(完整版)知識(shí)講解_平面向量應(yīng)用舉例_基礎(chǔ)

1、平面向量應(yīng)用舉例【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題2. 會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題.3體會(huì)用向量方法解決實(shí)際問題的過程，知道向量是一種處理幾何、物理等問題的工具，提高運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：向量在平面幾何中的應(yīng)用向量在平面幾何中的應(yīng)用主要有以下幾個(gè)方面：（ 1）證明線段相等、平行，常運(yùn)用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時(shí)用到向量減法的意義（ 2）證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線（或線段）是否平行，常運(yùn)用向量平行（共線）的條件： a / b ab （或 x1 y2 x2 y1=0）（ 3）證明線段的垂直問題，如證明四

2、邊形是矩形、正方形，判斷兩直線（線段）是否垂直等，常運(yùn)用向量垂直的條件：a b a b 0 （或 x1x2+y1y2=0）（ 4）求與夾角相關(guān)的問題，往往利用向量的夾角公式cosa b | a |b |（ 5）向量的坐標(biāo)法，對(duì)于有些平面幾何問題，如長(zhǎng)方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示，通過代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題要點(diǎn)詮釋：用向量知識(shí)證明平面幾何問題是向量應(yīng)用的一個(gè)方面，解決這類題的關(guān)鍵是正確選擇基底，表示出相關(guān)向量，這樣平面圖形的許多性質(zhì)，如長(zhǎng)度、夾角等都可以通過向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來，從而把幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題，再通過向量的運(yùn)算法則運(yùn)算就可以達(dá)到解決幾何問題的

3、目的了要點(diǎn)二：向量在解析幾何中的應(yīng)用在平面直角坐標(biāo)系中，有序?qū)崝?shù)對(duì)（ x， y）既可以表示一個(gè)固定的點(diǎn)，又可以表示一個(gè)向量，使向量與解析幾何有了密切的聯(lián)系，特別是有關(guān)直線的平行、垂直問題，可以用向量方法解決常見解析幾何問題及應(yīng)對(duì)方法：（ 1）斜率相等問題：常用向量平行的性質(zhì)（ 2）垂直條件運(yùn)用：轉(zhuǎn)化為向量垂直，然后構(gòu)造向量數(shù)量積為零的等式，最終轉(zhuǎn)換出關(guān)于點(diǎn)的坐標(biāo)的方程（ 3）定比分點(diǎn)問題：轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線及向量共線的等式條件（ 4）夾角問題：利用公式 cosa b | a | b |要點(diǎn)三：向量在物理中的應(yīng)用（ 1）利用向量知識(shí)來確定物理問題，應(yīng)注意兩方面：一方面是如何把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，

4、即將物理問題抽象成數(shù)學(xué)模型；另一方面是如何利用建立起來的數(shù)學(xué)模型解釋相關(guān)物理現(xiàn)象（ 2）明確用向量研究物理問題的相關(guān)知識(shí)：力、速度、位移都是向量；力、速度、位移的合成與分解就是向量的加減法；動(dòng)量mv 是數(shù)乘向量；功即是力F 與所產(chǎn)生位移s 的數(shù)量積（ 3）用向量方法解決物理問題的步驟：一是把物理問題中的相關(guān)量用向量表示；二是轉(zhuǎn)化為向量問題的模型，通過向量運(yùn)算解決問題；三是把結(jié)果還原為物理結(jié)論【典型例題】類型一：向量在平面幾何中的應(yīng)用例 1用向量法證明：直徑所對(duì)的圓周角是直角已知：如下圖，AB 是 O 的直徑，點(diǎn)P 是 O 上任一點(diǎn)（不與A 、B 重合），求證： APB 90°證明：聯(lián)

5、結(jié)OP，設(shè)向量 OAa，OPb ， 則 OBa 且 PA OA OPa b ，PB OB OPa b22| a |20PA PB ba | b |2PAPB ，即 APB 90°【總結(jié)升華】解決垂直問題，一般的思路是將目標(biāo)線段的垂直轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零，而在此過程中，則需運(yùn)用向量運(yùn)算，將目標(biāo)向量用基底表示，通過基底的數(shù)量積運(yùn)算式使問題獲解，如本題便是將向uuuruuurrr量 PA ， PB 由基底 a ， b 線性表示當(dāng)然基底的選取應(yīng)以方便運(yùn)算為準(zhǔn)，即它們的夾角是明確的，且長(zhǎng)度易知舉一反三：【高清課堂：平面向量的應(yīng)用舉例395486 例 1】uuur uuuruuur uuur【

6、變式 1】 P 是 ABC 所在平面上一點(diǎn)，若uuur uuurPA PBPB PCPC PA ，則 P 是 ABC 的（）A 外心B 內(nèi)心C重心D垂心【答案】 D【高清課堂：平面向量的應(yīng)用舉例395486 例 4】【變式 2】已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 1，點(diǎn) E 是 AB 邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為 _.uuur uuuruuur uuurDE CB 的值為 _；DE DCuuuruuuruuuruuuruuur uuuuruuur uuuruuur uuur uuur【解析】 DECBDEDA| DE | | DA | cos DE , DA=|DA| |DA| |DA |2=1uuu

7、ruuuruuuruuuruuur uuurDEDC| DE | | DC | cos DE , DCuuuruuur= | DE | | DC | cosEDCEDC42uuur= | DE | cos EDCuuuruuur=|DF |（F 是 E 點(diǎn)在 DC 上的投影）1當(dāng) F 與 C 點(diǎn)重合時(shí)，上式取到等號(hào)uuuruuur例 2如圖所示，四邊形ADCB是正方形， P 是對(duì)角線DB上一點(diǎn)， PFCE是矩形，證明：PAEF .uuuruuur【思路點(diǎn)撥】如果我們能用坐標(biāo)表示PA與 EF ，則要證明結(jié)論，只要用兩向量垂直的充要條件進(jìn)行驗(yàn)證即可 . 因此只要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得到點(diǎn)A、 B、

8、E、 F 的坐標(biāo)后，就可進(jìn)行論證 .【解析】以點(diǎn)D 為坐標(biāo)原點(diǎn)， DC所在直線為 x 軸建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，uuurA(0,1)2, 2) ， E(1,22|DP |，則， P() ，F(xiàn)(,0) ，y2222ABuuur22uuur22 ) ，于是PA (,1)，EF (1,P2222Euuuruuur2) ( 222D OFCx1) (1) ()PA EF (222222112)2(220 022uuuruuur PAEF .舉一反三：【 變 式1】（2016南通模擬）平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量uuuruuuruuuruuuruuurAB (6,1), BC(x,

9、y), CD( 2, 3)，且 AD/BC （ 1）求 x 與 y 之間的關(guān)系式；uuuruuur（ 2）若 ACBD ，求四邊形 ABCD 的面積【答案】（ 1） x+2y=0；（ 2）16uuuruuuruuuruuur( x4, yuuur( x, y) ，【解析】（1）由題意得 ADABBCCD2), BCuuuruuur因?yàn)?AD /BC ，所以 (x+4) y (y 2)x=0，即 x+2y=0，uuuruuuruuur(xuuuruuuruuur(x2, y 3) ，（ 2）由題意得 ACABBC6, y 1), BDBCCDuuuruuur因?yàn)?ACBD ，所以 (x+6)(

10、x 2)+( y+1)( y 3)=0 ，即 x2+y2+4x2y 15=0 ，x2x6由得或y1y3x2uuuruuur(0,4) ，當(dāng)時(shí)， AC(8,0), BDy1則 S四邊形 ABCD1|AC|BD| 162當(dāng) xuuuruuur(8,0) ，6時(shí)， AC(0, 4), BDy3則 S四邊形 ABCD1 uuuruuur|AC|BD| 16，2所以，四邊形ABCD 的面積為 16類型二：向量在解析幾何中的應(yīng)用例 3（ 2015 房山區(qū)模擬） 已知點(diǎn) A（ 0，1），B，C 是 x 軸上兩點(diǎn)， 且 |BC|=6（ B 在 C 的左側(cè)）設(shè)ABC的外接圓的圓心為Muuuruuur4，試求直線

11、 AB 的方程；（ 1）已知 ABAC（ 2）當(dāng)圓 M 與直線 y=9 相切時(shí)，求圓M 的方程【答案】（ 1） y=x+1 或 y1x1；（ 2） ( x4) 2( y4) 2255【解析】（ 1）設(shè) B（ a，0），則 C（ a+6， 0）uuur( a,uuur(a6,1) ， A（ 0， 1）， AB1)， ACuuuruuur4得 a(a+6)+1=4，由 ABAC解得： a=1 或5，所以，直線 AB 的方程為 y=x+1 或 y11x5a2(b1)2r（ 2）設(shè)圓心為（ a， b），半徑為 r ，則b29r，| 9b | r解之得： a=±4， b=4， r =5，所以，

12、圓的方程為 ( x 4) 2( y4) 225【總結(jié)升華】 本題考查軌跡方程，解題的關(guān)鍵是利用向量條件確定動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，屬于中檔題舉一反三：【變式 1】已知 ABC 的三個(gè)頂點(diǎn) A （ 0， 4）， B（ 4， 0），C（ 6， 2），點(diǎn) D 、E、 F 分別為邊 BC、 CA 、 AB 的中點(diǎn)（ 1）求直線 DE、 EF、 FD 的方程；（ 2）求 AB 邊上的高 CH 所在直線的方程【答案】（ 1） x y+2=0 ， x+5y+8=0 ，x+y=0 （ 2） x+y+4=0【解析】 （ 1）由已知得點(diǎn) D （ 1， 1），E（ 3， 1）， F（ 2， 2），設(shè) M （ x， y）

13、是直線 DE 上任意一點(diǎn)，uuuuruuuruuuuruuur則 DM/ DE DM(x 1, y 1) ， DE ( 2, 2) ( 2)× (x+1) ( 2)(y 1)=0 ，即 x y+2=0 為直線 DE 的方程同理可求，直線 EF ， FD 的方程分別為x+5y+8=0 ， x+y=0 （ 2）設(shè)點(diǎn)N（ x， y）是CH所在直線上任意一點(diǎn)，則uuurCNuuurAB uuur uuur CN AB0 又uuurCN( x6, y2) ，uuurAB(4, 4) 4(x+6)+4(y 2)=0 ，即 x+y+4=0 為所求直線 CH 的方程【總結(jié)升華】（ 1）利用向量法來解

14、決解析幾何問題，首先要將線段看成向量，再把坐標(biāo)利用向量法則進(jìn)行運(yùn)算（ 2）要掌握向量的常用知識(shí)：共線；垂直；模；夾角；向量相等則對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等類型三：向量在物理學(xué)中“功”的應(yīng)用例 4一個(gè)物體受到同一平面內(nèi)三個(gè)力F123的作用，沿北偏東 45°的方向移動(dòng)了1，F(xiàn)，F(xiàn)8 m，其中 |F |=2N，方向?yàn)楸逼珫| 30°；|F2|=4 N ，方向?yàn)楸逼珫|60°；|F3|=6 N ，方向?yàn)楸逼?0°， 求合力 F 所做的功【答案】 246【解析】以物體的重心 O 為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤 軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系如圖，則 F1(1,3)，F(xiàn)2(23,2) ， F3(3

15、,33) ，則 F FF2F(232,243) 13又位移 s(42,4 2) ，合力 F 所做的功為 WFs(232) 42(243)42 4263 246 （J）合力 F 所做的功為246 J【總結(jié)升華】用向量的方法解決相關(guān)的物理問題，要將相關(guān)物理量用幾何圖形表示出來，再根據(jù)它的物理意義建立數(shù)學(xué)模型，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解，最后將數(shù)學(xué)問題還原為物理問題舉一反三：uuruurr3 ) ，則共點(diǎn)力對(duì)物【變式1】已知一物體在共點(diǎn)力F(2,2), F(3,1),的作用下產(chǎn)生位移 s ( 1 ,1222體所做的功為（）A 、4B、 3C、 7D、 2【答案】 Cururur5,3 ，其所做的功

16、為 W597 .因此選 C.【解析】對(duì)于合力 FFS22類型四：向量在力學(xué)中的應(yīng)用例 5如圖，用兩條同樣長(zhǎng)的繩子拉一物體，物體受到重力為G兩繩受到的拉力分別為 F1、 F2，夾角為（ 1）求其中一根繩子受的拉力|F1|與 G 的關(guān)系式，用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)分析F1 的大小與夾角的關(guān)系；（ 2）求 F1 的最小值；（ 3）如果每根繩子的最大承受拉力為|G|，求的取值范圍【答案】（ 1） 增大時(shí)， |F|G | （3） 0°， 120°1 |也增大（ 2）2【解析】（ 1）由力的平衡得F1+F2+G=0，設(shè) F1， F2 的合力為 F，1|F| G |則 F= G，由 F1+F2=F 且

17、 |F1|=|F2|， |F|=|G|，解直角三角形得cos2|F1|，22|F1|F1| G | 0 °， 180° ，由于函數(shù)y=cos在 0°， 180° 上為減函數(shù)，逐漸2cos2|G | 逐漸增大，增大時(shí)， cos逐漸減小，即增大時(shí)， |F1|也增大22cos2（ 2）由上述可知，當(dāng)=0°時(shí)， |F1|有最小值為 | G | 2（ 3）由題意， |G |F1|G|，2 111cos1 ，即21222cos2由于 y=cos 在 0°， 180° 上為減函數(shù)， 060，2 0°， 120° 為所求

18、【總結(jié)升華】生活中“兩人共提一桶水，夾角越大越費(fèi)力”，“在單杠上做引體向上，兩臂的夾角越小就越省力”等物理現(xiàn)象，通過數(shù)學(xué)推理與分析得到了詮釋舉一反三：uuruur【變式1】?jī)蓚€(gè)大小相等的共點(diǎn)力F1, F2 ，當(dāng)它們間夾角為 900 時(shí)，合力的大小為 20N，則當(dāng)它們的夾角為 1200 時(shí)，合力的大小為（）A、 40NB、10 2NC、 202ND、 10N【思路點(diǎn)撥】力的合成關(guān)鍵是依平行四邊形法則，求出力的大小，然后再結(jié)合平行四邊形法則求出新的合力 .uuruur900 時(shí)，合力的大小為 20N 時(shí)，這二個(gè)力【解析】 對(duì)于兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力F1 , F2 ，當(dāng)它們間夾角為的大小都是 102

19、N ，對(duì)于它們的夾角為1200 時(shí)，由三角形法則，可知力的合成構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，因此合力的大小為10 2 N. 正確答案為 B.【總結(jié)升華】力的合成可用平行四邊形法則，也可用三角形法則，各有優(yōu)點(diǎn)，但實(shí)質(zhì)是相通的，關(guān)鍵uur是要靈活掌握；對(duì)于第一個(gè)平行四邊形法則的應(yīng)用易造成的錯(cuò)解是F110N ，這樣就會(huì)錯(cuò)選答案 D.類型五：向量在速度中的應(yīng)用例 6在風(fēng)速為 75( 62) km / h 的西風(fēng)中，飛機(jī)以 150 km / h 的航速向西北方向飛行，求沒有風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航速和航向【思路點(diǎn)撥】這是航行中的速度問題，速度的合成與分解相當(dāng)于向量的加法與減法，處理的方法和原則是三角形法則或平行四邊形法則 .【答案】 1502 ，北偏西60°【解析】設(shè)風(fēng)速為，飛機(jī)向西北方向飛行的速度為va，無風(fēng)時(shí)飛機(jī)的速度為vb，則如圖，vb=v a，uuuruuuruuu