高考數(shù)學(xué)競(jìng)賽整數(shù)問題教案講義17

1、第十七章 整數(shù)問題一、常用定義定理1整除：設(shè)a,bz,a0，如果存在qz使得b=aq，那么稱b可被a整除，記作a|b，且稱b是a的倍數(shù),a是b的約數(shù)。b不能被a整除，記作a b.2 帶余數(shù)除法：設(shè)a,b是兩個(gè)給定的整數(shù)，a0，那么，一定存在唯一一對(duì)整數(shù)q與r，滿足b=aq+r,0r<|a|，當(dāng)r=0時(shí)a|b。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m3輾轉(zhuǎn)相除法：設(shè)u0,u1是給定的兩個(gè)整數(shù)，u10，u1 u0,由2可得下面k+1個(gè)等式：u0=q0u1+u2,0<u2<|u1|；u1=q1u2+u3,0<u3<u2；u2=q2u3+u4,0<u4<u3；

2、uk-2=qk-2u1+uk-1+uk,0<uk<uk-1；uk-1=qk-1uk+1,0<uk+1<uk；uk=qkuk+1.4由3可得：（1）uk+1=(u0,u1)；（2）d|u0且d|u1的充要條件是d|uk+1；（3）存在整數(shù)x0,x1，使uk+1=x0u0+x1u1.5算術(shù)基本定理：若n>1且n為整數(shù)，則，其中pj(j=1,2,k)是質(zhì)數(shù)（或稱素?cái)?shù)），且在不計(jì)次序的意義下，表示是唯一的。6同余：設(shè)m0,若m|(a-b)，即a-b=km，則稱a與b模同m同余，記為ab(modm)，也稱b是a對(duì)模m的剩余。7完全剩余系：一組數(shù)y1,y2,ys滿足：對(duì)任意整

3、數(shù)a有且僅有一個(gè)yj是a對(duì)模m的剩余，即ayj(modm)，則y1,y2,ys稱為模m的完全剩余系。8fermat小定理：若p為素?cái)?shù)，p>a,(a,p)=1，則ap-11(modp)，且對(duì)任意整數(shù)a,有apa(modp).9若(a,m)=1，則1(modm),(m)稱歐拉函數(shù)。10（歐拉函數(shù)值的計(jì)算公式）若，則(m)=11（孫子定理）設(shè)m1,m2,mk是k個(gè)兩兩互質(zhì)的正整數(shù)，則同余組：xb1(modm1),xb2(modm2),xbk(modmk)有唯一解，xm1b1+m2b2+mkbk(modm)，其中m=m1m2mk；=，i=1,2,k；1(modmi),i=1,2,k.二、方法與例

4、題1奇偶分析法。例1 有n個(gè)整數(shù)，它們的和為0，乘積為n，（n>1），求證：4|n。2不等分析法。例2 試求所有的正整數(shù)n，使方程x3+y3+z3=nx2y2z2有正整數(shù)解。3無(wú)窮遞降法。例3 確定并證明方程a2+b2+c2=a2b2的所有整數(shù)解。4特殊模法。例4 證明：存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)，它們不能表示成少于10個(gè)奇數(shù)的平方和。5最小數(shù)原理。例5 證明：方程x4+y4=z2沒有正整數(shù)解。6整除的應(yīng)用。例6 求出所有的有序正整數(shù)數(shù)對(duì)(m,n)，使得是整數(shù)。7進(jìn)位制的作用例7 能否選擇1983個(gè)不同的正整數(shù)都不大于105，且其中沒有3個(gè)正整數(shù)是等差數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng)？證明你的結(jié)論。三、習(xí)題精選1

5、試求所有正整數(shù)對(duì)(a,b)，使得(ab-a2+b+1)|(ab+1).2設(shè)a,b,cn+，且a2+b2-abc是不超過c+1的一個(gè)正整數(shù)，求證：a2+b2-abc是一個(gè)完全平方數(shù)。3確定所有的正整數(shù)數(shù)對(duì)(x,y)，使得xy，且x2+1是y的倍數(shù)，y2+1是x的倍數(shù)。4求所有的正整數(shù)n，使得存在正整數(shù)m,(2n-1)|(m2+9).5求證：存在一個(gè)具有如下性質(zhì)的正整數(shù)的集合a，對(duì)于任何由無(wú)限多個(gè)素?cái)?shù)組成的集合，存在k2及正整數(shù)ma和na，使得m和n均為s中k個(gè)不同元素的乘積。6求最小的正整數(shù)n(4)，滿足從任意n個(gè)不同的整數(shù)中能選出四個(gè)不同的數(shù)a,b,c,d使20|(a+b-c-d).7.對(duì)于正整數(shù)a,n,定義fn(a)=q+r，其中q,r為非負(fù)整數(shù)，a=qn+r且0rn，求最大正整數(shù)a，使得存在正整數(shù)n1,n2,n6，對(duì)任意正整數(shù)aa，都有=1，并證明你的結(jié)論。8設(shè)x是一個(gè)n位數(shù)，問：是否總存在非負(fù)整數(shù)y9和z使得10n+1z+10x+y是一個(gè)完全平方