拋物線有關(guān)定理

1、伍、研究過(guò)程及方法一、預(yù)備定理：（一）拋物線焦點(diǎn)對(duì)切線之對(duì)稱點(diǎn)必位於準(zhǔn)線上【證明】設(shè)拋物線方程式為，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，令p，則切線方程式為，其法向量即為：從所給的條件，可求得焦點(diǎn)對(duì)準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)f1為：，此點(diǎn)正好位於準(zhǔn)線，得證。 圖1-1(二) 相似三角形定理由拋物線兩切線、，與從焦點(diǎn)到切點(diǎn)a和b及到切線交點(diǎn)s的連線組成兩個(gè)相似三角形fsa和fsb，從而一個(gè)三角形中的位於切點(diǎn)上的角與另一個(gè)三角形中位於交點(diǎn)上的角相等。【證明】設(shè)拋物線有兩切線、，以及焦點(diǎn)f，則f對(duì)作對(duì)稱點(diǎn)h；且f對(duì)作對(duì)稱點(diǎn)k；而和的交點(diǎn)為p，和的交點(diǎn)為r。為準(zhǔn)線且、又，且，而s為的外心，在的外接圓中，是所對(duì)的圓周角，為的中垂線，且(圓周

2、角為其弧所對(duì)圓心角的一半)。得證，同理可證。圖1-2（三）蘭伯特定理由相似三角形定理繼續(xù)推論：已知三切線、，三切點(diǎn)a、b、o，切線兩兩相交於p、r、s，以及焦點(diǎn)f。則可知且，故pfrs為圓內(nèi)接四邊形f必在之外接圓上。圖1-3（四）互相垂直之兩切線，其交點(diǎn)位於準(zhǔn)線上因?yàn)樗械膾佄锞€都是相似形，不失一般性，所以可設(shè)拋物線方程式為，準(zhǔn)線方程式為，焦點(diǎn)為。若設(shè)兩切點(diǎn)為，則可得兩切線之方程式為：， ：，與之交點(diǎn)坐標(biāo)為，直線ab為：，而p點(diǎn)在準(zhǔn)線上且焦點(diǎn)在直線ab上。圖1-4（五）阿基米得三角形性質(zhì)證明1. 平行軸拋物線有兩切線、，焦點(diǎn)f，而a、b為拋物線之切點(diǎn)。圖1-5h、k為a、b投影至準(zhǔn)線l上兩點(diǎn)，

3、、又為中、之中垂線；而s為之外心。之中垂線必過(guò)s且與軸平行。在直角梯形ahkb中之中垂線必過(guò) 之中點(diǎn)m。因?yàn)檩S垂直又為之中垂線，所以平行軸，得證。2. 交拋物線於o，由o作切線交、於a'、b'， 為之中位線。、亦為阿基米得三角形，故a'為的中點(diǎn)，b'為的中點(diǎn)，所以為之中位線，得證。圖1-63. 設(shè)切線和交於o點(diǎn)，則平行 ，又其共用，/，得證。圖1-7（六）焦點(diǎn)對(duì)任三切線之對(duì)稱點(diǎn)必共線(準(zhǔn)線)利用(一)拋物線焦點(diǎn)對(duì)切線之對(duì)稱點(diǎn)必位於準(zhǔn)線上之性質(zhì)即可得出，就此題指考題，我們可作出以下的證明：以焦點(diǎn)對(duì)三條切線、及分別作對(duì)稱點(diǎn)：，圖1-8又三切線所圍成三角形三頂點(diǎn)、，而

4、之外接圓為，又f在上，而，三點(diǎn)共線。由蘭伯特定理知，焦點(diǎn)f必在三角形abc的外接圓上，而焦點(diǎn)f對(duì)三切線之對(duì)稱點(diǎn)必共一準(zhǔn)線，所以一個(gè)焦點(diǎn)就可以決定一條拋物線，但是焦點(diǎn)不是唯一的，因此此題的拋物線也不是唯一的?！居懻摗慨?dāng)焦點(diǎn)f為三角形abc之頂點(diǎn)時(shí)，拋物線會(huì)退化成一直線。有了這些預(yù)備定理後，我們也展開(kāi)探討唯一拋物線的研究里程！二、決定唯一拋物線之要素首先我們先從拋物線的定義焦點(diǎn)、準(zhǔn)線出發(fā)：給予一條直線l和一個(gè)定點(diǎn)f。在l和f所決定的平面上，一切滿足之動(dòng)點(diǎn)p的軌跡叫做拋物線。其中定直線l與定點(diǎn)f分別稱作拋物線的準(zhǔn)線和焦點(diǎn)。 圖2-1由定義可以知道：一個(gè)焦點(diǎn)和一條準(zhǔn)線是決定唯一拋物線之基本條件，從此處

5、我們延伸探討的範(fàn)圍，譬如：拋物線上的點(diǎn)、拋物線的切線。由假設(shè)的兩種元素和焦點(diǎn)(不討論準(zhǔn)線)搭配探討，我們漸漸的進(jìn)入拋物線奇妙之處。從指考題出發(fā)，我們已經(jīng)明白三條切線無(wú)法構(gòu)成唯一的拋物線，那如果增加一條切線或者拋物線上的一個(gè)點(diǎn)呢？ （一）四切線我們根據(jù)蘭伯特定理，先設(shè)拋物線之三切線為、以及三切點(diǎn)a，c，b。而知和交點(diǎn)p、和交點(diǎn)s、和交點(diǎn)q，則可推得及，四邊形psqf可作外接圓f在 之外接圓上。 最後我們?cè)僖运臈l切線所作出的四個(gè)外接圓中任取兩個(gè)，則兩圓的交點(diǎn)，其一為兩三角形的共點(diǎn)，不為焦點(diǎn)，而另一交點(diǎn)就是焦點(diǎn)。焦點(diǎn)確定後則拋物線也跟著唯一確定，故四條切線可以決定唯一個(gè)拋物線。圖2-2（二）三切線、

6、拋物線上任一點(diǎn)設(shè)拋物線之三切線為、，可得其三切線兩兩相交於、。而已知拋物線之焦點(diǎn)位於圓上，恰好此圓過(guò)a、b、c三點(diǎn)：，所以得到了圓之方程式。圖2-3然後作焦點(diǎn)對(duì)三切線之對(duì)稱點(diǎn)，得到以下：則由上可知其三點(diǎn)所連成之準(zhǔn)線l的斜率為。再以已知一點(diǎn)代入拋物線之樸式，得，得證此為唯一之拋物線。探討完三切線加上任一元素後，我們縮短切線的數(shù)量，以二切線為主體，搭配其他元素，例如：二切線加二切點(diǎn)、二切線加一焦點(diǎn)。（三）二切線、二切點(diǎn)若m為的中點(diǎn)，則由阿基米得三角形性質(zhì)知/對(duì)稱軸，過(guò)上一點(diǎn)p作平行之直線，設(shè)交拋物線於h，若過(guò)h作切線交、於、，則/，/。圖2-4【證明】如圖2-4，因?yàn)闉榘⒒椎萌切?，設(shè)為的中點(diǎn)，

7、則/ /（k為上一點(diǎn)），則：=：。設(shè)、，。中過(guò)之中線平行、對(duì)稱軸以及，則可推出：=：=1：1=a ，又。同理中過(guò)之中線平行和：=：=1：1（=），所以（），/，同理/。又已知過(guò)中點(diǎn)m分別作、的平行線交於、的點(diǎn)為、，而的連線即是拋物線的切線，且過(guò)的中點(diǎn)（阿基米得三角形性質(zhì)）現(xiàn)在上有一點(diǎn)p，過(guò)p分別作、的平行線交於、的點(diǎn)為、 ，而也為拋物線的切線。設(shè)過(guò)點(diǎn)p作之平行線，交拋物線於h，若h為切於拋物線的切點(diǎn)，則平行，平行。換句話說(shuō)，只要能證明平行，平行，則拋物線是唯一的。（四）二切線、一焦點(diǎn)f分別對(duì)切線、作對(duì)稱點(diǎn)，a、b為準(zhǔn)線，由拋物線基本定義（一準(zhǔn)線、一焦點(diǎn)）可決定唯一拋物線。圖2-5經(jīng)過(guò)了以上的討

8、論，我們不難找出一點(diǎn)頭緒；再以縮短切線的數(shù)量為一條的時(shí)候，我們很快的想出可能會(huì)和一條切線搭配而形成唯一拋物線的元素。（五）一切線、一切點(diǎn)、一焦點(diǎn)焦點(diǎn)f對(duì)切線反射的點(diǎn)f'落在準(zhǔn)線上，得線段垂直準(zhǔn)線，可作出準(zhǔn)線。有焦點(diǎn)、準(zhǔn)線，則可用包絡(luò)或逐點(diǎn)作法皆可。 圖2-6切線在以上的討論都用完了，那難道沒(méi)有切線就無(wú)法形成唯一的拋物線嗎？哈哈，那可不一定呢！別忘記我們還有另一個(gè)元素拋物線上的點(diǎn)可使用。我們現(xiàn)在就來(lái)證明看看，究竟除了切線外，拋物線上的點(diǎn)還可以用什麼方法來(lái)得出唯一的拋物線。（六）拋物線上五個(gè)點(diǎn) (任三點(diǎn)不共線)若設(shè)拋物線為，則可任找五點(diǎn)。然後做任兩點(diǎn)之連線得： ：， ：， ：圖2-7：，再

9、做和相乘：以及和相乘： 最後考慮圓錐曲線族得：，將e點(diǎn)帶入，得證。 一般而言，若設(shè)拋物線上五點(diǎn)p、q、r、s、t，則：又 所以可設(shè)此拋物線方程式為+令k0，即，最後，將第五點(diǎn)t代入中，可得，又t不在和上，故有唯一解。代入上式，可得唯一的拋物線，得證。拋物線上五個(gè)點(diǎn)雖然可以決定唯一的拋物線，但事實(shí)上，四個(gè)點(diǎn)也有辦法形成唯一的??！和切線一樣的取法，我們先扣除一個(gè)點(diǎn)，看看四個(gè)點(diǎn)所決定的拋物線會(huì)發(fā)生什麼情況?。ㄆ撸佄锞€上四個(gè)點(diǎn)拋物線上三個(gè)點(diǎn)、一切線、一切點(diǎn)設(shè)拋物線上四點(diǎn)p、q、r、s，則：又 所以可設(shè)此拋物線方程式為令k0，即，化簡(jiǎn)得拋物線方程式為令、。圖形為拋物線，令、，【討論】1. 當(dāng)<0，t則無(wú)解，所以拋物線不存在（不合）。2. 當(dāng)=0，t有一解，所以拋物線僅有一條。3. 當(dāng)>0，t有兩解，所以拋物線至多有兩條：若已知其中一點(diǎn)p為切點(diǎn)及一條過(guò)點(diǎn)p的切線，則可作出唯一拋物線：已知拋物線方程式及切點(diǎn)p，即可求出其切線方程式；又兩拋物線相異，則兩切線方程式相異，所以只有一拋物線吻合，故可得唯一拋物線。 從上述可知，四個(gè)點(diǎn)有可能形成