淺談數(shù)列極限的證明與計(jì)算方法

1、淺談數(shù)列極限的證明與計(jì)算方法【摘要】本文將對(duì)數(shù)學(xué)分析中數(shù)列極限的證明與計(jì)算的常用方法作歸納和總結(jié)。主要方法有：定義法、兩邊夾定理、單調(diào)有界數(shù)列審斂法、定積分法、中值定理法、stolz公式法、級(jí)數(shù)展開法、定積分中值定理法。數(shù)列極限的證明與計(jì)算可以采用不同的方法，每種方法都有一定的適應(yīng)性，并有一定的規(guī)律可循，本文通過研究數(shù)列極限的證明與計(jì)算的方法并結(jié)合具體的例子進(jìn)行分析，從而達(dá)到靈活運(yùn)用這些方法的目的。【關(guān)鍵詞】數(shù)列極限；證明；計(jì)算；中值定理；泰勒展開式；兩邊夾定理1. 引言數(shù)列是數(shù)學(xué)分析的重要內(nèi)容，它在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域中扮演著重要的角色。數(shù)列極限的證明與計(jì)算就是要證明與計(jì)算所給的數(shù)列在題目給定的條

2、件下的極限。由于數(shù)列的類型多種多樣，有些數(shù)列極限的證明和計(jì)算比較復(fù)雜，僅靠一種方法是不夠的，需要掌握各種數(shù)列極限的證明和計(jì)算的方法和技巧，根據(jù)所給的條件，巧妙的利用數(shù)列的各種特性，經(jīng)過運(yùn)算和證明，從而快速有效地解決問題。由于數(shù)列極限是數(shù)學(xué)分析中的一種重要工具，因此數(shù)列極限的證明非常重要。本文歸納出證明和計(jì)算數(shù)列極限的方法，主要方法有：定義法，兩邊夾定理，單調(diào)有界數(shù)列審斂法，定積分法，中值定理，stolz公式法，級(jí)數(shù)展開法，定積分中值定理法，并結(jié)合具體例題進(jìn)行了詳細(xì)的探究和證明。2. 數(shù)列極限證明與計(jì)算的常用方法求函數(shù)極限是微積分的一大難點(diǎn),又是一大重點(diǎn),求函數(shù)極限包含很多知識(shí)點(diǎn),有很多技巧,教

3、學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生以探究學(xué)習(xí)的方式進(jìn)行歸納、總結(jié);一方面可提高學(xué)生求函數(shù)極限的技能、技巧;另一方面也可培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸類的能力,對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)、思考習(xí)慣,很有益處。數(shù)列極限的證明與計(jì)算問題，由于題型多變，方法多樣，技巧性強(qiáng)，加上無固定的規(guī)律可循，往往不是用一種方法就能解決的，它是多種方法的靈活運(yùn)用，也是各種思想方法的集中體現(xiàn)，因此難度較大。解決這個(gè)問題的途徑主要在于熟練掌握所求數(shù)列的特性和一些基本方法。主要方法有定義法，兩邊夾定理，單調(diào)有界數(shù)列審斂法，定積分法，中值定理，stolz公式法，級(jí)數(shù)展開法，定積分中值定理法，下面結(jié)合具體例題來探究數(shù)列極限的證明方法。2.1直接用定義證明極限數(shù)列定義

4、:設(shè)有數(shù)列，為常數(shù)，若對(duì)任意,總存在正整數(shù),對(duì)任意的正整數(shù)有，則稱數(shù)列的極限是，用邏輯符號(hào)可以表示為: ，有。當(dāng)題目已給出一個(gè)數(shù)列的極限時(shí)，我們經(jīng)常采用定義法證明數(shù)列極限，在證明過程中經(jīng)常結(jié)合放大法或用已知的不等式，以及結(jié)合收斂數(shù)列的性質(zhì)來證明未知數(shù)列的的極限。例2.1.11證明若則.分析：題目中給出了數(shù)列的極限，因而我們可以采用定義法證明。證明 已知，即，有，由不等式，從而有：，所以，有.即：.2.2兩邊夾法兩邊夾定理也稱迫斂性法則，設(shè)有三個(gè)數(shù)列，若，有，且，則。當(dāng)極限不容易直接求出或者證明時(shí)，我們可以將所求的極限作適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小，使所得兩個(gè)新極限為已知的或易于求出，且兩極限值相等，則原極

5、限存在。例2.2.12求.分析：由題目可知，要直接求出不容易，而且定義法求極限在這也不可行，這題可采用兩邊夾求極限，將所求極限式適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小使之轉(zhuǎn)化為已知的極限或易于求出其極限的式子，進(jìn)而求出極限。解： 設(shè)則有又因?yàn)樗?，又因?yàn)椋?，已知，所以，根?jù)兩邊夾定理有，所以.2.3單調(diào)有界數(shù)列審斂法單調(diào)有界數(shù)列存在極限。首先常用數(shù)學(xué)歸納法討論數(shù)列的單調(diào)性和有界性，再求解方程可求出極限。我們通常根據(jù)所求數(shù)列的特征，估計(jì)其上下界，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列單調(diào)性和有界性，證明其存在極限后，設(shè)數(shù)列的極限為，記，然后代入已知的數(shù)列表達(dá)式中，最后通過數(shù)列方程求解極限，求極限時(shí)注意根的取舍。運(yùn)用這種方法求解

6、數(shù)列極限只適合用于判別單調(diào)有界數(shù)列的收斂性，所以具有局限性。例2.3.13若，則.分析:題目給出了數(shù)列的通項(xiàng)公式，所以我們可以采用單調(diào)有界數(shù)列審斂法來證明它存在極限。證明:顯然有，設(shè)，有，即是單調(diào)增加的.又因?yàn)?，設(shè)，即是有界的。因此存在，設(shè)，由得.兩邊取極限，得到從而，即,所以或.因?yàn)?，有，即，所以?yīng)舍去。于是有，即.例2.3.24證明，收斂，并求出極限。分析：題目沒有直接給出數(shù)列的通項(xiàng)公式，但從題目中我們可以得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，我們可以采用單調(diào)有界數(shù)列審斂法，結(jié)合歸納法來證明該數(shù)列的有界性，進(jìn)而證明數(shù)列收斂。證明：令（個(gè)根方）有，用數(shù)學(xué)歸納法證明，數(shù)列嚴(yán)格增加有上界顯然，當(dāng)時(shí)，有，假設(shè)，則有

7、，從而對(duì)一切的，有，即數(shù)列是有界的。由單調(diào)有界審斂法得，數(shù)列有極限，記為，由于，運(yùn)用數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則，令時(shí)，等式兩邊取極限，得有，即（舍去），.所以有.2.4定積分法定積分法就是將項(xiàng)數(shù)列等較復(fù)雜的形式轉(zhuǎn)化為定積分的形式的簡(jiǎn)單形式計(jì)算。當(dāng)題目中有出現(xiàn)等其他項(xiàng)結(jié)構(gòu)的和或積的形式時(shí)，我們通常定積分法即將這些項(xiàng)和或積形式轉(zhuǎn)化為定積分的形式計(jì)算。例2.4.15 .分析：這是求項(xiàng)數(shù)列和的極限，我們很難通過定義法，兩邊夾法去求出它的極限，因?yàn)楹茈y求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，所以我們采用定積分法，首先需要對(duì)原式進(jìn)行變形，然后就能用定積分計(jì)算出其極限，將原式的分子分母同時(shí)除以轉(zhuǎn)化為，這樣就相當(dāng)于求一個(gè)函數(shù)在區(qū)間上

8、的積分和。解： .不難看出，其中的和式是函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)積分和（這里所取的是等分分割），所以.2.5中值定理法中值定理法通常是利用拉格朗日中值定理，將題目原式轉(zhuǎn)化為中值定理的形式，就能化復(fù)雜為容易。拉格朗日定理：若函數(shù)滿足下列條件：(1)在閉區(qū)間連續(xù);(2) 在開區(qū)間可導(dǎo)；則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.中值定理法通常適用于要被求的極限式子中有屬于同一函數(shù)相減的情形，例如有這類的情形。例2.5.16求極限.其中，;分析：題目中出現(xiàn)了同一函數(shù)兩式相減的情形，且在閉區(qū)間連續(xù)，在開區(qū)間可導(dǎo)，因此我們可以采用中值定理法。解：很明顯，在閉區(qū)間連續(xù)，在開區(qū)間可導(dǎo)，所以，根據(jù)中值定理得存在一點(diǎn)使得，所以原式

9、=,其中介于和之間。例2.5.2設(shè)，求極限.分析：很明顯在閉區(qū)間連續(xù)，在開區(qū)間可導(dǎo)，所以，根據(jù)中值定理得：存在一點(diǎn)使得所以原式=，其中.2.6 stolz公式法stolz公式有兩種類型：一類是型，另一類是型，即型：設(shè)數(shù)列嚴(yán)格單調(diào)遞增，且,，則.型：設(shè)數(shù)列，且嚴(yán)格單調(diào)遞減,，則.例2.6.17求極限.分析：本題是一道求解分式極限的題目，我們?cè)O(shè)，因?yàn)閿?shù)列嚴(yán)格單調(diào)遞增，且，很明顯該題滿足stolz定理的型的條件，所以我們就采用stolz法求解該題的極限。解：令，所以嚴(yán)格單調(diào)遞增,且,根據(jù)stolz公式得.例2.6.29若求極限.分析：本題題目已經(jīng)給出了數(shù)列的極限，求另一數(shù)列極限。從題目我們可知要求的

10、是分式的極限，且分子的數(shù)列為嚴(yán)格單調(diào)遞增，極限趨于無窮大，所求的分式滿足stolz定理的條件，因此解答這題我們可以采用stolz法來求該極限。解：令，顯然，所以是嚴(yán)格單調(diào)遞增數(shù)列且由stolz定理得：又因?yàn)樗运?2.7級(jí)數(shù)展開法級(jí)數(shù)展開法就是利用已知的初等函數(shù)的泰勒展開式中代入原式中化復(fù)雜的極限式為簡(jiǎn)單的極限式并求解極限。上述泰勒展開式稱為的具有皮亞諾余項(xiàng)的階麥克勞林展式。對(duì)某些較復(fù)雜的求極限問題，可利用麥克勞林展式加以解決。以下是常見的初等函數(shù)的展開式：；，通常在代入計(jì)算的過程中，我們會(huì)將這些初等函數(shù)的泰勒展開式簡(jiǎn)化為如下的形式代入.；.必須熟悉一些常用的展式，計(jì)算過程中，要注意高階無窮

11、小的運(yùn)算及處理。例2.7.18求極限.分析：此題比較復(fù)雜，我們可以采用已知函數(shù)的泰勒展開式來求解。解：由泰勒公式知：,令，得故.2.8定積分中值定理法定積分中值法就是利用定積分中值定理將所求極限的定積分式子轉(zhuǎn)化為容易求的式子。中值定理：若函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，則在上至少存在一點(diǎn)，使。中值定理法通常適用于所求極限為定積分結(jié)構(gòu)的式子或者含定積分結(jié)構(gòu)的式子，即題目中若是要求含定積分結(jié)構(gòu)的式子的極限的時(shí)候，我們通常采用定積分中值定理法來解答會(huì)更快更方便。例2.8.110求極限。分析：從題目中我們可以看到，題目中含有定積分結(jié)構(gòu)，因此我們可以采用中值定理法來求解該題的極限。解：因?yàn)樵趨^(qū)間上連續(xù)，由積分中值定理

12、得：所以至少存在一點(diǎn)使得，.3.結(jié)束語本文是關(guān)于數(shù)列極限的證明與計(jì)算方法的探討，通過對(duì)數(shù)列極限的證明與計(jì)算方法的歸納可以更好的掌握數(shù)列的極限證明和計(jì)算方法，并且針對(duì)不同的數(shù)列能夠采取不同的證明和計(jì)算方法，從而更加簡(jiǎn)潔，更加合理的證明與計(jì)算數(shù)列極限。有些數(shù)列極限的證明與計(jì)算方法不是固定的，它可以通過不止一種方法來證明和計(jì)算，解題時(shí)應(yīng)通過觀察題目結(jié)構(gòu)和類型，選用一種最簡(jiǎn)捷的方法來解題。參考文獻(xiàn)1 劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義（上冊(cè)）m.北京高等教育出版社，2003，182-183.2 李素峰.求數(shù)列極限的幾種方法j.邢臺(tái)學(xué)院學(xué)報(bào),2007,22(2):92-93.3 孟慶賢.關(guān)于數(shù)列極限的證明方法j.承德

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