排, , 不同的排法有不同的排法有mn種種. .ik 不盡相異元素的全排列不盡相異元素的全排列 n個元素中有個元素中有 m 類，第類，第 i類中有類中有 個相同的元素，個相同的元素，,21nkkkm將這將這 n 個元素按一定的次序排成一排，個元素按一定的次序排成一排，!21mkkkn種種. .不同的排法共有：不同的排法共有：mkkk,21nkkkm21，不同的分法共有，不同的分法共有 多組組合多組組合 把把 n 個元素分

27、成個元素分成 m 個不同的組（組編號個不同的組（組編號）, ,各組分別有各組分別有 個元素，個元素， nnkkkknknCCC211種種 組合組合 從從 n 個不同的元素中取出個不同的元素中取出 m 個個( (不放回地）不放回地）組成一組組成一組, ,不同的分法共有不同的分法共有)!( !mnmnCmn設(shè)隨機試驗設(shè)隨機試驗E 具有下列具有下列特點特點：q 基本事件的個數(shù)有限；基本事件的個數(shù)有限；q 每個基本事件等可能性發(fā)生。每個基本事件等可能性發(fā)生。則稱則稱 E 為為古典古典( (等可能等可能) )概型概型古典概型中概率的古典概型中概率的計算計算：2.3 2.3 古典（等可能）概型古典（等可能

28、）概型12,n 記隨機試驗記隨機試驗E樣本空間為樣本空間為 12,n 則基本事件則基本事件 兩兩互斥，且兩兩互斥，且12,n又又 及及 ，得，得( )1P 12()()()nPPP121()()()nPPPn事件事件 包含包含基本事件基本事件：A12,kiiiA則則12()()( ).)kiiiPPkAnPP 例例2.42.4 將一枚硬幣拋擲三次，求事件將一枚硬幣拋擲三次，求事件“恰有一次出恰有一次出現(xiàn)正面現(xiàn)正面”的概率的概率 古典概型中概率的計算公式：古典概型中概率的計算公式：( ).kP An則則12,n 樣本空間樣本空間 基本事件總數(shù)為基本事件總數(shù)為 。n（1）（2）事件事件 含基本事件

29、個數(shù)為含基本事件個數(shù)為 。k12,kiiiA 解解 設(shè)設(shè) 表示事件表示事件“出現(xiàn)正面出現(xiàn)正面”， 表示事件表示事件“出現(xiàn)反出現(xiàn)反面面”， 表示事件表示事件“恰有一次出現(xiàn)正面恰有一次出現(xiàn)正面”這是一個等可這是一個等可能概型，基本空間為能概型，基本空間為HTA,HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT 基本事件總數(shù)為基本事件總數(shù)為 8n ，于是有，于是有,TTHTHTHTTA 3( ).8P A A事件事件 所包含的基本事件有所包含的基本事件有3個：個： 例例2.52.5 將一顆勻稱的骰子拋擲兩次，將一顆勻稱的骰子拋擲兩次，(1)(1)求兩次出現(xiàn)求兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和等于的點數(shù)

30、之和等于8 8的概率；的概率；(2)(2)求兩次出現(xiàn)的點數(shù)相同的概求兩次出現(xiàn)的點數(shù)相同的概率率ij 解解 用用 表示事件表示事件“第一次出現(xiàn)第一次出現(xiàn) 點，第二次出現(xiàn)點，第二次出現(xiàn)點點” . .則該試驗的基本空間為則該試驗的基本空間為),(ji)6, 2, 1,(ji6, 2, 1,| ),(jiji共有共有 個基本事件個基本事件36n設(shè)設(shè) 表示事件表示事件“兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和等于兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和等于8”， 表示事件表示事件“兩次出現(xiàn)的點數(shù)相同兩次出現(xiàn)的點數(shù)相同”則則AB=(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)，A5包含有包含有 個基本事件個基本事件.(1,1),

31、 (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)，B包含有包含有6 個基本事件個基本事件5( ),36P A 61( )366P B 例例2.62.6 一個袋裝有一個袋裝有6 6只球，只球，4 4只白，只白，2 2只紅只紅. .從袋中取從袋中取球兩次，每次隨機地取一只?？紤]兩種取球方式球兩次，每次隨機地取一只?？紤]兩種取球方式(a)(a)放回放回抽樣，抽樣，(b)(b)不放回抽樣。試分別就兩種情況求不放回抽樣。試分別就兩種情況求(1)(1)取到的兩取到的兩只球都是白球的概率；只球都是白球的概率；(2)(2)取到的兩只球顏色相同的概率；取到的兩只球顏色相同的概率；(3)(3)

32、兩只球中至少有一只是白球的概率。兩只球中至少有一只是白球的概率。 例例2.72.7將將n n只球隨機地放入只球隨機地放入N(nN(nNN) )個盒子中去，試求個盒子中去，試求每個盒子至多有一只球的概率每個盒子至多有一只球的概率 （設(shè)盒子的容量不限）。（設(shè)盒子的容量不限）。 例例2.82.8袋中有袋中有a a只白球，只白球，b b只紅球，只紅球，k k個人依次在袋中取個人依次在袋中取一只球，（一只球，（1 1）作放回抽樣（）作放回抽樣（2 2）作不放回抽樣，求第）作不放回抽樣，求第i(i=1,2,k)i(i=1,2,k)人取到白球（記為事件人取到白球（記為事件B B）的概率。）的概率。(k(k

33、a+b)a+b) 例例2.72.7 設(shè)某一箱子裝有同種類型的電子元件設(shè)某一箱子裝有同種類型的電子元件100100個，個，其中有其中有9595個合格品，個合格品，5 5個不合格品從箱子中任取個不合格品從箱子中任取4 4個電子個電子元件，問其中恰有元件，問其中恰有1 1個不合格品的概率是多少？個不合格品的概率是多少？ 解解 設(shè)設(shè) 表示事件表示事件“取出的取出的4 4個元件中恰有個元件中恰有1 1個不合格個不合格品品” A基本事件總數(shù)為基本事件總數(shù)為100,4n所包含的基本事件數(shù)為所包含的基本事件數(shù)為A59513 則由古典概率得則由古典概率得59513( )0.1761004P A 例例2.92.9

34、 設(shè)某城市共有設(shè)某城市共有 輛汽車，車牌號碼從輛汽車，車牌號碼從 到到 ， 有一個人將他所遇到的該城市的有一個人將他所遇到的該城市的 輛汽車的車牌號碼輛汽車的車牌號碼( (可可能有重復(fù)的號碼能有重復(fù)的號碼) )全部抄下來，假設(shè)每輛汽車被遇到的機全部抄下來，假設(shè)每輛汽車被遇到的機會相同，求抄到的最大號碼恰好為會相同，求抄到的最大號碼恰好為 (1N k )(1N k )的概的概率率NNnk 解解 這種抄法可以看作是從這種抄法可以看作是從 個不同的號碼中允許重復(fù)個不同的號碼中允許重復(fù)地抽取地抽取 個號碼的排列，個號碼的排列，Nn 因為最大車牌號碼不大于因為最大車牌號碼不大于 的取法共有的取法共有 種

35、，種，knk1 設(shè)設(shè) 表示事件表示事件“抄到的最大車牌號碼正好為抄到的最大車牌號碼正好為 ”，則，則有有Ak(1)( ).nnnkkP ANnN 共有共有 種可能的取法，這是基本種可能的取法，這是基本事件的總數(shù)事件的總數(shù) 1knk) 1( 而最大而最大車牌號碼不大于車牌號碼不大于 的取法共有的取法共有 種，種，knnkk) 1( 因此最大車牌號碼正好是因此最大車牌號碼正好是 的取法共有的取法共有 種種 例例2.82.8 從從1, 2,1, 2, 10, 10這十個數(shù)字中任取三個，問大這十個數(shù)字中任取三個，問大小在中間的數(shù)字恰好為小在中間的數(shù)字恰好為5 5的概率是多少？的概率是多少？ 解解 設(shè)設(shè)

36、 表示事件表示事件“取出的三個數(shù)字大小在中間的數(shù)取出的三個數(shù)字大小在中間的數(shù)字恰好為字恰好為5 5” A基本事件總數(shù)為基本事件總數(shù)為10,3n所包含的基本事件數(shù)為所包含的基本事件數(shù)為 A415,111 因此所求概率為因此所求概率為4151111( ).1063P A 例例2.102.10 將將1515名新生名新生( (其中有其中有3 3名優(yōu)秀生名優(yōu)秀生) )隨機地分配到隨機地分配到三個班級去，其中一班三個班級去，其中一班4 4名，二班名，二班5 5名，三班名，三班6 6名名(1)(1)求每求每一個班級各分到一名優(yōu)秀生的概率；一個班級各分到一名優(yōu)秀生的概率；(2)(2)求求3 3名優(yōu)秀生分到名優(yōu)

37、秀生分到一個指定班級的概率一個指定班級的概率(3)3(3)3名優(yōu)秀生分到同一個班級的概名優(yōu)秀生分到同一個班級的概率率. .! 6! 2! 4!12Bn (2) (2)設(shè)設(shè) 表示事件表示事件“3 3名優(yōu)秀生都分到二班名優(yōu)秀生都分到二班”，B2( )0.02198.91BnP Bn 解解 基本事件總數(shù)為基本事件總數(shù)為 3!12!,3!4!5!An 24( )0.2637.91AnP An (1) (1)設(shè)設(shè) 表示事件表示事件“每一個班級各分到一名優(yōu)秀生每一個班級各分到一名優(yōu)秀生”，A!6! 5!4!15n則有則有A所包含的基本事件為所包含的基本事件為則有則有B所包含的基本事件數(shù)所包含的基本事件數(shù)

38、幾何概型幾何概型：如果一個隨機試驗相當(dāng)于從直線、平面或：如果一個隨機試驗相當(dāng)于從直線、平面或空間的某一區(qū)域空間的某一區(qū)域 上任取一點，而所取的點落在區(qū)域中任上任取一點，而所取的點落在區(qū)域中任意兩個度量意兩個度量( (長度、面積、體積長度、面積、體積) )相等的子區(qū)域內(nèi)的可能性相等的子區(qū)域內(nèi)的可能性是相等的，則稱此試驗為是相等的，則稱此試驗為幾何概型幾何概型 對于任何有度量的子區(qū)域?qū)τ谌魏斡卸攘康淖訁^(qū)域 ，我們同時以，我們同時以 表示事表示事件件“任取一點落在區(qū)域任取一點落在區(qū)域 內(nèi)內(nèi)”，定義事件，定義事件 的概率為的概率為AAAA()AP A的的 度度 量量的的 度度 量量這樣定義的概率稱為這

39、樣定義的概率稱為幾何概率幾何概率2.4 2.4 幾何概型幾何概型 解解 設(shè)兩個數(shù)分別為設(shè)兩個數(shù)分別為 、 ，0 10 1，0 10 1， 為平面上一點，所有點的集合構(gòu)成基本空間為平面上一點，所有點的集合構(gòu)成基本空間 ，即圖中的，即圖中的正方形區(qū)域，其面積為正方形區(qū)域，其面積為 ， xyxy1S 設(shè)設(shè) 表示事件表示事件“兩數(shù)之積大于兩數(shù)之積大于 ，之和不大于，之和不大于1 1”，即即 表示圖中陰影部分，其面積為表示圖中陰影部分，其面積為 A922ln9261d)921 (3/23/1xxxSA因此因此12( )ln2.69ASP AS 例例2.112.11 任取兩個不大于任取兩個不大于1 1的正

40、數(shù)，試求其積大于的正數(shù)，試求其積大于 ，且其和不大于且其和不大于1 1的概率的概率92Oyx+y=1xy=2/91/32/3x3 3 條件概率條件概率3.1 3.1 條件概率與乘法公式條件概率與乘法公式 引例引例1 1 在在100100件某種產(chǎn)品中有件某種產(chǎn)品中有5 5件不合格品，其中件不合格品，其中3 3件是次品，件是次品，2 2件是廢品，從件是廢品，從100100件產(chǎn)品中任取件產(chǎn)品中任取1 1件，件，（1 1）求它是廢品的概率）求它是廢品的概率p1;p1;（2 2）已知取出的是不合格品，求它是廢品的概率）已知取出的是不合格品，求它是廢品的概率p2.p2. 定義定義3.13.1 設(shè)設(shè) 為一試

41、驗，為一試驗， , , 為為 中兩事件，且中兩事件，且EBE0)(APA)()()|(APABPABPA)()(APABPB)|(ABP , 則稱則稱 為事件為事件 發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件 發(fā)發(fā)生的生的條件概率條件概率，記作，記作 ，即，即 引例引例2 2 向正方形向正方形 內(nèi)隨機投點（如圖），內(nèi)隨機投點（如圖）， 表示事表示事件件“點落在圓形區(qū)域點落在圓形區(qū)域 內(nèi)內(nèi)” 表示事件表示事件“點落在圓形區(qū)點落在圓形區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)” 則在已知則在已知 發(fā)生條件下發(fā)生條件下 發(fā)生的條件概率為發(fā)生的條件概率為AABBBAAB(|)P B A()()P ABP A的面積的面積AB的面積的面積A的面

42、積的面積/AB的面積的面積/A的面積的面積的面積的面積=條件概率也是概率條件概率也是概率, , 故具有概率的故具有概率的性質(zhì)性質(zhì)：0)(ABP1)(AP11iiiiABPABPq 非負(fù)性非負(fù)性q 規(guī)范性規(guī)范性 q 可列可加性可列可加性 121212()()()()PBBAP BAP BAP B BAq )(1)(ABPABPq 12112()()()PBBAP BAP B BAq ()0PAq 用條件概率求積事件的概率，即用條件概率求積事件的概率，即乘法公式乘法公式) 0)()()(APABPAPABP) 0)()()(BPBAPBPABP推廣推廣)0)()()(12112112121nnnn

43、AAAPAAAAPAAPAPAAAP( ()0)P AB)|()|()()(ABCPABPAPABCP例例3.13.1 袋中有袋中有5 5只球，只球，2 2只白球，只白球，3 3只黑球，現(xiàn)依次取只黑球，現(xiàn)依次取兩球且放回，兩球且放回，(1)(1)求第二次取白球的概率，求第二次取白球的概率，(2)(2)若已知第一若已知第一次取到白球的條件下，求第二次取到白球的概率次取到白球的條件下，求第二次取到白球的概率 解解 設(shè)設(shè) 表示事件表示事件“第一次取到白球第一次取到白球”， 表示事件表示事件“第二次取到白球第二次取到白球”，基本事件總數(shù)，基本事件總數(shù) AB2525.n2 510,An 5 210.Bn

44、 表示事件表示事件“兩次都取到白球兩次都取到白球”，則，則 ， AB2 24ABn52)(nnAPA52)(nnBPB4()25P AB()2(|)( )5P ABP B AP A 注意區(qū)分注意區(qū)分 與與 ABAB|例例3.23.2 袋中有袋中有5 5只球，只球，2 2只白球，只白球，3 3只黑球，現(xiàn)依次取只黑球，現(xiàn)依次取兩球且兩球且不不放回，放回，(1)(1)求第二次取白球的概率，求第二次取白球的概率，(2)(2)若已知第若已知第一次取到白球的條件下，求第二次取到白球的概率一次取到白球的條件下，求第二次取到白球的概率 解解 設(shè)設(shè) 表示事件表示事件“第一次取到白球第一次取到白球”， 表示事件表

45、示事件“第二次取到白球第二次取到白球”，基本事件總數(shù)，基本事件總數(shù) AB115420.nC C11248,AnC C812131112CCCCnB表示事件表示事件“兩次都取到白球兩次都取到白球”，則，則 ， AB21112CCnAB52)(nnAPA52)(nnBPB101)(ABP41)()()|(APABPABP例例3.33.3 n n個人排成一隊，已知甲總排在乙的前面，求個人排成一隊，已知甲總排在乙的前面，求乙恰好緊跟在甲后面的概率乙恰好緊跟在甲后面的概率例例3.33.3已知在已知在2020個同種零件中有個同種零件中有3 3個次品，其余為合格個次品，其余為合格品。從這品。從這2020個零

46、件中任取個零件中任取3 3次，每次任取次，每次任取1 1個作不放回抽樣，個作不放回抽樣，求：求：（1 1）3 3個都是合格品的概率個都是合格品的概率（2 2）3 3個都是次品的概率個都是次品的概率（3 3）只有）只有1 1個是合格品的概率個是合格品的概率 例例3.33.3某人在箱子上鎖好了一把鎖后，將兩把鑰匙和某人在箱子上鎖好了一把鎖后，將兩把鑰匙和另外另外3 3把形狀大小大致一樣的鑰匙放在了一起，過了很長把形狀大小大致一樣的鑰匙放在了一起，過了很長時間要打開箱子卻忘記了哪兩把鑰匙能開鎖，就拿起時間要打開箱子卻忘記了哪兩把鑰匙能開鎖，就拿起5 5把把鑰匙逐次試開，求他在鑰匙逐次試開，求他在3

47、3次內(nèi)能打開這把鎖的概率次內(nèi)能打開這把鎖的概率例例3.33.3 一批零件共一批零件共100100件，次品率件，次品率10%10%，接連兩次從這，接連兩次從這批產(chǎn)品中任取一個，不放回，求第二次才取得正品的概批產(chǎn)品中任取一個，不放回，求第二次才取得正品的概率率 解解 設(shè)設(shè) 表示事件表示事件“第一次取次品第一次取次品”， 表示事件表示事件“第二次取正品第二次取正品”，則，則 表示事件表示事件“直到第二次才取得直到第二次才取得正品正品”其概率為其概率為ABAB ()( ) (|10901.100991)1P ABP A P B A 例例3.43.4 從混有從混有5 5張假鈔的張假鈔的2020張百元鈔票

48、中任意抽出張百元鈔票中任意抽出2 2張張, , 將其中將其中1 1張放到驗鈔機上檢驗發(fā)現(xiàn)是假鈔張放到驗鈔機上檢驗發(fā)現(xiàn)是假鈔. . 求求2 2張都張都是假鈔的概率是假鈔的概率.解解 令令 A 表示表示“抽到抽到兩兩張都是假鈔張都是假鈔”. .B表示表示“兩張中至少有兩張中至少有1張假鈔張假鈔”)(APABP22025/ CC 2201151525/ )(CCCCBP)(/ )(BPABPBAP所以所以 2211520515/()10/850.118CCC C 例例3.53.5 盒中裝有盒中裝有5 5個產(chǎn)品個產(chǎn)品, , 其中其中3 3個一等品，兩個二個一等品，兩個二等品等品, , 從中不放回地取產(chǎn)

49、品從中不放回地取產(chǎn)品, , 每次每次1 1個個, , 求求 （1 1）取兩次，兩次都取得一等品的概率）取兩次，兩次都取得一等品的概率; ; （2 2）取兩次，第二次取得一等品的概率）取兩次，第二次取得一等品的概率; ; （3 3）取三次，第三次才取得一等品的概率）取三次，第三次才取得一等品的概率; ; （4 4）取兩次，已知第二次取得一等品，求第一次取得）取兩次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的是二等品的概率的是二等品的概率. .解解 令令 Ai 為第為第 i 次取到一等品次取到一等品. .（1）1034253)()()(12121AAPAPAAP212121212()()()()P AP

50、 AAAAP AAP AA（2）5342534352(3) 213121321)(AAAPAAPAPAAAP101334152提問提問：第三次才取得一等品的概率：第三次才取得一等品的概率, 是是?)()(321213AAAPAAAP還是 例例3.53.5 盒中裝有盒中裝有5 5個產(chǎn)品個產(chǎn)品, , 其中其中3 3個一等品，個一等品，2 2個二等個二等品品, , 從中不放回地取產(chǎn)品從中不放回地取產(chǎn)品, , 每次每次1 1個個, , 求求 （1 1）取兩次，兩次都取得一等品的概率）取兩次，兩次都取得一等品的概率; ; （2 2）取兩次，第二次取得一等品的概率）取兩次，第二次取得一等品的概率; ; （

51、3 3）取三次，第三次才取得一等品的概率）取三次，第三次才取得一等品的概率; ; （4 4）取兩次，已知第二次取得一等品，求第一次取得）取兩次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的是二等品的概率的是二等品的概率. .)()()()()(221222121APAAPAPAPAAPAAP5 . 0153103(4) 例例3.63.6 為了防止意外為了防止意外, ,礦井內(nèi)同時裝有礦井內(nèi)同時裝有A與與B兩種報兩種報警設(shè)備警設(shè)備, ,已知設(shè)備已知設(shè)備 A 單獨使用時有效的概率為單獨使用時有效的概率為0.92,0.92,設(shè)備設(shè)備B 單獨使用時有效的概率為單獨使用時有效的概率為0.93,0.93,在設(shè)備在設(shè)

52、備A 失效的條件下失效的條件下, , 設(shè)備設(shè)備B 有效的概率為有效的概率為0.85,0.85,求發(fā)生意外時至少有一個報警求發(fā)生意外時至少有一個報警設(shè)備有效的概率設(shè)備有效的概率. .設(shè)事件設(shè)事件A, B分別表示設(shè)備分別表示設(shè)備A, B有效有效 解解85. 0ABP 92. 0AP 93. 0BP已知已知求求P AB由由()()1()P BP ABP B AP A()0.862P AB故故()()()()0.988P ABP AP BP AB解法二解法二PAB)()()(ABPAPBAP()1()0.08 1 0.850.012P AP B A()0.988P AB1,niijiBB B )(1j

53、iniiABABABAniiABPAP1)()()()(1iniiBAPBP全概率公式全概率公式3.2 3.2 全概率公式全概率公式()0(1,2, )iP Bin 則稱則稱 為為 的的一個一個劃分劃分(分割分割)12,nB BB1B2BnB3BA 例例3.73.7 袋中有袋中有5 5只球，只球，2 2只紅球，只紅球，3 3只白球，依次不只白球，依次不放回的取兩球，求第二次取紅球的概率放回的取兩球，求第二次取紅球的概率 解解 設(shè)設(shè) 表示第一次取紅球的事件，表示第一次取紅球的事件， 表示事件表示事件“第第一次取白球一次取白球”， 表示事件表示事件“第二次取紅球第二次取紅球”. .BBA( )(

54、) (|)( ) (|)P AP B P A BP B P A B21322.54545由全概率公式有由全概率公式有 i 解解 設(shè)設(shè) 表示事件表示事件“取到第取到第 組的產(chǎn)品組的產(chǎn)品”，=1,2,3,4=1,2,3,4， 表示事件表示事件“恰好取到次品恰好取到次品”由全概率公式，有由全概率公式，有iAiB 11223344( )() ( |)() ( |)() ( |)() ( |)0.15 0.05 0.2 0.04 0.3 0.03 0.35 0.02P BP A P B AP A P B AP A P B AP A P B A0.0315 例例3.83.8 某車間有四個班組生產(chǎn)同一種產(chǎn)品

55、，其產(chǎn)量某車間有四個班組生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的分別占總產(chǎn)量的15%15%、20%20%、30%30%、35%35%，次品率分別為，次品率分別為0.050.05、0.040.04、0.030.03、0.020.02，現(xiàn)從全部產(chǎn)品中任取一件，現(xiàn)從全部產(chǎn)品中任取一件，問恰好取到次品的概率是多少？問恰好取到次品的概率是多少？ 例例3.93.9 在兩個袋中分別放有在兩個袋中分別放有 及及 個白球和個白球和 及及個黑球，今任選一袋，從中任取一球，求取出白球的概個黑球，今任選一袋，從中任取一球，求取出白球的概率率1m2m1n2n 解解 設(shè)設(shè) 表示事件表示事件“取到第取到第 袋袋”， ， 表示表

56、示事件事件“取到白球取到白球”，由全概率公式，有，由全概率公式，有iAi2, 1iB )|()()|()()(2211ABPAPABPAPBP2221112121nmmnmm例例將大小和形狀完全一樣的球分別裝入三個盒子，將大小和形狀完全一樣的球分別裝入三個盒子，每盒每盒1010個，第一個盒子中裝有個，第一個盒子中裝有7 7個紅球，個紅球，3 3個黃球；第二個個黃球；第二個盒子中裝有盒子中裝有5 5個黑球，個黑球，5 5個白球；第三個盒子裝有個白球；第三個盒子裝有8 8個黑球，個黑球，2 2個白球。先在第一個盒子中任取個白球。先在第一個盒子中任取1 1個球，如果取到紅球，個球，如果取到紅球，則在

57、第二個盒子中任取則在第二個盒子中任取1 1個球；如果在第一個盒子中取到個球；如果在第一個盒子中取到黃球，則在第三個盒子中任取黃球，則在第三個盒子中任取1 1個球。求第二次取到個球。求第二次取到1 1個黑個黑球的概率以及第二次取到球的概率以及第二次取到1 1個白球的概率。個白球的概率。 設(shè)設(shè) 為試驗為試驗 的基本空間，的基本空間， 為任一事件，為任一事件，為為 的一個劃分，的一個劃分， 則則EBnAAA,21( )0,P B0)(iAP,1, 2,inniiijjjABPAPABPAPBAP1)|()()|()()|(nj, 2, 1其中其中()iP A先驗概率先驗概率(|)iP AB后驗概后驗

58、概 率率貝葉斯公式貝葉斯公式它是由以往的經(jīng)驗得到的，它是事件它是由以往的經(jīng)驗得到的，它是事件 B 的原因的原因它是得到了信息它是得到了信息 B 發(fā)生后發(fā)生后, 再對導(dǎo)致再對導(dǎo)致 B發(fā)生的原因發(fā)發(fā)生的原因發(fā)生的可能性大小重新加以評估。生的可能性大小重新加以評估。3.3 貝葉斯公式貝葉斯公式 解解111() (|)(|)( )0.15 0.050.23810.0315P A P B AP A BP B222() (|)(|)( )0.20 0.040.25400.0315P A P B AP ABP B由此可知，取出的次品由第由此可知，取出的次品由第3 3組生產(chǎn)的可能性最大組生產(chǎn)的可能性最大 例例

59、3.10 某車間有四個班組生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分某車間有四個班組生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的別占總產(chǎn)量的15%、20%、30%、35%，次品率分別為，次品率分別為0.05、0.04、0.03、0.02，現(xiàn)從全部產(chǎn)品中任取一件，問恰，現(xiàn)從全部產(chǎn)品中任取一件，問恰好取到次品的概率是多少？好取到次品的概率是多少？ （例（例3.8）問此次問此次品由哪個班組生產(chǎn)的可能性品由哪個班組生產(chǎn)的可能性 最大？最大？0.0315.( )P B444() (|)(|)( )0.35 0.020.22220.0315P A P B AP ABP B333() (|)(|)( )0.30 0.030.2857

60、0.0315P A P B AP ABP B 例例3.113.11 在電報通訊中，發(fā)送端發(fā)出的信號是由在電報通訊中，發(fā)送端發(fā)出的信號是由“ ”和和“- -”兩種信號組合的序列由于受到隨機干擾，兩種信號組合的序列由于受到隨機干擾，接收端收到的是接收端收到的是“ ”、“- -”和和“不清不清”三種信號假設(shè)三種信號假設(shè)發(fā)送發(fā)送“ ”、“- -”的概率分別為的概率分別為0.60.6和和0.40.4；在發(fā)；在發(fā)“ ”時，時，收到收到“ ”、“- -”和和“不清不清”的概率分別為的概率分別為0.70.7、0.10.1和和0.20.2；在發(fā)；在發(fā)“- -”時，收到時，收到“ ”、“- -”和和“不清不清”的