二面角習題及答案

1、二面角dpcab1.如圖三棱錐 p-abc中，pc平面abc，pc = ，d是 bc的中點，且adc是邊長為 2的正三角形，求二面角 p-abc的大小。解 edbasc 2.如圖在三棱錐 s-abc中，sa底面abc，abbc，de 垂直平分sc，且分別交 ac、sc于d、e，又sa =ab，bs =bc， 求以bd為棱，bde與bdc為面的二面角的度數(shù)。解： 3. 如圖：abcd是矩形，ab =8，bc =4，ac 與 bd 相交于o點，p是平面 abcd外一點，po面abcd，po =4，m 是 pc 的中點，求二面角 m-bd-c 大小。srnmobdpac解： dbaec 4.如圖ab

2、c與bcd所在平面垂直，且ab =bc =bd，abc =dbc =，求二面角 a-bd-c的余弦值。解： 5.已知正方體 ac'，m、n分別是bb'，dd'的中點，求截面 amc'n與面abcd，cc'd'd所成的角。dbdacbacmn解： bfeacd6.如圖 ac面bcd，bd面acd，若ac =cd =1，abc =30°，求二面角的大小。解： 7. 三棱錐 a-bcd中，bac =bcd =90°，dbc =30°，ab =ac =，ad =4，求二面角 a-bc-d 的度數(shù)。doabc解： 9. 如圖所

3、示，四棱錐pabcd的底面是邊長為a的菱形，a60°，pc平面abcd，pca,e是pa的中點.(1)求證平面bde平面abcd.(2)求點e到平面pbc的距離.(3)求二面角aebd的平面角大小.解析： 10. 如圖，已知正方體abcda1b1c1d1的棱長為1，e、f分別在棱ab、bc上，g在對角線bd1上，且ae，bf，d1ggb12，求平面efg與底面abcd所成的二面角的大小. 11. 如圖，設(shè)abca1b1c1是直三棱柱，e、f分別為ab、a1b1的中點，且ab2aa12a,acbca.(1)求證：afa1c(2)求二面角cafb的大小 12如圖是長方體，ab=2，求二平

4、面與所成二面角的大小 13. 在正方體中，且，.求：平面akm與abcd所成角的大小14. 如圖，將邊長為a的正三角形abc按它的高ad為折痕折成一個二面角（1）若二面角是直二面角，求的長；（2）求與平面所成的角；（3）若二面角的平面角為120°，求二面角的平面角的正切值參考答案dpcab解：由已知條件，d是bc的中點 cd =bd =2 又adc是正三角形 ad =cd =bd =2 d是abc之外心又在bc上 abc是以bac為直角的三角形， abac， 又 pc面abc paab (三垂線定理) pac即為二面角 p-ab-c之平面角， 易求 pac =30°edba

5、sc2、解： bs =bc，又de垂直平分sc besc，sc面bde bdsc，又sa面abc sabd，bd面sac bdde，且bddc 則 edc就是所要求的平面角 設(shè) sa =ab =a， 則 bc =sb =a 且 ac = 易證 sacdec cde =sac =60°3、srnmobdpac解：取oc之中點n，則 mnpo po面abcd mn面abcd 且 mn =po/2 =2， 過 n 作 nrbd 于 r，連mr， 則 mrn即為二面角 m-bd-c的平面角 過 c 作 cebd于s 則 rn =ce 在 rtbcd中，cd·bc =bd·

6、ce 4. 解：過 a作 aecb的延長線于e， 連結(jié) de， 面abc面bcd ae面bcd e點即為點a在面bcd內(nèi)的射影 ebd為abd在面bcd內(nèi)的射影 設(shè) ab =a 則ae =de =absin60°= ad = ， sinabd = 又 5. dbdacbacmn解：設(shè)邊長為a，易證 anc'n是菱形 且mn =，a'c = amc'n = 由于amc'n在面abcd上的射影即為正方形abcd abcd = 取cc'的中點m'，連結(jié)dm' 則平行四邊形dm'c'n是四邊形amc'n在cc&#

7、39;d'd上的射影， dm'c'm = 6. bfeacd解：作dfab于f，ceab于e， ac =cd =1 abc =30° ad =，bc = ， ab =2， bd = 在rtabc中， ， 同理 即所求角的大小為。doabc7、解：由已知條件bac =90°，ab =ac， 設(shè)bc的中點設(shè)為o，則oa =oc =bc = 解之得： 9、解析：(1)設(shè)o是ac，bd的交點，連結(jié)eo.abcd是菱形，o是ac、bd的中點，e是pa的中點，eopc，又pc平面abcd，eo平面abcd，eo平面bde，平面bde平面abcd.(2)eopc，

8、pc平面pbc，eo平面pbc，于是點o到平面pbc的距離等于e到平面pbc的距離.作ofbc于f，eo平面abcd，eopc，pc平面pbc，平面pbc平面abcd，于是of平面pbc，of的長等于o到平面pbc的距離.由條件可知，ob,of×a，則點e到平面pbc的距離為a.(3)過o作ogeb于g，連接ag oeac，bdac ac平面bdeageb(三垂線定理) ago是二面角aebd的平面角oepca,oba eba.oga 又aoa.tanagoagoarctan.評析 本題考查了面面垂直判定與性質(zhì)，以及利用其性質(zhì)求點到面距離，及二面角的求法，三垂線定理及逆定理的應(yīng)用.1

9、0、設(shè)g在底面abcd上的射影為h，hbd，gh作hmef于m，連gm，由三垂線定理知gmef，則gmh就是平面bfg與底面abcd所成的二面角的平面角，tan.下面求hm的值.建立如圖所示的直角坐標系，據(jù)題設(shè)可知.h(，)、e(，0)、f(1，)直線ef的方程為，即 4x-6y-10.由點到直線的距離公式可得hm，tg·，arctg.說明 運用解析法來求hm的值是本例的巧妙所在.11、分析 本小題考查空間幾何垂直的概念和二面角的度量等知識.解 (1)acbc，e為ab中點，ceab又abca1b1c1為直棱柱，ce面aa1bb連結(jié)ef，由于ab2aa1aa1fe為正方形afa1e，從而afa1c(2)設(shè)af與a1e交于o，連結(jié)co，由于afa1e，知af面cea1coe即為二面角cafb的平面角ab2aa12a,acbcacea,oea,tancoe2.二面角cafb的大小是arctan2.12、解析：平面abcd平面，平面與平面的交線l