第十三講剛體的運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力學(xué)問題

1、第十三講 剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)問題 一競(jìng)賽內(nèi)容提要 1、剛體；2、剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)；3、剛體的角速度和角加速度；4、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能；5、質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系和剛體的角動(dòng)量；6、轉(zhuǎn)動(dòng)定理和角動(dòng)量定理；7、角動(dòng)量守恒定律。二競(jìng)賽擴(kuò)充的內(nèi)容 1、剛體：在外力的作用下不計(jì)形變的物體叫剛體。剛體的基本運(yùn)動(dòng)包括剛體的平動(dòng)和剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體的任何復(fù)雜運(yùn)動(dòng)均可由這兩種基本運(yùn)動(dòng)組合而成。2、剛體的平動(dòng)；剛體的平動(dòng)指剛體內(nèi)任一直線在運(yùn)動(dòng)中始終保持平行，剛體上任意兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位移、速度和加速度始終相同。3、剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)；剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)指剛體繞某一固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體上各點(diǎn)都在與轉(zhuǎn)軸垂直的平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，

2、各點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的角位移、角速度和角加速度相同（可與運(yùn)動(dòng)學(xué)的s、v、a進(jìn)行類比）。且有：=；=。當(dāng)為常量時(shí)，剛體做勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，類似于勻加速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)有：=0+t； =0+0t+t2/2；202=2（0）。式中，0、0分別是初始時(shí)刻的角位移和角速度。對(duì)于繞定軸運(yùn)動(dòng)的剛體上某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，有：v=r， a=r， an=2r=v2/r, 式中，r是該點(diǎn)到軸的距離，a、an分別是切向加速度和法向加速度。例1 有一車輪繞輪心以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，輪上有一小蟲自輪心沿一根輻條向外以初速度v0、加速度a作勻加速爬行，求小蟲運(yùn)動(dòng)的軌跡方程。例2 一飛輪作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)過的角度和時(shí)間t的關(guān)系式為：=at+bt2ct3

3、，式中，a、b、c都是恒量，試求飛輪角加速度的表示式及距轉(zhuǎn)軸r處的切向加速度和法向加速度。bkamno例3 如圖所示，頂桿ab可在豎直槽k內(nèi)滑動(dòng)，其下端由凸輪k推動(dòng)，凸輪繞o軸以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，在圖示瞬間，oa=r，凸輪輪緣與a接觸處，法線n與oa之間的夾角為，試求此瞬時(shí)頂桿oa的速度。例4 人在電影屏幕上看到汽車向前行駛，車輪似乎并沒有轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，則汽車運(yùn)動(dòng)的可能的最小速度是多少？已知電影每秒鐘放映24個(gè)畫面，車輪半徑為0.5m.2mooab例5 在水平路面上勻速行駛的拖拉機(jī)前輪直徑為0.8m，后輪直徑為1.25m，兩輪的軸的距離為2m，如圖所示，在行駛過程中，從前輪邊緣的最高點(diǎn)a處水平飛出一小石

4、塊，0.2s后后輪邊緣的最高點(diǎn)b處也水平飛出一小石塊，這兩塊石塊先后落在地面上同一處，求拖拉機(jī)行駛時(shí)速度的大小。r1rr2v例6如圖所示，由兩個(gè)圓球所組成的滾珠軸承內(nèi)環(huán)半徑為r2，外環(huán)半徑為r1，在兩環(huán)之間分布的小球半徑為r。外環(huán)以線速度v1順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，而內(nèi)環(huán)則以線速度v2順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，試求小球中心在圍繞圓環(huán)的中心順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度v和小球自轉(zhuǎn)的角速度。設(shè)小球與圓環(huán)間無滑動(dòng)。例7一木板從空中下落，某時(shí)刻，板上a、b兩點(diǎn)速度相同，va=vb=v，a、b兩點(diǎn)均位于板面上，同時(shí)還發(fā)現(xiàn)板上c點(diǎn)速度為2v，c點(diǎn)到a和b兩點(diǎn)的距離等于a和b兩點(diǎn)間的距離。問板上那些點(diǎn)的速度等于3v？orpfffzof

5、ff4、力矩 （1）對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的力矩 如圖，轉(zhuǎn)動(dòng)軸過o點(diǎn)并垂直于紙面，過p點(diǎn)的力f對(duì)o軸的力矩m=fr。其中，r為力臂。r=sin，m=fsin·。即，f對(duì)軸o的力矩，等于f垂直于op連線的分力f與op的積：m=f·。當(dāng)力的作用線不在垂直于軸的直線上時(shí)，可將力f分解為平行于軸的分量f和垂直于軸的分量f，其中，f對(duì)物體繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)沒有貢獻(xiàn)，f就是f在垂直于軸的平面上的投影，此時(shí)，f對(duì)軸的力矩可寫成：m= f·sin。offf（2）對(duì)參考點(diǎn)的力矩 如圖，f對(duì)o點(diǎn)的力矩m=fsin·。5、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量 rmpo如右下圖，質(zhì)點(diǎn)m對(duì) 點(diǎn)o的角動(dòng)量l=r×p=

6、r·psin=mv·r·sin，角動(dòng)量又叫做動(dòng)量矩（與力矩類比）。同一質(zhì)點(diǎn)對(duì)不同的參考點(diǎn)的角動(dòng)量是不同的。特別地，當(dāng)pr時(shí)，角動(dòng)量l=mvr。6、質(zhì)點(diǎn)系（或剛體）的角動(dòng)量即各質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的總和，l=miviri=（miri2）=i。其中，i是剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（i的數(shù)值不要求會(huì)計(jì)算）。質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：i=mr2，r是轉(zhuǎn)動(dòng)半徑。7、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 剛體的動(dòng)能包括質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能（ek=mv2/2）和相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，其中，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的大?。?ek=mivi2/2=1/2（miri2）2=（1/2）i2。8、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基本規(guī)律（1）力矩m和角加速度的關(guān)系 m=i（

7、類比于f=ma）；（2）合力矩做的功和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的關(guān)系 w=f·s=f·r=m=（1/2）it2（1/2）i02.（與動(dòng)能定理類比）。（2）質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系或剛體的角動(dòng)量定理l=miviri（若是質(zhì)點(diǎn)則不用符號(hào)），l/t=l/t=（fifi）ri，式中，fi表示第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)受到的外力，fi表示該質(zhì)點(diǎn)受到的系統(tǒng)內(nèi)力。內(nèi)力矩為零，l/t=firi=m外，即m外t=ltl0（與動(dòng)量定理類比）。角動(dòng)量定理可寫成分量式。am，l（3）質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系或剛體的角動(dòng)量守恒定律 當(dāng)m外=0時(shí)，l=恒量（與動(dòng)量守恒類比），即系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。其中，m外=0有以下三種情況：（i）體系不受外力，即fi=

8、0（合外力為零合力矩為零，如力偶矩的情況）；（ii）所有外力都通過定點(diǎn)（這種外力叫有心力，如衛(wèi)星所受的萬有引力），盡管外力的矢量和不為零，但每個(gè)外力的力矩都為零；（iii）每個(gè)外力的力矩不為零，但外力矩的矢量和為零。例8、質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均質(zhì)細(xì)桿，繞著過桿的端點(diǎn)且與桿垂直的軸以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它的動(dòng)能和相對(duì)端點(diǎn)的角動(dòng)量的大小分別為ek=i2/2，l=i,其中，i=ml2/3，現(xiàn)將此桿從水平位置由靜止釋放，設(shè)此桿能繞著過a的固定光滑細(xì)軸擺下，當(dāng)擺角從0達(dá)時(shí)，試求：（1）細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度；（2）固定光滑細(xì)軸為桿提供的支持力。m1m2rmaa例9、質(zhì)量為m，半徑為r的均質(zhì)圓盤，繞過圓心且與

9、圓盤垂直的軸以角速度旋轉(zhuǎn)時(shí)的角動(dòng)量大小為l=i，其中，i=mr2/2，如圖，細(xì)繩質(zhì)量可忽略，繩與圓盤間無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪與軸之間無摩擦，m1m2，試求物體運(yùn)動(dòng)的加速度。例10、在光滑的水平面上，兩個(gè)質(zhì)量分別為m1和m2的小球，用長(zhǎng)為l的輕線連接，開始時(shí)，線正好拉直，m1和m2的速度分別為v1和v2（v1v2），它們的方向相同，并垂直于連線，試求：系統(tǒng)相對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量為多大？（2）線中的張力為多大？mv0mm例11、如圖所示，在光滑水平面上，質(zhì)量均為m的兩小球用長(zhǎng)為l的輕桿相連，另一質(zhì)量為m的小球以v0的速率向著與桿成角的方向運(yùn)動(dòng)，若（1）碰后m以v0/2的速率沿原路線反彈，試求碰后輕桿系統(tǒng)繞其質(zhì)

10、心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。（2）若m=m，且=45°，小球m以某一速率v0與桿上一球發(fā)生彈性碰撞后，沿垂直于原速度的方向運(yùn)動(dòng)，如圖虛線箭頭所示方向，求碰后小球的速度及輕桿繞其質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。orabvavb例12、一質(zhì)量m=1 .40×104kg的登陸飛船，在離月球表面高度h=100km處繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)，飛船采用如下登月方式：當(dāng)飛船位于圖中a點(diǎn)時(shí)，它向外側(cè)（即沿oa方向）短時(shí)間噴氣，使飛船與月球相切地到達(dá)b點(diǎn)，且oaob，試求飛船到達(dá)月球表面時(shí)的速度。已知月球半徑r=1700km，月球表面的重力加速度為g=1.62m/s2。m，l例13、如圖，一長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m的均質(zhì)棒被兩根細(xì)線

11、水平懸掛在天花板上，某時(shí)刻，右邊的線斷了，問線斷瞬間，左邊線中的張力是多大？已知棒繞其一端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量i=ml2/3。例14、一顆衛(wèi)星沿橢圓軌道繞地球運(yùn)行，在近地點(diǎn)，衛(wèi)星與地球中心的距離為地球半徑的3倍，衛(wèi)星的速度為在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)速度的4倍，求在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)衛(wèi)星與地球中心的距離為地球半徑的多少倍。lv0例15、兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球，用長(zhǎng)為l的繩子連接起來，放在一光滑的水平桌面上，給其中一個(gè)小球以垂直于繩子方向的速度v0，如圖所示，求此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和繩中的張力大小。abv0例16、小滑塊a位于光滑的水平桌面上，小滑塊b位于桌面上的光滑小槽中，兩滑塊的質(zhì)量都是m，并用長(zhǎng)為l、不可伸長(zhǎng)的、無彈性的輕繩相連，

12、如圖所示，開始時(shí)，a、b間的距離為l/2，a、b間的連線與小槽垂直，今給滑塊a一沖擊，使其獲得平行于槽的速度v0，求滑塊b開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度。v0v0mm例17、如圖所示，質(zhì)量均為m的兩小球系于輕彈簧的兩端，并置于光滑水平桌面上彈簧原長(zhǎng)為a，勁度系數(shù)為k。今兩球同時(shí)受沖力作用，各獲得與連線垂直的等值反向的初速度，若在以后運(yùn)動(dòng)過程中彈簧的最大長(zhǎng)度b=2a，求兩球的初速度v0。ho例18、在半頂角為的圓錐面內(nèi)壁離錐頂h高處以一定初速度沿內(nèi)壁水平射出一質(zhì)量為m的小球，設(shè)錐面內(nèi)壁是光滑的。（1）為使小球在h處的水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則初速v0為多少？（2）若初速v1=2v0，求小球在運(yùn)動(dòng)過程中的最大高

13、度和最小高度。例19、（1）質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星作半徑為r0的圓軌道飛行，地球質(zhì)量為m，試求衛(wèi)星的總機(jī)械能；（2）若衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)中受到微弱的磨擦阻力f（常量），則將緩慢地沿一螺旋軌道接近地球，因f很小，軌道半徑變化非常緩慢，每周的旋轉(zhuǎn)都可近似處理成半徑為r的圓軌道運(yùn)動(dòng)，但r將逐周縮短，試求在r軌道上旋轉(zhuǎn)一周，r的改變量r及衛(wèi)星動(dòng)能ek的改變量ek。bolora例20、圖中a為一固定放置的半徑為r的均勻帶電球體，o為其球心，已知取無限遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零時(shí)，球表面處的電勢(shì)為u=1000v。在離球心o很遠(yuǎn)的o點(diǎn)附近有一質(zhì)子b，它以ek=2000ev的動(dòng)能沿與oo平行的方向射向a，以l表示b與oo線間的垂直

14、距離。要使質(zhì)子b能夠與帶電球體a的表面相碰，試求l的最大值。把質(zhì)子換成電子，再求l的最大值。例21、由火箭將一顆人造衛(wèi)星送入離地面很近的軌道，進(jìn)入軌道時(shí)，衛(wèi)星的速度方向平行于地面，其大小為在地面附近做圓運(yùn)動(dòng)的速度的倍，試求該衛(wèi)星在運(yùn)行中與地球中心的最遠(yuǎn)距離。mmr0例22，如圖所示，在水平光滑平面上開有一個(gè)小孔，一條繩穿過小孔，其兩端各系一質(zhì)量為m的物體，桌上的物體則以v0=的速率做半徑為r0（即桌上部分的繩長(zhǎng)）的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，然后放手，求以后的運(yùn)動(dòng)中桌上部分繩索的最大長(zhǎng)度和最小長(zhǎng)度。ormmmmm例23，一塊半徑為r的水平輕質(zhì)圓盤，可繞過其圓心o的豎直軸自由旋轉(zhuǎn)，在圓盤下面的邊緣處等間隔地系

15、有四個(gè)質(zhì)量都為m的小球，如圖所示。開始時(shí)，圓盤靜止，一輛質(zhì)量也為m的玩具汽車從o出發(fā)，以恒定的相對(duì)于盤的速率v0沿半徑駛往盤邊，并沿盤邊行駛，試求：（1）當(dāng)玩具汽車沿半徑行駛時(shí)，圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度1；（2）當(dāng)玩具汽車沿盤邊行駛時(shí)，圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度2。例24，若上題中的豎直軸不經(jīng)過圓心，而經(jīng)過某一小球的位置處，玩具汽車從該軸處以恒定的相對(duì)于圓盤的速率v0沿盤邊行駛，試求：（1）當(dāng)玩具汽車行駛到第二小球位置處（即行駛了半圈）時(shí)，圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度1；（2）當(dāng)玩具汽車行駛到第三小球位置處（即行駛了3/4圈）時(shí)，圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度2；（3）當(dāng)玩具汽車回倒轉(zhuǎn)軸處時(shí)，圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度3。mommlllmv0例2

16、5，在一根長(zhǎng)為3l的輕桿上打一個(gè)小孔，孔離一端的距離為l，再在桿的兩端及距另一端為l處各系一質(zhì)量為m的小球，然后通過此孔將桿懸掛于一光滑的水平細(xì)軸o上，如圖所示。開始時(shí)，輕桿靜止，一質(zhì)量為m的小鉛粒以v0的水平速度射入中間的小球，并留在里面。若鉛粒相對(duì)小球靜止時(shí)桿的角位移可以忽略，試求桿在以后擺動(dòng)中的最大擺角。oab例26，一質(zhì)量為ma，半徑為a的圓筒a被另一質(zhì)量為mb、半徑為b的圓筒b同軸套在其外，均可繞軸自由旋轉(zhuǎn)。在圓筒a的內(nèi)表面上散布了薄薄的一層質(zhì)量為m0的砂子，并在壁上開有許多小孔。在t=0時(shí)，圓筒以角速度0繞軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，而圓筒b則靜止。打開小孔，砂子向外飛出并附著在b筒的內(nèi)壁上，如圖所示。設(shè)單位時(shí)間內(nèi)噴出砂子的質(zhì)量為k，并忽略砂子從a筒飛到b筒的時(shí)間，求t時(shí)刻兩筒旋轉(zhuǎn)的角速度。boa例27，光滑水平面上有一小球a被一輕繩拴住，輕繩穿過平面上小孔o(hù)與小球b連接。開始時(shí)a球在水平面上繞o做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，b球靜止地向下垂掛著，如圖所示。今使小球b的質(zhì)量緩慢增加，直到a球繞o點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑縮短一半，試問此時(shí)b球質(zhì)量為初始質(zhì)量的多少倍？hvcc例28，實(shí)心圓柱體從高度為h的斜坡上由靜止做純滾動(dòng)到達(dá)水平地面上，且繼續(xù)做純滾動(dòng)，與光滑豎直墻發(fā)生完全彈性碰撞后返回，經(jīng)足