阿貝爾群和循環(huán)群

1、5-5 阿貝爾群和循環(huán)群阿貝爾群和循環(huán)群定義定義 5-5.1：如果群中的運算*是可交換的，則稱該群為阿貝爾群，或稱交換群。例題 1： 設G為所有n階非奇（滿秩）矩陣的集合，矩陣乘法運算。作為定義在集合G上的二元運算，則是一個不可交換群。解：解： 任意兩個n階非奇矩陣相乘后，仍是一個非奇矩陣，所以運算 是封閉的。 矩陣乘法運算是可結合的。n階單位陣E是G中的幺元。任意一個非奇陣A存在著唯一的逆陣，使A A-1=A-1 A=E但矩陣乘法是不可交換的，因此，是一個不可交換群。定理定理5-5.1: 設是一個群，是阿貝爾群的充要條件是對任意的a,bG,有 (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。

2、證明: 充分性 設對任意a,bG,有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) 因為 a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b) =(a*b)*(a*b) =a*(b*a)*b 所以 a-1*(a*(a*b)*b)*b-1 =a-1*(a*(b*a)*b)* b-1 即得 a*b=b*a 因此，群是阿貝爾群。 必要性設是阿貝爾群，則對任意的a,bG 有 a*b=b*a因此 (a*a)*(b*b)=a*(a*b)*b =a*(b*a)*b =(a*b)*(a*b)定義定義5-5.2： 設為群，若在G中存在一個元素a,使得G中的任意元素都由a的冪組成，則稱該群為循環(huán)群，元素a稱為循環(huán)群G的生成

3、元。例如：60就是群的生成元，因此，該群是循環(huán)群。定理定理5-5.2：任何一個循環(huán)群必定是阿貝爾群。證明： 設是一個循環(huán)群，它的生成元是a, 那么，對于任意的x,yG,必有r,sZ， 使得x=ar 和 y=as 而且 x*y=ar*as=ar+s=as+r=as*ar=y*x 因此， 是一個阿貝爾群。對于有限循環(huán)群，有下面的定理。定理定理5-5.3： 設是一個由元素aG生成的有限循環(huán)群。如果G的階數(shù)是n,即|G|=n,則an=e且G=a，a2，a3，an-1,an=e，其中，e是中的幺元，n是使an=e的最小正整數(shù)（稱n為元素a的階）。證明： 假設對于某個正數(shù)m，mn，有am=e。那么，由于是

4、一個循環(huán)群，所以G中的任何元素都能寫為ak(kZ)，而且k=mq+r其中，q是某個整數(shù)，0rm。這就有ak=amq+r=(am)q*ar=ar這就導致G中每一個元素都可表示成ar(0rm)，這樣，G中最多有m個不同的元素，與|G|=n相矛盾。所以am=e(mn)是不可能的。進一步證明a，a2，a3，an-1,an都不相同。用反證法。假設ai = aj,其中1ijn,就有ai = ai * aj-i , 即aj-i =e,而且1j-in,這已經(jīng)由上面證明是不可能的。所以， a，a2，a3，an-1,an都不相同，因此G=a，a2，a3，an-1,an =e例題例題 2： 設G=，在G上定義二元運

5、算*如表5-5.2所示。 表5-5.2*解：解：由運算表5-5.2可知運算*是封閉的， 是幺元。，和的逆元分別是，和。 可以驗證運算*是可結合的。 所以是一個群。在這個群中，由于 2, 3, 4, 以及 2 , 2, 4 故群是由或生成的，因此是一個循環(huán)群。 從本例可以看到：一個循環(huán)群的生成元可以不是唯一的。作業(yè) 5-5P200 (1) (4)5-7陪集與拉格朗日定理陪集與拉格朗日定理定義定義5-7.1：設是一個群，A，BP(G)且A，B，記 AB=a*b|aA,bB 和 A-1 =a-1|a A ， 分別稱為A，B的積和A的逆。定義定義5-7.2：設是群的一個子群aG，則集合aH 稱為由a所

6、確定的H在G中的左陪集， 簡稱為H關于a的左陪集 ，記為aH 。元素a稱為陪集aH 的代表元素。（Ha）（右陪集）（右陪集）(Ha)(Ha)例1：是群的子群，則 0 IE= IE , 2 IE= IE , -2 IE= IE , 1 IE= Io , -1 IE= Io , 3 IE= Io ，所以，IE , Io 是對于I(整數(shù)集)的一個劃分。定理定理5-7.1 （拉格朗日定理）（拉格朗日定理）設是群的一個子群，那么(a)R=|aG,bG且a-1*bH是G中的一個等價關系。對于aG,若記aR=x|xG且R，則aR=aH(b)如果G是有限群，|G|=n,|H|=m,則m|n。證明：(a)對于任

7、一aG, 必有a-1G, 使a-1*a=eH, 所以R。若R,則a-1 *bH，因為H是G的子群， 故 (a-1*b)-1=b-1*aH，所以, R。 若R, R, 則a-1*bH, b-1*cH, 故a-1*b*b-1*c=a-1*cH, 所以R。這就證明了R是G中 的一個等價關系。對于aG,我們有：baR當且僅當R,即當且僅當a-1*bH,而a-1*bH就是baH。 因此，aR=aH。(b)由于R是G中的一個等價關系，所以必定將G劃分成不同的等價類a1R,a2R,，akR，使得 G = 又因，H中任意兩個不同的元素h1,h2,aG,必有a*h1a*h2,所以|aiH|=|H|=m,i=1,

8、2,，k。因此 HaakiikiRi11kiikiimkHaHaGn11|推論推論1： 任何質(zhì)數(shù)階的群不可能有非平凡子群。這是因為，如果有非平凡子群，那么該子群的階必定是原來群的階的一個因子，這就與原來群的階是質(zhì)數(shù)相矛盾。推論推論2： 設是n階有限群，那么對于任意的aG,a的階必是n的因子且必有an =e,這里e是群中的幺元。如果n為質(zhì)數(shù)，則必是循環(huán)群。 這是因為，由G中的任意元素a生成的循環(huán)群 H=ai |iI,aG， 一定是G的一個子群。如果H的階是m，那么由定理5-5.3可知am=e, 即a的階等于m。由拉格朗日定理必有n=mk, kI,因此，a的階m是n的因子，且有an =amk=(a

9、m)k =ek =e 。因為質(zhì)數(shù)階群只有平凡子群，所以，質(zhì)數(shù)階群必定是循環(huán)群。必須注意，群的階與元素的階這兩個概念的不同。必須注意，群的階與元素的階這兩個概念的不同。 例題1：設K=e,a,b,c,在K上定義二元運算*如表5-7.1所示。表 5-7.1 * eabceabceabcaecbbceacbae證明 是一個群，但不是循環(huán)群。證明：證明：由表5-7.1可知，運算*是封閉的和可結合的。幺元是e，每個元素的逆元是自身，所以，是群。因為a,b,c都是二階元，故不是循環(huán)群。我們稱為Klein四元群。Klein四元群的特點為： 群的階數(shù)是4，除e以外的三個元素a,b,c都是二階元，且a*b=b*a=c, b*c=c*b=a, a*c=c*a=b例題例題2：任何一個四階群只能是四階循環(huán)群或者Klein四元群。證明：證明：設四階群為，其中e是幺元。當四階群含有一個四階元素時，這個群就是循環(huán)群。