Chapter1 解析函數(shù) (1)

1、武新慧武新慧20142014年年2 2月月2424日日數(shù)學物理方法 姓名：武新慧姓名：武新慧 聯(lián)系方式：聯(lián)系方式： 手機：手機：1819075205818190752058 QQQQ： 357369396357369396 電子郵箱：電子郵箱： 一、自我介紹：一、自我介紹： 二、課程簡介：專業(yè)基礎課二、課程簡介：專業(yè)基礎課 二、課程簡介：專業(yè)基礎課二、課程簡介：專業(yè)基礎課1 1、特點：、特點：（1 1）重要：）重要：承前承前啟后啟后高等數(shù)學線性代數(shù)普通物理理論物理凝聚態(tài)物理應用物理信號與系統(tǒng)電路原理電磁場與電磁波數(shù)學物理方法能靈活地應用數(shù)能靈活地應用數(shù)學理論和技巧求學理論和技巧求解方程解方程對

2、背景知識對背景知識要求極高要求極高能用物理基本概念和規(guī)能用物理基本概念和規(guī)律建立正確的物理模型律建立正確的物理模型和描述方程和描述方程數(shù)學數(shù)學物理物理（2 2）難學：）難學：2 2、正確的學習方法：、正確的學習方法：（1 1）認真聽講，記好筆記；）認真聽講，記好筆記；（4 4）多動手動腦，強化理解。）多動手動腦，強化理解。（3 3）勤學多問，獨立完成作業(yè)；）勤學多問，獨立完成作業(yè)；3 3、內(nèi)容：、內(nèi)容：7272學時學時（2 2）及時復習，多讀參考書；）及時復習，多讀參考書；4 4、考核方式：平時、考核方式：平時30%+30%+閉卷考試閉卷考試70%70% 二、課程簡介：專業(yè)基礎課二、課程簡介：

3、專業(yè)基礎課數(shù)學物理方法數(shù)學物理方法數(shù)學物理方法數(shù)學物理方法復變函數(shù)復變函數(shù)積分變換積分變換數(shù)學物理方程數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)與特殊函數(shù)解析函數(shù)解析函數(shù)復變函數(shù)積分復變函數(shù)積分復變函數(shù)級數(shù)復變函數(shù)級數(shù)留數(shù)定理留數(shù)定理拉普拉斯變換拉普拉斯變換傅里葉變換傅里葉變換數(shù)學物理定解問題數(shù)學物理定解問題積分變換法積分變換法格林函數(shù)法格林函數(shù)法二階常微分方程級數(shù)解法二階常微分方程級數(shù)解法理論物理、空氣動力學、理論物理、空氣動力學、流體力學、彈性理論、天流體力學、彈性理論、天體物理等。體物理等。信號與系統(tǒng)、電路原理、信號與系統(tǒng)、電路原理、數(shù)字信號處理、數(shù)字圖像數(shù)字信號處理、數(shù)字圖像處理的數(shù)學基礎處理的數(shù)學基礎理

4、論物理、凝聚理論物理、凝聚態(tài)物理、應用物態(tài)物理、應用物理、電磁場與電理、電磁場與電磁波的數(shù)學基礎磁波的數(shù)學基礎分離變數(shù)法分離變數(shù)法球函數(shù)球函數(shù)柱函數(shù)柱函數(shù)5 5、目標：、目標：（1 1）對）對常見問題常見問題建立起清晰的建立起清晰的數(shù)學數(shù)學物理物理圖像：圖像：方程及其求解方程及其求解方程建立方程建立賦予解物理意義賦予解物理意義波動問題波動問題熱傳導問題熱傳導問題靜電場問題靜電場問題如何建立方程？如何建立方程？如何求解方程？如何求解方程？如何賦予解物理意義？如何賦予解物理意義？（2 2）培養(yǎng)綜合分析問題的能力：）培養(yǎng)綜合分析問題的能力：經(jīng)常分析各種方法的異同，融會貫通知識。經(jīng)常分析各種方法的異同

5、，融會貫通知識。（3 3）加強計算能力的訓練，強化對概念的理解。）加強計算能力的訓練，強化對概念的理解。三、參考教材：三、參考教材：1 1 胡嗣柱，倪光炯，數(shù)學物理方法（第二版），高等教育出版社，胡嗣柱，倪光炯，數(shù)學物理方法（第二版），高等教育出版社，20022002年年2 2 郭敦仁，數(shù)學物理方法（第二版），人民教育出版社，郭敦仁，數(shù)學物理方法（第二版），人民教育出版社，19911991年年3 3 四川大學數(shù)學系，高等數(shù)學（第四冊），人民教育出版社，四川大學數(shù)學系，高等數(shù)學（第四冊），人民教育出版社，19791979年年4 4 吳崇試，數(shù)學物理方法，北京大學出版社，吳崇試，數(shù)學物理方法，北京

6、大學出版社，19991999年年5 5 彭芳麟，數(shù)學物理方程的彭芳麟，數(shù)學物理方程的MATLABMATLAB解法與可視化，清華大學出版社，解法與可視化，清華大學出版社，20042004年年6 6 姚端正，數(shù)學物理方法學習指導，科學出版社，姚端正，數(shù)學物理方法學習指導，科學出版社，20032003年年7 7 周紹森，數(shù)學物理方法解題指導，江西人民出版社，周紹森，數(shù)學物理方法解題指導，江西人民出版社，19841984年年第一篇：復變函數(shù)論第一篇：復變函數(shù)論 復變函數(shù)理論被人譽為19世紀最獨特的創(chuàng)造，這個新的數(shù)學分支統(tǒng)治了19世紀。幾乎像微積分的直接擴展統(tǒng)治了18世紀那樣，曾被稱為“19世紀的數(shù)學享

7、受世紀的數(shù)學享受”，也曾被稱為抽象科學最和諧 的理論之一。 復數(shù)的發(fā)展復數(shù)的發(fā)展 早在早在16世紀，對一元二次、一元三次代數(shù)方程的求解時，世紀，對一元二次、一元三次代數(shù)方程的求解時，就引入了虛數(shù)的基本思想。就引入了虛數(shù)的基本思想。 但是對虛數(shù)的本質(zhì)還缺乏認識。“虛數(shù)”這個名詞是由十七世紀的法國數(shù)學家笛卡兒（Descartes）正式取定的?！疤摂?shù)”代表的意思是“虛假的數(shù)虛假的數(shù)”，“實際不存在的數(shù)實際不存在的數(shù)”，后來還有人“論證”虛數(shù)應該被排除在數(shù)的世界之外。由此給虛數(shù)披上了一層神秘的外衣. 復數(shù)概念的進化史是數(shù)學史中最奇特的一個篇章，那就是數(shù)系的歷史發(fā)展完全沒有按照教科書所描述的邏輯連續(xù)性。

8、 人們沒有等待實數(shù)的邏輯基礎建立之后，才去嘗試新的征程。在數(shù)系擴張的歷史過程中，往往許多中間地帶尚未得到完全認識，而天才的直覺隨著勇敢者的步伐已經(jīng)到達了遙遠的前哨陣地。 十八世紀末至十九世紀初，挪威測量學家威塞爾 (Wessel)、瑞士的工程師阿爾甘（Argand）以及德國的數(shù)學家高斯（Gauss）等都對“虛數(shù)”(也稱為“復數(shù)”)給出了幾何解釋，并使復數(shù)得到了實際應用. 特別地, 在十九世紀，有三位代表性人物，即柯西（Cauchy，17891857）、維爾斯特拉斯（Weierstrass，18151897）、黎曼（Rieman，18261866）?？挛骱途S爾斯特拉斯分別應用積分和級數(shù)研究復變函

9、數(shù)，黎曼研究復變函數(shù)的映像性質(zhì)，經(jīng)過他們的不懈努力，終于建立了系統(tǒng)的復變函數(shù)論.復變函數(shù)論解除了實數(shù)領域中的若干禁區(qū)，比如：復變函數(shù)論解除了實數(shù)領域中的若干禁區(qū)，比如：負數(shù)不能開偶數(shù)次方；負數(shù)不能開偶數(shù)次方；負數(shù)沒有對數(shù)；負數(shù)沒有對數(shù)；指數(shù)函數(shù)無周期性；指數(shù)函數(shù)無周期性；正弦、余弦函數(shù)的絕對值不能超過正弦、余弦函數(shù)的絕對值不能超過1； 實數(shù)領域?qū)崝?shù)領域復數(shù)領域復數(shù)領域 第一篇第一篇 復變函數(shù)論復變函數(shù)論1.1 1.1 復數(shù)的基本概念復數(shù)的基本概念一、復數(shù)：一、復數(shù)：ixiyze代數(shù)式cos +i sin三角式指數(shù)式0 xy,P x ycossiniei歐拉公式：21ii 為虛數(shù)單位， Reco

10、sxz實部 Real Part ： Imsinyz虛部 Imaginary Part ： 第一章第一章 復變函數(shù)復變函數(shù)22zxy模 module ：Arg(z)arctanarg( )2(0, 1, 2)arg( )0yxzkkz 輻角 argument angle ：輻角主值：，2復共軛：復共軛：*cossincossinizxiyiie注意：復數(shù)的無序性注意：復數(shù)的無序性 實數(shù)可以比較大小，是有序的，但復數(shù)不能比較大小，實數(shù)可以比較大小，是有序的，但復數(shù)不能比較大小，即復數(shù)是無序的即復數(shù)是無序的. . 盡管復數(shù)的實部和虛部均為實數(shù)，但盡管復數(shù)的實部和虛部均為實數(shù)，但是由于復數(shù)是實部和虛部

11、通過虛單位聯(lián)系起來，從而是是由于復數(shù)是實部和虛部通過虛單位聯(lián)系起來，從而是不能比較大小的不能比較大小的. .?：復數(shù)為什么不能比較大??？復數(shù)為什么不能比較大小？復數(shù)是實數(shù)的推廣，若復數(shù)能比較大小，則它的大復數(shù)是實數(shù)的推廣，若復數(shù)能比較大小，則它的大小順序關系必須小順序關系必須遵循實數(shù)順序關系遵循實數(shù)順序關系的有關性質(zhì)。的有關性質(zhì)。,0,0ab cacbcab cacbc在實數(shù)中，若，；若，.i0ii0, ii ii 0,-10,.我們用復數(shù) 和 來說明.對于非零復數(shù)即0，若根據(jù)實數(shù)不等式的性質(zhì)，兩邊同乘以“大于零”的 ，得即矛盾i0,也矛盾。 由此可見，在復數(shù)域中不能夠定義大小關由此可見，在復

12、數(shù)域中不能夠定義大小關系，即系，即兩個復數(shù)不能比較大小兩個復數(shù)不能比較大小. 二、復數(shù)運算二、復數(shù)運算 1212112212121221121212iiixiyxiyx xy yi x yx yzzeee 乘：1122121212211111222222222222121122iiix xy yi x yx yxiyxiyxiyxiyxiyxiyxyzzeee除：121212zzxxi yy加減： cossinnninnzenin乘方：11122122cossin0,1,1kiiknnnnnzeekkiknnn開方：103,ixyixy例1：設3求實數(shù) 與 。解：101010312+22ii3

13、10102cossin66i101062ie51032ie10552cossin33i512512 3 i3xyi512,511 3xy ?iiii思考：如何求 和2222=,=kkiiiei e答案： 例2：求1的n次方根，并討論根在復平面單位圓周上的位置。2 i110,1,2,1kknnknekn解：設 的 次方根為，根據(jù)開方公式有 ww2+1, 1.n 當時，其兩根為 對應于單位圓與實軸的兩個交點.1nnn方根的幾何意義：這 個方根是以原點為中心， 為半徑的圓的內(nèi)接正 邊形的 個頂點.例3：試證明下列恒等式并解釋其幾何意義.22222222zzz111zzz解：2212112221212

14、221212= ()() = ()() =()()zzxiyxiyxxi yyxxyy2212112221212221212= ()() = ()() =()()zzxiyxiyxxi yyxxyy22222222121211111222zzzzxyxyzz 1z2z12zz12zzyx幾何意義：平行四邊形對角線平方和等于四條邊的平方和。 1.2 1.2 復變函數(shù)復變函數(shù)一、復變函數(shù)：以復數(shù)為自變量的函數(shù)。一、復變函數(shù)：以復數(shù)為自變量的函數(shù)。 ,wf zu x yiv x yzxiy二、區(qū)域：滿足一定條件的點集，用來描述復變函數(shù)的定義域。二、區(qū)域：滿足一定條件的點集，用來描述復變函數(shù)的定義域。

15、鄰域，內(nèi)點，外點，邊界點，鄰域，內(nèi)點，外點，邊界點，區(qū)域區(qū)域全由內(nèi)點組成全由內(nèi)點組成具有連通性具有連通性0z內(nèi)點內(nèi)點外點外點邊界點邊界點閉區(qū)域閉區(qū)域 單值函數(shù)單值函數(shù)（一個（一個z 一個一個w）指數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：zx iyxi yeee e三角函數(shù)：三角函數(shù)：sin2cos2i zi zi zi zeezieez 雙曲函數(shù)：雙曲函數(shù)：sinh2cosh2zzzzeezeez 多值函數(shù)多值函數(shù)（一個（一個z 多個多個w）根式函數(shù)：根式函數(shù)：1122122cossin0,1,1kiiknnnnneekkiknnnz冪函數(shù)：冪函數(shù)：lnzze反三角函數(shù)：反三角函數(shù)：對數(shù)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)：2lnlnl

16、nln20, 1, 2,ikizeeikk L 1.3 1.3 復變函數(shù)的導數(shù)復變函數(shù)的導數(shù) 00+-D,0zlimlimzzf zzf zwf zzzwf zf zfzz 對區(qū)域 內(nèi)的單值函數(shù)若極限存在，且與的方式無關，則稱函數(shù)在 點可導，記作： uvvf zyCRvx 、 可微u可導x滿足條件uy證明：證明： 0limzf zfzz （1）必要性：）必要性：0dy 0dx df zdzduidvdxidy00uvixdyxxvuiydxyy沿平行于 軸方向，即：沿平行于 軸方向，即： f z可導條件 fzdfduidvuv存在存在、 可微Q=-uvxyuvvuiiCRuvxxyyyx條件：

17、 （2）充分性：）充分性： f z條件可導uududxdyxyuvvvdvdxdyxy、可 微 , Quuvvdfduidvdxdyidxdyxyxy=-uvxyCRuvyx條件：Quvvudfdxdyidxdyxxxxuvuvidxiidyxxxxuvidxidyxx 0limzf zfzz uvidzxx df zdzuvixx fzf z存在，即可導例：試推導極坐標系下例：試推導極坐標系下C-R方程。方程。,( )( , )( , )izef zuiv 解：0000=0(, )(, )( , )( , )lim(, )( , )(, )( , )lim(, )( , )(, )( , )

18、lim()iiiiiizz edfuivuivdzeuuvvieeuuvvieeuvi 沿徑向趨于 時： -ie法一：法一：0-0=0( ,)( , )( ,)( , )lim1()iiiizz i edfuuvvidzi ei eviue 沿橫向趨于 時： 11uvuv -1()()iiuvviuiee11uvuv ，法二：從直角坐標關系出發(fā)法二：從直角坐標關系出發(fā)sincosyx=cossincossinuuxuyuuvvxyxyyx =cossin =cossinvvxvyvvuuxyxyyx (sincos )(cossin )uuuvvvxyyx 同理， ， 一、解析函數(shù)：在一區(qū)域內(nèi)

19、處處可導的函數(shù)。一、解析函數(shù)：在一區(qū)域內(nèi)處處可導的函數(shù)。 f(z)為解析函數(shù)為解析函數(shù) （1）函數(shù)在某點解析，則必在該點可導。 （2）函數(shù)在某點可導，則不一定在該點解析。 （3）函數(shù)在某點可導與解析是不等價的，但是函數(shù)在某 區(qū)域上可導與解析是等價的。1.4 解析函數(shù)解析函數(shù)u和和v可微且滿足可微且滿足C-R條件。條件。 注意： 復變函數(shù)在某點解析復變函數(shù)在某點解析 某點可導某點可導 某點極限存在某點極限存在 某點連續(xù)某點連續(xù) 例例1：判定下列函數(shù)在何處可導？在何處解析？：判定下列函數(shù)在何處可導？在何處解析？ 1Re;2;3Rezf zzf zef zzz。 解：解： 1,0ux v1000uv

20、xxuvyyQuvxy 函數(shù)f z =Re z 處處不可導，處處不解析。 2cos,sinxxuey veycossinsincosxxxxuveyeyxxuveyeyyy Quvxyuvyx u、v可微且滿足C-R條件Q z函數(shù)f z =e 處處可導，處處解析。 23,uxvxy20uvxyxxuvxyyQ00uvxxyuvyyx 當時，當時，0 xy雖然u、v可微，C-R條件僅當時滿足Q 函數(shù)f z =zRe z 僅在z=0處可導，在復平面內(nèi)處處不解析。 cos z例2：f z =cos z 是解析函數(shù)嗎？f z =呢？z解： - f z = sinzQ f z 處處可導，故f z 為解析

21、函數(shù) 2-cos0zzzzQsinzf z =僅在處不存在 cos0zzzf z =在除外的區(qū)域上為解析函數(shù) 例例3：已知某解析函數(shù)的實部是：已知某解析函數(shù)的實部是：22,yxyxu 求該解析函數(shù)及其虛部。求該解析函數(shù)及其虛部。 分析：曲線積分法，湊全微分法，分析：曲線積分法，湊全微分法，不定積分法不定積分法uvxyCRuvyx 條件：直角坐標22uvxxyuvyyx 22vxyvyx 對對y積分，將積分，將x視作參數(shù)：視作參數(shù)：2( )2( )vxdyxxyx 對對x求導：求導：2( )vyxx2vyx( )0 x ( )xC2vxyC 222( )(2)f zxyixyCziC 例例4：已

22、知某解析函數(shù)的實部是：已知某解析函數(shù)的實部是：22222,yxyxyxu 求該解析函數(shù)及其虛部。求該解析函數(shù)及其虛部。 分析：分析：uvxyCRuvyx 條件：直角坐標11uvCRuv 條件：極坐標dxddyd 0 xydd dyddx 解：解：222242cossincossincos2,xyu Q3cos212uv Q 22cos212,sin2vvg 331sin2sin222uvg Q 20:1,sin2ggCCvC 積分常數(shù) 22222,cos2sin211if zuivf ziCiCeiCz Q1、共軛調(diào)和函數(shù)：、共軛調(diào)和函數(shù)：二、解析函數(shù)的物理解釋：保守場的勢二、解析函數(shù)的物理解

23、釋：保守場的勢 為解析函數(shù)yxivyxuzf, 12uvxyCRuvyx 條件 12xy 12yx222222220,0,uuu x yxyvvv x yxy為調(diào)和函數(shù)為調(diào)和函數(shù)解析函數(shù)的實部和虛部互為共軛調(diào)和函數(shù)解析函數(shù)的實部和虛部互為共軛調(diào)和函數(shù)2、正交曲線族：、正交曲線族：0uvxyuvuvuvxxyyyx ，Q120,uvuvu x yCv x yC 和為相互正交的曲線族QQ靜電場的勢滿足拉普拉斯方程，且等勢面電場線可用解析函數(shù)的實部或虛部描述靜電場的等勢面和電場線uv1,u x yc2,v x ycijkxyz 令，稱為梯度矢量例5：研究電偶極子(Dipole)所產(chǎn)生的電勢和電場強度

24、。設在 (a,b)處有點電荷+q ,在 (-a,-b)處有點電荷-q ,則在電荷所在平面上任何一點的電勢為解：根據(jù)電勢與場強的微分關系，已知等勢線，可繪制出電場線。011,4qVrr2222960,19 10 ,2 10 ,1.5,1.54rxaybrxaybqab 其中， clear ; clf;q=2e-6;k=9e9;a=1.5;b=-1.5;x=-6:0.6:6;y=x;X,Y=meshgrid(x,y);rp=sqrt(X-a).2+(Y-b).2); rm=sqrt(X+a).2+(Y+b).2);V=q*k*(1./rp-1./rm); % 計算電勢Ex,Ey=gradient(-V); %計算電場強度AE=sqrt(Ex.2+Ey.2);Ex=Ex./AE;Ey=Ey./AE; %場強歸一化cv=linspace(min(min(V),max(max(