高中數(shù)學(xué)第十六章平面幾何數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義蘇教版

1、第十六章 平面幾何一、常用定理（僅給出定理，證明請(qǐng)讀者完成）梅涅勞斯定理 設(shè)分別是abc的三邊bc，ca，ab或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，若三點(diǎn)共線，則梅涅勞斯定理的逆定理 條件同上，若則三點(diǎn)共線。塞瓦定理 設(shè)分別是abc的三邊bc，ca，ab或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，若三線平行或共點(diǎn)，則塞瓦定理的逆定理 設(shè)分別是abc的三邊bc，ca，ab或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，若則三線共點(diǎn)或互相平行。角元形式的塞瓦定理 分別是abc的三邊bc，ca，ab所在直線上的點(diǎn)，則平行或共點(diǎn)的充要條件是廣義托勒密定理 設(shè)abcd為任意凸四邊形，則abcd+bcadacbd，當(dāng)且僅當(dāng)a，b，c，d四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。斯特瓦特定理 設(shè)p為abc

2、的邊bc上任意一點(diǎn)，p不同于b，c，則有ap2=ab2+ac2-bppc.西姆松定理 過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線，則三垂足共線。西姆松定理的逆定理 若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點(diǎn)在三角形的外接圓上。九點(diǎn)圓定理 三角形三條高的垂足、三邊的中點(diǎn)以及垂心與頂點(diǎn)的三條連線段的中點(diǎn)，這九點(diǎn)共圓。蒙日定理 三條根軸交于一點(diǎn)或互相平行。（到兩圓的冪（即切線長(zhǎng)）相等的點(diǎn)構(gòu)成集合為一條直線，這條直線稱根軸）歐拉定理 abc的外心o，垂心h，重心g三點(diǎn)共線，且二、方法與例題1同一法。即不直接去證明，而是作出滿足條件的圖形或點(diǎn)，然后證明它與已知圖形或點(diǎn)重合。例1 在abc中

3、，abc=700，acb=300，p，q為abc內(nèi)部?jī)牲c(diǎn)，qbc=qcb=100，pbq=pcb=200，求證：a，p，q三點(diǎn)共線。2面積法。例2 見(jiàn)圖16-1，abcd中，e，f分別是cd，bc上的點(diǎn)，且be=df，be交df于p，求證：ap為bpd的平分線。3幾何變換。例3 （蝴蝶定理）見(jiàn)圖16-2，ab是o的一條弦，m為ab中點(diǎn)，cd，ef為過(guò)m的任意弦，cf，de分別交ab于p，q。求證：pm=mq。例4 平面上每一點(diǎn)都以紅、藍(lán)兩色之一染色，證明：存在這樣的兩個(gè)相似三角形，它們的相似比為1995，而且每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)同色。4三角法。例5 設(shè)ad，be與cf為abc的內(nèi)角平分線，d，e

4、，f在abc的邊上，如果edf=900，求bac的所有可能的值。5向量法。例6 設(shè)p是abc所在平面上的一點(diǎn)，g是abc的重心，求證：pa+pb+pc>3pg.6解析法。例7 h是abc的垂心，p是任意一點(diǎn)，hlpa，交pa于l，交bc于x，hmpb，交pb于m，交ca于y，hnpc交pc于n，交ab于z，求證：x，y，z三點(diǎn)共線。7四點(diǎn)共圓。例8 見(jiàn)圖16-5，直線l與o相離，p為l上任意一點(diǎn)，pa，pb為圓的兩條切線，a，b為切點(diǎn)，求證：直線ab過(guò)定點(diǎn)。三、習(xí)題精選1o1和o2分別是abc的邊ab，ac上的旁切圓，o1與cb，ca的延長(zhǎng)線切于e，g，o2與bc，ba的延長(zhǎng)線切于f，h

5、，直線eg與fh交于點(diǎn)p，求證：pabc。2設(shè)o的外切四邊形abcd的對(duì)角線ac，bd的中點(diǎn)分別為e，f，求證：e，o，f三點(diǎn)共線。3已知兩小圓o1與o2相外切且都與大圓o相內(nèi)切，ab是o1與o2的一條外公切線，a，b在o上，cd是o1與o2的內(nèi)公切線，o1與o2相切于點(diǎn)p，且p，c在直線ab的同一側(cè)，求證：p是abc的內(nèi)心。4abc內(nèi)有兩點(diǎn)m，n，使得mab=nac且mba=nbc，求證：5abc中，o為外心，三條高ad，be，cf相交于點(diǎn)h，直線ed和ab相交于點(diǎn)m，直線fd和ac相交于點(diǎn)n，求證：（1）obdf，ocde；（2）ohmn。6設(shè)點(diǎn)i，h分別是銳角abc的內(nèi)心和垂心，點(diǎn)b1，c1分別是邊ac，ab的中點(diǎn)，已知射線b1i交邊ab于點(diǎn)b2(b2b)，射線c1i交ac的延長(zhǎng)線于點(diǎn)c2，b2c2與bc相交于點(diǎn)k，a1為bhc的外心。試證：a，i，a1三點(diǎn)共線的充要條件是bkb2和ckc2的面積相等。7已知點(diǎn)a1，b1，c1，點(diǎn)a2，b2，c2，分別在直線l1,l2上 ，b2c1交b1c2于點(diǎn)m，c1a2交a1c2于點(diǎn)n，b1a2交b2a1于l。求證：m，n，l三點(diǎn)共線。8abc中，c=900，a=300，bc=1，求abc的內(nèi)接三角形（三個(gè)頂點(diǎn)分別在三條邊上的三角形）